PLANIFICACION MATEMATICA 7° año básico Habilidades esperadas UNIDAD 1: El triángulo Tiempo: 7 semanas

Clase (1 hora pedagógi)

Contenido Actividades Fecha ejecuciónobservaciones

1 y 2

Desigualdad triangular. Construcción de un triángulo.

- Observan en su entorno la relación entre la geometría y el triángulo. -Por medio de dibujos y construcciones concretas, investigan y establecen las condiciones de existencia de un triángulo.Ej. Utilizando hojas cuadriculadas cortan tiras con tantos cuadraditos como indica la suma de sus lados (ver ejemplo) y tratan de construir triángulos cuyos lados tengan las medidas dadas

Por ej. 3, 6, 2

Hacer otros ejemplo como:Con 10 cuadraditos construir triángulos de medidas diferentes como 2,2,6 4,1,5 etcDadas las medidas de cada lado , construir diferentes triángulos.

- Eligen 3 segmentos cualesquiera e intentan formar un triángulo. Completan una tabla con las longitudes de los segmentos considerados. Analizan los datos de la tabla y determinan en qué casos es posible construir un triángulo.

Medidas de los segmentos Es posible construir un triángulo.

Comprender Comparar DeducirAplicar Clasificar ManipularConstruir Resolver DescubrirDesarrollar

3 6 2

2

6

3

Buscan una relación entre las longitudes de los trazos.

Concluyen las condiciones necesarias para construir un triángulo:“La suma de dos de sus lados es mayor que el tercer lado; la diferencia de dos de sus lados es menor al tercer lado”

Ej.2 Utilizando regla y compás y dados diferentes segmentos a, b, c, d.

Dibujar una recta y sobre ella copiar los lados del triángulo(LLL) Trabajan guía 1 (ver anexo) Construir el triángulo ABD; ABC.

- Nuevamente concluyen sobre las condiciones que deben existir para construir un triángulo.- Resuelven ejercicios de su texto.

3 y 4

- Aprender a copiar ángulos utilizando regla y compás.- Establecen notación de vértices y lados de un triángulo- Trabajan guía 2 (ver anexo)

- Construyen triángulos conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. (LAL): a, b y α

A

a

- Construyen triángulos conociendo un lado y los contiguos a él (ALA) a α y γ.

Nota: En el anexo 1 del programa de Educación Matemática de 7º año se muestra cómo copiar con regla y compás un ángulo y un segmento así como la construcción de triángulos.

5 y 6 Clasificación de triángulos según sus lados y ángulos.

- Miden utilizando regla lados de triángulos (Guía de trabajo 3) registran estas longitudes en tabla adjunta, considerando el siguiente orden.

Observan el siguiente esquema de acuerdo de acuerdo a los dos criterios de clasificación:

- Clasifican triángulos. (equiláteros- isósceles – escalenos)

Lado a Lado b Lado cTriángulo 1Triángulo 2Triángulo 3Triángulo 4Triángulo 5Triángulo 6Triángulo 7

Acutángulo3 ángulos agudos.

RectánguloUn ángulo recto

ObtusánguloUn ángulo obtuso.

EquiláteroSus tres lados miden lo mismo

No hay No hay

IsóscelesDos lados de igual medida y uno diferente llamado base.

EscalenoLos tres lados de distinta medida.

- Desarrollan actividades de construcción de triángulos, a partir de ciertos datos, para establecer clasificaciones de ellos considerando tanto las características de sus lados y de sus ángulos, como las relaciones entre lados y ángulos.Ejemplo- Construyen diferentes triángulos según condiciones como las siguientes.Δ ABC, donde a = 3 cm, γ = 60º, b = 3 cmΔ ABC, donde a = 5 cm, b = 5 cm, c = 5 cmΔ ABC, donde α = 60º, c = 7 cm, β = 60ºΔ ABC, donde c = 3 cm, b = 90º, a = 3 cmΔ ABC, donde c = 4 cm, b = 5 cm, c = 4 cmΔ ABC, donde α = 25º, c = 3 cm, β = 25ºΔ ABC, donde a = 3 cm, γ = 45º, b = 4 cmΔ ABC, donde a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cmΔ ABC, donde α = 20º, c = 4 cm, β = 110º

7 y 8

• Interpretan la información siguiendo las nominaciones habituales de lados y ángulos, como se muestra en la siguiente figura:

a) Clasifican los triángulos, de acuerdo a un criterio que considere sus características. Por ejemplo, según la longitud de sus lados, o la medida de sus ángulos, o combinaciones de ellas.• Exponen sus clasificaciones al curso y concluyen el o los criterios que permiten clasificar los triángulos.

- Analizan detalladamente los triángulos isósceles y los equiláteros para caracterizarlos no sólo en función de la medida de sus lados sino también de sus ángulos (ángulos basales congruentes, tres ángulos de 60º, respectivamente)

- Resuelven actividades de su texto de estudio.

9 y 10

Propiedad fundamental de los ángulos interiores de un triángulo

- Comprobar que la suma de los ángulos interiores de triángulo es 180º.

Ej1. Construyen, en hoja blanca, un triángulo isósceles de base 6 centímetros y ángulo basal de 70º. - Luego,  miden con un transportador los ángulos restantes. Verifican que la suma de estos ángulos es igual a 180º. Ej.2 1) Dibujan un triángulo del tamaño de una hoja de cuaderno y marcan en el los ángulos α , β, y γ2) Lo recortan y dan vuelta

3) Doblan el vértice A sobre el lado AB de modo que el doblez pase por C.

4) Doblan el vértice C sobre D

3

2

1

5) Dobla el vértice A sobre D

6) Doblan el vértice B sobre D

También se puede demostrar recortando los ángulos α , β, γ y pegándolos sobre una recta (ver guía 4)

- Sacan conclusiones: El Teorema de los ángulos interiores de un triángulo dice que “la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera, siempre es 180” - Aplican el Teorema de los ángulos interiores de un triángulo y descubren la medida del ángulo desconocido en cada caso.

11 y 12 Relación entre - Construyen diferentes triángulos y encuentran la relación entre los ángulos

6

5

4

αβ, β,

γ

los ángulos interiores y los lados de un triángulo.

Propiedad de los ángulos exteriores de un triángulo

interiores y los lados del triángulo.

Ej.1 Construyen un triángulo ABC de modo que = 60º; β = 60º.

Responden: ¿Qué relación hay entre los ángulos de este triángulo?¿Qué relación hay entre los lados?

Ej. 2. Construyen un triángulo ABC de modo que α = 70º ; β = 70º

Responden: ¿Qué relación hay entre los ángulos de este triángulo?¿Qué relación hay entre los lados? Ej. 3 Construyen un triángulo ABC de modo que α = 40º ; β = 80º

- Sacan conclusiones en relación entre los ángulos interiores y los lados del triángulo.

- Construyen triángulos de diferentes medidas, dibujan los ángulos exteriores, determinan sus medidas y luego calculan cuánto suman.

Ej. Dibujan un triángulo ABC.

a) Con el compás marcan el arco de circunferencia de los ángulos exteriores y luego los recortan.

b) Ubican los ángulos recortados uniéndolos por sus vértices, formando la circunferencia.

- Comprueban a través de diversos ejercicios que la medida de cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes.

Ej. Sin medir y aplicando las relaciones al Teorema correspondiente entre los ángulos exteriores y los ángulos interiores de un triángulo, calculan :

13, 1415 y 16

El triángulo rectángulo

- En diferentes triángulos rectángulos identifican los catetos y la hipotenusa.- Comprueban numéricamente el Teorema de Pitágoras dibujando y calculando el área de cuadrados construidos sobre los catetos y la hipotenusa de distintos triángulos rectángulos (de diferentes tamaños).

El teorema de Pitágoras dice que la medida de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

O bien: La suma de las áreas de los dos cuadrados menores equivale al área del cuadrado mayor

a2 + b2 = c2

Calculan la medida de la hipotenusa en triángulos de catetos:3 y 412 y 5 6 y 8

Calculan la medida de uno de los catetos dada la hipotenusa y el otro cateto:15 y 1213 y 5…

- Observan la página web:

http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/pitagoras.htm

- Investigan sobre Pitágoras y los pitagóricos.

17 y 18- Resuelven situaciones problemáticas que impliquen el Teorema de Pitágoras a través de guías de trabajo ( Guía anexo 5)

19 y 20 Elementos secundarios del triángulo.

Alturas de un triángulo.

- Con un set de triángulos diferentes, trazan con escuadra las alturas de cada uno de ellos, observando apoyados con el trabajo realizado por el profesor en el pizarrón.

- -Ubicar el ángulo recto de la escuadra sobre el lado desde el cual se va a trazar la altura hacen pasar el borde por el vértice correspondiente y trazar.- Definen altura como: El trazo que une un vértice con el lado opuesto

formando un ángulo recto. Se simboliza con la letra h y un subíndice con la letra correspondiente al vértice donde nace.

- Trazan las alturas de un triángulo equilátero, isósceles, rectángulo y escaleno. (Guía anexo 6)- Comparan la ubicación de ellas en los diferentes tipos de triángulos.- Hacen la clasificación de estos triángulos de acuerdo a algún criterio relacionado con la ubicación de las alturas. (Un criterio de clasificación puede ser: triángulos donde la intersección de las alturas (Ortocentro) que se ubican al interior del triángulo; triángulos en los cuales una altura se ubica al exterior del triángulo y triángulos en los cuales la altura se ubica en un vértice.

- Concluyen que las tres alturas se intersectan en un mismo punto y que este se denomina ORTOCENTRO.(H)

21 Y 22 Bisectrices de un triángulo.

- Por medio de un doblez, determinan el trazo que divide al ángulo interior en dos partes iguales, el doblez se inicia en el vértice y no en algún lado.

Definen la bisectriz como El trazo o segmento que divide al ángulo en dos partes congruentes

- Usan los mismos tipos de triángulos anteriores, trazan con regla y compás las bisectrices de sus ángulos interiores.

- Marcan las bisectrices con un color diferente al usado en las alturas.- Comparan las alturas y las bisectrices en cada triángulo.- Determinan en cuáles casos coinciden y vuelven a clasificar los triángulos de acuerdo a lo observado.(este efecto se visualiza más claramente al usar transparencias, en una hoja se construyen las alturas y en otra las 3 bisectrices de triángulos congruentes y luego se superponen ambos triángulos)

- Resuelven guía (Anexo 7)- Completan una tabla como la siguiente.

Observación: sólo cuando la bisectriz es eje de simetría coincide el punto de intersección con el punto medio del lado opuesto

- Analizan distintos tipos de triángulos en función de las bisectrices de sus ángulos, estableciendo relaciones con sus ejes de simetría y sus alturas.

- Definen incentro como el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo.

- Determinan el incentro en triángulos- Trazan la circunferencia inscrita en un triángulo (optativo)- Trabajan texto de estudio-

Bisectrices en un triángulo Alturas en un triánguloAcutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Lugar en el cuál se ubica la intersección.Coincidencia entre las bisectrices y las alturas.

23 y 24- Realizan una síntesis de las actividades anteriores. Para ello completan una tabla que indique en qué tipos de triángulos la bisectriz corresponde a un eje de simetría, y si esto sucede en todos los ángulos interiores o sólo algunos.

- Aplican las características de diferentes tipos de triángulos, de sus alturas y bisectrices para resolver problemas geométricos.

Ej. Calcula el valor del ángulo X , si ACD = 50º : bisectriz de ABC.

Resuelven guía de trabajo (Anexo 8)

25 y 26Perímetro del triángulo

- Recuerdan cómo calcular perímetro de un polígono y lo aplican al triángulo.- Resuelven guía de perímetro (Anexo 9)- Completan el cálculo del perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm. y 8 cm. (aplican el Teorema de Pitágoras)

Ej. Calculan el perímetro de un ABC, rectángulo en C, sabiendo que:

a) a = 3 cm. b = 4 cm.b) a = 9 cm. c = 15 cm.c) b = 12 cm. c = 13 cm.d) a = 4 cm. b = 4 cm.

- Completan el cálculo del perímetro de la figura

si ABCD es un cuadrado de lado 5 cm. y BCE es un triángulo equilátero.

27 , 28 y 29

Área de un triángulo.

- Resuelven situaciones problema que involucren cálculo de área de triángulos rectángulos y otros.- Identifican altura y base correspondiente para establecer relaciones entre estas medidas y el área.

- Calculan el área de los triángulos dibujados en tramas de puntos considerando cada cuadrado, como unidad de superficie (u2)

- Comprobar de manera concreta que el área del triángulo, aunque no sea rectángulo, siempre equivale a la mitad del área de un rectángulo o cuadrado correspondiente (de igual base y altura)

- Observación: para completar el rectángulo siempre debe considerar como base del triángulo el lado mayor.

- Dibujan en una red de puntos los triángulos que se forman a partir de una base b y una altura h. Observan que se pueden dibujar infinitos triángulos

- .

- Completar una tabla que indique para cada triángulo datos tales como: base, altura, área y perímetro.- Analizan la relación entre las áreas de los triángulos construidos y también entre los perímetros y observan que para un mismo valor (longitud) de la base y altura (en triángulos diferentes) se obtiene una misma área pero diferentes perímetros.

- Concluyen que el área de un triángulo de base “b” y altura “h” es igual al semiproducto de la base con su altura correspondiente.

A =

Se sugiere revisar las actividades del Programa de Estudio Mineduc, páginas 74-76.

30 y 31 Cálculo de áreas de figuras componiendo o descomponiendo figuras

- Resuelven problemas que involucren calcular áreas y perímetros de triángulos, recurriendo a las características de los triángulos y las relaciones entre sus elementos

Ej. Calcular el área del cuadrilátero PMOQ. En el rectángulo ABCD de la figura, AD = 6 cm y DC = 8 cm. P, Q, R y S son los puntos medios de los lados. Las diagonales del rectángulo ABCD se cortan en el punto O y las diagonales del rectángulos APOS se cortan en el punto M, como se muestra en la figura.

- Resuelven situaciones problemas del texto de estudio

32 y 33 Cálculo de ángulos interiores y exteriores en polígonos regulares.

- Recuerdan nombre de los polígonos regulares.- Identifican las características de un polígono regular y uno no regular. Luego, redactan su propia definición sobre ellos.

Nº de lados Nombre del polígono

Polígono Regular Polígono no regular

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

- Observación: cada ángulo exterior de un polígono regular de n lados mide

- Completan la siguiente tabla.

Polígono Número de lados

Nº de triángulos que se forman desde un vértice

Medida de los ángulos interiores del polígono

5 3 540º

4

Observan la relación que hay entre el número de triángulos formados desde un vértice con la suma de los ángulos interiores de un polígono.

34 y 35Ángulos opuestos por el vértice y entre paralelas

Al dibujar dos rectas secantes se forman 4 ángulos. De manera concreta comprueban que los ángulos opuestos son congruentes y lo verifican utilizando el transportador.

Dibujar las diagonales de diferentes cuadriláteros y ver los ángulos opuestos por el vértice.

- Dibujan dos rectas paralelas por una secante e identifican ángulos congruentes: recortando, plegando o superponiendo (calzando los ángulos).

L3

L2

L1

L1 // L2

Ejercicios de aplicación

12

34