1

Dualidad

Multiplicadores Importantes en problemas de

optimización

Dualidad Justificación de esta importancia Resultados teóricos

Aplicación práctica: Análisis de sensibilidad

2

Dualidad

Problema lineal (primal) y condiciones de extremo:

Ax b min cTx AT = c s.a Ax b 0 T (Ax - b ) = 0 Condiciones lineales y cuadráticas

Tanto en x como en

3

Dualidad

¿Existe un problema en con las condiciones de extremo anteriores?

Ax b AT = c max bT 0 s.a AT = c T(Ax - b ) = 0 0 Problema dual

Las variables son los multiplicadores

4

Dualidad

Propiedades: Solución de ambos problemas es la

misma Multiplicadores del primal: variables del dual Variables del primal: multiplicadores del dual

Es indiferente resolver uno u otro Pero el coste computacional no es el mismo

Problema dual del dual: primal

5

Dualidad

Otras propiedades: Dualidad débil

Para dos puntos factibles: x (factible primal) y (factible dual)

cTx bT Los valores del dual son cotas del primal

En los óptimos respectivos,cTx* = bT*

6

Dualidad

Justificación del resultado de dualidad débil

Si x y son factibles, AT = c TAx = cTx Ax b , 0 TAx bT cTx bT

Si x y son además óptimos, T(Ax - b ) = 0 TAx = bT cTx = bT

7

Dualidad

Otras propiedades: Dualidad fuerte

Para un problema primal (P) y su dual (D), Si (P) es óptimo,

(D) es óptimo (con la misma solución)

Si (P) no está acotado,

(D) no es factible Si (P) no es factible,

(D) no es factible o no está acotado

8

Dualidad

Justificación de dualidad fuerte Si uno de los problemas es óptimo, los

multiplicadores son óptimos para el otro Si un problema no está acotado, por

dualidad débil no puede existir un punto factible del otro

Si un problema no es factible, el otro no puede ser óptimo

Primal y dual son intercambiables

9

Dualidad

Construcción del problema dual: Función objetivo: min max

Lado derecho multiplicadores

Restricciones:1. (Matriz de coeficientes)T multiplicadores = coefs. fn. objetivo2. Signo de multiplicadores

10

Dualidad

Ejemplo: max cTx + dTy min bT + hT s.a Ax + y = b s.a AT + = c By h + BT = d x 0 , 0 Agrupando términos: min bT - hT s.a AT c - BT = d 0

11

Dualidad

Interpretación económica: Problema primal: min cTx s.a Ax = b x 0

Determinar mejor nivel de utilización de procesos x

Para hacer frente a una demanda b Con coste mínimo

Decisión centralizada para toda la empresa Planificador central

12

Dualidad

Problema dual: max bT max bT s.a AT + = c s.a AT c 0

Determinar precios de productos demandados Para obtener máximo ingreso Beneficio cero

Decisión descentralizada Mecanismo basado en precios (mercado)

13

Dualidad

Ejemplo: problema de transporte Planteamiento: min ijk cijkxijk

s.a i xijk djk

jk skxijk vi

x 0 Variables:

cantidades transportadas de cada almacén i a cada cliente j de cada producto k

14

Dualidad

Problema dual: max i vi i + i djk jk

s.a sk i + jk cijk

i 0 , jk 0

Interpretación: i es el precio a pagar por el uso de cada

unidad de espacio de almacenamiento jk es el precio a percibir por cada unidad

de producto entregada al cliente

15

Dualidad

Aplicación: Análisis de sensibilidad

¿Cómo cambia la solución si los datos cambian?

Importancia: Datos no son conocidos con exactitud

• Están sujetos a incertidumbre• Varían con el tiempo

Estudio paramétrico: Forma de función objetivo óptima En función de los datos

16

Dualidad

Cambios en la función objetivo: El coeficiente ci cambia a c’i

Las restricciones no se ven afectadas Efecto sobre la última solución:

Basta comprobar optimalidad

’n = c’n - N TB -Tc’b

B y N mismos valores que antes del cambio

17

Dualidad

Ejemplo: min x1 - 2x2 - x3

s.a x1 + x3 1

- x1 + 2x2 + 2x3 2

x 0 Solución: x* = ( 1 3/2 0 )T

Supongamos que el coeficiente c1 cambia Pasa de valer 1 a valer 3/2

Calcular el nuevo vector de multiplicadores

Cambia cb pero no cn

18

Dualidad

Nuevo vector de multiplicadores: ’n = cn - N TB -Tc’b

-1 1 2 1/2 1 -1 -1 3/2 ’n = 0 - -1 0 = 1/2 0 2 -2 0 0 1 1

El punto sigue siendo solución

¿Y si c1 pasa a valer 1/2 ?

’n = ( 3/2 -1/2 1 )T

19

Dualidad

El vértice deja de ser solución Nueva solución

Método Simplex desde el vértice dado 0 1 0 1 1 pn = 1 , Bpb = -Npn pb = pb = -1 2 0

1/2 0

Problema no acotado

20

Dualidad

Otro problema a resolver Efecto para un cambio dado

¿Cuál es el mayor cambio que no afecta a la solución?

Forma del cambio: c’ = c + c Condición:

’n = cn + cn - N TB -T (c’b + cb )

= n + (cn - N TB -T cb ) = n + n 0

= min { - (n )i /(n )i | (n )i < 0 }

21

Dualidad

Ejemplo: min x1 - 2x2 - x3

s.a x1 + x3 1

- x1 + 2x2 + 2x3 2

x 0 Solución: x* = ( 1 3/2 0 )T

Máximo cambio para c’ = c - e1

22

Dualidad

Criterio para el máximo cambio: ’n = n + (cn - N TB -T cb ) = n + n 0

Valores para el caso considerado:1 0 1 1 1 -1 0 T 1 0 -T -10 + 0 - = 0 + -1

0 2 0 1 -1 2 01 0 1 0

Máximo cambio: = 0

23

Dualidad

Cambios en el lado derecho de restricciones

El cambio no afecta a los multiplicadores: Optimalidad no cambia

Valores de las variables tienen que cambiar El último vértice es infactible

Ax = b b’ ¿Cambia el conjunto de variables básicas?

Solo si

xb = B -1b’ i , (B -1b’ )i < 0

24

Dualidad

Ejemplo: min x1 - 2x2 - x3

s.a x1 + x3 1

- x1 + 2x2 + 2x3 2

x 0 Solución: x* = ( 1 3/2 0 )T

Supongamos que b1 = 1 2

25

Dualidad

Condición para que se mantenga la base: 1 0 -1 2 2 B -1b = = 0 -1 2 2 2

La base no cambia Sí varían los valores de las variables básicas:

x’b = ( 2 2 )T

Supongamos ahora queb1 = 1 -1

26

Dualidad

Condición para que se mantenga la base:

1 0 -1 -1 -1 B -1b = = -1 2 2 ½

La base óptima cambia Cálculo de la nueva solución:

Método Simplex desde el principio, o Método Simplex dual desde la última

solución Lo veremos más adelante

27

Dualidad

¿Máximo cambio que no afecta a la base?

Forma del cambio:b’ = b + b

Condición: B -1b’ 0 B -1b + B -1b = xb + B -1b

0

= min { - (xb )i /(B -1b )i | (B -1b )i < 0 }

28

Dualidad

Ejemplo: min x1 - 2x2 - x3

s.a x1 + x3 1

- x1 + 2x2 + 2x3 2

x 0

Solución: x* = ( 1 3/2 0 )T

Estudiar cambios para b = -e1

29

Dualidad

Condición: xb + B -1b 0

1 1 0 -1 -1 1 -1 + = +

0 3/2 -1 2 0 3/2 -1/2

1

Si > 1 , la base óptima cambia

30

Dualidad

Método dual del Simplex: Método Simplex aplicado al problema

dual Empleando la información en su forma primal Calculando valores para x

Inicio del método Vértice factible pero no óptimo para el dual Vértice óptimo pero no factible para el primal

31

Dualidad

Condiciones del vértice inicial Respecto del problema primal:

Vértice (base) con multiplicadores óptimosn = cn - N TB -Tcb 0

Variables no factiblesi , (xb )i = (B -1b )i < 0

No se puede aplicar el método Simplex normal

Pero el vértice tiene información de interés

32

Dualidad

Movimiento a partir del vértice Cálculo de la dirección de movimiento

Seleccionar componente más negativa de B -1b

Definir dirección para b = ei , BT + b = 0 = -B -Tb = -B -Tei

NT + n = 0 n = N TB -Tei

Definir la longitud de paso para = min { - (n )i /(n )i | (n )i < 0 }

33

Dualidad

Valores del problema primal Se actualiza la base

Variable que deja de ser básica La que tenga el valor más negativo de B -1b

Variable que pasa a ser básica La que defina el valor de

Nuevo valor de las variables básicas Calcular B -1b para la nueva base

34

Dualidad

Cálculos del método Simplex dual Dado un vértice óptimo pero no factible

Calcular B -1b Determinar la componente más negativa Calcular n = cn - N TB -Tcb y n = N TB -Tei

Calcular = min { - (n )i /(n )i | (n )i < 0 } Determinar la variable que pasa a ser básica Actualizar B , N , cb , cn

35

Dualidad

Ejemplo: min x1 - 2x2 - x3

s.a x1 + x3 -1

- x1 + 2x2 + 2x3 2

x 0 Vértice óptimo: xb

* = B -1b = ( -1 ½ )T

Variables básicas: x1 y x2

Variable que deja de ser básica: x1

Multiplicadores: n = cn - N TB -Tcb = ( 1 0 1 )T

36

Dualidad

Dirección de movimiento de multiplicadores

n = N TB -Tei = ( 1 -1 0 )T

Longitud de paso = 0/(-1) = 0

Nueva variable básica: s1

Nuevo valor de las variables básicas ( x2 y s1 ):

B -1b = ( 1 1 )T

El vértice es óptimo