CINEMATICA

TEMA-1

1- INTRODUCCIÓN

La cinemática, es la parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos.

Se define el movimiento de un cuerpo, como el cambio de su posición con el tiempo, respecto de un sistema de referencia fijo. (A todo cuerpo en movimiento le llamaremos móvil)

1.1- SISTEMA DE REFERENCIA

Un sistema de referencia está formado, por un conjunto de ejes de coordenadas, X, Y, Z y un punto llamado origen de coordenadas (punto 0)

S. de R. unidimensional: formado por un solo eje, X y un punto origen O. Se utiliza para estudiar movimientos en una sola dimensión: movimientos rectilíneos. Ej: un coche que se mueve por una carretera recta.

v

S. de R. bidimensional: formado por dos ejes perpendiculares X e Y y el punto origen O. Se utiliza para estudiar movimientos en dos dimensiones. Ej: el movimiento de una mosca sobre la superficie de un cristal.

O

Y

X

X0

S. de R. tridimensional: formado por tres ejes perpendiculares entre sí X, Y, Z y el punto origen O. Se utiliza para estudiar movimientos en tres dimensiones. Ej: el vuelo de una mosca

X

Y

Z

O

1.2- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES: Una magnitud es toda propiedad de los cuerpos que se puede medir. Una magnitud es escalar, cuando podemos expresar su valor, mediante un número y sus unidades. Son magnitudes escalares, la masa (5 kg), el volumen (3 m3), la longitud (6,7 m), el tiempo (4 s) etc.

Una magnitud es vectorial, cuando para definirla, necesitamos indicar además de un número (que indica su valor), una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Son magnitudes vectoriales, la velocidad, la aceleración, el peso etc.

Una magnitud vectorial se representa mediante un vector (segmento orientado) y se simboliza con una letra con una flecha encima, v

Un vector presenta las siguientes características:

Módulo o intensidad: viene dado por la longitud del vector y nos indica el valor de la magnitud. Dado el vector , su modulo se representa por , o v

v

v

Punto de aplicación: punto donde se aplica el vector.

Dirección: viene dada por la dirección de la recta que contiene al vector.

Sentido: viene dado por una punta de flecha en uno de los extremos.

Punto de aplicación

V: módulo Sentido

Vector velocidad

Dirección

v

2.1- RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO:

El movimiento es relativo, es decir, dependiendo del sistema que se tome como referencia, las cosas se mueven o no, y las trayectorias adoptan unas formas u otras.

Así, cuando circulamos en un coche y decimos: “Estamos en reposo respecto al coche “, es cierto, y cuando decimos: “nos movemos respecto de la carretera “, también es cierto, ya que desde un punto de vista físico no hay un sistema de referencia que sea mejor que otro. En la práctica se elige el S. de R. que haga los cálculos más sencillos.

2- CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO

2.2- TRAYECTORIA: Es la línea que resulta de unir los sucesivos puntos, por los que pasa el cuerpo en su movimiento.

En función de la trayectoria, los movimientos se clasifican en:

Rectilíneos: la trayectoria es una línea recta (balón rodando por el suelo…).

Curvilíneos: la trayectoria es una línea curva. Pueden ser circulares (vagón de noria…), elípticos ( movimiento de la Tierra alrededor del Sol..), parabólicos (lanzamiento de una jabalina… ) o de curvatura irregular (vuelo de una mosca… ).

2.3- POSICIÓN:

Es el lugar que ocupa el móvil en cada instante de tiempo, respecto del origen del S.de R. Es una magnitud vectorial, y viene dada por el vector que une el origen del S.de R. y un punto sobre la trayectoria.

r

r

r El vector posición se simboliza como .El modulo de es decir ,es la distancia entre el origen del S. de R. y un punto sobre la trayectoria

r

x

y

En los movimientos en una dimensión, viene dado por el vector en el movimiento horizontal y por el vector en el movimiento vertical.

XO

xr

O

yr

En los movimientos en dos dimensiones viene dado por dos coordenadas x e y, es decir

r

yxr

En los movimientos en tres dimensiones viene dado por tres coordenadas x, y, z. Es decir

r

zyxr

X

y(x,y)

r

x

y

x

y

z

(x,y,z)

y

Y

xz

O

O

r

v

v

En este curso estudiaremos los movimientos rectilíneos (es decir en una dimensión), en los que la posición del móvil viene dada por el valor de la coordenada x, en el movimiento horizontal, y por la coordenada y en el movimiento vertical.

También estudiaremos un movimiento en dos dimensiones: el movimiento circular.

Criterio de signos para la posición: en el movimiento horizontal, x es positivo para valores a la derecha del origen y negativo para valores a la izquierda. En el movimiento vertical, y es positivo para valores por encima del origen y negativo para valores por debajo.

2.4- DISTANCIA RECORRIDA Y DESPLAZAMIENTO

Distancia recorrida: es la longitud de la trayectoria descrita por el móvil entre dos puntos de la misma. Se representa con la letra s, y su unidad en el S.I. es el metro. En el movimiento rectilíneo, la distancia recorrida, viene dada por la diferencia entre la posición final (x) y la posición inicial (x0), en valor absoluto.

0xxs

X0 XO

s

X

v

Desplazamiento: es una magnitud vectorial. Es el vector , que une la posición inicial con la posición final . Se cumple que:

r

0r

r

0rrr

En el movimiento rectilíneo sería: 0xxx

O

xsx

0x

X0 x

En los movimientos rectilíneos el módulo del vector desplazamiento , coincide con la distancia recorrida s; es decir .En los movimientos curvilíneos no coincide con s, es decir

X

x

O

r

r

0r

r

ssr

X

Yxxxs 0

X

No, por la propia definición de movimiento.

2- Un ciclista recorre una curva semicircular de 50 m de radio. ¿Cuál es la distancia recorrida? ¿y el modulo del desplazamiento? ¿Valen lo mismo? ¿Por qué? Dibújalo.

00 x mx 100 X

smRsrecorrdist 1575014.3. . mxxxdesplazMod 1000100. . 0

No, pues s es la longitud de la trayectoria (línea verde) y el mod. desplaz. es la distancia mas corta entre las posiciones inicial y final (línea roja)

ACTIVIDADES:

1- ¿Se podría estudiar el movimiento de un cuerpo, sin elegir previamente un S.de R?

3- La pizarra está en reposo respecto a la pared, pero se mueve respecto a la Luna. ¿Realmente se mueve o no?

Para un observador en la Tierra no se mueve, pero para un observador en la Luna si se movería

4- Un móvil pasa de la posición inicial de - 400 m, hasta la posición final de 13 km, siguiendo una trayectoria rectilínea. ¿Cuál es el espacio recorrido? Dibuja el vector desplazamiento.

0

x

0x

x

mx 4000 mx 000.13

mxxs 400.13400.13400000.130

X

s

Vamos a distinguir entre y rapidez o celeridad y velocidad La rapidez o celeridad de un móvil se define como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. Es una magnitud escalar.

t

xx

tt

xx

t

sRapidez m

0

0

0

)(

, pues tomamos el origen de tiempos en x0

Para intervalos de tiempo grandes tenemos la rapidez media. Si el intervalo de tiempo se hace muy pequeño (tiende a cero), tenemos la rapidez instantánea, en cada punto de la trayectoria.

3-LA VELOCIDAD

00 t

s

mSIelenUnidad :

La velocidad ( ) se define como el cociente entre el vector desplazamiento , y el tiempo transcurrido . Es por tanto una magnitud vectorial.

tx

v

0

0

tt

xx

t

xv

Su módulo es: t

xx

tt

xx

t

xv 0

0

0

Para intervalos de tiempo grandes se trata de una velocidad media. Cuando el intervalo de tiempo se hace muy pequeño (tiende a cero) tenemos la velocidad instantánea, en cada punto de la trayectoria.

En el movimiento rectilíneo la dirección de tiene la dirección de la recta.

v

En el movimiento curvilíneo la velocidad tiene la dirección de la tangente a la curva en cada punto.

0

v

x

0

Y

x

v

v

En el movimiento rectilíneo el módulo de la velocidad (media o instantánea) coincide con la rapidez (media o instantánea). En el movimiento curvilíneo solo coinciden el módulo de la velocidad instantánea y la rapidez instantánea, pero no la velocidad media y la rapidez media.

Criterio de signos para la velocidad: si el vector velocidad apunta hacia la derecha o hacia arriba la velocidad es positiva y si apunta hacia la izquierda o hacia abajo velocidad negativa.

V (+)

V (-)X0 0V (+) V (-)

Y

Unidades de velocidad: la unidad de velocidad en el S.I. es el m/s. Otra unidad muy utilizada es el km/h.

ACTIVIDADES

1- Realiza las siguientes transformaciones:

h

km

s

m

s

m

h

km 15;80

s

m

s

h

mk

m

h

mk2,22

3600

1

1

100080

h

km

h

s

m

km

s

m54

1

600.3

1000

115

2- Una bicicleta recorre 20 km en media hora. ¿Cuál es su rapidez media en unidades del S.I.?

s

m

t

sRapidezm 1,11

800.1

000.20

3- Juan, que está sentado en el vagón de una noria, describe la circunferencia con una rapidez media de 1 m/s en 2 minutos. ¿Cuánto vale dicha circunferencia? ¿Qué altura tiene la noria?

nciacircunferelongitudmss

t

sRapidezm 120

1201

mRhmRRs 22,38211,1914,32

1202

4- Sobre una cuadricula formada por cuadrados de 3 metros de lado un móvil describe la siguiente trayectoria. Si se tardan 1,2 segundos en recorrer cada uno de los lados. ¿Cuánto tarda en recorrer la trayectoria? Calcula, la rapidez media y la velocidad media

st 2,132,111

s

m

t

sRapidezm 5,2

2,13

311

s

m

t

rvm 14,1

2,13

912 22

4- CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS SEGÚN LA VELOCIDAD

Según la velocidad, los movimientos se clasifican en: Movimientos uniformes: Son aquellos cuya velocidad permanece constante. Como la velocidad es un vector, ha de permanecer constante:

Su módulo: es decir no varía su rapidez.

Su dirección: por tanto, la trayectoria ha de ser una línea recta.

Su sentido: el móvil no puede darse la vuelta.

Movimientos variados (o acelerados):

Son aquellos cuya velocidad es variable. De la velocidad puede variar:

Su módulo: es el caso de móviles que se mueven aumentando o disminuyendo su rapidez. Ej: el movimiento de caída libre.

Su dirección: es el caso de los movimientos circulares y en los curvilíneos en general.

Su sentido: es el caso de los movimientos vibratorios de los cuerpos elásticos.

En este movimiento la velocidad se mantiene constante, por lo que no puede variar ni el módulo (rapidez), ni la dirección, ni el sentido del movimiento. La trayectoria por tanto es una línea recta.

El módulo de la velocidad viene dado por:

000

0 ttvxxtt

xxv

00 ttvxx

Ecuación de la posición del M.R.U.: nos permite calcular la posición del móvil x, en cualquier instante, t conocidas la posición inicial xo y la velocidad v.

5- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)

5.1- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL M.R.U.:

Gráfica velocidad- tiempo (v-t):

ctev

ctev Al ser la velocidad constante, la gráfica v-t será una recta paralela al eje de los tiempos.

smv /

st

Gráfica posición-tiempo (x-t): Al representar se

obtiene una recta que corta al eje de X en x0 . La pendiente de la recta nos da la v.

00 ttvxx

0

0x

x mx

t st 0

0

tt

xxvPendiente

0

ACTIVIDADES

1- Representa la gráfica v-t que corresponde a un movimiento con velocidad constante de 15 m/s

sm /15

smv /

st

2- Representa la gráfica x-t que corresponde a la ecuación de movimiento

tx 1510

t x

0 10

1 25

2 40

3 55

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

102030405060

st

mx

3- Un ciclista describe un M.R.U. con v = 5 m/s. a) Si el cronómetro se pone en marcha, cuando pasa por la posición 200m, escribe la ecuación del movimiento del ciclista. b) ¿Cuál es su posición cuando han transcurrido 25 segundos desde que se empezó a medir el tiempo? c) Grafica x-t

txttvxxa 5200 ) 00

mxb 325255200 )

0 5 10 15 20 25 300

50100150200250300350

t(s) x(m)

0 200

5 225

10 250

15 275

20 300

25 325

st

mx

4- La ecuación de movimiento de un esquiador es a) ¿Cuáles son su posición inicial y su velocidad. b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a la meta, que está en x = 1000 m?

tx 4250

s

mvymxttvxxComoa 4 250 : ) 000

sttb 1505

250100052501000 )

5- Un autobús se mueve en línea recta a 90 km/h. En el instante inicial se encuentra en el kilómetro 70: a) Escribe la ecuación de su movimiento. b) ¿En qué posición se encontrará al cabo de media hora?

txa 9070 ) kmxb 1155,09070 )

6- Se han medido las distintas posiciones de un atleta en distintos instantes de tiempo. Los valores obtenidos se indican en la tabla. Representa gráficamente la posición frente al tiempo y determina gráficamente la velocidad del corredor.

t(s) x(m)

0 10

2 30

4 50

6 70

8 90

10 110

12 130

14 150

0 2 4 6 8 10 12 14 160

20406080

100120140160

st

mx

s

m

tt

xxv 10

014

10150

0

0

7- Un galgo se desplaza en línea recta con una velocidad de 90 km/h. Si en el instante inicial su posición es 100 m y la carrera dura 20 s: a) Escribe la ecuación del movimiento en unidades S.I. b) Calcula las posiciones sucesivas que ocupa el galgo cada 4 segundos y rellena la tabla siguiente con los valores obtenidos. b) Haz la grafica posición-tiempo.

s

m

h

km2590 tx 25100

t(s) x(m)

0 100

4 200

8 300

12 400

16 500

20 6000 5 10 15 20 25

0

100

200

300

400

500

600

700

st

mx

8- ¿En qué lugar se encontrará un móvil a los 25 minutos si su posición inicial es de 3 km y su velocidad de 90 km/h? ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?

s

ms 25

h

km90 ; 3.000m3km ; 500.1min25

kmmttvxx 5,40500.40500.125000.300

kmmtvxxs 5,37500.37500.1250 9- Indica las diferencias y semejanzas entre estos dos movimientos. ¿Podrías determinar la ecuación de cada uno?

00 ttvxx tx

3

4

tx 3

45

0 1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

st

mx

10- Sale un coche a 72 Km/h. Cinco minutos después sale en su persecución una moto a 108 Km/h. ¿Dónde y cuándo lo alcanzará? Dibuja las graficas posición-tiempo.

smvm /30 smvc /20

mmmmcc tvxtvx 00 300

mmmm tvxx 0

00 ttvxx

kmtvx eme 18000.1860030

0

Coche y moto se mueven con M.R.U.

X

? ?; ee tx

En el encuentro:

ememc ttxxx ;

00 mx

300: mc ttcumpleSecccc tvxx 0

min1060010

000.6300300200 sttt eee

0 100 200 300 400 500 600 7000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000Grafica - coche

txc 20000.6

t(s) x(m)

0 6.000

300 12.000

600 18.000

Grafica - moto

txm 30

t(s) x(m)

0 0

300 9.000

600 18.000

st

mx

Coche

Moto

11- Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de Madrid. Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de 443 Km. y que sus velocidades respectivas son 78 Km/h y 62 Km/h y que ambos coches salen al mismo tiempo, calcular: tiempo que tardan en encontrarse, ¿a qué distancia de Bilbao lo hacen? Dibuja las graficas posición-tiempo.

0

MadridBilbao

XA B

hkmvA /78 hkmvB /62

00 A

x kmxB

4430 ? ?; ee tx

Los dos coches se mueven con M.R.U.

00 ttvxx

ttvxx AA A 780

ttvxx BB B 624430 ee tt 6244378

hte 16,3140

443 kmtx ee 48,24616,37878

En el cruce: eeBA ttyxxx

Grafica–coche A

txA 78

t(h) x(km)

0 0

1 78

2 156

3 234

4 312

Grafica–coche B

txB 62443

t(h) x(km)

0 443

1 381

2 319

3 257

4 195 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

ht

kmx

CocheA

CocheB

6- LA ACELERACIÓN Los movimientos acelerados son aquellos, en los que varía la velocidadEj: el movimiento de caída libre de los cuerpos, el de un balón al golpearlo, el movimiento de la Luna etc.

La aceleración es por tanto, la magnitud responsable de que se produzcan cambios en la velocidad de los cuerpos. Se trata de una magnitud vectorial, y se simboliza por a

Si el cambio se produce en el módulo de la velocidad, la aceleración que provoca este cambio, se llama aceleración tangencial . Si el cambio se produce en la dirección de la velocidad, la aceleración responsable es la aceleración normal,na

ta

Aceleración tangencial ( ): su módulo , es la variación que experimenta el módulo de la velocidad con el tiempo.

ta

ta

0

0

tt

vvat

La aceleración tangencial tiene la dirección del vector velocidad.

Al igual que con la velocidad, podemos definir una aceleración tangencial media y una instantánea. Cuando el incremento de tiempo es infinitamente pequeño tenemos la aceleración instantánea. Aceleración normal (o centrípeta) ( ) :se define como el cambio que experimenta la dirección de la velocidad con el tiempo. Este tipo de aceleración aparece en los movimientos curvilíneos, pues cambia la dirección de la v

na

Se denomina normal, porque es un vector perpendicular (normal) a la trayectoria, dirigido hacia el centro de curvatura. Su módulo viene dado por la ecuación:

r

van

2

v: módulo de la velocidad; r: radio de giro de la trayectoria

En el movimiento curvilíneo, pueden existir los dos tipos de aceleraciones, tangencial y normal. La suma de las dos es la aceleracion total,

na

ta

na

ta

na

ta

nt aaa

a

a

a

Un ejemplo de movimiento en el que se dan los dos tipos de aceleración, sería el vuelo de una mosca. Ésta, en su vuelo, va variando tanto el módulo, como la dirección de la velocidad.

Criterio de signos para la aceleración: en los movimientos rectilíneos: si el vector aceleración apunta hacia la derecha o hacia arriba, es positiva. Si apunta hacia la izquierda o hacia abajo, negativa.

X

Y

00

a

a

a

a

Actividades

1- Un móvil aumenta de 20 a 25 m/s su velocidad en 2,5 s, y otro de 42 a 57 m/s en 7,5 s. ¿Cuál ha acelerado más?

0

0

tt

vvat

22

5,2

5

5,2

2025

s

ma

22

5,7

15

5,7

4257

s

ma

2- Un vehículo toma una curva de 25 m de radio con una velocidad de 80 km/h. ¿Cuál ha sido la aceleración normal?

2

22

75,1925

2,22

s

m

r

van

smhkm /2.22/80

7- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)

En este movimiento, varía de forma constante el módulo de la velocidad, pero no varían ni la dirección ni el sentido (movimiento rectilíneo); por tanto la aceleración es constante. Ecuación de la velocidad:

tavvtSittavvtt

vva

00000

0 0 ;

tavv 0

Esta ecuación, me permite calcular la velocidad en cada instante de tiempo, conocidas la velocidad inicial, y la aceleración

Ecuación de la posición:Deducción:

tvxxt

xxv mm 0

0

20vv

vm

ttavxx

2

100

tavtavv

vm

2

1

2 000

tavv 0

200 2

1tatvxx

Esta ecuación, nos permite calcular la posición del móvil, en un instante t, conocida su posición inicial, su velocidad inicial, y la aceleración.

Combinando matemáticamente las ecuaciones de velocidad y de la posición, obtenemos una tercera ecuación del movimiento:

)(2 02

02 xxavv

7.1-REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL M.R.U.A

Gráfica aceleración-tiempo (a-t): como la aceleración es constante, se obtiene una recta horizontal.

ctea

ctea

2/ sma

st

Gráfica velocidad-tiempo (v-t): es una recta con cierta pendiente, que puede pasar o no por el origen. El valor de la pendiente de la recta es igual a la aceleración.

st

t

vvaPendiente 0

smv /

Gráfica posición-tiempo (x-t): es un tramo de parábola. Resulta de representar la ecuación de posición

st

mx

7.2- TIPOS ESPECIALES DE M.R.U.A.: LA CAIDA LIBRE Y EL LANZAMIENTO VERTICAL

La caída libre: es el movimiento de un cuerpo que deja caer a cierta altura, sobre la superficie de la Tierra. Su velocidad inicial es nula. La aceleración es la aceleración de la gravedad , que es siempre un vector dirigido hacia el centro de la tierra de módulo 9,8 m/s2.

g

0y

0 ; 00 vhy

v

28,9

s

mg

h hgv

tgh

tgv

02

2

10

2

2

0

El lanzamiento vertical: cuando se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, su velocidad inicial elevada, irá disminuyendo hasta detenerse (v = 0), para empezar a caer. La aceleración es la de la gravedad g = - 9,8 m/s2

0; )( 00 yv

28,9

s

mg

hyv ;0

0

h

hgv

tgtvh

tgv

20

2

1

0

20

20

0

1- Un coche arranca con una aceleración de 2 m/s2. ¿Qué velocidad habrá alcanzado transcurridos 15 s? Calcula la distancia que habrá recorrido en ese tiempo. Gráficas.

X0

2/2 sma MRUA

00 x00 t

00 v?v

?xst 15

s

mvttavv 30152000

mattve 2251522

1

2

1 220

tv 2t(s) v(m/

s)

0 0

5 10

15 30 0 4 8 12 160

10

20

30

40t(s) x(m

)

0 0

5 25

10 100

15 225

2tx

0 6 120

50100150200250

st st

)/( smv

)(mx

Actividades

2- Determina e interpreta la aceleración del movimiento de la figura y determina el espacio recorrido en los 6 primeros segundos. Dibuja la grafica posición-tiempo.

0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

st

)/( smv

20

0 5,16

9

06

90

s

m

tt

vva

mattve 2765,12

169

2

1 220

275,09 ttx

t(s) x(m)

0 0

2 15

4 24

6 270 1 2 3 4 5 6 7

0

10

20

30

st

)(mx

3- La ecuación de velocidad de un objeto que se mueve con M.R.U.A.es, (en unidades del S.I.). Calcula: a) la velocidad inicial. b) la aceleración. c) la velocidad al cabo de 8 s. d) ¿en que instante la velocidad es de 27 m/s? e) haz las gráfica v-t y x-t

tv 312

atvv 0 s

ma 12 v) 0

23 )

s

mab

s

mvc 368312 ) sttd 5

3

122731227 )

)et(s) v(m/

s)

0 12

2 18

4 24

6 30

8 36 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

10

20

30

40

25,112 ttx

t(s) x(m)

0 0

2 28

4 72

6 126

8 1920 1 2 3 4 5 6 7 8 9

050

100150200250

tv 312)/( smv )(mx

st st

4- Dada la ecuación del movimiento, .Calcula la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración. Dibuja las gráficas v-t y x-t.

2325 ttx

200 2

1attvxx

200 6 ;2 ;5s

ma

s

mvmx

tv 62

t(s) v(m/s)

0 2

1 8

2 14

3 20

4 26

t(s) x(m)

0 5

1 10

2 21

3 38

4 61

0 1 2 3 4 50

10203040506070

0 2 4 605

1015202530

)/( smv

st st

)(mx

5- Un coche que circula por una carretera recta a 50 km/h acelera hasta 80 km/h en 5 s, velocidad que mantiene 10 s. A continuación frena y para en 20 s. Dibuja la gráfica v-t, calcula las dos aceleraciones, y determina el espacio total recorrido.

2

01

010101 6,1

05

8,132,22

s

m

tt

vvattavvMRUA

X0

MRUA MRURMRU

00 t st 51 st 152 st 353

00 x ?1 x ?2 x ?3 x

smv /8,130

smv /2,221

smv /2,222

03 v

2

23

232323 1,1

1535

2,220

s

m

tt

vvattavvMRUR

?a ?a

tv 6,18,13

MRUA

t(s) x(m)

0

2

5

8,13

2,17

2,22

MRU

smv /2,22

t(s) x(m)

5

10

15

2,22

2,22

2,22

MRUR

151,12,22 tv

t(s) x(m)

15

25

35

2,22

1,11

0

0 5 10 15 20 25 30 35 400

5

10

15

20

25

st

)/( smvA

B

C

CBAT eeee

mttattvxxeA 27,9056,12

158,13

2

1 220101001

mttvxxeB 2,2225152,2212112

222323223 15351,1

2

115352,22

2

1

ttattvxxeC

meC 2,2222,2224,444

meT 71,5342,2222,22227,90

6- Se deja caer un objeto de 2 kg desde cierta altura. Calcula la velocidad y el espacio que habrá recorrido cuando hayan pasado 1, 2 y 3 segundos. Dibuja las gráficas a-t, v-t e y-t.

0 0?;;0 000 vyt

?;?;;1 111 vyst

??;;2 222 vyst

??;;3 333 vyst

s

mvttgvv 100110010101

s

mvttgvv 2021020202

s

mvttgvv 3031030303

m

ttgttvyye s

51510

2

1

2

201010011

Y

mttgttvyye s 2025202

1 2202020022

mttgttvyye s 4535302

1 2203030033

tv 10t(s) v(m/

s)

0 0

1 -10

2 -20

3 -30

0 1 2 3 4

-40

-30

-20

-10

0t(s) x(m)

0 0

1 -5

2 -20

3 -45

25tx

0 1 2 3 4

-50-40-30-20-10

0

10ga 0 1 2 3 4

-15

-10

-5

0

)/( smv

st

st st

)(mx

2/ sma

7- Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 60 m/s. Calcula su velocidad a los 5 s, el tiempo que tardará en llegar a su altura máxima y la altura maxima. Graficas v-t y y-t

0

smvyt /60 0 0 000

st 51

02 v s

mvttgvv 105106010101

st

tttgvv

610

60

10600

2

20202

myttgttvyy 1806566002

1 22

20202002

?2 t ?2 y

?1 y ?1 v

tv 1060

t(s) v(m/s)

0 60

2 40

4 20

6 00 1 2 3 4 5 6 7

0

20

40

60

80

)/( smv

st

2560 tty

t(s) y(m)

0 0

2 100

4 160

6 1800 1 2 3 4 5 6 7

0

50

100

150

200

st

)(my

8- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U.)

El M.C.U. es el movimiento de un móvil, que recorre una trayectoria circular con velocidad constante en modulo; sin embargo varía la dirección y el sentido del vector velocidad

A B

As Bs

En la figura, tenemos un disco que hacemos girar con rapidez constante, en el que hemos marcado dos puntos A y B.

v

v

v

v

Cuando el disco efectúa un cuarto de giro, el punto A recorre el arco SA y el punto B el arco mayor SB. Como el tiempo transcurrido para cada punto en recorrer su arco es el mismo, la velocidad lineal del punto B es mayor que la del punto A.

ABABB

BA

A vvSScomot

Sv

t

Sv ,;;

Por tanto para un cuerpo que gira la velocidad lineal de sus puntos varía según la distancia al centro de giro. A mayor distancia del centro de giro mayor velocidad lineal y viceversa.

¿Cómo expresar entonces la velocidad de giro del disco?:Para ello se introduce la velocidad angular ω, que se define como el ángulo barrido en la unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es el rad/s. También se suele utilizar como unidad, revoluciones/minuto ó r.p.m.

tttt

0

0

0 t 0

Ángulo barrido: su unidad en el S.I. es el radián (rad). Definimos el radián como el ángulo cuyo arco es igual al radio. El ángulo también se mide en grados sexagesimales.

Equivalencia entre grados y radianes:

La relación entre el ángulo barrido, el arco y el radio es:

R

S Si el arco es la circunferencia completa

y el ángulo 3600

4471572

360rad 1 0

0

radR

R 2

2

RS 2

Por tanto 360º son

rad 2

Relación entre la velocidad lineal (v) y la velocidad angular (w):

RSR

S

Radio

ArcoAngulo

t

Rv

t

SvComo

, wRv

Periodo y frecuencia en el MCU Periodo (T): es el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta completa. Su unidad S.I. es el segundo.

Frecuencia (f): es el número de vueltas que da el móvil en un segundo. Su unidad S.I. es el hercio (Hz)

Hz

s

ciclo

s

vueltas

Periodo y frecuencia se relacionan por la fórmula:

Tf

1

wT

2

2

wf

Aceleración centrípeta (o normal)

En el M.C. varía la dirección de la velocidad. El responsable de esta variación, es la aceleración centrípeta (o normal). Se trata de un vector perpendicular a la trayectoria, dirigido hacia el centro de la circunferencia. Su módulo viene dado por:

RaR

Ra

R

va ccc

2

222

ca

ca

ca

R

v

v

v

2- Una rueda gira con w=0,5 rad/s ¿Qué ángulo habrá girado en 1 min? Expresa el valor de w en r.p.m.

1- Realiza las transformaciones:

...s

rad28 ; ...45 mpr

s

radmpr

Actividades

s

rad

s

rad

srev

radrevrevmpr

5,160

245

60

min1

1

2

min45

min45...45

...840min

840min2

6028

2

1

min1

6028 mpr

revrev

rad

revs

s

rad

rpmrevs

dra

rev

s

draw

15

min

15

min1

60

2

15,0

wt 0 rad30605,00

3- Una rueda gira a razón de 50 r.p.m. ¿Cuál será su w en rad/s? ¿Cuál será la velocidad lineal de un punto de su periferia situado a 20 cm del eje de giro?

s

rad

svre

radvrerpmw

6,160

nmi1

1

2

nmi5050

s

mwRv 05,12,06,1

4- Calcula la velocidad angular de la Tierra en su rotación y la velocidad lineal de un punto del ecuador. (Dato: la Tierra da una vuelta completa en 24 horas. Radio de la Tierra = 6.500km

s

rad

s

rad

t5103,2

600.324

2

s

mwRv 3.051.3105,6103,2 65

5- El radio de las ruedas de un coche que circula a 108 km/h es 15,9 cm. ¿Cuántas vueltas dará una rueda en 1 km? Calcula la w de las ruedas en r.p.m. y en rad/s

s

rad

R

vwwRv 7,188

159,0

30

vueltasm

vueltas

mk

mmkvueltaskm 5,001.1

159,014,32

1

1

10001 ;1

rpmdra

revs

s

draw 661.5

2

1

min1

607,188

6- Las aspas de un ventilador, de radio 25cm giran con w =600 r.p.m. Calcula: a) la distancia angular que habrán recorrido en 1 min, y los metros que habrá recorrido un punto del extremo de una pala. b) la velocidad lineal de un punto a 5 cm del eje de giro. c) el periodo y la frecuencia del movimiento de las aspas.

s

rad

svre

radvrerpmwa

2060

nmi1

1

2

nmi600600 )

wt 0 rad 200.160200

RArco mArco 94214,330030025,0200.1

wRv

Hzs

rev

Tf 1010

1,0

11

s

mv 7,15525,020

rev

sT 1,0

20

2

)c

wT

2

Tf

1

)b

PROBLEMAS – CINEMÁTICA

A- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)

1. Realizar las siguientes transformaciones: a) 36 km/h a m/s. b) 10 m/s a km/h. c) 30 km/min a cm/s. d) 50 m/min a km/h.

s

m

s

h

mk

m

h

mka 10

600.3

1

1

100036 ) h

km

h

s

m

km

s

mb 36

1

600.3

1000

110 )

s

cm

smk

cmmkc 000.50

60

nmi1

1

000.100

nmi30 )

h

km

hm

kmmd 3

1

nmi60

000.1

1

nmi50 )

2- Un coche inicia un viaje de 495 Km. a las ocho y media de la mañana con una velocidad media de 90 Km/h. ¿A qué hora llegará a su destino?

hv

stvtsMRU 5.5

90

495: A las dos de la tarde

3- Un móvil recorre 98 km en 2 h, calcular: a) Su velocidad. b) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 h con la misma velocidad?

h

km

t

sva 49

2

98 ) kmsvtsb 147349 )

4- ¿Cuál es el tiempo empleado por un móvil que se desplaza a 75 km/h para recorrer una distancia de 25.000 m?

min20200.138,20

000.25 s

v

st

5- En una prueba de 3000 metros obstáculos, el vencedor invirtió en el recorrido 6 minutos y 40 segundos. El último clasificado cruzó la meta 23 segundos después. Calcula la velocidad media del primer y último clasificado.

s

m

t

svVencedor m 5,7

400

000.3 :

s

m

t

svUltimo m 1,7

423

000.3 :

6- Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policía, ¿cuánto tarda el policía en oírlo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s?

sv

st 18,6

330

040.2

7- ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000 km/s y el Sol se encuentra a 150.000.000 km de distancia.

min3,8500000.300

000.000.150 s

v

st

8- La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 km/s. Se produce un relámpago a 50 km de un observador. a) ¿Qué recibe primero el observador, la luz o el sonido? b) ¿con qué diferencia de tiempo los registra?

luzLaa ) sv

stb luz 61,0

000.300

000.50 )

sv

st sonido 51,151

330

000.50 sDiferencia 35,15116,051,151

9- Un observador se halla a 510 m. de una pared. Desde igual distancia del observador y de la pared, se hace un disparo; ¿al cabo de cuántos segundos percibirá el observador: a) el sonido directo; b) el eco? Velocidad del sonido 340 m/s.

sv

st dirson 75,0

340

255.. s

v

steco 25,2

340

765

10- Un movil recorre la recta, con velocidad constante. En el tiempo t1 = 0,5 s y t2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x1 = 3,5 m y x2 = 43,5 m. Calcular: a) ¿a qué v se desplaza el auto? b) ¿en qué punto de la recta se encontraría a los 3 s?

s

m

tt

xxva 40

5,05,1

5,35,43 )

12

12

mxttvxxb 5,1035,03405,3 ) 31313

X0

st

mx

5,0

5,3

1

1

st

mx

5,1

5,43

2

2

st

x

3

?

3

3

smv /40

11- Dos ciudades distan entre sí 5 km. y las une una carretera totalmente recta. Si de la primera ciudad parte un ciclista con una velocidad de 36 km/h y de la otra ciudad y al encuentro del primer ciclista parte otro ciclista con una velocidad de 900 m/min. Calcular: a) El tiempo que tardan en encontrarse los ciclistas. b) La distancia entre el punto de encuentro y la primera ciudad. c) Grafica x-t

X0

MRUMRUsmvA /10 smvB /15

0 x0 00 AAt mxt BB 000.5 0 00

? ? ee xt

sttttvxtvx eeeeBBeAA 20025

000.515000.510000

AAAAA ttvxx 00

xx y xtt

encuentrodepuntoelenttt

eBAe

BA

;

BBBBB ttvxx 00

mxtx eee 000.22001010

A CiclistatxA 10

t(s) x(m)

0 0

50 500

100 1.000

150 1.500

200 2.000BCiclista

txB 15000.5

t(s) x(m)

0 5.000

50 4.250

100 3.500

150 2.750

200 2.000

0 50 100 150 200 2500

1000

2000

3000

4000

5000

6000)(mx

st

A Ciclista

BCiclista

12- Un ladrón roba una bicicleta y huye con ella a 20 km/h. Un ciclista que lo ve, sale detrás de él tres minutos más tarde a 22 Km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo y donde lo alcanzará? Graficas.

X0

MRUMRUsmvL /5,5

smvC /1,6

LLLL tvxx 0

CCCC tvxx 0 eCeCL ttxxxencuentrodepuntoelEn y :

kmmtxe 11000.11800.11,61,6

00 Cx ? ? ee tx

180: CL ttquecumpleSe

min30800.15,0

000.15,51,61805,5

1,601805,50180 00

sttt

tttvxtvx

eee

eeCCCCLL

Ladron

txL 5,5000.1

t(s) x(m)

0 1.000

900 6.000

1.800 11.000

2.0001,111.12

Ciclista

txC 1,6

t(s) x(m)

0 0

900 5.500

1.800 11.000

2.0002,222.12

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Ladron

Ciclista

)(mx

st

13- Dos coches salen a su encuentro, uno de Bilbao y otro de Madrid. Sabiendo que la distancia entre ambas capitales es de 443 Km. y que sus velocidades respectivas son 78 Km/h y 62 Km/h y que el coche de Bilbao salió hora y media más tarde, calcular: a) Tiempo que tardan en encontrarse b) ¿A qué distancia de Bilbao lo hacen? Grafica x-t.

X0

hkmvM /62hkmvB /78Bilbao Madrid

? ? ee txMRUVMRUV

MMMM

BBBB

tvxx

tvxx

0

0

00 Bx kmx M 4430

5,1 : BM ttquecumpleSe

eBeMB ttxxxencuentrodepuntoelEn y

httt

tttvxtvx

eee

eeBMMBBB

5,2140

350934436278

5,162443785,100

kmtx ee 1955,27878

Bilbao

BB tx 78t(h) x(km

)

0 0

1 78

1,5 117

2,5 195

Madrid 5,162443 BM tx

BM tx 62350

T(s) X(km)

0 350

1 288

1,5 257

2,5 1950 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

50

100

150

200

250

300

350

400)(mx

st

Bilbao

Madrid

B- MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTEACELERADO (M.R.U.A.)

14- Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular: a) Aceleración. b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s? graficas aceleracion-tiempo, velocidad-tiempo y posicion-tiempo

0

Y

?a

0 0 0 000 vyt

30st ?ysmv /588

20 6,1930

0588 )

s

maatvva

mattvb 820.82

306,19300

2

1y-ys )

22

00

2/6,19

sma

taGrafica

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30 2/ sma

st

tyGrafica

tv 6,19

t(s) v(m/s)

0 0

10 196

20 392

30 588

tyGrafica 28,9 ty

t(s) y(m)

0 0

10 980

20 3.920

30 8.820

0 5 10 15 20 25 30 350

100200300400500600700

0 5 10 15 20 25 30 350

2000

4000

6000

8000

10000

)(my

st

st

)/( smv

15- Un ciclista inicia el movimiento por una calle con aceleración constante hasta alcanzar una v de 36 km/h en 10 s. a) ¿Cuánto vale la aceleración?; b) ¿Qué distancia ha recorrido en 10 s?

X0

MRUA

0 0 0 000 vxt st 10 ?x smv /10

20

0 1010

010

s

m

tt

vva

mttatvxxs 501012

1

2

1 22000

tv t(s)

v(m/s)

0 0

5 5

10 100 4 8 12

0

5

10

15t(s)

x(m)

0 0

5 125

10 500

25tx

0 2 4 6 8 10 120

100200300400500600

?a

)(mx

st st

)/( smv

16- Un coche está parado en un semáforo, cuando se pone el semáforo en verde inicia el movimiento con una aceleración de 1 m/s2 durante 6s.Calcular: a) El espacio recorrido. b) La velocidad que adquiere el coche después de ese tiempo.

X0 0 0 0 000 vxt

2/1 sma MRUA

st 6 ?x ?v

mttatvxxsa 18612

1

2

1 ) 22

000

smvvttavvb /60610 ) 00

tv t(s) v(m/s)

0 0

3 3

6 6 0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8 25tx t(s) x(m)

0 0

3 45

6 180 0 1 2 3 4 5 6 70

50

100

150

200)/( smv

st st

)(mx

17- Un móvil con velocidad inicial de 10 m/s acelera con aceleración de 2 m/s2 a) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer 100m? b) ¿Qué velocidad alcanza cuando ha recorrido 150m?

X0 smvxt /10 0 0 000

2/2 sma

?t mx 100 mx 150 ?v

0100101001002

1 ) 222

00 ttttattvxxa

st 2,6

2

3,2210

12

100141010 2

700015022102 ) 20

20

2 xxavvb

s

mv 5,26700

18- Un móvil que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular: a) ¿Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos? b) ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? c) Graficas.

X0

MRUR

0 0 00 xt

?0 v

0 400 25 vmxst

?a

avatvvb 250 ) 00

avattvxx 5,312254002

10

200

av 250

aa 5,3122525400

228.1

5,312

4005,3124005,312625400

s

maaaa

s

mvvatvva 322528,10 ) 000

tvGrafica

tv 28,132 t(s) v(m/s)

0 32

5 25,6

10 19,2

18 8,96

25 0

txGrafica

t(s) x(m)

0 0

5 144

10 256

18 368,6

25 400

264,032 ttx

0 5 10 15 20 25 3005

101520253035

0 5 10 15 20 25 300

100

200

300

400

500

)/( smv

st

st

)(mx

19- Un ingeniero quiere diseñar una pista para aviones de manera que puedan despegar con una velocidad de 72 m/s. Estos aviones pueden acelerar uniformemente a razón de 4 m/s2. a)  ¿Cuánto tiempo tardarán los aviones en adquirir la velocidad de despegue? b) ¿Cuál debe ser la longitud mínima de la pista de despegue?

X0 0 0 0 000 vxt

2/4 sma MRUA

?t ?x

smv /72

sttatvva 184

724072 ) 0

mxxattvxxb 6481842

1

2

1 ) 22

00

20- La aceleración de un móvil es constante y tiene como valor 40 cm/s2. Si en un cierto instante el valor de la velocidad es de 6 m/s, ¿cuál es su valor 2 minutos después?

22224,0

100

140 ;40

s

m

mc

m

s

mc

s

m

s

cm

smvvttavv /5401204,0600

21- La velocidad de un móvil viene dada en m/s por la ecuación v=225-5t con el tiempo t en segundos. Determinar: a) la velocidad cuando empieza a contar el tiempo. b) la velocidad que lleva en t=5 s. c) el momento en que la velocidad es nula.

smvatvvComoa /225: ) 00

smvb /20055225 )

stttc 455

2255-2250 )

22- Un avión recorre 1200 m a lo largo de la pista antes de detenerse al aterrizar. Calcular: a) la deceleración de la pista si aterriza a 100 km/h; b) el tiempo que tarda en pararse desde que aterrizó; c) el espacio que recorre en los 10 primeros segundos.

2

220

20

2 32,00200.1207,272 )s

maaxxavva

sttatvvb 8,8632,007,27 ) 0

msattvxxsc 7,431032,02

1107,27

2

1 ) 22

00

X0

MRURsmv /7,270

0 0 00 xt

?a

?t mx 200.1

0v

23- Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con velocidad inicial de 50 m/s. Calcular: a) La altura máxima alcanzada y el tiempo empleado en alcanzarla. b) La velocidad que tiene al llegar al suelo y el tiempo que tarda en caer. c) Graficas.

sttgtvva 510

5010500 ) 0

mygttvyy 1255102

1550

2

1 2200

stttt

ttgttvyyb

105

5005500550

550002

1 ) 22

00

smvgtvv /50100501010500 0

Y

2/10 smg

smv /500

0v

?y

?t

0 0 00 yt

t- vGrafica

tv 1050

t(s) v(m/s)

0 50

2 30

4 10

6 -10

8 -30

10 -50

t-y Grafica

2550 tty

t(s) y(m)

0 0

2 80

4 120

6 120

8 80

10 0

0 2 4 6 8 10 12

-60

-40

-20

0

20

40

60

0 2 4 6 8 10 120

20406080

100120140

)/( smv

st

st

)(my

24- Desde la azotea de un edificio de 42 metros de altura, dejamos caer un objeto. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con la que lo hace. Graficas.

smvyygvv /2984042010202 20

20

2

sttgtvv 9,210

29100290

0

Y

2/10 smg

00 tmy 420

00 v

?t0y

?v

t- vGrafica

tv 10

0 1 2 3 4

-35-30-25-20-15-10-50

t-y Grafica2542 ty

0 1 2 3 40

1020304050

)/( smv

st

st

)(my

v

25- Una piedra cae libremente en el vacío. Calcula: a) La distancia recorrida por la piedra durante los primeros 5 segundos de caída. b) La distancia recorrida por la piedra durante los 5 segundos siguientes.

Y

0

00 t ?0 y 00 v

v

2/10 smg

? 5 11 yst

? 10 22 yst

2

010100110 2

1 ) ttgttvyysa

m12512505102

1050 2

msss 375125500102021

m500500010102

10100 2

2

020200220 2

1 ) ttgttvyysb

26-Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una v inicial de 7 m/s. a) ¿Cuál será su v después de haber descendido 3 s? b) ¿Qué distancia habrá descendido en esos 3 s? c) ¿Cuál será su v después de haber descendido 14m? d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200m, ¿en cuánto tiempo y con que v llega al suelo?

smvgtvva /373073107 ) 0

mgttvyysb 66663102

137

2

1 ) 22

00

smvyygvvc /14,181410272 ) 20

20

2

smvyygvvd /63,63200010272 ) 20

20

2

s

g

vvtgtvv 09,5

10

2,186,6200

Y

0

00 tmy 2000

smv /70 st 30

?y

?v

?tmy 186

?v

?t0y?v

g

27-Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 km/h, ¿cuánto tardará en llegar a la altura máxima? Graficas.

stg

vvtgtvv 5,2

106,3

900

00

0

00 t00 y

smv /250

?t

?y

0v

t(s)

v(m/s)

0 25

1 15

2 5

2,5 0

tv 1025

0 1 2 30

10

20

30 t(s) y(m)

0 0

1 20

2 30

2,5 31,25

2525 tty

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

10

20

30

40)/( smv

st st

)(my

28- Se lanza una pelota hacia arriba y se recoge a los 2 s, calcula: a) ¿Con qué velocidad fue lanzada? b) ¿Qué altura alcanzó? c) ¿Con qué velocidad llega abajo?

s

mvvgttvyya 10

2

2025200

2

1 ) 0

20

200

s

mtgtvvb 1

10

100 ) 0

s

mvgtvvc 1021010 ) 0

mgttvyy 51511002

1 2200

Y

000 t00 y?0 v

?t?y

0v

st 20y

?v

29- Se lanza una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad de 5 m/s. a) ¿Qué velocidad tendrá la pelota al cabo de 7 s? b) ¿Qué espacio habrá recorrido en ese tiempo?

s

mgtvva 757105 ) 0

mgttvyyb 2802453575752

1s ) 22

00

30- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 25 m/s, ¿qué altura alcanzará?

stgtvv 5,210

2500

mgttvyy 25,325,255,22502

1 2200

31- Desde la terraza de un edificio de 100 m de altura se tira un objeto hacia abajo con una velocidad de 10 m/s. Despreciando la resistencia del aire. Calcular: a) El tiempo que tarda en llegar al suelo. b) La velocidad al llegar al suelo.c) Graficas

smvyygvvb /7,44100.21000102102 ) 20

20

2

ss

g

vvtgtvva 5,347,3

10

107,44 ) 0

0

t(s) v(m/s)

0 -10

1 -20

2 -30

3 -40

3,5 -44,7

tv 1010

0 1 2 3 4

-50

-40

-30

-20

-10

0t(s) y(m)

0 0

1 85

2 60

3 25

3,5 00 1 2 3 4

0

50

100

150

2510100 tty

)/( smv

st

st

)(my

32- Un alumno esta en una ventana de la 2ª planta del colegio situada a 8 m sobre el patio. Un alumno lanza una pelota desde el patio y hacia arriba con una v de 20 m/s. Calcular: a) La altura máxima que alcanza la pelota, medida desde el patio. b) El tiempo que tarda, el alumno, en ver pasar la pelota, por delante de la ventana, contado desde el momento del lanzamiento y la velocidad.

; 210

200 ) 0 stgtvva

mgttvyy 202522002

1 2200

08205520082

1 ) 222

00 ttttgttvyyb

52

8542020

2

422

a

acbbt

s55,310

5,1520

s45,010

5,1520

s

mgtvv 5,1545,010200

C- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U)

33-Calcula la veloc. angular de una rueda que gira describiendo un ángulo de 2 rad en 10 s. ¿Cuál será la velocidad lineal de un punto de la rueda situado a 30 cm de su eje de giro?

s

rad

tw 2,0

10

020

s

mwRv 06,03,02,0 ;

34- Una rueda gira describiendo un ángulo de 900 en 1 min. Calcula su velocidad angular. Si el radio de la rueda es de 15 cm calcula la velocidad lineal de un punto de su periferia.

s

rad

tw

12060

05,00

s

mwRv 004,0

120

15,0 ;

35- Calcula el tiempo que tarda en completar una vuelta un móvil que se mueve con M.C.U. con w = 10 rad/s. ¿Cuántas vueltas completas habrá dado en 35 s?

sw

twt 628,010

0200

vueltasvueltas

vuelta

ss

5573,55628,0

35

36- Un cochecito da vueltas en una pista circular y recorre 1m en 10s. El radio de la pista es de 50cm.a) ¿Cuál es su v. lineal?, b) ¿Cuál es la v. angular?, c) ¿Cuántas vueltas da en 1 min?

s

m

t

sva 1,0

10

1 )

s

rad

R

vwwRvb 2,0

5,0

1,0 )

radwtc 12602,00 ) 0 vuelvueltasn 91,128,6

12

2º

37- Calcula el período y la frecuencia de un objeto que describe un M.C.U. con una w = 500 r.p.m

sw

T 26,16

28,62

radsvre

radvrew

6,1660

nmi1

1

2

nmi500

HzT

f 5,02

11

38- Una rueda de un coche, de 35 cm de radio, gira con una frecuencia de 15Hz. Calcula: a) la velocidad angular de la rueda, b) ¿Cuánto tiempo tarda la rueda en dar una vuelta completa?, c) ¿A qué velocidad lineal se desplaza el coche?

s

radfw

wfa 2,9414,32152

2 )

sf

Tb 60,015

11 )

s

mwRvc 3335,02,94 )