05Thidrodinamica2007 I

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO-FACULTAD DE INGENIERIACICLO: 2007-I CURSO: FISICA II FECHA: 25/04/07PROFESOR: MANUEL A. CARNERO ARROYO Archivo: 05Thidrodinámica2007-I================================================================================

MECANICA DE FLUIDOS-HIDRODINAMICA

11. FLUIDOS EN MOVIMIENTO: CONCEPTOS BASICOS

La Hidrodinámica estudia los movimientos de los cuerpos líquidos o más en general, el deslizamiento recíproco de las partes que la componen. Desde el punto de vista técnico, junto con la hidrostática constituye el fundamento de la hidráulica. Desde el punto de vista de la ciencia pura ha proporcionado la base de partida para un extenso grupo de aplicaciones y de desarrollos matemáticos de los conceptos de campo vectorial y de medio continuo.

En un fluido en movimiento, en general, la densidad, la presión y la velocidad son dependientes de la posición y del tiempo.

1. Densidad : = m/V, = (r,t)

2. Velocidad del fluido: v = v(r,t)

3. Presión del fluido p = p(r,t)

4. Densidad de flujo de masa: j = (r,t) v(r,t)

El flujo de masa, m, en un fluido en movimiento, es la masa transportada por cada unidad de tiempo,

(32)

y se llama densidad de flujo de masa , j , a la cantidad de masa transportada por unidad de tiempo y por unidad de área:

jA

masa tiempo

aream

/ (33)

Flujo de masa:

m= j A (34)

5. Densidad de energía potencial:

Una porción de fluido de masa dm = dV a una altura z tiene una energía potencial dada por:

dEp = (dm)gz = (.dV)gz

dE

dVgz

p (35)

Luego, la presión hidrostática no es sino la energía potencial por unidad de volumen.

6 Densidad de energía cinética:Si la porción de fluido de masa dm = .dV se mueve con la velocidad v, su energía cinética es:

dEc = ½ (dm)v2 = ½ ( .dV)v2

dE

dVc = ½ v2 (36)

que es la energía cinética que posee el fluido por cada unidad de masa.

7. Flujo de Régimen Estacionario o Estable

Línea de Flujo. Es la trayectoria determinada por el movimiento de un elemento de fluido.

El fluido en conjunto se puede definir como líneas curvas cuyas tangentes coinciden con las direcciones de la velocidad del fluido en cada punto. Tubo de flujo; es el volumen de fluido limitado por una superficie tubular, en el cual podemos graficar líneas de flujo.

Fig. 23 Tubo de flujo.

El flujo es estacionario cuando:

a) Dos líneas de flujo no se cruzan.b) La velocidad del fluido en cada punto

puede variar en magnitud y dirección de una región a otra pero es independiente del tiempo.

Esto es, si el flujo es estacionario, todos los elementos de fluido tendrán la velocidad v1

cuando pasan por A y la velocidad v2 cuando pasan por B. Es decir en el caso estacionario la velocidad del fluido puede ser considerado

1

sólo como una función de la posición pero no

del tiempo.

Fig. 24. las líneas más espaciadasindican movimiento más lento.

Por encima de cierta velocidad crítica, el flujo se torna no estacionario o turbulento. El flujo turbulento es un flujo irregular caracterizado por pequeñas regiones con remolinos; por ejemplo, el flujo de agua en una corriente se vuelve turbulento en las regiones donde se encuentra con rocas u otros obstáculos formando a menudo rápidos de "aguas blancas" o "espumosas".

Cuando el movimiento es turbulento la velocidad en cada posición cambia con el tiempo.

Número de Reynolds

De modo experimental se ha demostrado que hay una combinación de cuatro factores que determinan si un fluido viscoso se encuentra en flujo estacionario o turbulento. Esta combinación se llama número de Reynolds Re y se define mediante la expresión:

RvD

e

(37)

donde es la densidad, v su velocidad media en la sección transversal del conducto, D el diámetro del conducto y la viscosidad del fluido El número de Reynolds es adimensional por tanto su valor es independiente del sistema de unidades que se emplee.

Todos los experimentos indican que un fluido viscoso se encuentra en régimen estacionario cuando Re está entre 0 y 2000, mientras que por encima de 3000 el régimen es turbulento. Entre 2000 y 3000 hay una zona de transición en el cual el régimen es inestable y puede pasar de un régimen a otro.

EJEMPLO. 14. Un fluido circula por un conducto de 1 cm de diámetro con una velocidad media de 35 cm/s. Determine si el régimen es estacionario o turbulento si el fluido es: a) agua (viscosidad a 20°C: 0,001 Pa.s) b) aire (viscosidad a 20°C: 18,1x10-6 Pa.s)

Solución: a) agua: = 1000 kg/m3, v = 0,35 m/s , D = 0,01 m , = 0,001 Pa.s .

RvD

e

1000 0 35 0 01

0 0013500

( . )( . )

.

Luego, el régimen es turbulento

b) aire: = 1,3 kg/m3, v = 0,35 m/s, D = 0,01 m; = 18,1x10-6 Pa.s

RvD

xe

13 0 35 0 01

181 102516

. ( . )( . )

.

Luego, el régimen es estacionario.

12. ECUACION DE CONTINUIDAD

La ecuación de continuidad no es sino una expresión del principio de conservación de la masa en el movimiento de un fluido. Supongamos que un fluido se mueve en un conducto bajo condiciones estacionarias de modo que a través de las paredes del conducto no hay adición ni pérdidas de masa en ningún punto. Sean A1 y A2 las dos secciones del conducto. El volumen de fluido que pasa a través del área A1 en el tiempo dt es dV = A1(v1dt) por consiguiente la masa que pasa a través de A1 en dicho tiempo es 1A1(v1dt).

Análogamente, encontramos que 2A2(v2dt) es la cantidad de fluido que pasa a través de A2 en el mismo intervalo de tiempo dt.

Fig. 25. El caudal es el mismo en ambas secciones.

La conservación de masa bajo las condiciones estacionarias requiere que las dos masas sean iguales:

1(A1)(v1)dt = 2(A2)(v2)dt

2


o también:1(A1)(v1) = 2(A2)(v2) (38)

que es la ecuación de continuidad. Si el fluido es incompresible, la densidad se mantiene constante y por consiguiente la ecuación de continuidad se simplifica:

A1v1 = A2v2 ó A

A

v

v1

2

2

1

(39)

indicando que la velocidad del fluido es inversamente proporcional al área de la sección transversal del conducto.

Caudal o gasto (Q)

Se define como el volumen de fluido que pasa a través de la sección A de un tubo de flujo por unidad de tiempo:

QdV

dt (40)

Como dV = A.dx = A(vdt). El caudal también queda expresado por:

Q = Av. (41)

EJEMPLO 15. Un fluido circula a través de una tubería de 5 cm de diámetro a la velocidad de 2 m/s: Calcular el gasto y la densidad de flujo de masa si el fluido es: a) agua. b) gasolina.

Solución Calculando el área de la sección A = d2/4 = (0,05)2 / 4 = 1,963x10-3 m2 .

Si la velocidad es v = 2 m/s, se tiene:

Gasto Q = Av Q = 1,963x10-3(2) =3,926x10-3 m3/s

Densidad de flujo: j = vagua: ja = a.v = (1000kg/m3)(2 m/s) = 2000 kg/sm2

gasolina jg = g.v = (738 kg/m3)(2 m/s) = 1476 kg/sm2

13. ECUACION DE BERNOULLI

Se encuentra que muchos de los aspectos más importantes de los fluidos reales en movimiento se pueden entender considerando el

comportamiento de un fluido ideal. Para este modelo se harán las siguientes hipótesis:

a. Fluido no viscoso. En un fluido no viscoso se desprecia la fricción interna. Un objeto que se mueve a través de un fluido no viscoso no experimentará fuerzas de viscosidad que detendrán su movimiento.

b. Flujo estacionario. En un flujo estacionario se supone que la velocidad en un punto del flujo es constante en el tiempo. Cada partícula que pasa por un punto dado seguirá la misma trayectoria y su vector velocidad es tangente a la misma en todos los puntos.

c. Fluido incompresible. Se supone que la densidad del fluido permanece constante en el tiempo.

d. Flujo irrotacional. Un flujo es irrotacional si no hay un momento angular del fluido respecto de cualquier punto. Si se coloca una pequeña rueda en el fluido y no gira respecto de su centro de masa, el flujo es irrotacional. Caso contrario y si hubiera turbulencia, el flujo sería rotacional.

e. Ecuación válida a lo largo de una línea de corriente.

Con estas suposiciones, vamos a deducir la ecuación del movimiento utilizando la segunda ley de Newton:

Consideremos el movimiento de un fluido en el interior de un tubo de sección uniforme A en posición oblicua como se ve en la Fig.26, De éste fluido tomemos una porción de fluido de forma cilíndrica de longitud ds y masa dm, que denominaremos elemento de fluido. Vemos que sobre él están actuando las siguientes fuerzas:

F1, fuerza ejercida por el fluido que se encuentra por debajo del elemento de fluido, F2 , fuerza ejercida por el fluido que se encuentra por encima del elemento; y la fuerza (dm)g , peso del elemento. Si el movimiento es ascendente, la ecuación dinámica nos da:

F1- F2 - (dm)g.sen = (dm)(dv/dt); (42)

3

Fig. 26. Dinámica de una porción de volumen.

Desde que F1 > F2 la presión en la base superior del elemento es menor que la presión en la base inferior y podemos afirmar que en un desplazamiento +ds hay una disminución de la presión; esto es:

F1 - F2 = p1A - p2A = A(p1 - p2) = - A(p2-p1) = - Adp

donde hemos hecho dp = p2 - p1 ya que un desplazamiento infinitesimal ds, cambia la presión infinitesimalmente.

Además sabemos que: dm = dV = Ads. entonces en la Ec. 42 se tiene:

- Adp - .Ads.g.sen = .Ads (dv/dt)

obsérvese también que ds.sen = dz y ds = vdt. Así, eliminando el factor común A e igualando a cero, tenemos:

dp + .g.dz + .vdv = 0

Integrando en ambos miembros:

p + ½ v2 + gz = Constante (43)

Este resultado conocido como la Ecuación de Bernoulli expresa la conservación de energía en el fluido. En efecto, podemos reconocer que: (½v2) es la energía cinética por unidad de volumen del fluido en movimiento; (gz) es la energía potencial por unidad de volumen debido a la fuerza gravitatoria y (p) es la energía de presión o trabajo de flujo, ésta representa la cantidad de trabajo necesario para mover para mover el elemento de fluido a través de una cierta sección en contra de la presión p.

Si las fuerzas consideradas son únicamente conservativas la Ec. 43 expresa que en el movimiento de un pequeño volumen de fluido

la energía total por unidad de volumen se mantiene constante.

Desde el punto de vista de la conservación de la energía total, la Ec.43 escrita para dos diferentes puntos 1 y 2 de la misma línea de flujo es:

p1 + ½v12 + gz1 = p2 + ½v2

2 + gz2 (44)

El primer término de la Ec. 43, llamado presión estática, p, es la presión termodinámica real del fluido a medida que este fluye. Para medir su valor, uno podría desplazarse junto al fluido y, por tanto, quedar “estático” con respecto al fluido en movimiento. Otra forma de medir esta presión sería perforando un orificio en una superficie plana y ajustando un piezómetro como indica el punto (3) de la Fig. 27. Así p1 = (h3-1 +h4-3) = h

Fig.27. Medición de la presión estática y de estancamiento.

El segundo termino de la Ec.43, v2/2, se denomina presión dinámica. Su interpretación se puede ver en la Fig. 27. al considerar la presión en el extremo de un pequeño tubo insertado en el flujo y que apunta corriente arriba. Aplicando la Ecuación de Bernoulli y usando v2=0 (punto de estancamiento) se tiene:

luego p2 es mayor a p1 en una cantidad , la presión dinámica.

El tercer término de la Ec. 43, z, se denomina presión hidrostática, en alusión a la ecuación fundamental de la hidrostática. No se trata realmente de una presión, aunque

4


representa el cambio de presión posible debido a variaciones de energía potencial del fluido como resultado de cambios de elevación.

La suma de la presión estática, la presión hidrostática y la presión dinámica se denomina presión total pt. La ecuación de Bernoulli es una afirmación de que la presión total permanece constante a lo largo de una línea de corriente. Es decir

p + ½ v2 + gz = pt = Constante (45)

Otra interpretación muy usada en ingeniería de la ecuación de Bernoulli surge al dividir la Ec.43 por = g

El término de elevación z, está relacionado con la energía potencial y se denomina carga de altura.

p/ , se denomina carga o cabeza de presión y representa la altura de una columna de fluido necesaria para producir la presión p.

v2/2g , es la carga de velocidad (altura dinámica) y representa la distancia vertical necesaria para que el fluido caiga libremente (sin fricción) y alcance una velocidad v partiendo del reposo.

Según lo anterior la ecuación de Bernoulli puede interpretarse como: La suma de la carga de presión, de velocidad y de altura es constante a lo largo de una línea de corriente.

14. APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI.

Sustentación de los vuelos planeados

Los animales que vuelan o los que se desplazan rápidamente en el agua tienen una forma particular que ha dado lugar a los términos "forma aerodinámica" ó "perfil aerodinámico" que representamos por el área sombreada de la Fig.28 que asemeja a un pez o una ballena.

a) pez

b) perfil aerodinámico

Fig. 28. La forma facilita el movimiento.

Esta forma tiene mucho que ver con la fuerza de sustentación que permite levantar vuelo a las aves, aviones de hélice, planeadores (aviones sin motor), alas delta, cometas etc. Las líneas en la Fig. 28 representan las líneas de flujo o líneas de corriente del fluido que rodea al cuerpo en movimiento. Esto es, si el cuerpo se mueve hacia la izquierda el fluido se mueve hacia la derecha con relación al cuerpo.

Si el fluido se mueve en dirección horizontal únicamente, el término gravitatorio (mgz) de la Ec. 43 es también una constante que puede incluirse en la constante del segundo miembro por consiguiente dicha ecuación se reduce a:

p + ½ v2 = Constante (46)

De esta ecuación se ve que si en un punto del fluido hay un incremento de la velocidad, la presión en el mismo punto debe disminuir para que la constante de la Ec. 46 sea realmente una constante. Si p1 y v1 son la presión y la velocidad en el punto 1 de un líquido en movimiento y p2 y v2 la presión y la velocidad respectivas en el punto 2, debe verificarse que:

p1 + ½(v1)2 = p2 + ½ (v2)2 (47)

El perfil de las alas de un avión está diseñado de tal modo que la velocidad del aire es mayor por encima que por debajo, lo cual significa que la presión es mayor abajo que arriba. El resultado es una fuerza neta hacia arriba.

Si A es el área del ala vista desde arriba o de abajo, y eligiendo el punto 1 encima del ala y el punto 2 por debajo, la fuerza ascendente es: F = A(p2 - p1) y utilizando la Ec. 46 para obtener la diferencia p2 - p1 se tiene:

F = A(p2 - p1) = ½ A..(v12 - v2

2 )

5

= A. . ½ (v1 + v2)(v1 -v2)Donde podemos hacer ½ (v1 + v2) = v (la velocidad del avión relativa al aire).

F = Av(v1 - v2) (48)

EJEMPLO 16. Hallar la fuerza ascensional sobre el ala de un avión que viaja a la velocidad de 120 m/s. Si la diferencia de velocidades del flujo de aire por encima y debajo del ala es de 2 m/s; el área efectiva del ala es 9m2. Solución . Con A = 9 m2, = 1,3 kg/m3, v = 120 m/s y v = 2 m/s, la Ec. 48 nos da la fuerza ascensional:

F = Av(v) = 9(1,3)(120)(2) = 2808 N

La ecuación de Bernoulli tiene gran generalidad pues incluye el caso de los líquidos en reposo o moviéndose con velocidad constante dentro de un conducto. Bajo tales circunstancias se puede ver que en la Ec. 43 el término ½v2 puede incluirse en la constante y así tendremos:

p + gz = constante

Si para z = 0 es la presión p = po, el valor de la constante es po. De allí que:

p = po - gz (49)

15. MEDIDORES DE VELOCIDAD DE FLUIDO.

Un método de determinar la velocidad de un líquido en un conducto es utilizando el medidor de Venturi que se muestra en la Fig. 29.

Fig. 29. La medida de h sirve para medir el caudal o la velocidad del fluido.

Es un tubo de sección transversal A1 que se reduce a A2 en un breve trayecto. En los tubos verticales el líquido está en reposo y sirven para determinar la presión en la respectiva sección. Para determinar la velocidad v1 en la sección A1

escribimos:

p1 + ½ v12 = p2 + ½ v2

2

A1v1 = A2v2

Eliminando v2 entre ambas ecuaciones se tiene:

(50)

La diferencia de presiones p1 - p2 se calcula por la diferencia de alturas entre las columnas líquidas p1 - p2 = gh.

Para medir la velocidad de los gases con el medidor de Venturi será necesario reemplazar los piezómetros con manómetros.

EJEMPLO 17. Una tubería horizontal por donde fluye agua con un caudal de 0,01 m3/s, tiene en su parte ancha una sección transversal de diámetro 2,5 cm y presión 1,6x105 Pa. En la parte angosta la presión es 105 Pa. Calcular la velocidad en la sección de menor diámetro.

Solución: Q = 0,01 m3/s d1 = 2,5 cm p1 = 1,6x105 Pa p2 = 105 Pa v2 = ? = 1000 kg/m3

Fig. 30. La reducción del diámetro aumentala velocidad o crea un exceso de presión.

A1 = (/4)d12 = (/4)(2,5x10-2 m)2 = 4,9x10 - 4 m2

Puesto que Q = A1v1, la velocidad en la sección 1 es v1 = Q/A1

= 20,4 m/s

De la ecuación de Bernoulli: donde z1 = z2. La velocidad del fluido en la sección 2 es:

=

6


v2 = 23 m/s

16. VISCOSIDAD

La facilidad con que un líquido se derrama es una indicación de su viscosidad. Definimos la viscosidad como la propiedad de un fluido que ofrece resistencia al movimiento relativo de sus moléculas.

El movimiento de un fluido puede considerarse como el deslizamiento de láminas o capas muy delgadas de fluido en contacto mutuo, con una velocidad que está determinada por las fuerzas de fricción entre dichas láminas y la fuerza aceleratriz aplicada exteriormente.

Fig.31 (a) capas de líquido en reposo b) capas liquidas deslizándose bajo la acción de una fuerza F; el rozamiento entre capas liquidas genera la viscosidad.

Se puede observar que la lámina inferior en contacto con la superficie del piso se mantiene en reposo, mientras que las demás láminas se desplazan con velocidades gradualmente crecientes de modo que la velocidad (v) de cualquier lámina es directamente proporcional a su altura (h). Esta relación entre velocidad y altura nos permite definir el gradiente de velocidad:

La fuerza aceleratriz F o la fuerza de fricción f r

está distribuida en la superficie S de la lámina, De allí que la causa del deslizamiento de la lámina y por tanto del gradiente de velocidad es la tensión F/S. Los experimentos demuestran que la relación entre la tensión y el gradiente de velocidad es una cantidad constante que se

denomina coeficiente de viscosidad dinámica () del fluido:

de donde: F = .S.(v/h) (51)

En el S.I. la unidad de viscosidad (dinámica) es el Pascal.segundo (Pa.s).

[ ]/

( / ) /.

N m

m s mPa s

2

En el sistema c.g.s la unidad de viscosidad se denomina Poise en honor a Jean Poiseuille, quien estudió la circulación de la sangre.1 poise (p) = dina.s/cm2

1 centipoise (cp) = 0,01 pEquivalencia: 1 Pa.s = 10 poise = 1000 cp

La viscosidad cinemática (μ= η/ρ) se calcula dividiendo la viscosidad dinámica entre la densidad.

En general la viscosidad en los líquidos disminuye con la temperatura, pero aumenta en el caso de los gases. Pues en los líquidos el incremento de temperatura aumenta la separación intermolecular (dilatación) debilitando las fuerzas de cohesión intermolecular; mientras que en los gases el incremento de temperatura aumenta la velocidad de las moléculas y por tanto se incrementa la frecuencia de choques, lo que da lugar a la mayor dificultad en el movimiento.

TABLA 2: Viscosidad de algunas sustancias a diversas temperaturas en (Pa.s)

°C petróleo crudo agua aire

0 5,300 1,792x10-3 17,1x10-6 20 0,986 1,005 18,1 40 0,231 0,656 19,0 60 0,080 0,469 20,0 80 0,030 0,357 20,9

Ley de Stokes

Cuando un cuerpo se mueve dentro de un fluido, experimenta la acción de las fuerzas de fricción a causa de la viscosidad del fluido. Esta fuerza que se opone al movimiento del cuerpo depende de la forma del mismo. Para el caso de los cuerpos de forma esférica, la ley de Stokes establece que la fuerza de fricción fr es

7

proporcional a la viscosidad del fluido () a la velocidad (v) y al radio de la esfera (r).

fr = 6rv (52)

Consideremos ahora una esfera que cae dentro de un fluido como se muestra en la Fig .32.

Fig. 32. Caída en el seno de un fluido.

Las fuerzas que determinan su movimiento son: el peso P = mg, la fuerza de flotación (empuje) Fb = fgV y la fuerza de fricción debido a la viscosidad fr = 6rv.

La fuerza resultante sobre el cuerpo es:

m(dv/dt) = mg - Fb - fr Puesto que fr depende de la velocidad. En determinado instante la velocidad alcanza un valor límite v para el cual el segundo miembro de la ecuación anterior se hace cero y el movimiento se torna uniforme; para éste movimiento tenemos:

fr = mg - Fb

si la densidad del cuerpo es se puede demostrar que:

2

9

2( )f gr

v (53)

EJEMPLO 18. En un experimento de laboratorio se encontró que una esferilla de acero de 1 mm de diámetro se mueve verticalmente en el aceite con una velocidad constante v = 20 cm/s. Si la densidad del aceite es 0,8 g/cm3. Hallar su coeficiente de viscosidad.Solución. Aplicando la Ec. 53 tenemos:

= 0,019 Pa.s

17. CAUDAL EN UN CONDUCTO CILINDRICO. LEY DE POISEUILLE

Consideremos el movimiento de un líquido en un conducto cilíndrico de radio R. De éste líquido tomemos un cilindro axial de radio r, y longitud L. (Fig.33b ). Sea P la diferencia constante de presión entre ambos extremos del tubo. La fuerza que impulsa al cilindro líquido es F = r2 P a la cual se oponen las fuerzas de viscosidad en toda la superficie de aquel; el valor de estas fuerzas según la Ec. 51, es: F' = (2rL)(dv/dr) ; R > r En estado de régimen estacionario ambas fuerza F y F' tienen el mismo valor numérico y signos opuestos o sea:

r2 P = - (2rL)(dv/dr)

de donde despejamos dv e integramos

dvP

Lr dr

2

Fig. 33. a) el perfil en elipsoide indica que el fluido es muy viscoso b) la capa cilíndrica se desliza bajo los efectos de una fuerza aceleratriz y de la fuerza de fricción.

Para hallar el valor de C observemos que la velocidad es nula en r = R es decir la capa de fluido en contacto con las paredes del conducto se halla en reposo. Aplicando esta condición el valor de la constante C es:

CP

LR

4

2

Luego la velocidad de las capas cilíndricas de fluido está dado por:

8


vP

LR r

4

2 2

( )

Para hallar el flujo, aplicamos:

Q dA v( ) , con dA = 2r.dr

Q r drP

LR r

R

240

2 2

. ( )

QR P

L

4

8

(54)

Este resultado conocido como ley de Poiseuille, expresa que el caudal es directamente proporcional a la diferencia de presiones entre los extremos del conducto, y al cuadrado de la sección transversal, pero inversamente proporcional a la viscosidad y a la longitud del conducto, Se define la resistencia al flujo Rf como el cociente entre la diferencia de presión P y el caudal Q:

Rf = o Rf = (55)

EJEMPLO 19. ¿Qué‚ diferencia de presiones se requiere entre los extremos de un conducto cilíndrico de 1 km de longitud y 10 cm de radio para transportar petróleo crudo a razón de 20 lit/s a temperatura ambiente (20 °C)?

Solución La viscosidad del petróleo crudo a 20°C es = 0.986 Pa.s

Conducto: L = 1000 m; R = 0.1 m

Caudal: Q = 20 lit/s = 20x10-3 m3/sDe la ecuación (4.51) despejamos: P = 8LQ/R4

Px

8 0 986 1000 20 10

314 01

3

4

( . )( )( )

( . )( . ) = 502

kPa

18. TENSION SUPERFICIAL

La tensión superficial es la fuerza que se desarrolla en la superficie libre de los líquidos, como consecuencia de la atracción de las moléculas que se encuentran en el seno del líquido. Dentro de un líquido las fuerzas intermoleculares de una partícula actúan igualmente en todas direcciones, pero en la superficie las fuerzas que actúan sobre una molécula la atraen hacia el seno del líquido,

debido a que el número de moléculas es muy pequeño, como consecuencia de esto un líquido, tiende a ocupar el volumen mas pequeño posible por reducción a un mínimo del área de su superficie.

Una gota de líquido suspendida en el espacio toma la forma esférica, forma en la que una cantidad de materia dada presenta la menor superficie posible.

La fuerza de tensión superficial es una fuerza distribuida a lo largo de una línea imaginaria en la superficie libre del líquido de modo que las moléculas que se encuentran frente a frente y a uno y otro lado de la línea interactúan atractivamente. Por consiguiente la fuerza de tensión superficial es calculable a través del coeficiente de tensión superficial () definido por la siguiente relación:

=F

L (56)

donde F es la fuerza distribuida a lo largo de la línea de longitud L.

Multiplicando el numerador y denominador de Ec.56 por x, vemos que el coeficiente también indica la energía por unidad de área lo cual se puede interpretar como la energía requerida para aumentar el área de la superficie libre del líquido en 1 m².

E x

L x

W

S

.

.

(57)

La unidad (SI) del coeficiente de tensión superficial es N/m o el J/m².La flotación de una aguja engrasada en la superficie del agua o el caminar del caballito del diablo sobre los charcos o la elevación de los líquidos en un tubo capilar son fenómenos que se producen por efecto de la tensión superficial, que hace que las superficies líquidas se comporten como láminas elásticas.

(a) (b)

9

Fig. 34. a) las moléculas de la superficie están atraídas hacia el seno del líquido y no así las restantes b) la fuerza de tensión superficial esta distribuida a lo largo de los dos lados del anillo.

La tensión superficial en los líquidos disminuye al elevarse la temperatura y se anula a la temperatura crítica.

La extracción de un anillo de longitud L fuera de un líquido requiere de una fuerza adicional F para vencer a las fuerzas superficiales. Este método se utiliza experimentalmente para medir el coeficiente de tensión superficial.

Si el anillo posee una masa m y un perímetro L = 2r y hace falta ejercer una fuerza total: Ft = mg+F para separarlo de la superficie del líquido, el coeficiente de tensión superficial es:

=F mg

Lt

2 (58)

Fig. 35 Corte vertical del anillo, muestra que los contornos interior y exterior están sujetos a la fuerza de tensión superficial (laminas liquidas curvadas)

El factor 2 se debe a que al levantarse el anillo, la fuerza de tensión superficial está obrando tanto de la parte interior del anillo como de la exterior y en consecuencia tienden a formarse dos superficies paralelas de forma cilíndrica de radios aproximadamente iguales,

TABLA 3 .Tensión Superficial para ciertos líquidos.

Líquidos T (ºC) (N/m) x10-3

Aceite de olivo 20 32Agua 0 75,6Agua 20 72,8Agua 60 66,2Agua 100 58,9Alcohol etílico 20 22,3Benceno 20 28,9Glicerina 20 63,1Mercurio 20 465

Sol. Jabonosa 20 25,0Tetracloruro de C. 20 26,8Oxígeno -193 15,7Neón -247 5,15Helio -269 0,12Aceite de ricino 18 36,4Petróleo 20 26,0Anilina 20 42,9Kerosene 0 28,9

EJEMPLO 20. Calcular el exceso de presión en el interior de una burbuja de una solución jabonosa de radio 2cm a 20ºC de temperatura.

Solución Una burbuja de solución jabonosa está formada por dos láminas superficiales esféricas muy juntas y un líquido entre ellas. Las fuerzas de tensión superficial en ambas láminas tienden a reducir la superficie, y en consecuencia, la presión del aire en el interior de la burbuja excede a la presión en el exterior (presión atmosférica) en P.

Este exceso de presión P genera una fuerza expansiva en dirección radial equilibrándose con las fuerzas de tensión superficial manteniendo íntegra la burbuja.

Po

Po+ P

Fig. 36. El exceso de presión P se debe a la fuerza de tensión superficial

10

Fuerzas de superficie

Fz


Fig. 37. la fuerza vertical Fz equilibraa las fuerzas de superficie.

Si examinamos estas fuerzas solo en la dirección vertical es obvio que una mitad de la burbuja está unida a la otra mediante las fuerzas de tensión superficial a lo largo de la línea ecuatorial y en ambas superficies interior y exterior Luego, en la dirección vertical las fuerzas que obran sobre la mitad superior equilibrándose entre sí son:

hacia arriba: fuerza debido a P

FP = P(R2)

hacia abajo: fuerzas de superficie.

F = (L+ L') Igualando éstas fuerzas y despejando P hallamos:

PL L

R

( ' )2

donde L y L' son respectivamente los contornos ecuatoriales correspondientes a las superficies interna y externa de la semiburbuja. Dado que la película jabonosa es muy delgada, en la práctica tomamos L L' = 2R. Por tanto:

PR

4

reemplazando = 25x10-3 N/m , R = 2 cm = 2x10-2 m, se obtiene:

P = 5 Pa

19. CAPILARIDAD

Cuando un líquido entra en contacto con un sólido, en muchos casos se observa que la superficie líquida en la proximidad de la pared sólida muestra una curvatura de modo, que la línea de contacto queda por encima o debajo del nivel del líquido.

Fig. 38: Vasos de vidrio conteniendo:a) agua b) mercurio

Este fenómeno se debe a la acción combinada de la tensión superficial del líquido y las fuerzas de adherencia entre moléculas de sólido y líquido.

Este efecto de superficie que nos es mas familiar es la elevación de un líquido en un tubo abierto de pequeña sección. El término capilaridad utilizado para describir fenómenos de este tipo, procede de llamar a estos tubos capilares o similares al "cabello".

Consideremos una pared de vidrio en contacto con agua. En este caso el agua se adhiere al vidrio ("moja al vidrio") y la línea de contacto de la superficie líquida con el vidrio resulta por encima del nivel del agua. El ángulo formado por la pared de vidrio y la recta tangente a la superficie curva en el punto de contacto se denomina ángulo de contacto Si el ángulo de contacto es menor que 90° como en el caso del vidrio-agua la fuerza de adherencia es mayor que la fuerza de cohesión intermolecular del líquido y éste asciende hasta alcanzar una altura de equilibrio como se muestra en la Fig. 39.

Si el radio del tubo es r, el líquido está en contacto con el tubo a lo largo de una línea de longitud 2r. El cilindro líquido de altura h y peso mg está sostenido por una fuerza ascendente cuyo valor es:

Fy = 2 r .cos (59)

Fig. 39. Capilar de vidrio con unextremo sumergido en agua.

Si se conoce la densidad del líquido el peso de la columna líquida estará dado por:

mg = Vg = (r2h)g (60)

igualando las ecuaciones (59) y (60) se obtiene la altura h ascendida por el líquido en el interior del capilar.

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hgr

2 cos

(61)

Cuando el ángulo de contacto es mayor que 90° como en el caso del vidrio-mercurio la fuerza de adherencia es menor que la cohesión intermolecular del Hg y éste desciende en el capilar.

EJEMPLO 21. Al medir la presión atmosférica de una ciudad se encontró que la columna mercurial del barómetro tenía una altura de 690 mm y un diámetro de 0,6 cm. Si el ángulo de contacto del mercurio y el vidrio es 140°. ¿Cuál es el valor de la corrección que debe hacerse a dicha lectura y cuál es el valor de la presión atmosférica del lugar? Hg: = 0,465 N/m.

Solución: Debido a la capilaridad del mercurio, su nivel en el tubo de vidrio desciende una distancia h haciendo que la lectura de la presión sea inferior a su valor real, por tanto la corrección está dada por el valor de h:

hgr

2 cos

=

h = - 1,78x10-3 m el signo menos indica que el mercurio debido a la capilaridad desciende. Por tanto la corrección en la lectura es de 1,78 mm Hg y la presión del lugar es 690 + 1,78 = 691,78 mm Hg.

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