LA F Í S I C A D E L O S PROCESOS IRREVERSIBLES

LEOPOLDO GARCÍA-COLÍN SCHERER

Miembro de El Colegio Nacional

INTRODUCCIÓN

El concepto de irreversibilidad ha sido un tema escabroso y controver­tido desde los albores de la ciencia. Inevitablemente asociado a! concep)-to de tiempo, contiene en su estructura más íntima la interrogante del porqué vemos que la película del universo sólo rueda en una dirección. Los procesos naturales, como los observamos en !a vida cotídiana, son unidireccionales. El calor fluye de un cuerpo caliente a un cuerpo frío y no al revés. Si dejamos caer un objeto de una altura dada, éste no regresa a su altura inicial por sí solo. Si ponemos un trozo de metal en presencia de un ácido fuerte se forma la sal correspondiente. Ésta, por sí sola, no se descompone en el metal y el ácido respectivo. Las células vivas nacen, crecen se reproducen y mueren. Los seres vivos envejece­mos, no rejuvenecemos espontáneamente. En todos estos ejemplos y otros que pueden imaginarse fácilmente, sólo intervienen la materia y la radiación, que como hasta ahora parece ser el caso, son los ingre­dientes fundamentales del universo. Haciendo a un lado considera­ciones filosóficas y metafísicas que forman parte casi natural del estudio de estos fenómenos y de las cuales no hablaremos aquí, surge una pre­gunta inmediata: ¿es posible dar una descripción matemática de los pro­cesos irreversibles en términos de las leyes físicas hasta hoy conocidas?

Para responder a esta pregunta, es necesario aclarar lo que vamos a entender por irreversibilidad pues el término mismo es motivo de fre­cuentes confusiones en la literatura. Existen tres interpretaciones dife­rentes de este término, a saber:

Profesor Distinguido, Universidad Autónoma Metrópoli tan a-Iztapalapa.

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I) La irreversibilidad mecánica. Las ecuaciones que describen el com­portamiento de las partículas microscópicas de las cuales está formada la materia, moléculas, átomos, electrones, protones, neutrones, etc. tienen la propiedad de ser invariantes firente a una reflexión temporal (cambiar t, el tiempo, por -t). Esto es, dichas ecuaciones predicen igual­mente el comportamiento en el pasado, como en el futuro, de dichas partículas. Por otra parte, los procesos naturales que obviamente ocu­rren en el mundo macroscópico caracterizado por sistemas que están compuestos de billones y billones de dichas partículas deben estar descritos por ecuaciones que no sean invariantes frente a dichas refle­xiones (í—>—í) esto es, las ecuaciones que los describen son irreversibles. Por décadas muchos científicos han querido obtener las ecuaciones irreversibles del macrocosmos a partir de las ecuaciones reversibles del microcosmos. Este problema, así planteado, no tiene ningún sentido: las descripciones de los macro y microsistemas son totalmente dife­rentes. El problema no es uno de manipulaciones matemáticas, que para este fin son estrictamente innecesarias.

II) Reversibilidad de Carnot. Para los estudiosos de la termostática es bien sabido que Sadi Carnot (1826) ideó una máquina ideal capaz de convertir calor en trabajo (operando como máquina térmica) o bien de extraer calor de un cuerpo dado para enfriarlo más a expensas de recibir tiabajo y así actuar como refrigerador. Esta máquina ideal, llama­da máquina de Carnot, inexistente en la práctíca, es muy útil para for­mular las leyes de la termostática. Al proceso realizado por dicha máqui­na se le adjudica la propiedad conocida como reversibilidad de Carnot.

III) Irreversibilidad termodinámica. Es ésta la que nos interesa discutir pues es inherente a los procesos naturales. Tomemos un sistema dado, moüvo de estudio, caracterizado por un conjunto pequeño de atributos macroscópicos, esto es, afines a nuestros sentidos y capaz de ser medi­dos en el laboratorio. Para la materia inanimada, e! caso más simple, éstos pueden ser la presión, el volumen, la temperatura, la composición, la polarización eléctrica, la magnetización, la tensión superficial, etc. La asignación de valores numéricos a estos atributos definen lo que lla­mamos un "estado termodinámico" del sistema y sabemos que para ca­racterizar a dicho estado sólo necesitamos conocer tantos atributos como "grados de libertad" (restricciones) tenga dicho sistema. Llame­mos A a dicho estado. Ahora podemos realizar un proceso en el cual llevamos al sistema a otro estado caracterizado por otro conjunto de va­lores de sus atributos que llamaremos B. Si existe el proceso A—>B, la

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pregunta es ¿podemos ahora diseñar un proceso (igual o diferente) que nos lleve de B-^A sin incurrir en ningún "gasto adicional de energía" al requerido para cubrir el proceso inicial? Si ponemos un cuerpo caliente en contacto con uno más frío, este úlümo se calienta y el primero se enfría. Para regresar al estado inicial tenemos que "gastar energía" en separar a ambos cuerpos, enfriar el segundo y calentar el primero a su temperatura inicial. Esto es posible a expensas de "algo más" pero no ocurre como suele decirse "espontáneamente". í^sta característica es la lla­mada ir reversibilidad termodinámica que es precisamente la que con­templamos en el macrocosmos. Nada tiene que ver con la reversibilidad mecánica. En efecto, si A es el estado inicial que caracteriza una mosca volando y 5 el estado final, la mosca muerta de un golpe, el proceso B—^A es hasta ahora imposible de realizar, independientemente de que tanto para A como para B las ecuaciones de movimiento que describen a los átomos, moléculas, etc., presentes en la mosca siguen siendo reversibles antes y después de su muerte.

Esta larga introducción, así espero, permite al lector entender cuál es el problema de extraer ecuaciones irreversibles que nos describan la ir reversibilidad termodinámica sin violar o contradecir a las ecuaciones fundamentales que describen a las partículas microscópicas que compo­nen a la materia. Como bien lo señaló D. Bernoulli en el siglo xviii, el problema no es uno deducdvo sino inductivo. En términos de la teoría de las probabilidades desarrollada por Bayes y Laplace, el problema requiere de utilizar una lógica de inferencias y no una deductiva. Para ilustrar al lector cómo se ha desarrollado esta importante rama de la físi­ca teórica sin emplear tecnicismos matemáticos, voy a proceder siguien­do las ideas de los tres grandes precursores de este método: J. C. Max­well, L. Boltzmann y J. W. Gibbs para terminar con un análisis de cuáles son los grandes retos que todavía hoy nos faltan por desafiar.

EL PROBLEMA DE LA IRREVERSIBILIDAD: MAXWELL Y BOLTZMANN

Tomemos un sistema al azar que puede ser desde un fluido, un sóli­do, una caja conteniendo radiación, un sistema social o económico, etc. Supongamos que el estado inicial del sistema está caracterizado por un conjunto de atributos A,, A^,... A„ que abreviaremos por A. Dada esta información y cualquiera otra información relevante adicional que po­damos obtener, la pregunta es: ¿cuál es la mejor predicción que pode-

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mos hacer de otros atributos By,...B^, que abreviaremos por B, en parti­cular si ocurre un proceso que nos lleve de /I a S? Nótese que desde el punto de vista descriptivo el problema es uno de información; n por grande que sea es incomparablemente menor que N í a población microscópica de un sistema físico, químico o biológico que es del orden de 10^3 partículas (10^'para una célula muy elemental).

Cómo las ideas detrás de esta formulación del problema evoluciona­ron en la física, data de hace casi 150 años. En su famoso trabajo intitu­lado Rustraáones de la leona Dinámica de los Gases publicado en el Philo-sophical Magazine en 1860 [1] Maxwell afirma:

"Para encontrar la probabilidad de que la dirección de velocidad que­de fijada dentro de ciertos límites después de una colisión entre dos esferas duras, la colisión puede ocurrir si la dirección (línea) de movi­miento de una de las esferas pasa por el centro de la otra a una distan­cia menor que la suma de sus radios; esto es, debe pasar a través de un círculo cuyo centro es el de la otra esfera y su radio, la suma de los radios de las esferas. A lo largo de este círculo cualquier posición es igualmente probable y por lo tanto la probabilidad de que la distancia...".

Esta última consideración es de suma importancia pues se utiliza el principio de inferencia para afirmar que para un evento físico, la coli­sión entre dos esferas, la posición del centro de una respecto al centro de la segunda debe estar sobre un círculo determinado. Al no haber posiciones privilegiadas sobre dicho círculo la intuición nos sugiere que todos los puntos son igualmente probables. Esta decisión es tan intuitiva como asignar iguales probabilidades a todas las caras de un dado en el dominó o a las dos caras de una moneda al jugar "volados".

Aquí vemos claramente lo que en un párrafo anterior se designa como información apriorística. Saber el significado físico de los paráme­tros que intervienen en el análisis de un problema, los involucrados en la dinámica de colisiones en este caso, es una pieza de información va­liosa. A nadie se le hubiera ocurrido asignar a los puntos de un círculo una probabilidad que variara como el cubo o el logaritmo del área. ¿Cómo estamos tan seguros de que una hipótesis probabilística como la descrita antes es adecuada? Claramente esto se logra a través de la capa­cidad predictiva del modelo o teoría para la cual fue utiHzada. En el caso de Maxwell su éxito fue notable: pudo predecir la ecuación de esta­do de un sistema formado por TV esferas, la ley de distribución de veloci­dades, los coeficientes de transporte etc. El caso de la viscosidad fue muy interesante pues su teoria llevó a la predicción de que la viscosidad

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de dicho sistema no depende de la densidad, que parece contradecir el sentido común. De nuevo citando a Maxwell [2]:

"Un resultado notable aquí presentado en la ecuación (24) es que si la explicación propuesta para describir la fricción gaseosa es correcta, el coeficiente de fricción (la viscosidad) es independiente de la densidad, Tal consecuencia matemática de la teoría es un tanto sorprendente y el único experimento que he encontrado (hecho por Stokes para el aire) sobre el tema no parece confirmarlo." Hay que aclarar que experimentos posteriores hechos con gases nobles confirmaron ampliamente la predicción de Maxwell. Éste fue el primer gran éxito de un modelo físi­co capaz de describir alguno de los procesos irreversibles más comunes en la naturaleza: ía difusión (transferencia de masa), la fricción interna (transferencia de ímpetu) y la conducción de calor en gases (transferen­cia de energía). Es interesante señalar que algunos años después Max­well generalizó este trabajo para sistemas (gases) formados por molécu­las interaccionando entre sí con fuerzas más realistas [3].

El siguiente paso dado en la dirección de construir modelos que per­miten estudiar procesos irreversibles fue dado por Boltzmann en 1872. En esc año planteó por métodos inductivos, la ecuación que hoy lleva su nombre y que por ciento veintisiete años ha sido el pilar sobre el cual descansa el estudio de estos procesos en fluidos e inclusive en sólidos [4] [5]. Pero antes de discutir este enfoque es importante describir brevemente la solución que este físico dio a un problema más simple [6]. El problema es averiguar cómo se distribuyen en el espacio A (10^3) moléculas en la presencia de un campo externo conservativo (eléctrico, gravitacional, etc.). La energía de cada molécula está dada por

donde m es su masa, v su celeridad y V {x) la energía potencial . Suponemos que las moléculas no interaccionan entre sí y que están con­tenidas en un recipiente de volumen V, de paredes rígidas e imper­meables. Aunque Boltzmann ignoraba el movimiento detallado de las moléculas en la caja sabia, sin embargo, que su número Nno cambia y que su energía total

E=

debe ser una constante.

Éji-^V(x)j (2)

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Para resolver el problema procedió de la manera siguiente: cada molécula del sistema está representada por un punto en un espacio euclideano de seis dimensiones, tres requeridas para especificar la posi­ción [x, y, z) y tres la velocidad {v^ v^, v^. Este espacio se conoce como espacio fase \X.. Ahora supongamos que dividimos dicho espacio en pequeñas celdas capaces de contener muchas moléculas a un üempo dado, digamos n de ellas en la celda k donde nk«N. Si a cada celda le asignamos una energía e¿ que puede verse como la energía promedio de las partículas en dicha celda el pt'oblema es ahora, cuál es la predic­ción que podemos hacer sobre n,^ dados E, Ny V. Introduciendo la hipótesis probabilística de que todas las moléculas tienen Ja misma probabilidad de ocupar una celda cualquiera a un tiempo dado, esto es, nos fijamos en % sin importar cuáles moléculas componen este nú­mero, el resultado a que se llega y que no deduciremos aquí es que [6]

n ; = a e x p { - p e k l (3)

donde a y p son dos constantes que deben determinarse de las dos restricciones impuestas al sistema,

I n, = N (4a) k

E n^^k^E (4b) k

La ecuación (3) es un resultado espectacular. No es este el sitio para hacer un análisis a fondo de su contenido pero baste decir que de él se deducen todas las propiedades termodinámicas en equilibrio de un gas ideal incluyendo la distribución de celeridades de Maxwell, la ley de la atmósferas de Perrin, etc., sin necesidad de resolver toda la compleja dinámica molecular de un sistema formado por una población de tri-Uones y trillones de moléculas (ver referencia [6]).

Este resultado nos permite pasar a la siguiente cuestión, a saber, ¿cómo poder predecir las propiedades fuera de equilibrio (procesos irreversibles) para un sistema de esta naturaleza? Este problema es más complicado que el anterior pues requiere de saber cómo describir la evolución en el tiempo de las moléculas contenidas en una región del espacio [i. Por consistencia con la notación empleada en la literatura, en lugar de hablar de la población n^{t) de una celda dada como función

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del tiempo vamos a considerar una región infinitesimal de dicho espa­cio drdv y pensar en el número de moléculas que se encuentran en dicha región a un tiempo dado t. Este número lo denotaremos pory(r, 'v, t) í/F^áü^Entonces lo que queremos obtener es una ecuación que nos diga cómo evoluciona la función j{r, v, t) en el tiempo. La manera en que Boltzmann llegó a la respuesta fue un tanto genial. Las partículas dentro del volumen ¿/r*í¿irsiguen sus trayectorias naturales de acuerdo con ias leyes de la mecánica clásica, las ecuaciones de Newton. Al cam­bio en la función / p o r este mecanismo se le llama el cambio por arras­tre. Pero hay otro mecanismo por el cual puede cambiar, las colisiones entre las moléculas. En un intervalo de tiempo dt pueden ocurrir coli­siones entre las moléculas originalmente en drtíiT^ue arrojen moléculas fuera del elemento, Pero también de las moléculas que se encuentran en elementos vecinos puede ocurrir que haya colisiones que manden moléculas al interior de í/rt/tTr^Simbóíicamente podemos escribir que el cambio en la función / p o r arrastre debe compensarse por los términos de ganancia y pérdida de moléculas por colisiones, esto es,

^ dt I arrastre dñ' {a dV co]} dtl colJ

dr^ dif dt. (5)

La ecuación (5) es el esqueleto de lo que se conoce como la ecuación de Boltzmann. El término de la izquierda es fácilmente deducible de las ecuaciones de movimiento de las moléculas [7] [8], Los términos de ganancia y pérdida por colisiones son mucho más sutiles de evaluar. En efecto, el que tenga lugar una colisión entre dos partículas significa que ambas deben ocupar en el espacio simultáneamente al tiempo t, posi­ciones digamos íf y l l Y tener velocidades v^ y v^- La distancia entre ambas rf-r2^debe ser menor o igual al "alcance del potencial" y las veloci­dades üj y í^ tener direcciones apropiadas para que el evento se realice. El número total de partículas con estas características está descrito por la llamada función de distribución binaria, / (IPf, ^ , vi, t^, t). Así el tér­mino izquierdo de (5) depende d e / y el derecho de j2- Alguna informa­ción adicional se requiere para que sólo aparezca/en ambos términos. Aquí de nuevo Bolt2mann recurrió a la teoría de la probabilidad y supu­so que, como en los juegos del azar, la presencia de ambas partículas en las condiciones apropiadas, sólo depende de r*y además es el producto de dos eventos totalmente independientes. Ello le permitió escribir que

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i (nX'^u^, t) =/(ítí ,í)/(n40 (6)

que es el contenido del famoso Stosszahlansatz, hipótesis sobre el número de colisiones o hipótesis del "caos molecular". Gracias a ella (5) se convierte en una ecuación íntegro diferencial no lineal para / ( r f v, t) llamada la ecuación de Boltzmann. A casi 128 años de haberse pro­puesto, su solución general sigue siendo un verdadero reto a los físicos y matemáticos. Hoy en día, [9] [10] sólo conocemos algunas soluciones particulares que afor tunadamente han ayudado e n o r m e m e n t e a esclarecer el entendimiento de los procesos irreversibles.

Cabe, en efecto, hacer notar que la ecuación de Boltzmann es irre­versible, esto es, no es invariante frente a reflexiones temporales (¿—> -O-Si uno supone que la solución existe y además que las integrales conver­gen es posible demostrar que existe una función, llamada H por Boltzmann, definida como

H=í¡flnfdr^dt^ (7)

tal que para toda colisión binaria que tenga inverso [7] [9],

.4Í^<0 dt (8)

esto es la función Hes una función monotónica no creciente del tiempo. La solución de (8) cuando se cumple la igualdad es tal que H^„ = -k,, S„^ donde ftj, es la constante de Boltzmann y 5 es la entropía de equilibrio del gas. Este criterio, claramente un criterio de ir reversibilidad, estable­ce las condiciones que deben cumplir las soluciones de la ecuación (5) para que, a tiempos largos, concuerden con las propiedades de equili­brio. Es preciso subrayar la genialidad de este razonamiento: para en­contrar qué condiciones deben satisfacerse para que el sistema evolucio­ne al equilibrio, no es necesario resolver la ecuación integro diferencial.

Por otra parte, a pesar del hecho de que las ecuaciones (5) y (6) sólo incluyen colisiones binarias cuya dinámica es muy bien conocida, la ecuación de Boltzmann predominó como un modelo cuantitativo de procesos irreversibles por casi 75 años. Sus aplicaciones a todo tipo de sis­temas gases diluidos, sólidos, plasmas, mezclas multi compon en tes, siste­mas eléctricos y magnéticos e inclusive superconductores han sido muy

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exitosas por la excelente concordancia con resultados experimentales. Para sistemas densos, gases y líquidos y otras fases de la materia conden-sadas, su muy buscada y deseable generalización subsiste hoy en día como uno de los grandes retos a la física teórica. Debido al alto con­tenido técnico de esta problemádca no la discutiremos más aquí, pero el lector interesado puede recurrir a !a vasta literatura que hay disponi­ble para mayor información [9], [11], [12], [13].

III. EL PROBLEMA DE LA IRREVERSIBILIDAD: GIBBS

La principal limitante del método empleado por Boltzmann en el caso de equilibrio es la imposibilidad de incorporar a la descripción de! sistema la posible interacción entre las partículas que lo forman. De hacerlo, la ecuación (2) ya no sería válida. La otra es que su ecuación pura fir,v,t) no es apta para describir gases densos, líquidos y otros sis­temas para los cuales las puras interacciones binarias sean insuficientes para predecir correctamente las propiedades termodinámicas del sis­tema. Las ideas que permiten, por lo menos en principio, superar estas limitaciones son debidas al físico norteamericano J. W. Gibbs. Aunque los aspectos matemáticos de esta formulación más general son compli­cados y no los tocaremos aquí [14] - [16], las ideas detrás de ellos son relativamente simples.

A pesar del poder del método predicüvo desarrollado por Boltzmann, hay por lo menos dos casos prácticos que no puede abordar El primero concierne a sistemas formados por particulas que interactúan entre sí y por consiguiente las ecuaciones (2) y (4b) dejan de ser válidas y el segundo es que el sistema no sea uno aislado, esto es, el control externo no se imponga sobre variables extensivas sino que de alguna forma, tér­mica, mecánica o química, interactúe con sus alrededores. Lo que Gibbs propuso es esencialmente sustituir la idea de trabajar con molécu­las por la de construir un gran sistema formado por un número arbitra­riamente grande de sistemas, réplicas idénticas del sistema de laborato­rio cada uno de los cuales posee una energía E pero ahora determinada por las sumas de las energías cinética y potencial de las moléculas que Ío forman.

Entonces

i=i 2m

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donde pi=rm^ es el ímpetu asociado a la fésima partícula de masa m y en O la energía potencial, están incluidas las energías que provienen de las interacciones entre las moléculas, sin importar en principio cuan com­plicadas sean éstas. En esta colección de sistemas macroscópicos, llama­dos conjunto representativo o ensemble por Gibbs, puede haber varios con la misma energía £^y si los sistemas se toman como independientes.

E A^£; = £=const . (10)

donde iV es el número de sistemas con energía £ . Las ecuaciones (9) y (10) son ahora la generalización de las ecuaciones. (2) y (4b) de Boltzmann. En términos muy simples, Gibbs sustítuye el concepto de molécula de Boltzmann por el de sistema macroscópico. De aquí surge toda la llamada mecánica estadística contemporánea cuyo poder predic-tivo para el caso de sistemas en equilibrio ha sido y sigue siendo impo­nente. No es este el lugar para entrar en detalles técnicos que el autor ha discutido en otros tratados [6] [15] y que además están expuestos en casi todos los libros de texto avanzados sobre la materia.

Lo que aquí nos concierne es la aplicación de las ideas de Gibbs al problema muy específico de los procesos irreversibles donde ciertamen­te el impacto no ha sido tan contundente, como para sistemas en equili­brio o para sistemas descritos por la ecuación de Boltzmann.

La pregunta concreta es la siguiente: ¿es posible extraer de la meto­dología de Gibbs una ecuación irreversible para sistemas formados por partículas que interaccionan entre sí que además de generar criterios de irreversibilidad, como el teorema H, permitan el cálculo de paráme­tros fuera de equilibrio que puedan compararse con el experimento? La respuesta amplia y abierta a esta pregunta es negativa. Algo se ha logrado, pero ajuicio del autor y aun para sistemas simples como son gases densos, líquidos, superfluidos, superconductores, semiconduc­tores, plasmas gaseosos y sólidos, el camino por recorrer es todavía muy largo. Sólo para ejemplificar, si se nos pregunta cómo calcular la viscosi­dad o la conductividad térmica del nitrógeno (N2) a densidades del orden de la del agua y presión mayor que 1 atm., hoy en día no sabemos cómo hacerlo. Una ecuación tipo Boltzmann para contender con un sis­tema tan simple como éste, simplemente no se conoce [13].

Si esta es la situación para sistemas físicos y físico-químicos tan sim­ples, sobra decir que intentar incorporar en el esquema de la irreversibi-

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lidad sistemas más complejos como polímeros, macromoléculas, vidrios y mucho menos sistemas biológicos es una quimera.

Volviendo al esquema de Gibbs, podemos preguntar qué es lo que hemos aprendido de él. Para responder la pregunta veamos con un poco más de cuidado en qué espacio nos movemos. Cada sistema del ensemble gibbsiano, valga el término, está formado por N moléculas. Si cada una tiene / g r a d o s de libertad especificando traslaciones, rota­ciones, vibraciones, etc., requerimos de un espacio euclidiano de 2Nf dimensiones para representar un estado dinámico del mismo. Así que el conjunto gibbsiano está representado por un número arbitrariamente grande de puntos en dicho espacio, llamado espacio T. Para estudiar la dinámica de este conglomerado de puntos, Gibbs introdujo una densi­dad de probabilidad, llamémosla p (F, í), que nos da la probabilidad de encontrar un punto representativo del ensemble en un "volumen" ÓF al tiempo t. Aunque p (F, t) es el análogo de/{ '^ i r* t) del modelo de Boltzmann, la ecuación que gobierna su dinámica en el espacio F es equivalente a las ecuaciones de la mecánica clásica para todos los sis­temas del conjunto y por lo tanto resulta ser una ecuación, reversible, esto es, invariante frente a la reflexión temporal t -^4 . Lo que hemos aprendido en los últimos veiiue años es que para extraer ecuaciones irreversibles es necesario "proyectar" esta ecuación a un subespacio de F subtendido sólo por aquellas variables dinámicas que son de interés al fenómeno irreversible específico que se quiere estudiar. Así pues, dicha proyección no es unívoca como no lo es un "estado fuera de equilibrio". En este nuevo subespacio, los valores numéricos de dichas variables dinámicas, que supuestamente son las que pueden medirse a un tiempo dado, están gobernadas por una dinámica que ya no es la dinámica new-toniana. En general uno ahora supone que dicho conjunto de variables constituye un proceso aleatorio y en particular uno llamado markoffia-no y estacionario [17] - [19]. Sin entrar en detalles sobre lo que esto sig­nifica, una vez dado ese paso, intuitivo y arbitrario se puede mostrar que las ecuaciones resultantes son irreversibles, poseen un criterio de irre-versibilidad y generan a tiempos largos, las propiedades de equilibrio del sistema. Más aún son consistentes con la termodinámica irreversible lineal (TIL), que es la teoría fenomenológica más completa que se ha desarrollado hasta ahora [20] [21] para tratar con procesos irreversibles. Lamentablemente la estructura matemática de las ecuaciones que for­man este esquema es muy complicada y, difícilmente han podido ser uti­lizadas para hacer cálculos explícitos en sistemas simples. Algunos de los

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ejemplos de mayor actualidad fueron discutidos por el autor hace diez años [22] y la situación no ha cambiado mucho. A los ejemplos citados en la referencia [22] se podrían agregar otros como la transición vitrea [23] [24], las ondas de choque [25], medios viscoelásticos y polímeros [26] y quizás de mayor impacto e interés reciente dados los últimos datos espectaculares sobre la aceleración del universo, el estudio de fenómenos irreversibles dentro del marco de la teoría general de la rela­tividad y sus aplicaciones a sistemas astrofísicos y cosmológicos [27] -[30].

Vale la pena concluir este artículo mencionando que la dificultad principal que impide un avance sistemático en este estudio es que, con­trario a lo que ocurre con la ecuación de Boltzmann, donde sólo se involucra una dinámica de dos cuerpos, las ecuaciones dinámicas para las variables relevantes al proceso irreversible que se desea estudiar involucran de algún modo la dinámica de A cuerpos (AZ-IO 'i), y nos ha faltado la inspiración y la intuición para extraer de ella sólo aquellos aspectos que sean de importancia para el sistema que se está estudian­do. Que quede claro que éste no es sólo un problema de "cómputo" en el sentido que muchos científicos contemporáneos le quieren dar a problemas fundamentales; es un problema de entender cuál es la infor­mación relevante necesaria para comprender el sistema o el proceso que se quiere estudiar. Una vez logrado eso, la enorme capacidad de las computadoras actuales puede ser de mucha ayuda para llevar a cabo los cálculos. Pero la concepción física clara del fenómeno viene primero. El ejemplo de la estructura de las ondas de choque es muy elocuente [25].

Así pues, el estudio de los procesos irreversibles en sistemas físicos y físico-químicos relativamente simples está ubicado dentro de un esque­ma general más o menos bien comprendido. Pero la obtención de resultados que puedan compararse con el experimento es una meta todavía, a mi juicio, muy lejana. Para sistemas complejos, como hoy se dice de los sistemas biológicos, geofísicos, etc., creo que estamos muy lejos de poder ofrecer una teoría convincente. Con esto se responde a la pregunta planteada en la introducción; el campo está abierto todavía.

REFERENCIAS

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