Vectores Cartesianos

ESTÁTICA

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Un vector esta definido por la suma de componentes en los respectivos ejes x, y, z

y se conocen como vectores cartesianos.

El vector también puede escribirse como una magnitud y una dirección dada por su

vector unitario.

x zya aa a ji k

x

y

z

ya

za

xa

a

k

ij

ˆaa a uˆ

au

Vector cartesiano.

Vector, Magnitud y dirección.

Vector Unitario

ESTÁTICA

Un vector unitario tiene una magnitud igual a la unidad |u|=1, está definido como el

vector dividido entre su propia magnitud, éste vector apunta en la misma dirección

que su vector original.

Donde:

Por lo tanto las componentes del vector unitario son:

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ˆau

a

a

ˆ y zxa

aa

a a a a

au

a

i j k

2 2 2

x y za a a a

ˆau a

a

ˆ 1au

Determine la magnitud de los siguientes vectores de fuerza y determine su

dirección calculando su vector unitario.

Ejemplos

ESTÁTICA

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

1 40 20 30F i j k

2 20 30 10F i j k

dfw

Dirección de un vector cartesiano.

ESTÁTICA

La dirección de un vector 3D también puede expresarse en términos de los

ángulos coordenados de dirección los cuales varían entre 0 y 180°.

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Es el ángulo que va desde el eje x(+)

hasta el vector.

Es el ángulo que va desde el eje y(+)

hasta el vector.

Es el ángulo que va desde el eje z(+)

hasta el vector

x

y

z

a

Cosenos Directores.

ESTÁTICA

Para determinar considere las proyecciones del vector a sobre los ejes

x, y, z.

Cada proyección se calcula con el coseno del ángulo, por lo tanto tenemos:

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Cosenos Directores

swf

cos xa

a

cosya

a

cos za

a

x

y

z

a

Vector unitario y los cosenos directores.

ESTÁTICA

Recordando la definición de vector unitario, podemos sustituir los cosenos de los

ángulos

Por lo tanto podemos escribir el vector unitario término de los cosenos

directores.

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

ˆ yx za

aa

a a

au

a

a a

i j k

ˆ cos cos cosau i j k

cos xa

a cos za

a cos

ya

a

Ejemplos

ESTÁTICA

Determine los ángulos coordenados de dirección, y el vector unitario en

término de los cosenos directores, de los siguientes vectores.

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

1 40 20 30F i j k

2 20 30 10F i j k

Identidad trigonométrica de los cosenos directores

ESTÁTICA

Partiendo de la definición del vector unitario ua en término de los cosenos

directores, podemos obtener una relación trigonométrica útil para encontrar un

ángulo coordenado desconocido.

Recordando que la magnitud de un vector unitario es uno…

Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación tenemos

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

2 22ˆ cos cos co 1sau

2 2 2cos cos o 1c s

ˆ cos cos cosau ji k

Ejemplo 1

ESTÁTICA

Exprese la fuerza F como vector cartesiano

y en término de los vectores unitarios i j k 100i +100j +141.4k

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Ejemplo 2

ESTÁTICA

Determine la magnitud y los ángulos

coordenados de dirección de la fuerza

resultante que actúa en el anillo FR= 191lb; =74.8°; =102°; =19.6°

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Ejemplo 3

ESTÁTICA

Determine la magnitud y los ángulos

directores de la fuerza resultante FR que

actúa sobre el anillo, si F1= {60j +80k}lb

y F2= {50i -100j +100k}lb. FR=191lb; =74.8°; =102°; =19.6°

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

y-z

x

y

zRF

2F 1F

x-y

x-z

Ejemplo 4

ESTÁTICA

Exprese la fuerza F como un vector cartesiano F= 35.4i – 35.4j + 86.6k

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

Ejemplo 5

ESTÁTICA

Exprese la fuerza F1 y F2 mostrada en la

figura como vectores cartesianos en

términos de los vectores unitarios i, j, k.

y los ángulos directores. F1= 35.4i – 35.4j + 86.6k; F2= 106i + 184j – 212k

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.

4545

30

y

z1 100lbF

2F 300lb

x

60

z

xy

z 100

60

100cos60

45yx

100cos60

x

Ejemplo 6

ESTÁTICA

Dos fuerzas actúan sobre el gancho, Especifique los

ángulos directores de F2 de modo que la fuerza

resultante FR actúe a lo largo del eje “y” positivo

y tenga una magnitud de 800lb =108°; =21.8°; =77.6°

M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.