Vectores

• Un vector es un ente matemático que posee dirección sentido y magnitud.

• La dirección se refiere a la posición del vector: Horizontal, vertical, oblicuo, etc.

• El sentido señala la orientación: De arriba hacia abajo, de Norte a Sur etc.

• La magnitud es tamaño del vector, es el valor numérico del mismo.

Representación gráfica de vectores

• Gráficamente: Un vector se representa como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento.

Suma gráfica de vectores

Con más de dos vectores

Componentes de un vector

• Podemos definir la posición de un vector en el plano mediante sus componentes referidas a unos ejes de coordenadas.

• Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontal y verticalmente desde su origen hasta su extremo. Para ello hallamos la diferencia entre las coordenadas del punto extremo y el punto origen del vector.

Escrito matemáticamente

• Sea α el ángulo que forma con el eje horizontal

• Sea ax y ay las proyecciones en los ejes x e y respectivamente

Usando trigonometría, recordemos:

Hipotenusa

opuestocatsen

.=αCat. Opuesto

al ángulo

Cat. adyacenteal ángulo

Hipotenusa

adyacentecat.cos =α

ααα

costan

sen=

Luego:

a

asen y

=α

a

ax=αcos

x

y

a

asen ==ααα

costan

Sea por lo tanto cada componente escrita de la siguiente forma

Donde:

a

Representa el módulo del vector “a”

kji ˆ;ˆ;ˆ Representan vectores unitarios para los ejes x,y,z respectivamente

Operaciones con vectores

• Suma de vectores:

• Un vector que posee diferentes componentes se sumara a otro respetando estas componentes, es decir se sumaran los términos que correspondan al mismo grupo de pares ordenados.

Sumando dos vectores y sus proyecciones

Producto punto

• El producto o multiplicación de vectores se puede realizar de la misma forma en que se resuelven los polinomios, pero respetando un par de reglas para los vectores unitarios.

1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii

0ˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆ

0ˆˆˆˆ

=⋅=⋅

=⋅=⋅

=⋅=⋅

ikki

jkkj

ijji

Ejemplo:

• Sean los siguientes vectores:

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

++=

BAC

⋅=

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaC zyxzyx ++⋅++=

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

kkbajkbaikba

kjbajjbaijba

kibajibaiibaC

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=0 0

00

0 0

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ( kkbajjbaiibaC zzyyxx ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=1 1 1

zzyyxx bababaC ⋅+⋅+⋅=

El resultado es un escalar (NO VECTOR)

Módulo de un vector

AAA

⋅=

Matemáticamente se escribe:

si

kajaiaA yyxˆˆˆ ++=

El modulo representa el tamaño del vectorY es un escalar.

222zyx aaaA ++=

Además se define el vector unitario del vector A

A

AA

=ˆ

Producto Cruz

• El producto cruz (X) es otro tipo de producto entre vectores, a diferencia del producto usual o punto su resultado es un vector.

• Al igual que en el caso anterior existen reglas que se deben respetar.

0ˆˆˆˆˆˆ =×=×=× kkjjii

jik

jki

ijk

ikj

kij

kji

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

=×

−=×

−=×

=×

−=×

=×

No es conmutativo

Existe una regla mnemotécnica para el producto cruz

i

jk

X

=

( + )

Producto en sentido Horario es positivo

i

jk

X

=

( - )

Producto en sentido anti-horario es negativo

Ejemplo:

• Sean nuevamente los siguientes vectores:

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

++=

++=

BAC

×=

)ˆˆˆ()ˆˆˆ( kbjbibkajaiaC zyxzyx ++×++=

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

kkbajkbaikba

kjbajjbaijba

kibajibaiibaC

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

×⋅⋅+×⋅⋅+×⋅⋅

+×⋅⋅+×⋅⋅+×⋅⋅+

+×⋅⋅+×⋅⋅+×⋅⋅= 0

0

0

)ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ(

)ˆˆ()ˆˆ(

jkbaikba

kjbaijba

kibajibaC

yzxz

zyxy

zxyx

×⋅⋅+×⋅⋅

+×⋅⋅+×⋅⋅+

+×⋅⋅+×⋅⋅=

i

j

k j−

k−

i−

)ˆ()ˆ()ˆ(

)ˆ()ˆ()ˆ(

ibajbaiba

kbajbakbaC

yzxzzy

xyzxyx

−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+

+−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅=

)ˆ()(

)ˆ()()ˆ()(

jbaba

ibabakbabaC

zxxz

yzzyxyyx

⋅⋅−⋅+

+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅=

)ˆ()(

)ˆ()()ˆ()(

kbaba

jbabaibabaC

xyyx

zxxzyzzy

⋅⋅−⋅+

+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+= Reordenando

Ejemplo numérico

kjiB

kjiA

ˆ4ˆ2ˆ1

ˆ3ˆ1ˆ2

++=

++=

BAC

×=

)ˆˆ(6)ˆˆ(3

)ˆˆ(4)ˆˆ(1)ˆˆ(8)ˆˆ(4

)ˆ4ˆ2ˆ1()ˆ3ˆ1ˆ2(

jkik

kjijkijiC

kjikjiBAC

×+×+

+×+×+×+×=

++×++=×=

)ˆ(6ˆ3ˆ4)ˆ(1)ˆ(8ˆ4 ijikjkC −+++−+−+=

iC ˆ2−=

j5− k3+

Una aplicación simple de vectores

• El ciclo cardíaco puede representarse de forma simple con los siguientes vectores que aparecen de forma sucesiva en el tiempo:

VECTORES ELÉCTRICOSEl potencial que registra un electrodo depende de la variación en el tamaño, la geometría y la posición que ocupa sucesivamente la superficie que separa el área activa de la de reposo durante la despolarización y la repolarización. Durante la despolarización el área activa será negativa con respecto a la que aún está en reposo, es decir, que la excitación se propaga como un frente que lleva cargas positivas en la ”cabeza” y deja cargas negativas en la ”cola”. Estos dipolos pueden representarse mediante vectores que se dirigen hacia la parte positiva y cuya magnitud depende de la superficie libre del órgano que está despolarizada. Si este vector se proyecta sobre una línea de derivación el tamaño y polaridad de esta proyección corresponde a la amplitud y la polaridad de la onda que se registra en ese momento.

Para la proyección de los vectores en el plano, se supone que los miembros forman los vértices de un triángulo equilátero (Triángulo de Einthoven) cuyo centro es ocupado por el corazón y cuyos lados constituyen las líneas de derivación Dl, Dll y Dlll. Se supone también que el cuerpo se comporta como un conductor homogéneo.

. Proyecciones de un vector (flecha sombreada) sobre el triángulo de

Einthoven y el sistema triaxial

• Un vector que corresponde la activación auricular (A).

• Un vector que corresponde a la activación septal y que tiene una dirección principal de izquierda a derecha (1).

• Un vector que inicialmente corresponde a la activación coincidente de los dos ventrículos y posteriormente a la activación de las regiones central y apical del ventrículo izquierdo -ya estando el ventrículo derecho despolarizado- (2).

• Un vector que corresponde la activación basal y posterior del ventrículo izquierdo y del septo (3).

• Un vector (no representado) que corresponde a la repolarización ventricular.

• En pocas palabras.

• La despolarización o activación y la repolarización o activación de los miocitos, se representa con un vector con diferentes cargas en su cabeza (punta del vector) y en su cola (origen del vector).

• La despolarización: se representa con un vector cuya cabeza es positiva y cola negativa.

• La orientación angular o derivación de todo electrodo del vector, lo que define el carácter positivo o negativo del mismo da origen al ECG.

• En la repolarización el vector será negativo en la cabeza del mismo y positivo en la cola.

Por lo dicho anteriormente, cada una de estas zonas tiene su correspondencia en el ECG