02 Aplicaciones de La Programación Lineal

7/24/2019 02 Aplicaciones de La Programación Lineal

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CICLO 2015-I Módulo:2Unidad: 2 Semana: 2

INVESTIGACION OPERATIVA

1

Lic. Máximo Tejero Alegre



UNIDAD 2

Aplicaciones de ProgramaciónLineal

2

“La construcción demodelos es un arteque se mejora con

la práctica”



ORIENTACIONES

• Cuando Usted estudie; contraste y relacione la

información recién adquirida con su conocimiento y

experiencia anterior. Para ello es útil que revise los

resúmenes, esquemas, cuadros comparativos omapas conceptuales elaborados previamente en su

texto.

• Recuerde que la Investigación Operativa se aprende

practicando, utilice un block para repetir los ejercicios.• Para esta clase virtual utilize su Guía didáctica a partir

de la pag. 54

3



Modelo general de la P. L.1

Formulación y Planteamiento2

Formas de presentación de Mod.3

Aplicación de la P.L.4

CONTENIDOS TEMÁTICOS

Aplicaciones5



Introducción a la Programación LinealLos fundamentos matemáticos, se deben al norteamericano de origen

húngaro Janos Von Neuman (1903-1957). Teoría de Juegos.

En 1858, se aplicaron los métodos de la P.L. a un plan óptimo detransporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad

de Moscú. Habiendo 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan óptimo

calculado por un procesador , rebajó un 11% los gastos respecto a los

costos previstos.

Modelo general de la Programación LinealEs un método para determinar un programa óptimo de uso eficiente o

distribución de recursos limitados, para alcanzar objetivos deseados.

Se refiere al proceso de la determinación de un programa particular, que

consta de una función objetivo lineal por maximizar o minimizar, sujetas a

ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades.

Implica exactamente lo que expresa, que los problemas pueden ajustarsea modelos lineales.

Los métodos utilizados serán el método gráfico(cuando hay dos variables

de decisión) y el método simplex (cuando hay mas de 2 variables)

Permite soluciones continuas, los valores no serán necesariamente

números enteros, puede admitir fracciones.



Característica de la Programación Lineal jc Costo, precio, utilidad del

j-ésimo producto

j x Producto, proceso,

servicio del j-ésimo

La función objetivo:

(máx Z o min Z)

1.

Las restricciones

de las variables

2.

ija Coeficiente técnico del recurso i del j-ésimo producto

ib Disponibilidad, recurso del i-ésimo componente

La condición de

irreversibilidad del

problema

3.

n x j j ,...1,0

El producto, proceso o servicio es igual o mayor que cero

m1,2,3..., i ban

1 j

iij

j x

j x Z

n

1 j jc



…Característica de la Programación Lineal 4. Proporcionalidad. Las cantidades de flujo de los distintos artículos que

entran y salen de la actividad son siempre proporcionales al nivel de esta.

Si se desea duplicar dicho nivel, se duplican los flujos correspondientes.

5. Actividad. Es especificar que el sistema de actividades sea completo,

puede hacerse una contabilidad completa de cada articulo por actividad.

Cantidades que entran = cantidades que salen.

Ejemplo 1.

m1,2,3..., i ba

n

1 jiij

j x

j x Z

n

1 j

jcmaxFunción objetivo

Restricciones

n x j j ,...1,0 Condiciones de no negatividad

Ejemplo 2.

m1,2,3..., i ba

n

1 jiij

j x

j x Z

n

1 j

jcminFunción objetivo

Restricciones




Formulación y Planteamiento de Modelos de P.L.1. Comprensión del problema: Se recomienda confeccionar una matriz.

Recursos

C1

C2

C…

C j

Utilidad/precio/costo

C1 X1

C2 X1

C …X1

C j X1

C1 X2

C2 X2

C…X

C j X2

…

…

…

…

C1 X j

C2 X j

C…X j

C j X j

Productosx1 x… x j x2 Disponibilidad

restricción

restricción

restricción

restricción

optimo

2. Definición de las variables de decisión: Representación simbólica.

jc Costo, precio, utilidad del j-ésimo producto

j x Producto, proceso, servicio del j-ésimo

3. Formulación de la función objetivo: Objeto o meta por alcanzar.

j x Z

n

1 j

jcmaxFunción objetivo

j x Z

n

1 j

jcminFunción objetivo

n x j j

,...1,0

Condiciones de no negatividad5. Formulación de condición de no negatividad:Irreversibilidad del problema

4. Planteamiento de restricciones:

ibDisponibilidad,

recurso del i-ésimo

componente



Ejemplo 1: Una empresa con sede en Lima fabrica diversos

modelos de radio transistores, todos los componentes de estos

radios se fabrican en Lima, excepto los transistores que sonimportados en Inglaterra. La empresa sabe que debido a unahuelga portuaria (Inglaterra) no se recibir án enví os de

transistores hasta por lo menos un mes después de la fecha

planeada.

Se tiene en existencia 1000 transistores de tipo T1 y 1200 del

tipo T2, cada modelo de radio R-A requieren un transistor de

tipo T1 y cuatro transistores de tipo T2. Los modelos R-B

requieren dos transistores de tipoT1 y uno de T2.

Sabiendo que los beneficios o utilidades unitarias de cada radioson S/.50 y S/.30 para R-A y R-B respectivamente, hállese la

cantidad de unidades a fabricar de cada modelo para que lasutilidades totales sean máximas. Formule el programa de

programación lineal.



Ejemplo 1. Pasos para la FormulaciónModelos de radio transistores

Recursos

Transistores T1

TransistoresT2

Beneficios unitarios

1

4

2 1000

Disponibilidad

1200

1. Matriz de información

Productos

R-A R-B

1

2. Definición de la variable de decisión

X1 = Número de unidades de R-A a fabricarX2 = Número de unidades de R-B a fabricar

S/.50 S/.30

3. Formulación del objetivo

Max z = 50X1 + 30X2

4. Planeamiento de las restricciones

X1 + 2X2 1000

4X1 + 1X2 1200

5. Formulación de las condiciones de no negatividad

X1 0 X2 0



Ejemplo 2: Supóngase que el alimento A y B son los dos tipos

bajo consideración.

El alimento A cuesta 20 centavos/onza y el alimento B cuesta 12

centavos/onza.

Se quiere minimizar el costo total de los alimentos al mismo

tiempo que satisfacen las tres restricciones vitamí nicas.

Desean por lo menos 40 unidades de vitamina P, 50 unidadesde la vitamina W y 70 unidades de la vitamina Q.

Cada onza del alimento A proporciona 3 unidades de la vitamina

P, 4 unidades de la vitamina W y 9 unidades de la vitamina Q.

El alimento B proporciona 6 unidades de P, 3 unidades de W y 6

unidades de Q por onza, respectivamente.

¿Cuántas onzas de cada alimento deben comprar? Formule el

programa de programación lineal.



Ejemplo 2. Pasos para la Formulación Alimentos.

3 6Recursos

p 40

Disponibilidad

Q 70


Productos

A B

2. Definición de la variable de decisiónX1 = Total de onzas que se compra del alimento A

X2 = Total de onzas que se compra del alimento B

6


Min z = 20X1 + 12X2


4X1 + 1X2 70


X1 0 X2 0

4 w 503

Costo 20 centv 12 centv

9

3X1 + 6X2 40

4X1 + 3X2 50



Ejemplo 3: Lecher í a moderna tiene una capacidad de

recepción de 50,000 litros de leche diarios.

La administración exige que al menos 30,000 litros seanembotellados diariamente y el resto sea empleado para producir

leche especial o mantequilla.

La contribución de cada litro de leche a la utilidad según el uso

que se le dé, es la siguiente: embotellada 100 S/, especial 150

S/. y 160 S/. la unidad de mantequilla.

El equipo de fabricación de mantequilla puede manejar hasta

6,000 litros diarios de leche, y el equipo de envase puede

manejar hasta 40,000 litros diarios y la leche especial hasta20,000 litros por dí a.

La empresa desea conocer qué cantidad de leche en litros esconvertida en mantequilla o en leche especial y cuánto se debe

embotellar (leche corriente) para maximizar la ganancia.

Determine el planteamiento de problema.



Ejemplo 3. Pasos para la FormulaciónLechería moderna

Recursos

Exig leche x embo Cap fab mantequilla

1 50000 litros


2. Definición de la variable de decisiónX1 = Cantidad de leche para embotellar

X2 = Cantidad de leche destinada a ser especial


Max z = 100X1 + 150X2 + 160X3


X1 + X2 + X3 50000

1

DisponibilidadProductos

Embotell

adaEspecial

1 1

Mantequ

illa

1Cap equipo leche esp 1Cap equipo envase 1

Utilidad S/.100 S/.150 S/.160

Cap recepción dia 30000 litros

6000 litros

20000 litros

40000 litros

X3 = Cantidad de leche para fabricar mantequilla


X1 0 X2 0 X3 0

X1 + X2 + X3 30000

X1 + X2 + X3 6000X1 + X2 + X3 20000X1 + X2 + X3 40000



Ejemplo 4: Una compañí a tiene tres tipos de máquinas procesadoras, cada

una de diferente velocidad y exactitud. La máquina tipo 1 puede producir 20

piezas/hora con una precisión de 99%, el tipo 2, 15 piezas/hora, con unaprecisión de 95%; el tipo 3, 10 piezas/hora con una precisión de 100%.

El funcionamiento del tipo 1 cuesta S/. 2/hora, la del tipo 2 S/. 1.75/hora y la

del tipo 3 S/. 1.5/hora.

Cada dí a (8 hrs) deben procesarse por lo menos 3500 piezas y hay

disponibles 8 máquinas tipo 1, 10 máquinas de tipo 2 y 20 máquinas de tipo 3.Cada error cuesta S/. 1 a la compañí a.

¿Cuántas máquinas de cada tipo deben utilizarse para minimizar el costo?

Formule el planteamiento del problema en programación lineal.

Costo por hora incluyendo costos por errores

M1= 2 + 20 (0.01) (1) = S/ 2.20M2= 1.75 + 15 (0.05) (1) = S/ 2.50

M3= 1.5 + 10 (0) (1) = S/ 1.50

Cantidad de piezas buenas que produce cada máquina por hora

M1= 20 (0.99) (1) = 19.8 piezas buenas/hora

M2= 15 (0.95) (1) = 14.25 piezas buenas/hora

M3= 10 (1) = 10 piezas buenas/hora



Ejemplo 4. Pasos para la FormulaciónMáquinas procesadoras

Recursos

Nº máquinas tipo 2

Nº máquinas tipo 319.8

8


2. Definición de la variable de decisión

X1 = Cantidad máquinas Tipo 1 que deben utilizarse para minimizar costo


Min z = 2.20X1 + 2.50X2 + 1.50X3


X1 + X2 + X3 8

1

DisponibilidadMáquinas

Tipo 1 Tipo 2

1

Tipo 3

1Nº mínimo piezas/hrs

Costo S/.2.20 S/.2.50 S/.1.50

Nº máquinas tipo 1 10

20

437.50


X1 0 X2 0 X3 0

14.25 10

X2 = Cantidad máquinas Tipo 2 que deben utilizarse para minimizar costoX3 = Cantidad máquinas Tipo 3 que deben utilizarse para minimizar costo

X1 + X2 + X3 10

X1 + X2 + X3 20

19.8X1 + 14.25X2 + 10X3 437.50



Formas de Presentación de Modelos de P.L.Según la forma de la función objetivo y de las restricciones

Forma canónica de una P.L Max Z = 2x1 + 5x2 + x3

2x1 + 3x2 + x3 18x1 + 4x2 + 2x3 20

5x1 + x2 + 4x3 40

Objetivo

RestriccionesCondición

x1 0; x2 0; x3 0

Forma estandarizada de una P.L Max Z = 7x1 + 9x2 + x3

3x1 + x2 + 6x3 = 100

x1 + 4x2 + 2x3 = 20

5x1 + x2 + 4x3 = 40

Objetivo


x1 0; x2 0; x3 0

Forma mixta de una P.L Max Z = 2x1 + 5x2 + x3

2x1 + 3x2 + x3 18

x1 + 4x2 + 2x3 205x1 + x2 + 4x3 40

Objetivo


x1 0; x2 0; x3 0



• Los modelos icónicos son la representación física, a escala

reducida o aumentada de un sistema real.

• Los modelos análogos esencialmente requieren la

sustitución de una propiedad por otra con el fin de

permitir la manipulación del modelo. Después de resolverel problema, la solución se reinterpreta de acuerdo al

sistema original.

• Los modelos más importantes para la investigación de

operaciones, son los modelos simbólicos o matemáticos,que emplean un conjunto de símbolos y funciones para

representar las variables de decisión y sus relaciones para

describir el comportamiento del sistema.

MODELOS



…Característica de la Programación Lineal 4. Proporcionalidad. Las cantidades de flujo de los distintos artículos que

entran y salen de la actividad son siempre proporcionales al nivel de esta.

Si se desea duplicar dicho nivel, se duplican los flujos correspondientes.5. Actividad. Es especificar que el sistema de actividades sea completo,

puede hacerse una contabilidad completa de cada articulo por actividad.

Cantidades que entran = cantidades que salen.

Ejemplo 1.

m1,2,3..., i ba

n

1 jiij

j x

j x Z

n

1 j

jcmax

Función objetivo

Restricciones


Ejemplo 2.

m1,2,3..., i ba

n

1 jiij

j x

j x Z

n

1 j

jcmin

Función objetivo

Restricciones




Según los datos DeterminísticosEstocásticos

Según lasrestricciones

IrrestrictosRestringidos•Lineales•No lineales

Según la función

objetivo

LinealNo lineal

Según las

variables

ContinuasEnteras

Clasificación y Aplicación de la P.L.

Determinísticos Probabilísticos

Programación matemáticaProgramación lineal

Programación entera

Programación dinámica

Programación no lineal

Programación multiobjetivo

Modelos de transporteModelos de redes

Programación estocásticaGestión de inventarios

Fenómenos de espera

(colas)

Teoría de juegos

Simulación

Modelo deProgramación Lineal

Modelos Problemas

M. para mezcla de productos

M. para fabricación o compra

M. para dietas

M. para administración devalores

M. para planeación de

producción agregada.

P. del transporte

P. de flujo con coste mínimo en red

P. de asignación personal o maq.

P. de la mochila - dietasP. de evaluación cotizaciones

P. de análisis de actividades

P. de mezclas óptimas

P. de producción - presupuesto

P. de control de inventario

P. del viajante - horarios

P. de rutas óptimas.

“La construcción demodelos es un arteque se mejora con

la práctica”



21

Ejemplos de técnicas (i) Ejemplos de técnicas (ii)

OptimizaciónProgramación lineal, entera, no lineal

Programación multiobjetivo

Procesos de decisión

(programación dinámica)

SimulaciónDeterminista

Estocástica

Teoría de colasColas simples

Redes de colas

Teoría de juegos

Juegos simples

(deterministas/estocásticos)Juegos repetitivos

Teoría de decisión

Técnicas de la Investigación de operaciones

Aplicación de los modelos matemáticos Planificación de la producción,

Optimización de carteras, Análisis de riesgo, Planific. de redes de comunicaciones,

Generación de ofertas en mercados competitivos, Diseño de productos financieros,

Diseño de nuevos productos (préstamos, operaciones de leasing, derivados),Modelado de diferentes alternativas con información incierta (tasas de interés, mercado

de valores, precios futuros), Planific. de la generación eléctrica (Aprovechamiento de

recursos disponibles a largo plazo: agua, contratos, intercambios de energía eléctrica),

Generación de ofertas en mercados competitivos (cantidades y precios para maximizar

beneficios).



Modelo: representación simplificada de la realidad, que facilita su

comprensión y el estudio de su comportamiento.

Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representación.Modelo matemático: modelo expresado en términos matemáticos.

–hace más claras la estructura y relaciones.

–facilita el uso de técnicas matemáticas y ordenadores.

–a veces no es aplicable.

Modelo matemático

Es una ciencia, porque realiza:

–análisis de relaciones

–aplicación de algoritmos de solución

Y a la vez un arte que se mejora con la práctica, porque considera: –visión de la realidad

–estilo, elegancia, simplicidad

–uso creativo de las herramientas

–experiencia

http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://platea.cnice.mecd.es/~lgonzale/grafica/imagenes/Boceto%20Bentley.jpg&imgrefurl=http://platea.cnice.mecd.es/~lgonzale/grafica/grafica.html&h=227&w=350&sz=59&tbnid=_s6aNYa01Po1tM:&tbnh=75&tbnw=116&hl=es&start=18&prev=/images?q=modelos+fisicos&svnum=10&hl=es&lr=



23

Decisiones estratégicas Decisiones operacionales

¿Debería reemplazarse unsistema existente con un nuevo

sistema propuesto?

¿Debería cambiarse su política de Administración?

¿Cómo programar la fuerza de trabajo?¿Cuál es el plan de producción óptimo?

¿Cuál es plan de embarque más

económico?

Usos de los Modelos

Ventajas Desventajas Un método óptimo para lograr

un objetivo.

Una forma de evaluarpreguntas de sensibilidad de la

forma:

“¿Qué sucedería sí ..?”

Los Modelos incluyen errores, es importante

conocer su magnitud, causas de inexactitudes:

•Selección de aspectos de la realidad.•Inviable considerar todo el sistema.

•Errores en modelos matemáticos.

•Modelos sencillos y aproximados.



24

Modelos normativos - optimización

Ofrecen información sobre alternativas

Seleccionan entre ellas

Complejos y no triviales

Difíciles de tratar con incertidumbre

Requieren técnicas complejas de solución

Modelos descriptivos - simulación Analizan una alternativa cada vez

Modelos para situaciones específicas

Más simples de desarrollar

Adecuados con incertidumbre

Aplicación muy sencilla

Tipos de Modelos matemáticos

Clasificación de los modelomatemáticos

Optimización

de sistemas I

Estudia

fenómenos

determinísticos

Optimización de

sistemas

Optimización

de sistemas II

Estudia

fenómenos

probabilísticos



I Identificación de las variables de decisión.

II Identificación de la función objetivo.

III Identificación de las restricciones.

• objetivos función objetivo.

• Alternativas variables de decisión.

• limitaciones del sistema restricciones

Partes del modelo matemático



GRACIAS

26

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