V5 aplicaciones de programación lineal

Carlos J. Molestina Malta1

APLICACIONES DE PROGRAMACIÓN LINEAL (Transporte, asignación; redes)

VOLUMEN 5


MODELOS DE TRANSPORTE La aplicación de modelos de “transporte”, en

sus inicios se diseñó para el área de logística militar, sin embargo la utilidad de su aplicación rebasó esta frontera y en la actualidad, “transporte es sinónimo de llevar un bien o parte de un sitio a otro dentro o fuera de la planta de producción (programación de la Producción), con el fin de minimizar costos.

En sentido real o figurado, se refiere a la distribución de cualquier bien desde cualquier grupo de centros de suministros, llamados orígenes, a cualquier grupo de centros de recepción, llamados destinos, de tal manera que se minimicen los costos totales de distribución.


Similitud en modelos de transporte


Terminología en modelos de transporte

Modelo general InterpretaciónUnidades transportadas Camión, carga, productos, MP,

partes y piezas, etc.Orígenes (m) m (Sitios de salida, Fábricas,

puesto de trabajo, bodegas, etc.)Destinos (n) N (Sitios de recepción;

almacenes, Bodegas, distribuidores, sitios de trabajo, etc.

Recursos en el origen si s recursos en el origen iDemanda en el destino dj d Demanda en el destino j

Costo (cij) C costo por unidad distribuida desde el origen i al destino j21


Suposiciones en los modelos de transporte

Suposición de requerimientos: cada origen (si) tiene un suministro fijo de unidades, y el suministro completo debe distribuirse a los destinos (dj).

La suposición de que no hay margen en las cantidades que deben enviarse o recibirse significa que es necesario un balance entre el suministro total de todos los orígenes y la demanda total de todos los destinos.

Propiedad de soluciones factibles: un problema de transporte tiene soluciones factibles si y solo si

En los problemas reales esto no siempre es así. Esto se soluciona introduciendo un destino ficticio o un origen ficticio

21


Suposiciones en los modelos de transporte

Suposición de costo: El costo de distribuir unidades de un origen a un destino dados es directamente proporcional al número de unidades distribuidas. Por lo tanto, este costo es el costo unitario de distribución multiplicado por el número de unidades distribuidas (cij).

Los únicos datos necesarios para un modelo de transporte son: suministros, demandas y costos unitarios. Estos son los parámetros del modelo.


EL MODELO Cualquier problema, sea o no de transporte se

ajusta a la tabla de parámetros que se detalla a continuación ya que satisface tanto la suposición de requerimientos como la suposición de costos.

El objetivo es minimizar el costo total de distribuir las unidades. Todos los parámetros del modelo están incluidos en esta tabla de parámetros.


Tabla de parámetros

1 2 … n Recursos

Costo por unidad distribuidaDestino

1 c11 c12 … c1n s1

2 c21 c22 … c2n s2

… … … … … …m cm1 c12 … cmn sm

d1 d2 … dn

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#14Tabla de parámetros de MOTDI


Problema tipo Distribución de MOTDI; Envío de motores Diesel de

los puertos a las plantas (Adaptado del modelo protac, de IO en la Administración; autor: Eppen

MOTDI tiene cuatro plantas de montaje en Ecuador. Estas se encuentran en Quito, Santo Domingo, Cuenca y Ambato. Los motores empleados por estas ensambladoras se fabrican en Estados Unidos, se embarcan a los puertos de Guayaquil, Manta y Puerto Bolívar. De ahí, mediante camiones mulas se transportan a las plantas para su ensamblado.

Se han preparado los planes de producción del cuarto trimestre, Octubre a Diciembre. Los requerimientos (demanda en los destinos) de los motores aparecen en la tabla 1.

Las cantidades de motores E-4 disponibles en los puertos (la oferta en los orígenes) aparece en la tabla 2.

MOTDI debe tomar la decisión de cuantos motores debe enviar desde cada puerto hasta cada planta para minimizar sus costos. Los motores serán transportados por una misma Empresa transportista y los costos correspondientes se cobrarán por motor.


Oferta y DemandaTabla 1 Demanda de motores

DieselPlanta Cantidad de motores requeridos

(1) Santo Domingo 400(2) Quito 900(3) Ambato 200(4) Cuenca 500

Tabla 2 Oferta de motores DieselPuerto Cantidad de motores

Dispopnibles(A) Manta 500(B) Guayaquil 700(C) Puerto Bolovar 800


Costos por motor distribuido desde los puertos

MOTDI, utiliza el modelo de parámetros de transporte y determina (después de negociar con la Empresa transportista) los siguientes costos unitarios.

(1) Santo Domingo (2) Quito (3) Ambato (4) Cuenca Recursos

Costo por unidad distribuidaDestino

(A) Manta 120 130 41 62 sA

(B) Guayaquil 61 40 100 110 sB

(C) Puerto López 102,5 90 122 42 sc

Demanda d1 d2 d3 d4

También analiza el diagrama de distribución dentro del país (rutas) y las grafica.Esto se detalla en las dos diapositivas siguientes

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#14Tabla de parámetros de MOTDI


Grafico de rutas

Manta (A)

Guayaquil (B)

Puerto Bolívar

(C)

Santo Domingo

(1) Quito (2)

Ambato (3)

Cuenca (4)

500

700

800500

200

900400

14

Tabla de parámetros de MOTDI

1 2 3 4 Recursos

Costo total de distribuciónDestino

A (C*X)A1 (C*X)A2 (C*X)A3 (C*X)A4SA

B (C*X)B1 (C*X)B2 (C*X)B3 (C*X)B4 SB

C (C*X)c1 (C*X)c2 (C*X)c3 (C*X)c4 Sc

D1 D2 D3 D4

Usando la tabla de parámetros por unidad distribuida (diapositiva # 8), el investigador diseña una tabla de costos totales; es decir incluye en el modelo unitario el número desconocido de recursos (X).

Ahora bien, remplazando los costos unitarios (diapositiva # 11), la nueva tabla sería:



(A) Manta 120XA1 130XA2 41XA3 62XA4 500(B) Guayaquil 61XB1 40XB2 100XB3 110XB4 700(C) Puerto López 102,5XC1 90XC2 122XC3 42XC4 800Demanda 400 900 200 500 2000

Note Usted, que la condición de balance se cumple: 2000 da en la suma de recursos(vertical) como en la suma de las demandas (horizontal) Carlos J. Molestina Malta


Modelo Matemático Función objetivo

El problema de transporte, siempre es minimización por lo que cogiendo el modelo resultante la función objetivo sería:





Modelo matemático Restricciones de la oferta (Origen)

En el caso de las restricciones del origen son los puntos de partida y los recursos con que cuenta. También hay que considerar que no puede entregar más de lo que tiene por lo que siempre serán restricciones ≤ (menor o igual).

RESTRICCIONES DE LA OFERTA U ORIGEN





Modelo matemático Restricciones de la demanda (Destino)

En el caso de las restricciones de la demanda, estas son las necesidades que tienen las plantas (destinos), por lo que nunca deber recibir menos, por tanto las restricciones son del tipo ≥ (mayor o igual). En el modelo general se encuentran ubicadas en la vertical. Veamos




RESTRICCIONES DE LA DEMANDA O DESTINO


EL MODELO MATEMÁTICO DE MOTDIFunción objetivo:Sujeto a:Restricciones origen (puertos)

Restricciones Destinos (plantas)

Con estos datos estamos en capacidad de dar el primer paso: RESOLVERLO EN SOLVER. El segundo paso es interpretarlo. Vamos a un libro de Excel


Resultados método Simplex en Solver

Observamos en la respuesta que la minimización nos dio un valor objetivo de $121450,00. Que esto se logra utilizando 6 rutas de las 12 posibles.

Embarques d/aVariables d (1) Santo Domingo (2) Quito (3) Ambato (4) Cuenca LI LD

Destino

Or ig

en

(A) Manta 300 0 200 0 500 ≤ 500(B) Guayaquil 0 700 0 0 700 ≤ 700(C) Puerto López 100 200 0 500 800 ≤ 800

LI 400 900 200 500≥ ≥ ≥ ≥

LD 400 900 200 500

Or ig

en

121450VO =


Diagrama de rutas resultante

Manta (A)

Guayaquil (B)

Puerto Bolívar

(C)

Santo Domingo

(1) Quito (2)

Ambato (3)

Cuenca (4)

500

700

800500

200

900400

𝑋 𝐴1=300

𝑋𝐴3=200 𝑋 𝐵 2=700

𝑋 𝐶2=200

𝑋 𝐶1=100

𝑋 𝐶 3=500


Análisis de sensibilidad

Observamos 6 envíos de motores, (Xij) que son las variables de decisiónAhora bien, hemos supuesto que en los modelos de transporte deben estar balanceados los recursos de orígenes (Si) con la demanda de los destinos (dj). Como esto no es cierto en la realidad el balance se logra con una variable redundante. Lo que hace que el modelo se presente como degenerado, es decir menos variables positivas que número de restricciones. Entonces siempre en este tipo de modelos las variables positivas serán igual a m+n-1; contémoslas:

123

m=3

1 2 3 4

n=4

Entonces; m + n =7 (restricciones) -1= 6 Variables positivasEsto implica que hay una restricción redundante o ficticia


Informe de sensibilidad Identificación de la restricción ficticia o redundanteRestricciones

Final Sombra Restricción Permisible PermisibleCelda Nombre Valor Precio Lado derecho Aumentar Reducir$C$51 LI (1) Santo Domingo 400 120 400 0 300$D$51 LI (2) Quito 900 107,5 900 0 200$E$51 LI (3) Ambato 200 41 200 0 200$F$51 LI (4) Cuenca 500 59,5 500 0 300$G$48 (A) Manta LI 500 0 500 1E+30 0$G$49 (B) Guayaquil LI 700 -67,5 700 200 0$G$50 (C) Puerto López LI 800 -17,5 800 300 0

Observe que en la restricción de Manta (origen) aparece infinito en la columna ¨”Permisible aumentar”, es decir que esta isocuanta puede desplazarse libremente ya que está fuera del área objetivo. Que significa esto; supongamos por un momento que hubiéramos distribuido los motores de los otros dos orígenes, con un poco de imaginación sabríamos que los de Manta podrían distribuirse a los destinos que todavía no tenían satisfechas sus demandas.


Informe de SensibilidadInterpretación de la tabla “RESTRICCIONES”

Observe Usted que las primeras 4 restricciones son las de destino, y solo nos permite reducir las demandas, como ejemplo si los requerimientos de Santo domingo fueran de 399 (-1) el valor objetivo se reduciría $120.En el caso de los orígenes (3 últimas) solo nos permite aumentar, es decir en 1 (799) el número de motores en Puerto Bolívar, el valor objetivo se reduciría en $17,5.En el caso de los destinos no se podría aumentar por que se convertiría en no factible por que los orígenes no coincidirían y no habría balance. Igual en sentido contrario en el caso de los orígenes, no se podría reducir


Variaciones en el modelo de transporte Resolución de modelos de transporte de maximización:

Supongamos, ahora, que Usted representa a la empresa transportista y desea entrar a la negociación con el deseo de ganar más, entonces se realiza un pequeño cambio pero fundamental, a los coeficientes se les da valor margen de ganancias unitario.

Cuando la oferta y la demande difieren: Si los recursos (orígenes) son mayores que las demandas (destinos), no hay ningún problema en el desarrollo de Solver aparecerá en la restricción que sobra el recurso la holgura correspondiente.En el caso de que las demandas (destinos) fueran superiores a los recursos (orígenes), el modelo sería no factible. Para corregir esto, se añade una restricción de origen con el lado derecho igual al valor en exceso de la demanda y a los coeficientes del lado izquierdo se les da valor cero (0).

Eliminación de rutas no aceptables: Puede ser que por motivo de impuestos o decisiones gerenciales, alguna de las rutas es considerada por la empresa como inaceptable. En este caso el modelo se corrige dando a uno de los coeficientes un valor exageradamente grande, esto automáticamente elimina el uso de la ruta en cuestión.


EL MODELO DE ASIGNACIÓN En muchos ámbitos empresariales es posible

toparse con modelos de asignación. Estos casos se dan cuando se requiere asignar “óptimamente” n agentes u objetos individuales a n tareas. En otras palabras, solo es posible asignar una tarea a un individuo o agente; siempre considerando que en este tipo de problemas el objetivo es minimizar los costos (Cij) vistos en el modelo matemático como los coeficientes de las “variables de decisión”. Recuerde que i son los recursos de origen en los modelos de transporte y, en el caso de modelos de asignación es el individuo o agente que se asigna a una tarea especifica.


Suposiciones en el modelo de asignación El número de asignados es igual al número de tareas.

(este número se identifica con n.) (balance)

Cada individuo se asigna exactamente a una tarea

Cada tarea debe realizarla exactamente un individuo asignado

Existe un costo Cij asociado con el individuo i (i=1,2,3…n) que realiza la tarea j (j= 1,2,3…n).

El objetivo es determinar cómo deben asignarse las n asignaciones para minimizar los costos


El caso de MOTDI para inventarios El Gerente de MOTDI, observa que, como los

nuevos motores llegaron en el último trimestre del año, que se requiere empezar el ensamblaje de dichos motores de acuerdo al pedido de los clientes, es un buen momento para realizar un inventario en cada una de las plantas (Quito, Ambato, Cuenca y Santo Domingo.

El principal problema de él, es la gente especializada con que cuenta. Estos son de diferentes áreas departamentales de la oficina principal que queda en Guayaquil, y que de acuerdo a su experiencia sus costos varían. En base a estas consideraciones su Contador le elabora una tabla de costos detallada a continuación:


Tabla de costos para Inventarios de MOTDI

Santo Doming

oQuito Ambato Cuenca

Ejecutivo Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4Ing. Perero (1) 26 12 19 10

Econ. Franco (2) 13 20 12 14Ing. Calderón (3) 16 17 18 19Ab. Cáceres (4) 10 21 16 11

Costos de asignación en miles de dólares por asignación


El Modelo de asignación y consideraciones matemáticas

Tareas (j) Individuo/objeto (i) Tarea (1) Tarea (2) Tarea (3) … Tarea (n)

Asignado (1) (C*X)11 (C*X)12 (C*X)13 … (C*X)1n



… … … … … …Asignado (n) (C*X)n1 (C*X)n2 (C*X)n3 (C*X)nn

En el modelo de asignación vimos que solo se puede asignar un individuo a una tarea; esto implica que las variables de decisión (Xij) son mutuamente excluyentes entre sí, es decir:

Si observamos detenidamente veremos que; las variables de decisión son mutuamente excluyentes y que, por lo tanto estamos ante un sistema binario


El Modelo de asignación y consideraciones matemáticas

Ahora bien; tomando en cuenta las suposiciones para el modelo de asignación y la premisa de la diapositiva anterior podemos concluir que:El modelo matemático reducido sería:Minimizar los costos totales

Sujeto a:

Considerando que:


Creando el modelo matemático (La función objetivo)Procedemos entonces a introducir en la tabla general del modelo los costos unitarios asignados por el contador de MOTDI

Plantas (j) Individuo/objeto (i) Planta (1) Planta (2) Planta (3) Planta (4)

Ing. Perero (1) 26X11 12X12 19X13 10X14

Econ. Franco (2) 13X21 20X22 12X23 14X24

Ing. Calderón (3) 16X31 17X32 18X33 19X34

Ab. Cáceres (4) 10X41 21X42 16X43 11X44

La optimización

sería


Creando el modelo matemático (Las restricciones de asignación)

Igual que en el modelo de transporte, las restricciones estaban dadas por “restricciones de los orígenes” (en la horizontal), y “restricciones de los destinos” (en la vertical) de la tabla; igual sucede en el modelo de asignación: “restricciones de individuo asignado” (en la horizontal) y “restricciones de las tareas” (en la vertical); con la diferencia de que, al ser binarias las variables de decisión y (0 o 1) y mutuamente excluyentes, entonces la tabla sería;Asignación binaria Plantas (j) Individuo/objeto (i) Planta (1) Planta (2) Planta (3) Planta (4)

Ing. Perero (1) X11 X12 X13 X14 = 1

Econ. Franco (2) X21 X22 X23 X24 = 1

Ing. Calderón (3) X31 X32 X33 X34 = 1

Ab. Cáceres (4) X41 X42 X43 X44 = 1

= = = =1 1 1 1

Rest

riccio

nes

De a

signa

dos

Restricciones de tareas


El modelo matemático de MOTDI para asignar a los inventarios

Sujeto a:Restricciones de asignación

Restricciones de tareas

Establecido el modelo matemático resolvemos usando Solver


Problema resuelto con SolverAsignación

binariaSanto

Domingo Quito Ambato CuencaEjecutivo Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4

Ing. Perero (1) 0 0 0 1 1 = 1Econ. Franco (2) 0 0 1 0 1 = 1Ing. Calderón (3) 0 1 0 0 1 = 1Ab. Cáceres (4) 1 0 0 0 1 = 1

1 1 1 1= = = =1 1 1 1

Costos totales Santo Domingo Quito Ambato Cuenca

Ejecutivo Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4Ing. Perero (1) 0 0 0 10 10

Econ. Franco (2) 0 0 12 0 12

Ing. Calderón (3) 0 17 0 0 17Ab. Cáceres (4) 10 0 0 0 10

10 17 12 10 49


Caracterización del caso “Inventarios MOTDI” (asignación)

VALOR OBJETIVO MÍNIMO A GASTAR = $ 49000

Santo Domingo

(1) Quito (2)

Ambato (3)

Cuenca (4)

Guayaquil Ing. PereroC14=$10000

Econ. FrancoC23=$12000Ing. Calderón

C32=$17000

Ab. C

ácere

sC41

=$1

0000

Por favor saque el análisis de Sensibilidad y comente

36

Variaciones en el modelo de asignación

Carlos J. Molestina Malta

Como en el modelo de transporte, en el modelo de asignación se aplica las mismas consideraciones, es decir:

Resolución de modelos de asignación de maximización: Supongamos, ahora, que Usted estima que a estas zonas hay que incrementar el número de vendedores – uno por cada planta – Su deseo es saber cuanto sería su máxima ganancia marginal, entonces se realiza un pequeño cambio pero fundamental, a los coeficientes se les da valor margen de ganancias unitario.

Cuando la oferta y la demande difieren: Si los individuos (asignados) son mayores que las demandas (destinos), no hay ningún problema en el desarrollo de Solver aparecerá en la restricción que sobra el recurso la holgura correspondiente.En el caso de que los destinos fueran superiores a los individuos (asignados), el modelo sería no factible. Para corregir esto, se añade una restricción de asignados con el lado derecho igual al valor en exceso de la demanda y a los coeficientes del lado izquierdo se les da valor cero (0).

Eliminación de asignaciones inaceptables: Puede ser que por motivo de decisiones gerenciales, alguno de los asignados es considerado por la empresa como inaceptable. En este caso el modelo se corrige dando a uno de los coeficientes un valor exageradamente grande (M), esto automáticamente elimina el uso de la ruta en cuestión.

37

Variaciones en MOTDI (Estudio de caso)

Carlos J. Molestina Malta

La planta de Santo Domingo – por ser la planta más antigua no cuenta con la maquinaria apropiada para enfrentar el nuevo reto de ensamblar los motores de acuerdo a los requerimientos de los clientes. El Gerente general y sus asesores saben que el tipo de producción que se presenta es intermitente (sobre pedido). De acuerdo a un análisis estocástico (esto se verá posteriormente), estiman que para una respuesta adecuada, la planta necesita tres máquinas:

Un torno numérico Una inyectora de poliuretano Una cortadora de plasma (computarizada).Esta decisión es comunicada por el Gerente general A José, Gerente de planta de Santo Domingo.


José debe tomar decisiones José sabe el reto que tiene frente a sí. Debe ubicar la

nueva maquinaría en los sitios que dispone, sabe también que la estrategia de la empresa respecto a la región es la economía de escalas por lo que debe minimizar los costos. Sabe también que su producción, si bien sigue el tipo “producción en serie” Por ser el producto terminado de gran tamaño (ensamble de mulas, camiones, estaciones fijas, etc.), sabe a ciencia cierta que todas las partes se fabrican y pre ensamblan antes de llegar a la zona de ensamble final, es decir, al final es producto fijo.

Decide por lo tanto escoger los puntos de que dispone y compararlos en base a costos unitarios. Esto es lo que obtuvo.


Distribución en Planta

Bodega de MP

Metal mecánica

Precisión y varios

Eléctrico

Talleres Decapado y pintura

Bodega de P&PEnsamble

Ensamble


Costos unitarios para la toma de decisiones La tabla siguiente fue proporcionada a José

por su analista contable quien determinó los siguientes costos unitarios del manejo de materiales para ser procesados por las nuevas máquinas.

Áreas disponibles

Máquinas

Metalmecánica

Precisión

Talleres Decapado

T #

15 14 17 12

I P 14 10 13 19C P 7 - 11 9


Modelo de asignación de José José, Ingeniero Industrial, se propone crear un

modelo de asignación para optimizar los costos (minimizar) y obtener una adecuada ubicación de las máquinas nuevas.

José sabe que la primera suposición es “balancear” el modelo, es decir que el número de asignaciones debe ser igual al número de destinos (tareas), por lo que decide añadir una restricción ficticia. También nota que no hay costos para la posición CP – precisión. Decide pues, por lo tanto darle un costo M muy alto para que sea rechazada esta opción.

Es siguiente es el modelo creado por José.


Modelo de José

Áreas disponibles

Máquinas

Metalmecánica

Precisión

Talleres Decapado

T #

15 14 17 12

I P 14 10 13 19C P 7 M 11 9F 0 0 0 0

Ayudemos a José a resolver el nuevo modeloA Excel


FIN VOLUMEN 5

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