La onda plana uniforme

Movimiento de una onda en el espacio libre:– Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell se

obtienen primero para las condiciones de:● El espacio libre● y luego para dieléctricos perfectos,● se continúa para dieléctricos disipativos● y finalmente para buenos conductores.

Se considera el movimiento de una onda en el espacio libre:

De (1):Si cambia con el tiempo en algún punto, entonces tiene rotacional en ese punto y puede considerarse como si formara un pequeño circuito que rodea al campo variable. También, si cambia con el tiempo, cambiará con el tiempo, aunque no necesariamente de la misma manera.

De (2):El campo variable produce un campo eléctrico en forma de pequeños circuitos cerrados sobre líneas de campo . Así se obtiene un campo eléctrico cambiante, a una distancia pequeña del punto de la perturbación original.

Ondas planas en dieléctricos perfectos:

● Un dieléctrico perfecto no tiene pérdidas, tiene permitividad ε y permeabilidad μ.

● El medio es isotrópico y homogéneo y la ecuación de onda se transforma en:

Ondas planas en dieléctricos disipativos:

Reflexión de ondas planas uniformes:

– Sean dos regiones en contacto, la región 1 (ε1, μ1, σ1) en z < 0 y la región 2 (ε2, μ2, σ2) para z > 0.

– La onda viaja en la dirección +z en la región 1.

En la región 2:

Los campos en las regiones 1 y 2 deben ser iguales en z = 0. Se debe satisfacer para la región de frontera que

Ejemplo

Se tiene una onda con amplitud incidente de 100 V/m y dos medios con impedancias intrínsicas de η1 = 300 Ω y η2 = 100 Ω.Hallar: El coeficiente de reflexión. El valor de cresta del campo eléctrico reflejado. El valor de cresta de la intensidad de campo magnético

incidente y reflejado. La densidad de potencia promedio incidente y reflejada.

Propiedades ópticas de las ondas de radio

En la atmósfera terrestre, la propagación de frentes de onda y rayos puede diferir del comportamiento en el espacio libre, debido a efectos ópticos, tales como:

– Refracción.– Reflexión.– Difracción.– Interferencia.

● Se observaron primero en la óptica física.

Refracción:

● Es el cambio en la dirección de un rayo al pasar en dirección oblicua de un medio a otro con distinta velocidad de propagación.

● El índice de refracción es la relación entre la velocidad de propagación de la luz en el espacio vacío entre la velocidad de propagación de la luz en un determinado material:

● También es función de la frecuencia:

n =cv

● Ley de Snell:– Forma en que reacciona una onda electromagnética

cuando llega a la interfase entre dos materiales transmisores que tienen distintos índices de refracción.

n1 senθ1 = n2 senθ2

senθ1

senθ2

=n2

n1

– El índice de refracción de un material es igual a la raíz cuadrada de su constante dieléctrica:

sen θ1

sen θ2

= √(εr2εr1)

– También se presenta refracción cuando un frente de onda se propaga en un medio que tiene un gradiente de densidad, perpendicular al la dirección de propagación, es decir, paralelo al frente de onda.

Ejemplo:

Para una relación dieléctrica y un ángulo de incidencia θi = 26°.Calcule el ángulo de refracción.

√εR2εR1

= 0,8

√εR2εR1

=senθ1

senθ2

0,8 =senθ1

senθ2

senθ2 =sen 26 °

0,8

θ2 = 33,23°

Ejemplo:

Sea una onda electromagnética que pasa al espacio libre procedente de un medio con un índice de refracción igual 1,2.Hallar el ángulo crítico.

η2η1

=senθ1

senθ2

η2η1

= senθc

senθc =1

1,2

θc = 56,44°

Ejercicio:

Se tienen tres medios consecutivos por los que viaja una onda electromagnética, sus índices de refracción son respectivamente η

1 = 1,25, η

2 = 1,3 y η

3 = 1,1.

Si el ángulo de incidencia del medio 1 al medio 2 es de 15°, hallar el ángulo de refracción en el tercer medio.

senθ2 =η1 senθ1

η2

θ3 = 17,1°

→θ2 = 14,41 °

senθ3 =η2 sen θ2

η3

Reflexión:

● Se presenta cuando una onda incidente choca con la frontera entre dos medios.

● Algo o toda la potencia incidente no entra en el segundo material.

● Dichas ondas que no entran, se reflejan.● Las velocidades de las ondas incidentes y

reflejadas son iguales.– Están en el mismo medio.

● El ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

● El coeficiente de reflexión es la relación entre las intensidades del voltaje reflejado y el incidente.

Γ =E r e

jθr

E i ej θi

=E rE i

= ej (θr − θi)

● Criterio de Rayleigh:– Una superficie semiáspera refleja como si fuera una

superficie lisa, siempre que el coseno del ángulo de incidencia sea mayor que λ/8d.

cos (θi ) > λ8d

Difracción:

● Es la redistribución de la energía dentro de un frente de onda al pasar cerca de la orilla de un objeto opaco.

Dimensionesdel obstáculo

Principio deHuygens

DifracciónDifracción

● Dimensiones del obstáculo:– Cuando un frente de onda pasa cerca de un obstáculo o

discontinuidad cuyas dimensiones sean grandes comparados con la longitud de onda de la señal.

● Principio de Huygens:– Todo punto sobre un determinado frente de onda

esférico se puede considerar como una fuente puntual secundaria de ondas electromagnéticas, desde la cual se irradian y se alejan ondas secundarias.

Interferencia:

● Se produce cuando se combinan dos o más ondas electromagnéticas de tal manera que se degrada el funcionamiento del sistema.

● Está sujeta al principio de superposición lineal de las ondas electromagnéticas.

Rayos y frentes de onda:

Z s = √μ0ε0

← Impedancia del espacio libre

D = ε2

377= 377 H 2 W /m2

H = ε377

A/m

Frente de onda esférica:● Se tiene una carga puntual, la cual genera un frente

de onda esférico.● La potencia se debe conservar para cualquier

distancia en la que se mida, así, se distribuye uniformemente en la superficie esférica de prueba.

R

D =P rad

4π R2

W

m2

P rad4π R2

=E 2

377

E2=

377 P rad4π R2

E =√30 P radR

Ley del cuadrado inverso:● La potencia es igual para cualquier distancia, lo que

varía es la densidad de potencia al aumentar el área conforme se aumenta la distancia de la fuente de potencia puntual.

RR22

RR11

P2

P1

=R1

2

R22

P2

P1

= ( R1

R2)

2

Ejemplo:

Determine para una antena isotrópica que irradia 100 W de potencia:a) Densidad de potencia a 1000 m de la fuente.b) Densidad de potencia a 2000 m de la fuente.

a)

b)

D1 =100

4π10002 = 7,96μW

m2

P2

P1

=10002

20002

→ P2 =7,96×10−6

(1000)2

(2000)2= 1,99

μW

m2