ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

GRUPO # 3DAMARA VERDUGO

JESSICA RAMÓNDARWIN VINCENT

𝑝𝑒𝑞=𝑝 𝐽+𝑝𝑒𝑙 é 𝑐+𝑝𝑚𝑎𝑔+𝑑𝑖𝑣 (𝐸× �⃗�)𝑝𝑒𝑞=

1𝜎�⃗� 2+�⃗� ˙⃗𝐷+�⃗� ˙⃗𝐵+𝑑𝑖𝑣(𝐸× �⃗�)

𝑝𝑒𝑙 é 𝑐=�⃗�˙⃗𝐷 ;⃗𝐷=𝜀 �⃗� ; ˙⃗𝐷=𝜀 ˙⃗𝐸

𝑝𝑒𝑙 é 𝑐=𝜀 �⃗�˙⃗𝐸

𝑝𝑒𝑙 é 𝑐=𝜕𝜕𝑡 ( 12 𝜀 �⃗�2);𝑝=

𝜕𝑤𝜕𝑡

𝑊=12𝐶𝑣2𝑤𝑒𝑙 é 𝑐=

12𝜀𝐸2

𝑊=12𝐿𝑖2

𝑝𝑒𝑞=𝑝 𝐽+𝑝𝑒𝑙 é 𝑐+𝑝𝑚𝑎𝑔+𝑑𝑖𝑣 (𝐸× �⃗�)

𝑝𝑒𝑞=1𝜎�⃗� 2+�⃗� ˙⃗𝐷+�⃗� ˙⃗𝐵+𝑑𝑖𝑣 (𝐸× �⃗�)

𝑝𝑚𝑎𝑔= �⃗�˙⃗𝐵 ;⃗𝐵=𝜇 �⃗� ; ˙⃗𝐵=𝜇 ˙⃗𝐻

𝑝𝑚𝑎𝑔=𝜇 �⃗�˙⃗𝐻

𝑝𝑚𝑎𝑔=𝜕𝜕𝑡 ( 12 𝜇 �⃗�2);𝑝=

𝜕𝑤𝜕𝑡

𝑤𝑚𝑎𝑔=12𝜇 �⃗�2

�⃗�

�⃗�

𝑝𝑒𝑞=1𝜎�⃗� 2+�⃗� ˙⃗𝐷+�⃗� ˙⃗𝐵+𝑑𝑖𝑣 (𝐸× �⃗�)

0=0+𝑝𝑒𝑙 é 𝑐+𝑝𝑚𝑎𝑔+𝑑𝑖𝑣 ( �⃗�× �⃗� )𝜕𝜕𝑡 (𝑤𝑒𝑙é 𝑐 )+ 𝜕

𝜕𝑡 (𝑤𝑚𝑎𝑔 )=−𝑑𝑖𝑣 (�⃗�× �⃗� )

𝜕𝜕𝑡 (𝑤𝑒𝑙é 𝑐+𝑤𝑚𝑎𝑔 )=−𝑑𝑖𝑣 (�⃗�× �⃗� )

∫𝑉

❑ 𝜕𝜕𝑡 (𝑤𝑒𝑙é 𝑐+𝑤𝑚𝑎𝑔 )𝑑𝑉=¿−∫

𝑉

❑

𝑑𝑖𝑣 (�⃗�× �⃗� )  𝑑𝑉 ¿

𝜕𝜕𝑡∫𝑉

❑

(𝑤𝑒𝑙 é 𝑐+𝑤𝑚𝑎𝑔 )𝑑𝑉=¿−∮𝑆

❑

(�⃗�× �⃗� )  𝑑 �⃗�¿Conservación de la energía

∗

∗

Ejercicio. En esta configuración, determinar:

z

𝐼

�⃗�𝑙

𝑏𝜎

𝐴

a) El vector de Poynting.b) El flujo del vector de Poynting a través de ese volumen.

a) �⃗�=𝜎 �⃗�𝑎𝑧 𝐽 𝑧=𝜎 (𝑎𝑧𝐸𝑧 )𝐽 𝑧=𝜎 𝐸𝑧

𝐸𝑧=𝐽 𝑧𝜎  ;𝐽 𝑧=

𝐼A  

=𝐼𝜋 𝑏2

𝐸𝑧=𝐼

𝜎 𝜋𝑏2;⃗𝐸=𝑎𝑧

𝐼𝜎 𝜋𝑏2

∮𝐶

❑

�⃗� ∙𝑑 �⃗�= 𝐼

∫0

2 𝜋

𝐻𝜑𝑏𝑑𝜑=𝐼

�⃗�=𝑎𝜑𝐻𝜑

𝑑�⃗�=𝑎𝜑𝑑𝑙𝑑 �⃗�=𝑎𝜑(𝑏𝑑𝜑)

2𝜋𝑏𝐻𝜑=𝐼

𝐻𝜑=𝐼

2𝜋 𝑏;⃗𝐻=𝑎𝜑

𝐼2𝜋𝑏

𝑆=𝐸× �⃗�

𝑆=−𝑎𝜌𝐼 2

2𝜋 2𝑏3𝜎

b) ∮𝑆

❑

( �⃗�× �⃗� )𝑑 �⃗�=∫𝑉

❑

𝑑𝑖𝑣 ( �⃗� )𝑑𝑉

¿∫𝑉

❑ [ 1𝜌 𝜕𝜕 𝜌

(𝜌𝑆𝜌 )+ 1𝜌𝜕𝑆𝜑𝜕𝜑

+𝜕𝑆𝑧

𝜕 𝑧 ]𝑑𝑉¿∭ [ 1𝜌 𝜕

𝜕 𝜌 (− 𝜌 𝐼 2

2𝜋 2𝑏3𝜎 ) ]𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜑𝑑𝑧¿− 𝐼2

2𝜋 2𝑏3𝜎∫0

𝑏

𝑑𝜌∫0

2𝜋

𝑑𝜑∫0

𝑙

𝑑𝑧

¿− 𝐼2 𝑙𝜋𝑏2𝜎

El flujo entra

𝑃= 𝐼2𝑅 ;

𝑅=𝜌𝑒𝑙 é 𝑐𝑙𝑆

=𝜌𝑒𝑙 é 𝑐𝑙

𝜋 𝑏2

𝐼 2 𝑙𝜋𝑏2𝜎

𝜌𝑒𝑙 é 𝑐=1𝜎

𝑅=𝑙

𝜋𝑏2𝜎

ONDAS ELECTROMAGNETICASONDA PLANA Forma Eléctrica

Partimos de la primera ecuación de Maxwell en forma diferencial

Desarrollamos la parte derecha de la ecuación

Reemplazando en la ecuación

Ecuación 1)𝒅𝒊𝒗 ( �⃗� )=𝑷𝒗 ;𝒅𝒊𝒗 (∈ �⃗� )=𝑷𝒗 ;𝒅𝒊𝒗 �⃗�=

𝑷𝒗∈

Forma Magnética

Partimos de la segunda ecuación de Maxwell en forma diferencial

Desarrollamos la parte derecha de la ecuación

Reemplazando en la ecuación

Ecuación 2)

Las ecuaciones 1) y 2) son las ecuaciones generalizadas de campos u ondas electromagnéticas

De las ecuaciones generalizadas de las ondas electromagnéticas Parte eléctrica Si ρv=0 y σ=0 ∇2𝐸ሬԦ= 𝜇𝜎𝐸ሬԦ+ 𝜇𝜎𝐸ሬԦሷ ∇2𝐸ሬԦ= 𝜇𝜎𝐸ሬԦሷ ∇2𝐸ሬԦ− 𝜇𝜎𝐸ሬԦሷ= 0 Parte eléctrica Si σ=0 ∇2𝐻ሬሬԦ= 𝜇𝜎𝐻ሬሬԦሷ ∇2𝐻ሬሬԦ− 𝜇𝜎𝐸ሬԦሷ= 0

Resolviendo las ecuaciones anteriores en coordenadas cartesianas ∇2𝐸ሬԦ: ∇2𝐸𝑋 ; ∇2𝐸𝑌 ; ∇2𝐸𝑍 ∇2𝐸ሬԦ= 𝑎𝑥ሬሬሬሬԦ∇2𝐸𝑋 + 𝑎𝑦ሬሬሬሬԦ∇2𝑦+ 𝑎𝑧ሬሬሬሬԦ∇2𝐸𝑧 𝜇𝜀𝐸ሬԦ:ሷ 𝜇𝜀𝐸𝑥ሷ; 𝜇𝜀𝐸𝑦ሷ; 𝜇𝜀𝐸𝑧ሷ 𝜇𝜀𝐸ሬԦ:ሷ= 𝑎𝑥ሬሬሬሬԦ𝜇𝜀𝐸𝑥ሷ+ 𝑎𝑦ሬሬሬሬԦ𝜇𝜀𝐸𝑦ሷ + 𝑎𝑧ሬሬሬሬԦ𝜇𝜀𝐸𝑧ሷ Por lo tanto, como ∇2𝐸ሬԦ− 𝜇𝜀𝐸ሬԦሷ= 0 ∗ ∇2𝐸𝑋− 𝜇𝜀𝐸𝑥ሷ= 0 ∗ ∇2𝐸𝑦 − 𝜇𝜀𝐸𝑦ሷ= 0 ∗ ∇2𝐸𝑦 − 𝜇𝜀𝐸𝑦ሷ= 0

∇2𝐻ሬሬԦ− 𝜇𝜀𝐻ሬሬԦሷ= 0 ∗ ∇2𝐻𝑋− 𝜇𝜀𝐻𝑥ሷ= 0 ∗ ∇2𝐻𝑦 − 𝜇𝜀𝐻𝑦ሷ= 0 ∗ ∇2𝐻𝑦 − 𝜇𝜀𝐻𝑦ሷ= 0 Para resolver matemáticamente las 6 ecuaciones son iguales y reemplazo con una componente generalizada 𝜓 = 𝜓ሺ𝑥,𝑥𝑦,𝑧,𝑡ሻ Que se cumple para Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz Entonces se tiene: ∇2𝜓− 𝜇𝜀𝜓ሷ= 0

Definición: 𝜐= 1ξ𝜇𝜖 , entonces ∇2𝜓− 1𝜐2 𝜓ሷ= 0 , Ecuación de Onda Consideración Si esta componente generalizada, solo depende de z y t, por lo tanto 𝜓 = 𝜓ሺ𝑧,𝑡ሻ ∇2𝜓= 𝜕2𝜓𝜕𝑥2 + 𝜕2𝜓𝜕𝑦2 + 𝜕2𝜓𝜕𝑧2

De donde: 𝜕2𝜓𝜕𝑧 − 𝜇𝜖𝜕2𝜓𝜕𝑡2 = 0 𝜕2𝜓𝜕𝑧 − 1𝜐2 𝜕2𝜓𝜕𝑡2 = 0 𝜕2𝜓𝜕𝑧 − 𝜕2𝜓𝜕(𝑡𝜐)2 = 0

Solución D’Alambert 𝜓 = 𝑓ሺ𝜂ሻ+ 𝑔(𝛾) ൬𝜕𝜓𝜕𝑧− 𝜕𝜓𝜕𝑡𝜐൰൬𝜕𝜓𝜕𝑧+ 𝜕𝜓𝜕𝑡𝜐൰൨= 0

𝜕𝜓𝜕𝑧 = 𝜕𝜓𝜕𝜂 𝜕𝜂𝜕𝑧+ 𝜕𝜓𝜕𝛾𝜕𝛾𝜕𝑧= 𝜕𝜓𝜕𝛾 − 𝜕𝜓𝜕𝜂 𝜕𝜓𝜕𝑡𝜐= 𝜕𝜓𝜕𝜂 𝜕𝜂𝜕𝑡𝜐+ 𝜕𝜓𝜕𝛾 𝜕𝛾𝜕𝑡𝜐= 𝜕𝜓𝜕𝛾 − 𝜕𝜓𝜕𝜂

Donde

𝜕𝜂𝜕𝑧 = −1; 𝜕𝛾𝜕𝑧 = 1 ; 𝜕𝜂𝜕𝑡𝜐 = 1; 𝜕𝛾𝜕𝑡𝜐 = 1

൬−𝜕𝜓𝜕𝜂 − 𝜕𝜓𝜕𝛾൰−൬𝜕𝜓𝜕𝜂 − 𝜕𝜓𝜕𝛾൰൨൬−𝜕𝜓𝜕𝜂 + 𝜕𝜓𝜕𝛾൰+൬

𝜕𝜓𝜕𝜂 + 𝜕𝜓𝜕𝛾൰൨= 0

൬−2𝜕𝜓𝜕𝜂൰൨൬2𝜕𝜓𝜕𝛾൰൨= 0 𝜕𝜓𝜕𝜂 .𝜕𝜓𝜕𝛾 = 0

𝜕2𝜓𝜕𝜂𝜕𝛾 = 0, analizando en: 𝜓 = 𝑓ሺ𝜂ሻ+ 𝑔(𝛾) si es cero

GRACIAS