REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL … · Ejercicios del Libro Teoría...

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIV ERSITARIA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DE ARAGUA “FEDERICO BRITO FIGUEROA”

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRÓNICA

LEY DE COULOMB. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO.

DENSIDAD DE FLUJO ELÉCTRICO. LEY DE GAUSS. DIVERGEN CIA. ENERGÍA. POTENCIA. CORRIENTE Y CONDUCTORES.

Ejercicios del Libro Teoría Electromagnética. 7ª Ed ición - Hayt Jr. & Buck TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA AUTORES: Sección I Alaez Yeni C.I.: 17.176.232 Trayecto III Amaya, Yetniel C.I .: 15.734.449

Chavarria, Yuversy C.I.: 15.779.701 Chirinos, Henry C.I.: 14.848.160 Rojas, Ángel C.I.: 13.199.879 Yánez, Wladimir C.I.: 16.685.186

La Victoria, Abril de 2012

PNF Electrónica - Trayecto III - Teoría Electromagn ética Abril de 2012

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_____________________________________________________________________________________________ Autores: Alaez Yeni - Amaya, Yetniel - Chavarria, Yuversy - Chirinos, Henry - Rojas, Ángel - Yánez, Wladimir

2

ÍNDICE

Pág. CAPÍTULO II

Problema Nº 2.3 .................................................................................................... 3 Problema Nº 2.5 .................................................................................................... 4 Problema Nº 2.7 .................................................................................................... 6 Problema Nº 2.10 .................................................................................................. 7 Problema Nº 2.11 .................................................................................................. 10 Problema Nº 2.16 .................................................................................................. 12 Problema Nº 2.17 .................................................................................................. 14 Problema Nº 2.18 .................................................................................................. 15 Problema Nº 2.19 .................................................................................................. 17 Problema Nº 2.27 .................................................................................................. 18

CAPÍTULO III Problema Nº 3.2 .................................................................................................... 19 Problema Nº 3.3 .................................................................................................... 21 Problema Nº 3.5 .................................................................................................... 22 Problema Nº 3.7 .................................................................................................. 23 Problema Nº 3.17 .................................................................................................. 24 Problema Nº 3.19 .................................................................................................. 26 Problema Nº 3.21 .................................................................................................. 27 Problema Nº 3.25 .................................................................................................. 29 Problema Nº 3.29 .................................................................................................. 30 Problema Nº 3.31 .................................................................................................. 32

CAPÍTULO IV Problema Nº 4.1 .................................................................................................... 34 Problema Nº 4.4 .................................................................................................... 36 Problema Nº 4.5 .................................................................................................... 37 Problema Nº 4.9 .................................................................................................... 38 Problema Nº 4.14 .................................................................................................. 39 Problema Nº 4.21 .................................................................................................. 40 Problema Nº 4.23 .................................................................................................. 42 Problema Nº 4.25 .................................................................................................. 43 Problema Nº 4.29 .................................................................................................. 44 Problema Nº 4.33 .................................................................................................. 45

CAPÍTULO V Problema Nº 5.2 .................................................................................................... 46 Problema Nº 5.3 .................................................................................................... 47 Problema Nº 5.9 .................................................................................................... 48 Problema Nº 5.10 .................................................................................................. 49 Problema Nº 5.13 .................................................................................................. 50 Problema Nº 5.14 .................................................................................................. 51 Problema Nº 5.17 .................................................................................................. 52 Problema Nº 5.19 .................................................................................................. 54 Problema Nº 5.24 .................................................................................................. 56 Problema Nº 5.26 .................................................................................................. 57


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3

2.3. Cuatro cargas puntuales de 50nC cada una se ubican en el espacio libre en los puntos A(1,0,0), B(-1,0,0), C(0,1,0) y D(0,-1,0). Encontrar la fuerza total sobre la carga que está en A.

2

3 3 304A

q BA CA DAF

BA CA DAπ

= + + ∈

xa

( ) ( )1,0,0 1,0,0 2BA A B= − = + = xa

( ) ( ) ( )2 2 22 0 0 4 2BA = + + = =

( ) ( )1,0,0 0, 1,0CA A C= − = + − = −x ya a

( ) ( ) ( )2 2 21 1 0 2CA = + − + =

( ) ( )1,0,0 0,1,0DA A D= − = + = +x ya a

( ) ( ) ( )2 2 21 1 0 2DA = + + =

2 2

3 3 3 3 3 30 0

2

4 4 2 2 2 2 2A

q BA CA DA qF

BA CA DAπ π

− + = + + = + + ∈ ∈

x y x yxx x

a a a aaa a

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 929

3 3 30

2 1 1 8.9918 1050 10 5.6575 8 8

4 22.632 2 2 2 2A

q xF x

π−

= + + = ⋅ ⋅ + + ∈

x xa a

( ) ( )9 15 58.9918 10 2.5 10 2.15 10AF x x x C− −= ⋅ =x xa a


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4

2.5. Una carga puntual 1 25Q nC= está en el punto 1(4, 2,7)P − y una carga 2 60Q nC= está

en 2( 3,4, 2)P − − ,

a) Si 0∈=∈ , encontrar E en el punto 3(1,2,3)P .

( ) ( ) ( )13 1,2,3 4,2, 7 3,4, 4P = + − − = − −

( ) ( ) ( )2 2 2

13 3 4 4 9 16 16 41 6.4P = − + + − = + + = =

( ) ( ) ( )23 1,2,3 3, 4,2 4, 2,5P = + − = −

( ) ( ) ( )2 2 2

23 4 2 5 16 4 25 45 6.71P = + − + = + + = =

( )( )

( )( )1 23 3

0

3 4 4 4 2 51

4 6.4 6.71E q q

π − + − − +

= + ∈

x y z x y za a a a a a

( ) ( ) ( )9 9 93 4 4 4 2 58.99 10 25 10 60 10

262.14 301.87E x x x− −− + − − +

= +


( ) ( )( ) ( )( )9 98.99 10 10 0.0954 3 4 4 0.1988 4 2 5E x x − = − + − + − + x y z x y za a a a a a

( ) ( )8.99 0.2862 0.3816 0.3816 0.7952 0.397 0.994E = − + − + − + x y z x y za a a a a a

( )( )8.99 0.509 0.01546 0.6084 4.58 0.13846 5.47E = − − = − −x y z x y za a a a a a

b) ¿En qué punto sobre el eje y 0xE = ?.

( ) ( ) ( )13 0, ,0 4,2, 7 4 2 7P y y= + − − = − + + −x y za a a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

13 4 2 7 16 49 2 65 2P y y y= − + + + − = + + + = + +

( ) ( ) ( )23 0, ,0 3, 4,2 3 4 2P y y= + − = + − +x y za a a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

23 3 4 2 9 4 4 13 4P y y y= + − + = + + − = + −

( ) ( )

( )( ) ( )

( )13 23

1 23 30

13 23

1

4x x

x

P PE q q

P Pπ

= + ∈


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5

( ) ( )( )( )

( )( )( )

9 9 93 3

2 2

4 38.99 10 25 10 60 10

65 2 13 4E x x x

y y

− −

−= + + + + −

( )( )( ) ( )( )3 3

2 2

100 1808.99

65 2 13 4xE

y y

−= + + + + −

( )( ) ( )( )3 32 2

899 1618.20

65 2 13 4y y

−= + + + + −

,

Evaluando en Maple 15, nos arroja las raíces:

1 1.01 9.22y I= + , 2 1.01 9.22y I= − , 3 22.13y = − , 4 6.89y = −

Entonces los valores reales de y a tomar serán:

3 22.13y = − , 4 6.89y = −


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6

2.7. Una carga puntual de 2 Cµ está en el espacio libre en (4,3,5)A . Encontrar Eρ , Eφ y

zE en el punto (8,12,2)P .

Calculamos AP

:

( ) ( ) ( )8,12,2 4, 3, 5 4,9, 3AP = + − − − = −

( ) ( ) ( )2 2 24 9 3 16 81 9 106 10.29AP = + + − = + + = =

( )( ) ( )

( )9 6

3 30

4 9 38.99 10 2 10

4 10.29p

q APE x x

APπ−

+ − = = ⋅ ∈

x y za a a

( ) ( )317.98 10 0.0036 0.0082 0.0027 64.73 143.84 48.55pE x= ⋅ + − = + −x y z x y za a a a a a

Cambiando a cilíndricas las coordenadas de P:

1 1 12tan tan 56.31º

8

y

xφ − − = = =

( ) ( )64.73 143.84 48.55 64.73cos 143.84 48.55 0E senρ φ φ= ⋅ + ⋅ − ⋅ = + −x ρ y ρ z ρa a a a a a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )64.73cos 56.31º 143.84 56.31º 64.73 0.55 143.84 0.832 155.57E sen V mρ = + = + = ρa

( ) ( )64.73 143.84 48.55 64.73 143.84cosE senφ φ φφ φ φ= ⋅ + ⋅ − ⋅ = − +x y za a a a a a

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )64.73 56.31º 143.84cos 56.31º 64.73 0.832 143.84 0.55E senφ = − + = − +

( ) 25.26E V mφφ = a

( ) 48.55zE V m= − za


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7

2.10. Una carga de prueba positiva se utiliza para obtener el campo que produce una carga puntual positiva Q en ( , , )P a b c . Si la carga de prueba se coloca en el origen, la fuerza

sobre ella se presenta en la dirección 0.5 0.5 3−x ya a , y cuando la carga de prueba se

desplaza al punto (1,0,0), la fuerza está en la dirección 0.6 0.8−x ya a . Encontrar a, b y c.

Siendo r x y z= + +x y za a a y r a b c′ = + +x y za a a

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )3 32 2 20 04 4

x a y b z cq r r qE

r r x a y b z cπ π

− + − + −′− = =

∈ ∈ ′− − + − + −

x y za a a

Evaluando los puntos en el origen (0,0,0) y en (1,0,0) calculamos los vectores unitarios:

( )( ) ( ) ( )

0,0,0 2 2 20.5 0.5 3

a b cu

a b c

+ += = −

+ +

x y zx y

a a aa a

.1.

( )( )( ) ( ) ( )

1,0,0 2 2 2

10.6 0.8

1

a b cu

a b c

− + += = −

− + +

x y zx y

a a aa a

.2.

De la expresión .1., notamos que 0.5a = y 3b a= − , no hay componente en z, así que c=0 en los 2 vectores. Sustituyendo, el módulo de .1. queda:

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 23 3 4 2a b a a a a a a+ = + − = + = = .3.

Reemplazando .3. en .2., extrayendo el módulo:

( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 2 1 2 4 4 2 1a b a a b a a a a− + = − + + = − + = − +

De .2., tomo la componente xa para obtener el valor de a :

( )2

10.6

4 2 1

a

a a

−=

− +

( ) ( )21 0.6 4 2 1a a a− = − +

( ) ( )( )2 21 0.36 4 2 1 1.44 0.72 0.36a a a a a− = − + = − +

( )2 21 1.44 0.72 0.36a a a− = − + 2 22 1 1.44 0.72 0.36a a a a− + = − +


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8

20 0.44 1.28 0.64a a= + − ; calculando las raíces por la fórmula: 2 4

2

b b aca

a

− ± −= ,

obtenemos: 1 0.435a = y 2 3.344a = − .

De acuerdo a 3b a= − , las correspondientes b, serían:

1 0.435 3 0.753b = − = −

2 3.344 3 5.792b = =

Las posibles coordenadas de P, serán:

( )1 0.435, 0.753,0P − y ( )2 3.344,5.792,0P −

Comprobando ( )1 0.435, 0.753,0P − en .1. y en .2.:

( ) ( ) ( )2 2 20.5 0.5 3

a b c

a b c

+ += −

+ +

x y zx y

a a aa a

( ) ( )( )

2 2

0.435 0.7530.5 0.5 1.732

0.435 0.753

−= −

+ −

x yx y

a aa a

0.5 0.866 0.5 0.866− = −x y x ya a a a ; se cumple.

( )( ) ( ) ( )2 2 2

10.6 0.8

1

a b c

a b c

− + += −

− + +

x y zx y

a a aa a

( )( ) ( )2 2

1 0.435 0.7530.6 0.8

1 0.435 0.753

− −= −

− + −

x yx y

a aa a

0.6 0.8 0.6 0.8− = −x y x ya a a a ; se cumple.

Ahora comprobando ( )2 3.344,5.792,0P − en .1. y en .2.:

( ) ( ) ( )2 2 20.5 0.5 3

a b c

a b c

+ += −

+ +

x y zx y

a a aa a

( ) ( )( )

2 2

3.344 5.7920.5 0.5 1.732

3.344 5.792

− += −

− +

x yx y

a aa a

0.5 0.863 0.5 0.866− + ≠ −x y x ya a a a ; no se cumple en el sentido.

( )( ) ( ) ( )2 2 2

10.6 0.8

1

a b c

a b c

− + += −

− + +

x y zx y

a a aa a


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9

( )( ) ( )2 2

1 3.344 5.7920.6 0.8

1 3.344 5.792

+ += −

+ +

x yx y

a aa a

0.6 0.86 0.6 0.8+ ≠ −x y x ya a a a ; no se cumple.

Las solución adecuada la brindan las coordenadas del punto ( )1 0.435, 0.753,0P − .


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10

2.11. Una carga 0Q que está en el origen genera un campo cuyo valor 1zE kV m= en el

punto ( 2,1, 1)P − − .

a) Encontrar 0Q ,

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

9003

2 2 20

2,1, 1 2,1, 18.99 10

4 14.6972 1 1

p

qE x q

π

− − − −

= = ⋅ ∈ − + + −

( ) ( ) ( )806.12 10 2,1, 1pE x q= ⋅ ⋅ − −

Como ( ), ,p x y zE E E E= , entonces sólo tomamos la componente za :

( ) ( ) ( )801 6.12 10 1zE kV m x q= = ⋅ ⋅ −

( ) ( )0 8

11.63

6.12 10 1

kV mq C

xµ= = −

⋅ −

b) Encontrar E en (1,6,5)M en coordenadas cartesianas.

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

9 603

2 2 20

1,6,5 1,6,58.99 10 1.63 10

4 488.191 6 5

M

qE x x

π−

= = ⋅ − ∈ + +

( )30, 180.1, 150.1ME V m= − − −

c) Encontrar E en (1,6,5)M en coordenadas cilíndricas. Utilizando los resultados del inciso anterior para cambiar a coordenadas cilíndricas.

2 2 2 21 6 37 6.083x yρ = + = + = =

1 1 6tan tan 80.54º

1

y

xφ − − = = =

5z =

( ) ( )30 180.1 150.1 30cos 180.1 150.1 0E senρ φ φ= − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − − −x ρ y ρ z ρa a a a a a

( ) ( ) ( )30cos 80.54º 180.1 80.54º 4.931 177.65 182.58E sen V mρ = − − = − − = − ρa

( ) ( )30 180.1 150.1 30 180.1cosE senφ φ φφ φ φ= − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − − −x y za a a a a a

( ) ( ) ( )30 80.54º 180.1cos 80.54º 29.59 29.59 0E sen V mφφ = − = − = a


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11

( ), , 182.58 150.1zE V mρ φ = − −ρ za a

d) Encontrar E en (1,6,5)M en coordenadas esféricas.

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 1 6 5 62 7.874r x y z= + + = + + = =

1 1 5cos cos 50.58º

7.874

z

rθ − − = = =

1 1 6tan tan 80.54º

1

y

xφ − − = = =

( )30 180.1 150.1 30 cos 180.1 150cos

rME sen sen senθ φ θ φ θ= − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −x r y r z ra a a a a a

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )30 0.16 0.77 180,1 0.99 0.77 150 0.63 3.693 137.29 94.56

rME = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − = − − −

( )235.55

rME = −

( )30 180.1 150.1ME

θ= − ⋅ − ⋅ − ⋅x θ y θ z θ

a a a a a a

( )( )30 cos cos 180.1 cos 150.1ME sen sen

θθ φ θ φ θ= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − −

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )30 0.63 0.16 180.1 0.63 0.99 150.1 0.77 3.024 112.33 115.577 0ME

θ= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + = − − + =

( )( ) ( ) ( )30 180.1 150.1 30 0 180.1 0 150.1 0 0ME

φ φ φ φ= − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − − − =x y za a a a a a

( ), , 235.55M rE V mθ φ = − ra

( ) 150.1zE V m= − za


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12

2.16. Una densidad de carga está dada por 30vCr a

mρ ρ= en una región del espacio libre

donde 0ρ y a son constantes. Encontrar la carga total dentro:

a) La esfera r a≤ , La expresión r a≤ en una esfera quiere decir 0 r a≤ ≤ , y considerando 0 θ π≤ ≤ y 0 2φ π≤ ≤ .

En una superficie esférica cualquiera: 2r sen dr d dθ θ φ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Calculando la integral triple:

2 22 3000 0 0 0 0 0

a a

T vvQ dv r a r sen dr d d r sen dr d d

a

π π π πρρ ρ θ θ φ θ θ φ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫442 2

0 0

00 0 0 04 4|a

T

arQ sen d d sen d d

a a

π π π πρ ρθ θ φ θ θ φ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )3 3 3

2 2 30 0 000 0

cos cos0 2 24 4 2T

a a aQ d d a C

π πρ ρ ρπ φ φ π ρ π⋅ ⋅ ⋅= − − − ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⋅ ∫ ∫

b) El cono r a≤ , 0 0.1θ π≤ ≤ ,

Considerando 0 2φ π≤ ≤ . Y la superficie esférica cualquiera: 2r sen dr d dθ θ φ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Calculando la integral triple:

2 0.1 2 0.12 3000 0 0 0 0 0

a a


a

π π π πρρ ρ θ θ φ θ θ φ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫442 0.1 2 0.1

0 0

00 0 0 04 4|a

T

arQ sen d d sen d d

a a

π π π πρ ρθ θ φ θ θ φ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )( )3 3 3

2 20 0 0

0 0cos0.1 cos0 0.05 0.05 2

4 4 4T

a a aQ d d

π πρ ρ ρπ φ φ π⋅ ⋅ ⋅= − − − ⋅ = ⋅ = ∫ ∫

300.025TQ a Cρ π= ⋅ ⋅ ⋅

c) La región r a≤ , 0 0.1θ π≤ ≤ , 0 0.2φ π≤ ≤ .

La superficie esférica cualquiera: 2r sen dr d dθ θ φ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Calculando la integral triple:

0.2 0.1 0.2 0.12 3000 0 0 0 0 0

a a


a

π π π πρρ ρ θ θ φ θ θ φ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫44

0.2 0.1 0.2 0.10 0

00 0 0 04 4|a

T

arQ sen d d sen d d

a a

π π π πρ ρθ θ φ θ θ φ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∫ ∫ ∫ ∫


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13

( ) ( ) ( ) ( )3 3 3

0.2 0.20 0 0

0 0cos0.1 cos0 0.05 0.05 0.2

4 4 4T

a a aQ d d

π πρ ρ ρπ φ φ π⋅ ⋅ ⋅= − − − ⋅ = ⋅ = ∫ ∫

300.00244TQ a Cρ π= ⋅ ⋅ ⋅


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14

2.17. Una carga lineal uniforme de 16nC m se ubica a lo largo de la línea definida por y=-2,

z =5. Si 0∈=∈ ,

a) Encontrar E en (1,2,3)P , Asumimos x =1. Calculamos el vector desde la línea de carga al punto P.

( ) ( ) ( )1,2,3 1,2, 5 0,4, 2r = + − − = −

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

9 10

22 20

16 10 1.8 104 24 2 57.55 28.77

2 204 2

vP

x xE V m

ρπ

− ⋅−

= = − = − ∈ + −

y zy z y z

a aa a a a

b) Encontrar E en ese punto sobre el plano z =0 donde la dirección de E está dada por 1 2

3 3−y za a .

Como 0=xa , asumo x =1 y el punto referencia como (1, ,0)y .

( ) ( ) ( )1, ,0 1,2, 5 0, 2, 5r y y′ = + − − = + −

( )

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

9 10

2 22 20

16 10 1.8 102 52 5

2 2 252 5

vP

x xyE y

yy

ρπ

− ⋅+ −

= = + − ∈ + + + + −

y zy z

a aa a

Por el vector que da la dirección:

23 2

13

−= = −z

y

aa

, lo que quiere decir que:

2= −z ya a

( )5 2 2y− = − +

2.5 2 0.5y = − = Sustituyendo en la expresión del campo:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )9 10

2 2

16 10 1.8 10 2880.5 2 5 2.5 5 9.216 2.5 5

0.5 2 25 2.5 25P

x xE

− ⋅ = + − = − = ⋅ − + + +

y z y z y za a a a a a

23.04 46.08PE = −y za a


_____________________________________________________________________________________________________


15

2.18. una carga lineal uniforme e infinita 2L nC mρ = se ubica a lo largo del eje x en el

espacio libre a la vez que cargas puntuales de 8nC se localizan en (0,0,1) y (0,0, 1)− ,

a) Encontrar E en (2,3, 4)− ,

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

9 10

1 22 20

2 10 1.8 103 43 4 4.32 5.76

2 253 4

Lx x

Eρπ

− ⋅−

= = − = − ∈ + −

y zy z y z

a aa a a a

Con (0,0,1):

( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )9 91

2 32 2 20

2 3 4 1 2 3 58.99 10 8 10

4 234.252 3 4 1

qE x x

π−

+ + − − + −

= = ⋅ ∈ + + − −


2 0.61 0.92 1.53E = + −x y za a a

Con (0,0, 1)− :

( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )9 91

3 32 2 20

2 3 4 1 2 3 38.99 10 8 10

4 103.192 3 4 1

qE x x

π−

+ + − + + −

= = ⋅ ∈ + + − +


3 1.39 2.09 2.09E = + −x y za a a

Al sumar las contribuciones nos queda:

1 2 3 4.32 5.76 0.61 0.92 1.53 1.39 2.09 2.09TE E E E= + + = − + + − + + −y z x y z x y za a a a a a a a

2.01 7.33 9.39TE V m= + −x y za a a

b) ¿A qué valor se debe modificar Lρ para provocar que E sea cero en (0,0,3)?.

( ) ( ) ( )( )9

1 2 102 2 20

3 35.99 10

2 5 100 0 3

L LLE x

x

ρ ρ ρπ −

= = = ∈ + +

za


_____________________________________________________________________________________________________


16

( )( )( )

( ) ( ) ( )9 912 3

20

3 11.12 10 8 10 2 17.98

43 1

qE x x

π−

−

= = ⋅ ⋅ = ∈ −

za

( )( )( )

( ) ( ) ( )8 913 3

20

3 11.40 10 8 10 4 4.5

43 1

qE x x

π−

+

= = ⋅ ⋅ = ∈ +

za

9

1 2 3 5.99 10 17.98 4.5T LE E E E x ρ= + + = + + , pero 0TE = , así que: 90 5.99 10 17.98 4.5Lx ρ= + +

99

17.98 4.53.75 10

5.99 10L x C mx

ρ −+= − = −


_____________________________________________________________________________________________________


17

2.19. Una carga lineal uniforme de 2 C mµ está sobre el eje z. Encontrar E en el punto

(1,2,3)P en coordenadas cartesianas si la carga está entre: a) z−∞ ≤ ≤ ∞ ,

( ) ( )( )( ) ( )6 10

3 32

2 20

2 10 1.8 1022 7.2 10 14.4 10

2 51 2

LP

x xE x x

ρπ

− ⋅+

= = + = + ∈ +

x yx y x y

a aa a a a

b) 4 4z− ≤ ≤ . Si 2 3r = + +x y za a a . Entonces si la carga está uniforme sobre el eje z, r z′ = za .

( ) ( ) ( ) ( )( )4 4

3 34 4 2 2 20 0

2 3

4 41 2 3

L LP

zr rE dz dz

r r z

ρ ρπ π− −

+ + −′− = ⋅ = ⋅

∈ ∈ ′− + + −

∫ ∫x y z za a a a

( )

( ) ( )( )

( )4 4

3 3 34 42 2 20 0

2 3 2 3

4 414 6 14 6 14 6

L LP

z zE dz dz

z z z z z z

ρ ρπ π− −

+ + − + − = ⋅ = + ⋅ ∈ ∈− + − + − +

∫ ∫x y z x y za a a a a a

( )( )

( )

( )4 4

3 34 42 20

32

4 6 14 6 14

LP

z dzdzE

z z z z

ρπ − −

− = + + ⋅ ∈ − + − +

∫ ∫x y za a a

( ) 4 4

4 42 2 20

3 3 14 6 182

4 5 6 14 5 6 14 10 6 14| |L

P

z z zE

z z z z z z

ρπ − −

− + − + −= + + + ∈ − + − + − + x y za a a

( )0

1 7 12 14 24 18 26 422

4 10 36.74 10 20 36.74 73.48L

PEρπ

− + − = + − + + − + ∈ x y za a a

( ) ( ) ( )0 0

2 0.29 0.36 0.29 0.58 0.364 4

L LPE

ρ ρπ π

= + ⋅ + = + + ∈ ∈x y z x y za a a a a a

3 3 35.21 10 10.43 10 6.47 10PE x x x= + +x y za a a


_____________________________________________________________________________________________________


18

2.27. Dado el campo eléctrico ( ) ( )4 2 2 4x y x y= − − +x yE a a , encontrar:

a) La ecuación de la línea que pasa por el punto (2,3, 4)P − , De la relación entre yE y xE :

2 4 2

4 2 2

x y x y

x y x y

− − − −= =− −

y

x

E

E

( ) ( )2 2x y x y⋅ − = ⋅ − −y xE E

Cambiando a pequeños diferenciales de la línea:

( ) ( )2 2dy x y dx x y⋅ − = ⋅ − −

2 2xdy ydy xdx ydx− = − −

2 2x dy y dy x dx y dx− = − −∫ ∫ ∫ ∫

2 2

2 22 2

y xxy yx c− = − − +

2 2

42

y xxy c

−= +

De acuerdo al punto (2,3, 4)P − :

( )( ) ( ) ( )2 23 2

4 3 22

c−

= +

9 424

2c

−= +

21.5c = Entonces en P, la ecuación será:

2 28 2xy c y x− = − 2 28 43xy y x− = −

b) Un vector unitario que especifique la dirección de E en (3, 2,5)Q − .

( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 2 2 3 4 2 16 2Q = − − − + − = + x y x yE a a a a

( ) ( )2 2

16 2 16 2 16 20.99 0.12

16.1226016 2QEu

+ + += = = = +

+

x y x y x yx y

a a a a a aa a


_____________________________________________________________________________________________________


19

3.2. Una carga puntual de 20nC se encuentra en (4, 1,3)− y una carga lineal uniforme de -25nC/m se extiende a lo largo de la intersección de los planos x =-4 y z =6.

a) Calcular D en (3, 1,0)− , En el punto de carga:

( ) ( ) ( )3, 1,0 4,1, 3 1,0, 3r = − + − − = − −

( ) ( )( ) ( )( )

( )9

9 21 3 3

2 2

3 1.59 1020 10 7.96 10 3

4 31.621 3

q r xD x x

rπ

−− −

− − = = ⋅ ⋅ = ⋅ − − − + −

x zx z

a aa a

11 101 5 10 1.5 10D x x− −= − −x za a

Con x = -4, z = 6 sigo tomando y = -1:

( ) ( ) ( )3, 1,0 4,1, 6 7,0, 6r ′ = − + − = −

( ) ( )( ) ( )( )

( )9

9 12 2 2

2 2

7 6 3.98 1025 10 1.59 10 7 6

2 857 6

L r xD x x

r

ρπ

−− −

′ − − = = − ⋅ ⋅ = ⋅ − ′ + −

x zx z

a aa a

10 102 3.28 10 2.8 10D x x− −= − +x za a

11 10 10 10

1 2 5 10 1.5 10 3.28 10 2.8 10TD D D x x x x− − − −= + = − − − +x z x za a a a 10 10 23.78 10 1.3 10TD x x C m− −= − +x za a

b) ¿Qué cantidad de flujo eléctrico abandona la superficie de radio 5 y con centro en el origen?, Si calculamos r en el punto (4, 1,3)− (carga puntual):

( ) ( ) ( )2 2 22 2 21 4 1 3 26 5.1r x y z= + + = + − + = =

La carga está fuera de la esfera, por tanto el flujo es cero. Si calculamos r en el punto ( 4, 1,6)− − (línea de carga):

( ) ( ) ( )2 2 22 2 22 4 1 6 53 7.28r x y z= + + = − + − + = =

Al evaluar el punto r = 7.28 notamos que está muy alejado de la esfera, por tanto el flujo es cero.


_____________________________________________________________________________________________________


20

c) Repetir la parte b si el radio de la esfera es de 10. Tomamos el valor 1 5.1r = calculado en el inciso b. Ahora, para la línea de carga de

carga, sólo necesitamos la parte que se encuentre dentro de la característica r = 10. Calculamos r para el punto ( 4, ,6)y− :

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 24 6 52r x y z y y= + + = − + + = +

210 52 y= + 2 210 52 y= +

100 52y = −

6.93y = Y suponemos que el sector de la línea que atraviesa totalmente la esfera es 2y, que representa L∆ , así que:

( ) ( )9 9 920 10 25 10 2 6.93 326.41 10P L LQ x C x C m m x Cρ − − −Ψ = + ⋅∆ = + − ⋅ ⋅ = −


_____________________________________________________________________________________________________


21

3.3. La superficie cilíndrica 8ρ = cm contiene una densidad de carga superficial 20 25 z

s e nC mρ −= .

a) ¿Cuál es la cantidad de carga presente?, La superficie cilíndrica viene dada por: d dzρ φ⋅ ⋅

s

S

Q dsρ= ⋅∫

2 2 20

220

00 0 0 0 0

2 2 5 0.08 0.820

|z

zs

eQ d dz e d dz dz

π ππ

ρ ρ φ φ φ∞ ∞ ∞ −

− = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )20

0

0

1 10.8 2 5.02 5.02 0.251

20 20 20|

zeQ e e nCπ

− ∞ −∞ − − − = ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = −

b) ¿Qué cantidad de flujo eléctrico abandona la superficie 8ρ = cm, 1 cm z< < 5 cm,

30º 90ºφ≤ ≤ ?

s

S

Q dsρΨ = = ⋅∫

0.05 1.57 0.05 1.57 20

0.0520

0.010.01 0.52 0.01 0.52

180 605 0.08 0.4 9.018

360 20|

zz

s

ed dz e d dz pCρ ρ φ φ π

−− − Ψ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −

∫ ∫ ∫ ∫


_____________________________________________________________________________________________________


22

3.5. Sea ( )2 2 24 2 4xy x z yz C m= + + +x y zD a a a . Evaluar las integrales de superficie y

encontrar la carga total encerrada en el paralelepípedo rectangular 0 2x< < , 0 3y< < ,

0 5z< < m.

Evaluando la expresión ( )2 24 2 4xy x z yz= + + +x y zD a a a , en las caras ubicadas en los

límites de integración notamos: En la componente ya el flujo entrante por y = 0 es igual al flujo saliente por y = 3,

entonces 0TyΨ = .

En la componente xa en el punto cero 0x =D , mientras que en el punto x = 2 existe

flujo saliente. En la componente za en el punto z = 0, 0z =D , mientras que en z = 5 existe flujo

saliente. Por lo tanto tenemos dos contribuciones en el paralelepípedo:

5 3 3 2 5 3 3 2

2 5 2 50 0 0 0 0 0 0 0

4 4| | | |T x z x zQ dy dz dx dy x y dy dz yz dx dy

= = = == ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫x z x zD a D a a a

( ) ( )5 3 3 2 5 3 3 2

0 0 0 0 0 0 0 0

4 2 4 5 8 20TQ y dy dz y dx dy y dy dz y dx dy= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )5 3 5 32 2

0 0 0 0

3 38 20 2 36 40 36 5 40 180 180 360

2 2TQ dz y dy dz y dy C

= ⋅ + ⋅ = + ⋅ = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫


_____________________________________________________________________________________________________


23

3.7. Una densidad volumétrica de carga se encuentra en el espacio libre como 1000 32 r

v e nC mρ −= para 0 1r< < mm y 0vρ = en cualquier otra parte.

a) Encontrar la carga total encerrada por la superficie esférica 1r = mm,

2 0.001 2 0.0012 1000 9 2

0 0 0 0 0 02 10r

vQ r sen dr d d e x r sen dr d dπ π π π

ρ θ θ φ θ θ φ− −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

22 0.0019 1000

00 0

1 1000 5000002 10

250000000|rr r

Q x e sen d dπ π

θ θ φ− − + += − ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

( )2 219 19

0 0 03.212 10 3.212 10 cos cos0Q x sen d d x d

π π πθ θ φ π φ− −= ⋅ ⋅ = − − ⋅∫ ∫ ∫

( )( ) ( )( )219 19 18

03.212 10 2 6.424 10 2 4.04 10Q x d x x C

πφ π− − −= = =∫

b) Utilizando la ley de Gauss, calcular el valor de rD sobre la superficie 1r = mm.

La magnitud rD será:

( )18

13 222

4.04 103.21 10

4 4 0.001r

Q xx C m

rπ π

−−= = =D


_____________________________________________________________________________________________________


24

3.17. Un cubo está definido por 1 , , 1.2x y z< < . Si 2 2 2 22 3x y x y C m= +x yD a a .

a) Aplicar la ley de Gauss para encontrar el flujo total que abandona la superficie cerrada del cubo, El flujo entra por caras posterior, izquierda e inferior. Y sale por caras frontal, derecha y superior. Evaluando la expresión 2 2 2 22 3x y x y C m= +x yD a a en las caras ubicadas en los límites

de integración notamos: No existe componente za , por lo que no hay flujo en sus planos z = 1 y z = 1.2 .

En la componente xa tanto en el plano x = 1 como en x = 1.2, existe flujo.

En la componente ya tanto en el plano y = 1 como en y = 1.2, existe flujo.

Queda entonces:

0T T TiΨ = Ψ − Ψ 1.2 1.2 3 2 1.2 1.2 3 2

2 2 2 2 2 2

1.2 1.2 1 11 1 0 0 1 1 0 0

2 3 2 3| | | |T x y x yx y dy dz x y dx dz x y dy dz x y dx dz

= = = =

Ψ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1.2 1.2 3 2 1.2 1.2 3 2

2 2 2 22 2

1 1 0 0 1 1 0 0

2 1.2 3 1.2 2 1 3 1T y dy dz x dx dz y dy dz x dx dz

Ψ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫1.2 1.2 3 2 1.2 1.2 3 2

2 2

1 1 0 0 1 1 0 0

2.88 4.32 2 3T y dy dz x dx dz y dy dz x dx dzΨ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )1.2 1.2 3 2 1.2 1.21.2 1.22 2 3

1 11 1 0 0 1 1

0.88 1.320.88 1.32

2 3| |T y dy dz x dx dz y dz x dzΨ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )1.2 1.2

2 2 3 3

1 1

0.44 1.2 1 0.44 1.2 1T dz dz Ψ = − + − ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )0.1936 1.2 1 0.3203 1.2 1TΨ = − + −

0.039 0.064 0.10278T CΨ = + =

b) Evaluar ∇ Di en el centro del cubo, El centro del cubo estará ubicado en (1.1,1.1,1.1).

Dx Dy Dz

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ Di , pero como no existe componente za :

( )224

x yDxxy

x x

∂∂ = =∂ ∂


_____________________________________________________________________________________________________


25

( )2 2

2 23

3 2 6x yDy

x y x yy y

∂∂ = = ⋅ =∂ ∂

Ahora ∇ Di :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22

1.1,1.14 6 4 1.1 1.1 6 1.1 1.1 4.84 7.99 12.83|xy x y∇ = + = + = + =Di

c) Estimar la carga total encerrada dentro del cubo utilizando la ecuación: Q v= ∇ ⋅ ∆Di .

Calculamos v∆ por la fórmula de área del cubo: ( )3lado , donde cada lado equivale a

0.2.

( )12.83 0.008 0.10264Q v C= ∇ ⋅ ∆ = ⋅ =Di


_____________________________________________________________________________________________________


26

3.19. Una superficie esférica de radio igual a 3mm y centro en (4,1,5)P está en el espacio

libre. Sea 2x C m= xD a . Utilizar Q v= ∇ ⋅ ∆Di para calcular el flujo eléctrico neto que

abandona la superficie de la esfera.

Dx Dy Dz

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ Di , pero D solo tiene componente xa así que:

( )1

xDx

x x

∂∂ = =∂ ∂

El área de la esfera es 34

3rπ , entonces queda:

( ) ( )3 741 0.003 1.13 10

3v x Cπ − Ψ = ∇ ⋅ ∆ = =

Di


_____________________________________________________________________________________________________


27

3.21. Calcular ∇ Di en el punto especificado si,

a) ( )2 3 22

110 5 2 5xyz x z z x y

z = + + − x y zD a a a en el punto ( 2,3,5)P − ,

Dx Dy Dz

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ Di

Calculamos las derivadas parciales:

2

10 1010

xyz xyDx yz zx x x z

∂ ∂ ∂ = = =∂ ∂ ∂

2 2

2

5 5

0

x z x

z zDy

y y y

∂ ∂ ∂ = = =

∂ ∂ ∂

( )

3 2 2

2 2 2 2

3 3

2 5 52

5 102 2 2

z x y x yz

z zDz x y x y

z z z z z

−∂ ∂ − ∂ = = = − − = + ∂ ∂ ∂

Ahora ∇ Di en el punto ( 2,3,5)P − :

( )( )

( )( ) ( )( )

22

33 2,3,5

10 3 10 2 310 102 2 6 2 0.96 8.96

5 5|y x y

z z −

− ∇ = + + = + + = + + =

Di

b) 25 10z zρ= +p zD a a en (3, 45º ,5)P − ,

La fórmula de divergencia en coordenadas cilíndricas:

( )1 1D D Dz

zρρ φ

ρ ρ ρ φ

∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂

Di


( ) ( )2

25

5zD

zρ ρρ

ρ ρ∂∂

= =∂ ∂

0Dφφ

∂ =∂

( )1010

zDz

z z

ρρ

∂∂ = =∂ ∂


_____________________________________________________________________________________________________


28

Ahora ∇ Di en el punto (3, 45º ,5)P − :

( )( )

( )( ) ( )

22

3, 45º,5

5 51 1 510 10 3 71.67

3|

D D Dz z

zρρ φ ρ

ρ ρ ρ φ ρ −

∂ ∂ ∂ ∇ = + + = + = + = ∂ ∂ ∂

Di

c) 2 cos cosr sen sen r sen r φθ φ θ φ φ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅r θ

D a a a en (3,45º , 45º )P − .

La fórmula de divergencia en coordenadas esféricas:

( ) ( )2

2

1 1 1rr D sen D D

r r rsen rsenθθ φ

θ θ θ φ

∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂

Di


( ) ( ) ( )2 2 3

22 2

6rr D r r sen sen r sen sen

r sen senr r r

θ φ θ φθ φ

∂ ⋅ ∂ ⋅ ⋅ ⋅ ∂ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅

∂ ∂ ∂

( ) ( )coscos cos

sen D sen r senr sen sen r sen senθθ θ θ φ

θ θ φ θ θ φθ θ

∂ ⋅ ∂ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

∂ ∂

( ) ( )2 2 2cos 1 2sen D

r sen r sen sen r sen senθθθ φ θ φ φ θ

θ∂ ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ −∂

( )cosrDr sen

φφ φφ φ

∂ ⋅∂ = = − ⋅∂ ∂

Ahora ∇ Di en el punto (3,45º , 45º )P − :

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 3, 45º,5

1 1 16 1 2 |r sen sen r sen sen r sen

r rsen rsenθ φ φ θ φ

θ θ −

∇ = ⋅ ⋅ + ⋅ − + − ⋅ Di

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )245º 45º

6 45º 45º 1 2 45º45º 45º

sen sensen sen sen

sen sen

− −∇ = ⋅ ⋅ − + − − Di

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )20.707 0.707

6 0.707 0.707 1 2 0.7070.707 0.707

− − ∇ = ⋅ ⋅ − + − −

Di

( )3 1 1 1 1 3 1 2∇ = − − − + = − + = −Di


_____________________________________________________________________________________________________


29

3.25. Dentro de la órbita esférica definida por 3 4r< < m, la densidad de flujo eléctrico está

dada por ( )3 25 3r C m= − rD a ,

a) ¿Cuál es la densidad volumétrica de carga en 4r = ?,

( ) ( )2

2

1 1 1r

v

r D sen D D

r r rsen rsenθθ φρ

θ θ θ φ

∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ = ∇ = + + ∂ ∂ ∂

Di

La parcial será en función de la coordenada ra :

( ) ( )( )( )( )

3223 4 3 2

5 310 3 15 90 135

rr rr D

r r r r rr r

∂ ⋅ −∂ ⋅= = − + − +

∂ ∂

Ahora en 4r = :

( ) ( )( )2

3 4 3 22 2 4

1 110 3 15 90 135 |r

v r

r Dr r r r r

r r rρ

=

∂ ⋅ = = − + − + ∂

( ) ( ) ( ) ( )3 3 22

4

10 103 15 90 135 4 3 15 4 90 4 135

4|v r

r r rr

ρ=

= − + − + = − + − +

32.5 240 360 135 17.5v C mρ = + − + =

b) ¿Cuál es la densidad de flujo eléctrico en 4r = ?,

Tenemos que ( )3 25 3r C m= − rD a , entonces evaluamos en el punto 4r = :

( )3 25 4 3 5 C m= − =r rD a a

c) ¿Qué cantidad de flujo eléctrico abandona la esfera en 4r = ?, En esfera radial: 24 rπΨ = ⋅D :

( )224 4 4 5 320 1005.31r Cπ π πΨ = ⋅ = ⋅ = =D

d) ¿Cuánta carga está contenida en la esfera 4r = ?. Recordemos que en magnitud, QΨ = , entonces:

1005.31Q C= Ψ =


_____________________________________________________________________________________________________


30

3.29. En una región del espacio libre se encuentra el volumen 2 , , 3x y z< < ,

( ) 22

22yz xz xy C m

z= + −x y zD a a a ,

a) Evaluar el lado de la integral volumétrica del teorema de divergencia para el volumen definido aquí.

3 3 3

2 2 2

v

v v

dv dv dx dy dzρ ⋅ = ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫D Di i


Dx Dy Dz

x y z

∂ ∂ ∂∇ = + + ∂ ∂ ∂ Di

2

2

2

0

y

zDx

x x

∂ ∂ = =

∂ ∂

2

2 2

0

xz xDy z zy y y

∂ ∂ ∂ = = =∂ ∂ ∂

2

3

48

xyDz xyzz z z

− ∂ ∂ = =∂ ∂

Entonces 3

8xy

z∇ =Di .

La integral queda:

( ) ( )3 3 3 3 3 3 32

3 2 2

3 3 322 2 2 2 2 2 2

8 84 3 2

2|v

v

xy x y ydv dx dy dz dy dz dy dz

z z zρ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )( ) ( )

3 3 3 32 2

2 23 3 32 2 2 2

20 1 50 1 120 3 2 50 3.74

2 2 2 3v

v

y dzdv dy dz dz

z z zρ

⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ = = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b) Evaluar el lado de la integral de superficie para la superficie cerrada correspondiente.

Al evaluar la expresión ( )2

22yz xz xy

z= + −x y zD a a a en las caras ubicadas en los límites

de integración, notamos:


_____________________________________________________________________________________________________


31

En la componente xa el flujo entrante por x = 2 es igual al flujo saliente por x = 3,

porque la variable x no interviene, entonces no hay contribución. En la componente ya el flujo entrante por y = 2 es igual al flujo saliente por y = 3,

porque la variable y no interviene, entonces no hay contribución. En la componente za hay contribución, por tanto nos queda, después de colocar la

contribución de z del inciso anterior: 2 2

1 1 1

2 a b −

.

( ) ( )3 3 3 3 3

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 0.558 0.55 3 2

4 9 2 2s

ds xy dx dy xy dx dy y dy ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫D

( ) ( )3

2 2

2

1.391.39 3 2 3.47

2s

ds y dy C ⋅ = ⋅ = ⋅ − = ∫ ∫D


_____________________________________________________________________________________________________


32

3.31. Dada la densidad de flujo ( ) 216cos 2 C m

rθ= θD a , utilizar dos métodos diferentes

para encontrar la carga total dentro de la región 1 2r< < m, 1 2radθ≤ ≤ , 1 2radφ≤ ≤ . Método 1:

v

v v

dv dvρ ⋅ = ∇ ⋅∫ ∫ Di


( ) ( )2

2

1 1 1r

v

r D sen D D

r r rsen rsenθθ φρ

θ θ θ φ

∂ ⋅ ∂ ⋅ ∂ = ∇ = + + ∂ ∂ ∂

Di

La parcial será en función de la coordenada

θa :

( ) ( )( ) ( )

16cos 2

16cos cos 2 2 2

sen D rsen sen

rθ

θθθ θ θ θ

θ θ

∂ ∂ ⋅ = = ⋅ − ⋅ ∂ ∂

Ahora∇ Di :

( ) ( ) ( )1 1 16cos cos 2 2 2

sen Dsen sen

rsen rsen rθθ

θ θ θ θθ θ θ

∂ ⋅ ∇ = = ⋅ ⋅ − ⋅ ∂ Di

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

16 cos cos 2 32 216cos cos 2 2 2

sensen sen

r sen r sen r

θ θ θθ θ θ θ

θ θ⋅ ⋅ ⋅ ∇ = ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅

Di

( ) ( )

2 2

16 cos cos 2 32 2v

v v v v

sendv dv dv dv

r sen r

θ θ θρ

θ⋅ ⋅ ⋅

⋅ = ∇ ⋅ = ⋅ − ⋅⋅∫ ∫ ∫ ∫Di

( ) ( )2 2 2 2 2 22 2

2 21 1 1 1 1 1

16 cos cos 2 32 2v

v

sendv r sen dr d d r sen dr d d

r sen r

θ θ θρ θ θ φ θ θ φ

θ⋅ ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

16 cos cos 2 32 2v

v

dv dr d d sen sen dr d dρ θ θ θ φ θ θ θ φ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )2 2 2 2

2 2

1 11 1 1 1

16 cos cos 2 32 2| |v

v

dv r d d sen sen r d dρ θ θ θ φ θ θ θ φ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 22 2

1 1 1 1

16 cos cos 32 2 cosv

v

dv sen d d sen sen d dρ θ θ θ θ φ θ θ θ θ φ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


_____________________________________________________________________________________________________


33

2 2 2 2 2 23 2 2

1 1 1 1 1 1

16 cos 16 cos 64 cosv

v

dv d d sen d d sen d dρ θ θ φ θ θ θ φ θ θ θ φ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 22 2

1 11 1

1 3 1 116 3 16 3

12 4 12 4| |v

v

dv sen sen d sen sen dρ θ θ φ θ θ φ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ ∫ ∫ ∫

2

2

11

1 164 3

12 4|sen sen dθ θ φ − − ⋅ + ⋅ ⋅

∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

1

16 0.023 0.682 0.012 0.631 0.023 0.227 0.012 0.21v

v

dv dρ φ⋅ = − + − + − + + − + ⋅ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )2

1

64 0.023 0.227 0.012 0.21 dφ− + − − + ⋅ ∫

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2

1 1

16 0.036 64 0.052 16 0.036 1 64 0.052 1v

v

dv d dρ φ φ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − −∫ ∫ ∫

0.576 3.328 3.9v

v

dv Cρ ⋅ = − − = −∫

Método 2:

s

ds⋅∫D , evaluando en base a la coordenada θ

a , con θ constante y da r sen dr dθ φ= ⋅ ⋅ ⋅

2 1| |

s s s

ds ds dsθ θ= =

⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫D D D

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 1 1

16 16cos 2 2 2 cos 2 1 1

s

ds r sen dr d r sen dr dr r

φ φ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫D

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 1 1

16 160.654 0.909 0.416 0.841

s

ds r dr d r dr dr r

φ φ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫D

( ) ( )( )( ) ( )( )( )2 2 2 2

1 1 1 1

9.51 5.598 9.51 1 1 5.598 1 1 3.9s

ds dr d dr d Cφ φ⋅ = − ⋅ − − ⋅ = − + = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫D

Entonces vemos que 3.9v

v s

dv ds Cρ ⋅ = ⋅ = −∫ ∫D , evidenciado bajo ambos métodos.


_____________________________________________________________________________________________________


34

4.1. El valor de E en ( 2, 40º , 3)P zρ φ= = = está dado por

100 200 300 V mφ= − +p zE a a a . Determinar el trabajo incremental requerido para mover

una carga de 20 Cµ una distancia de 6 mµ ;

a) En la dirección de pa ,

El trabajo incremental viene dado por: dw Q dL= − ⋅ ⋅E dw Q dLρ= − ⋅ ⋅E

( ) ( ) ( )6 6 920 10 10 6 10 12 10dw x x x J− − −= − ⋅ ⋅ = −

b) En la dirección de φa ,

dw Q dLφ= − ⋅ ⋅E

( ) ( ) ( )6 6 920 10 200 6 10 24 10dw x x x J− − −= − ⋅ − ⋅ =

c) En la dirección de za ,

zdw Q dL= − ⋅ ⋅E ( ) ( ) ( )6 6 920 10 300 6 10 36 10dw x x x J− − −= − ⋅ ⋅ = −

d) En la dirección de E ,

Edw Q u dL= − ⋅ ⋅ ⋅E

Hallamos el vector unitario de E:

Eu = EE

( ) ( ) ( )2 2 210 200 300 140000 374.16= + − + = =E

100 200 3000.26 0.53 0.8

374.16Eu φφ

− += = − +p z

p z

a a aa a a

El trabajo incremental nos queda:

( ) ( ) ( ) ( )6 620 10 100 200 300 0.26 0.53 0.8 6 10dw x xφ φ− −= − ⋅ − + ⋅ − + ⋅p z p za a a a a a


_____________________________________________________________________________________________________


35

( ) ( ) ( )6 6 820 10 26 106 240 6 10 4,46 10dw x x x J− − −= − ⋅ + + ⋅ = −

e) En la dirección de 2 3 4= − +x y zG a a a .

Gdw Q u dL= − ⋅ ⋅ ⋅E

Hallamos el vector unitario de G :

Gu = GG

( ) ( ) ( )2 2 22 3 4 29 5.38= + − + = =G

2 3 40.37 0.55 0.74

5.38Gu− +

= = − +x y zx y z

a a aa a a

Convertimos a coordenadas cilíndricas:

( ) ( )0.37 0.56 0.74 0.37cos 0.56 0.74 0Gu senρ φ φ= ⋅ − ⋅ + ⋅ = − +x ρ y ρ z ρa a a a a a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.37cos 40º 0.56 40º 0.37 0.77 0.56 0.64 0.0735Gu senρ = − = − = −ρ

a

( ) ( )0.37 0.56 0.74 0.37 0.56cosGu senφ φ φφ φ φ= ⋅ − ⋅ + ⋅ = − −x y za a a a a a

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0.34 40º 0.56cos 40º 0.37 0.64 0.56 0.77 0.668Gu sen φφ = − − = − − = − a

( ) 0.74G zu = za

( ), , 0.0735 0.668 0.74G zu φρ φ = − − +ρ za a a

El trabajo incremental queda:

( ) ( ) ( ) ( )6 620 10 100 200 300 0.0735 0.668 0.74 6 10dw x xφ φ− −= − ⋅ − + ⋅ − − + ⋅p z ρ za a a a a a

( ) ( ) ( )6 6 820 10 7 134 222 6 10 4.19 10dw x x x J− − −= − ⋅ − + + ⋅ = −


_____________________________________________________________________________________________________


36

4.4. Se ha visto que la energía necesaria para llevar una carga de 4 Cµ desde el origen

( ),0,0x a lo largo del eje x es directamente proporcional al cuadrado de la longitud de la

trayectoria. Si 7xE V m= en ( )1,0,0 , determine xE sobre el eje x como función de x.

0

x

x xW Q E dx= − ⋅∫ , sobre el eje x.

Entonces xE debe tomar la forma xE N x= ⋅ .

En x = 1, 7xE V m= , pero de acuerdo a la expresión anterior:

( )7 1xE N x N N= = ⋅ = ⋅ = , por tanto 7 N= .

Entonces la expresión genérica debería ser: 7xE xV m= ⋅ para todo valor sobre el eje

x. Considerando además que a medida que el valor de x aumenta, la energía será matemáticamente más negativa.


_____________________________________________________________________________________________________


37

4.5. Calcular el valor de r

A

d⋅∫G L para 2y= xG a con ( )1, 1,2A − y ( )2,1,2P utilizando la

trayectoria, a) Segmentos de línea rectos entre los puntos ( )1, 1,2A − y ( )1,1,2B a ( )2,1,2P ,

Si lo hacemos por etapas sólo en función de xa :

( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

1 11 1

2 2 2 2 2 2 0 2 1 2| |B P

A B

y dx y dx y dx y dx y x y x y y⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫

Pero evaluando de B a P, donde no es nula, y = 1:

( )2 2 1 2y = ⋅ =

b) Segmentos de línea rectos entre los puntos ( )1, 1,2A − a ( )2, 1,2C − a ( )2,1,2P .

Si lo hacemos por etapas sólo en función de xa :

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2

1 21 2

2 2 2 2 2 2 2 1 0 2| |C P

A C

y dx y dx y dx y dx y x y x y y⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + =∫ ∫ ∫ ∫

Pero evaluando de A a C, donde no es nula, y = -1:

( )2 2 1 2y = ⋅ − = −


_____________________________________________________________________________________________________


38

4.9. Una densidad volumétrica de superficie uniforme de 220nC m se encuentra en la superficie de la esfera de radio r = 0.6 cm en el espacio libre.

a) Encontrar el potencial absoluto en ( 1 , 25º , 50º )P r cmθ φ= = = , Calculamos la carga en r = 0.6 cm = 0.006 m:

( ) ( )22 9 124 4 0.006 20 10 9.06 10sQ r x x Cπ ρ π − −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Ahora:

( )( ) ( )

12

120

9.06 108.146

4 4 8.85 10 0.01

xQV V

r xπ π

−

−= = =

⋅∈ ⋅ ⋅ ⋅

b) Encontrar ABV dados los puntos ( 2 , 30º , 60º )A r cmθ φ= = = y

( 3 , 45º , 90º )B r cmθ φ= = = .

AB A BV V V= −

0 0 0

1 1

4 4 4ABA B A B

Q Q QV

r r r rπ π π

= − = − ⋅∈ ⋅ ⋅∈ ⋅ ⋅∈

( )( )

12

12

9.06 10 1 11.36

0.02 0.034 8.85 10AB

xV v

xπ

−

−

= ⋅ − = ⋅


_____________________________________________________________________________________________________


39

4.14. Dado un campo electrostático ( ) ( )1 1 2y x= + + − +x y zE a a a , encontrar la diferencia

de potencial entre los puntos, a) ( )2, 2, 1− − y ( )0,0,0 ,

Si nos movemos a lo largo de x de x = 2 a x = 0, tenemos que y = 0. Si nos movemos a lo largo de y de y = -2 a y = 0, tenemos que x = 2. A lo largo de z, de z = -1 a z = 0 tenemos que el valor es constante z = 2. Quedando:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 1

0 0 0

1 1 2 1 2 1 2 2 1L

V dL y dx x dy dz y x− −

= − ⋅ = − + ⋅ − − ⋅ − ⋅ = − + − − − − −∫ ∫ ∫ ∫E

( ) ( )2 1 2 1 2V y x= − + + − − .

Pero sabemos que y = 0, x = 2 y z = 2.

( ) ( )2 0 1 2 2 1 2 2 2 2 2V V= − + + − − = − + − = −

b) ( )3,2, 1− y ( )2, 3,4− − ,

Si nos movemos a lo largo de x de x = 3 a x = -2, tenemos que y = -3. Si nos movemos a lo largo de y de y = 2 a y = -3, tenemos que x = 3. A lo largo de z, de z = -1 a z = 4 tenemos que el valor es constante z = 2. Quedando:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 3 4

3 2 1

1 1 2 1 2 3 1 3 2 2 4 1L

V dL y dx x dy dz y x− −

−

= − ⋅ = − + ⋅ − − ⋅ − ⋅ = − + − − − − − − − +∫ ∫ ∫ ∫E

( ) ( )5 1 5 1 10V y x= + + − − .

Pero sabemos que y = -3, x = 3 y z = 2.

( ) ( ) ( ) ( )5 3 1 5 3 1 10 5 2 5 2 10 10V V= − + + − − = − + − = −


_____________________________________________________________________________________________________


40

4.21. Sea ( )2 3 2 2 22 3 2 3V xy z Ln x y z V= + + + en el espacio libre. Evaluar cada una de las

cantidades siguientes en ( )3,2, 1P − ;

a) V,

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 22 3 2 1 3 3 2 2 3 1 24 3 20 24 8.98 15.01V Ln Ln V = − + + + − = − + = − + = −

b) V ,

15.01 15.01V V= − =

c) E ,

Vx Vy VzV

x y z

∂ ∂ ∂= ∇ = + + ∂ ∂ ∂ x y zE a a ai

Calculando las derivadas:

( )2 3 2 2 2

2 32 2 2

2 3 2 3 62

2 3

xy z Ln x y zVx xy z

x x x y z

∂ + + + ∂ = = + ∂ ∂ + + xa

( )2 3 2 2 2

32 2 2

2 3 2 3 124

2 3

xy z Ln x y zVy yxyz

y y x y z

∂ + + + ∂ = = + ∂ ∂ + + ya

( )2 3 2 2 2

2 22 2 2

2 3 2 3 186

2 3

xy z Ln x y zVz zxy z

z z x y z

∂ + + + ∂ = = + ∂ ∂ + + za

Evaluando ( )3,2, 1P − para obtener E :

( )2 3 3 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3,2, 1

6 12 182 4 6

2 3 2 3 2 3|x y z

y z xyz xy zx y z x y z x y z −

= + + + + + + + + + + +

x y zE a a a

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 3 3 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 3 12 2 18 12 2 1 4 3 2 1 6 3 2 1

3 2 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 2 3 1

− = − + + − + + − + + + − + + − + + −

x y zE a a a

( ) ( ) ( )8 0.9 24 1.2 72 0.9 7.1 22.8 71.1= − + + − + + − = − − +x y z x y zE a a a a a a


_____________________________________________________________________________________________________


41

d) E ,

( ) ( ) ( )2 2 27.1 22.8 71.1 75.003V m= − + − + =E

e) Na

,

7.1 22.8 71.1

0.094 0.30 0.9475.003Na

− − += = − − +x y z

x y z

a a aa a a

f) D .

( ) ( )120 8.85 10 7.1 22.8 71.1x −=∈ ⋅ = ⋅ − − +x y zD E a a a

12 12 12 262.83 10 201.78 10 629.23 10x x x C m− − −= − − +x y zD a a a


_____________________________________________________________________________________________________


42

4.23. Se sabe que un potencial está dado por Suponiendo 0.680V Vρ= . Suponiendo condiciones en el espacio libre , encontrar:

a) E ,

Tenemos que:

dVV

dρ= −∇ = −E i

( ) ( ) ( )0.6

0.6 1 0.480

0.6 80 48ddV

v md dρ

ρρ ρ

ρ ρ− −= − = − = − ⋅ = −E

b) La densidad de carga volumétrica en 0.5ρ = m,

( ) ( )12 0.4 10 0.40 8.85 10 48 4.25 10x xρ ρ− − − −=∈ ⋅ = ⋅ − = −D E

( )1 1v

D D Dz

zρρ φρ

ρ ρ ρ φ ∂ ∂ ∂ = ∇ = + + ∂ ∂ ∂

Di

( ) ( ) ( )10 0.4 10 0.4

10 1.44.25 10 0.6 4.25 101

2.55 10v

x xx

ρ ρ ρρ ρ

ρ ρ ρ

− − − −− −

∂ ⋅ − ⋅ − ⋅ = = = − ∂

Evaluado en 0.5ρ = :

( ) ( ) ( )1.410 10 -10 32.55 10 0.5 2.55 10 2.64 6,73x10v x x C mρ −− −= − = − ⋅ =

c) La carga total dentro de la superficie cerrada 0.6ρ = , 0 1z< < . La forma más fácil de hacer este cálculo es evaluar Dρ en 0.6ρ = , teniendo en cuenta

que es constante, y luego se multiplica por el área del cilindro. Tenemos que:

( ) ( ) ( )0.410 10 10 24.25 10 0.6 4.25 10 1.23 5.23 10p x x x C m−− − −= − = − ⋅ = −D

Así:

( )1 2 1 2

10 10

0 0 0 0

5.23 10 5.23 10 0.6s

Q ds x d dz x d dzπ π

ρ φ φ− −= ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫D

( ) ( ) ( ) ( )1 2

10 10 9

0 0

5.23 10 0.6 3.14 10 2 1 1.97 10Q x d dz x x Cπ

φ π− − −= − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −∫ ∫


_____________________________________________________________________________________________________


43

4.25. Dentro del cilindro 2ρ = , 0 1z< < , el potencial está dado por

100 50 150V senρ ρ φ= + + ⋅ V,

a) Encontrar V, E , D y vρ en ( )1,60º ,0.5P en el espacio libre,

En primer lugar sustituimos el punto dado en V:

( ) ( ) ( )100 50 1 150 1 60ºV sen= + + ⋅

150 150 129.9 279.9V V= + + =

( )1 1V V VzV

zρρ φ

ρ ρ ρ φ

∂ ∂ ∂ = −∇ = − + + ∂ ∂ ∂

E i

( ) ( ) ( ) ( )50 150 150 cos 50 150 60º 150 cos 60ºsen senφ φφ φ= − + ⋅ − − ⋅ = − + ⋅ − − ⋅ ρ ρE a a a a

179.9 75 V mφ= − −ρ

E a a

( ) ( )12 9 9 20 8.85 10 179.9 75 1.59 10 0.66 10x x x C mφ φ

− − −=∈ ⋅ = ⋅ − − = − −ρ ρ

D E a a a a

( ) ( ) ( )0 0 0

50 150 150 cos1 1 1 1v

D senDρρ ρ φ φφρρ ρ ρ φ ρ ρ ρ φ

∂ ∂ − − ⋅ ∂ ⋅∂ = ∇ ⋅∈ = + ⋅∈ = ⋅ + ⋅ ⋅∈ ∂ ∂ ∂ ∂ Ei

( ) ( ) [ ]0 0

1 1 150 150 150 50 150 150v sen sen sen senρ φ φ φ φ

ρ ρ ρ = ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∈ = ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅∈

0

50vρ

ρ == − ⋅∈

Evaluando en ( )1,60º ,0.5P :

( )12 10 30

50 508.85 10 4.425 10

1v x x C mρρ

− − = − ⋅∈ = − ⋅ = −

b) ¿Cuánta carga se encuentra dentro del cilindro?.

( ) ( ) ( )1 2 2

900

0 0 0

5050 2 2 1 5.56 10Q d d dz x C

π

ρ ρ φ πρ

−∈= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ∈ ⋅ ⋅ ⋅ = −∫ ∫ ∫


_____________________________________________________________________________________________________


44

4.29. Un dipolo tiene un momento 3 5 10 nC m= − + ⋅x y zp a a a y se localiza en ( )1,2, 4Q − en

el espacio libre. Encontrar V en ( )2,3,4P .

( )

( )304

r rV

r rπ′−

= ⋅∈ ′−

p

( )( )3

04

QPV

QPπ= ⋅

∈p

Calculamos el vector posición QP

:

( ) ( ) ( )2,3,4 1, 2,4 1,1,8QP P Q= − = + − − =

( ) ( ) ( )2 2 21 1 8 66 8.12QP = + + = =

Entonces V en ( )2,3,4P :

( )( )

( )( )

( )9 9

3 812

3 5 10 8 10 3 5 80 101.308

5.96 104 8.85 10 8.12

x xV V

xxπ

− −

−−

− + + + − += ⋅ = =x y z x y za a a a a a


_____________________________________________________________________________________________________


45

4.33. Una esfera de cobre de radio igual a 4 cm contiene una carga total distribuida uniformemente de 5 Cµ en el espacio libre.

a) Utilice la ley de Gauss para encontrar D fuera de la esfera, Con una superficie esférica gaussiana de radio r , D será la carga total dividida por el área de esta esfera.

24

QD

rπ= ⋅ ra

( )6

4 22

5 102.49 10

4 0.04

xD x C m

π

−−= ⋅ =r ra a

b) Calcular la energía total almacenada en el campo electrostático,

( ) ( )6 622

2 200 0 0.04

5 10 5 101 1

2 2 4 4v

x xW E dv r sen dr d d

r r

π π

θ θ φπ π

− −∞ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∈

∫ ∫ ∫ ∫D

2 23 3

20 0 0.04 0 0

1 18.94 10 8.94 10

0.04

senW x dr d d x sen d d

r

π π π πθ θ φ θ θ φ∞

− − = ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

[ ] ( )2 2

0 0 0

0.224 0.224 cos cos0 0.448 2 2.81W sen d d d Jπ π π

θ θ φ π φ π= ⋅ ⋅ = − − ⋅ = =∫ ∫ ∫

c) Utilizar 2

2E

QW

C= para calcular la capacitancia de la esfera aislada.

Despejando la capacitancia y utilizando el resultado del inciso anterior:

( )( )

26212

5 104.45 10

2 2 2.81E

xQC x F

W

−−= = =


_____________________________________________________________________________________________________


46

5.2. Una cierta densidad de corriente está dada por ( )2 2100 ze A mρ−= +ρ zJ a a . Encontrar

la corriente total que pasa a través de las superficies; a) 0z = , 0 1ρ≤ ≤ , en la dirección za ,

( ) ( )2 1 2 1

2 2

0 0 0 0

100 100z z

s

ds e d d e d dπ π

ρ ρ ρ φ ρ ρ φ− −= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ρ z z zJ J a a a a

( )2 1 2 1 2 2

12

0 00 0 0 0 0

0 100 100 1 1002

| |z

ze d d d d d

π π π ρρ ρ φ ρ ρ φ φ−

== + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫J

( )( )50 1 2 314.16Aπ= =J

b) 1z = , 0 1ρ≤ ≤ , en la dirección za ,

( ) ( )2 1 2 1

2 2

0 0 0 0

100 100z z

s

ds e d d e d dπ π

ρ ρ ρ φ ρ ρ φ− −= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫ρ z z zJ J a a a a

2 1 2 1 2 212

1 00 0 0 0 0

0 100 13.53 13.532

| |z

ze d d d d d

π π π ρρ ρ φ ρ ρ φ φ−

== + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫J

( )( )6.77 1 2 42.54Aπ= =J

c) Cilindro cerrado definido por 0 1z≤ ≤ , 0 1ρ≤ ≤ , en la dirección saliente. La superficie cerrada será evaluar en el punto 1z = , en 0z = y la contribución intermedia:

1 0T z z cI I I I= == − +

( )2 1 2 1

2 2

0 0 0 0

42.52 314.16 100 1 271.62 100z zTI e d d e d d

π π

ρ φ ρ φ− −= − + ⋅ ⋅ ⋅ = − + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 2 0271.62 2 50 50 271.62 2 43.23 271.62 271.62 0TI e e Aπ π− − = − + − + = − + = − + =


_____________________________________________________________________________________________________


47

5.3. Sea 22

400

4

senA m

r

θ⋅=+ rJ a ,

a) Encontrar la corriente total que fluye a través de la porción de la superficie esférica 0.8r = , limitada por 0.1 0.3π θ π≤ ≤ , 0 2φ π≤ ≤ ,

2 0.3 2 0.3

2 22 0.8

0 0.1 0 0.1

400 256

4 4.64|r

s

senI ds r sen d d sen d d

r

π π π π

π π

θ θ θ φ θ θ φ=

⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅+∫ ∫ ∫ ∫ ∫J

( ) ( ) ( )2 2

0.3

0.10 0

155.17 55.17 0.47 0.24 0.16 0.15

2 4|I d d

π ππ

π

θ φ φ = − ⋅ = − − − ∫ ∫

( )( )12.14 2 76.26I Aπ= =

b) Encontrar el valor promedio de J en el área en cuestión. El área de una superficie esférica está dada por:

2 0.3 2 0.3 20.32

0.8 0.10 0.1 0 0.1 0

0.64 0.64 cos| |r

S r sen d d sen d d dπ π π π π

π

ππ π

θ θ φ θ θ φ θ φ=

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )( ) ( )( )2

2

0

0.64 0.59 0.95 0.231 2 1.45S d mπ

φ π= − − = =∫

22

76.2652.52

1.45

I AA m

S m= = =J


_____________________________________________________________________________________________________


48

5.9. a) Utilizando los datos tabulados en el Apéndice C ( 610σ = ), calcular el siámetro que se requiere para que un alambre de nicromo de 2m de longitud disipe una potencia promedio de 450W cuando se le aplique un voltaje de 120Vrms a 60Hz, Diámetro = 2r

Si L

V ISσ

=⋅

y P V I= ⋅ , igualando en función de I, tenemos:

P L

VV Sσ

=⋅

, despejando S:

2

P LS

V σ= , donde 2S rπ= ⋅ para obtener el radio del alambre:

22

P Lr

Vπ

σ⋅ =

2

P Lr

V π σ=

⋅

Sustituyendo los valores tenemos:

( )( )

( )( )

8 42 6

450 21.99 10 1.41 10

10120r x x m

π− −= = =

⋅

El diámetro será:

( ) ( )4 42 1.41 10 2.82 10Diámetro x x− −= ⋅ =

b) Calcular el valor rms de la densidad de corriente en el alambre.

( )6 2

22 2

450120 60 10

1.41 10 4rms

PI V x A mr r xπ π π

= = = =⋅ ⋅ ⋅ −

J


_____________________________________________________________________________________________________


49

5.10. Una alambre sólido con una conductividad 1a y un radio a tiene una cubierta de un

material que tiene una conductividad 2σ , su radio interior es a y su radio exterior es b .

Demostrar que la relación de las densidades de corriente de los dos materiales es independiente de a y b .

Asumimos que para el primer material 1 1σ= ⋅J E y para el segundo material

2 2σ= ⋅J E , tomando en cuenta que el campo eléctrico es constante en todo el alambre

formado por los materiales, nos queda:

1 1σ= ⋅J E

1

1σ= J

E , sustituyendo en 2J :

12 2 2

1

σ σσ

= ⋅ = ⋅ JJ E , obteniendo la relación de densidades:

2 2

1 1

σσ

=JJ

,

Que puede explicarse sin que dependa del radio de los alambres. Depende de las características de conductividad de los alambres.


_____________________________________________________________________________________________________


50

5.13. Un tubo cilíndrico hueco con una sección rectangular mide externamente 0.5” por 1” y un grosor de pared de 0.05”. Suponer que el material es latón y tiene una 71.5 10x S mσ = . Por el tubo fluye una corriente de 200ª de c.d.,

a) ¿Qué caída de voltaje se presenta en un metro del tubo?, Transformamos las unidades de pulgadas (“) a metros: 0.5” equivalen a 12.7mm, 1” equivale a 25.4mm, 0.05” equivalen a 1.27mm,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7

200 1

1.5 10 0.0254 0.0127 1 1 0.1 1 0.2

LV I

S xσ⋅

= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ −

^

200147.62

1354.84V mV= =

b) Encontrar la caída de voltaje si el interior del tubo se llena con material conductor cuyo valor de 51.5 10x S mσ = . Primero determinamos la resistencia en el interior:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5

1 128.7

34.841.5 10 0.0254 0.0127 1 0.1 1 0.2R m

x= = = Ω

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ −

La resistencia total para calcular el voltaje será la relación entre la interna y la del tubo:

1 3 33 3

1 200 11.355 10 34.84 1.39 10

147.62 10 28.7 10T

IR x x

V R x x−

− −= + = + = + =

( ) 13 41.39 10 7.19 10TR x x− −= = Ω

La cíada de voltaje será:

4200 7.19 10 143.91TV I R x mV−= ⋅ = ⋅ =


_____________________________________________________________________________________________________


51

5.14. Una placa conductora rectangular está ubicada en el plano xy y ocupa la región 0 x a< < , 0 y b< < . Otra placa conductora idéntica se coloca en posición paralela a la

primera en z d= . El espacio entre las placas se llena con un material cuyo 0xa

x eσ σ −= ⋅ ,

donde 0σ es una constante. Se aplica un voltaje 0V a la placa en z d= ; la placa está a

potencial cero en 0z = . Encontrar en términos de los parámetros dados: a) La intensidad de campo eléctrico E dentro del material, El campo eléctrico varía en la dirección de z, más sin embargo la conductividad del material interno varía en función de x. Así que en todo z no debe existir variación de E , quedando la expresión:

0V

d

−= zΕ a V m

b) La corriente que fluye entre las placas,

0 0

x

ae v

d

σ−

− ⋅= zJ a

0

0 0

x

ab a

s

e vd dx dy

d

σ−

− ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫J J , se realiza un cambio de variable:

xu dx

aa du dx

−=

− ⋅ =

0 0 0

0 0 0 0 00

( )au u

b a b a bue v v v edu dy e du dy dy

d d d

σ σ σ − ⋅ − ⋅ − ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫J

0

00

bubv edy

d

σ ⋅= −

∫J , se devuelve el cambio de variable:

( )0

10 0 0 0

0

0.631

axaa

a ab v e b v b v b v

e e ed d d d

σ σ σ σ−

−−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − = − − = − − =

J

c) La resistencia del material.

0 0

00.63 0.63

v v dR

b vI bd

σ σ= = = Ω⋅


_____________________________________________________________________________________________________


52

5.17. Dado el campo de potencial 2

100

4

xzV

x=

+V en el espacio libre:

a) Encontrar D en la superficie 0z = ,

/v v v

V v mx y z

∂ ∂ ∂= −∇ = + + ∂ ∂ ∂ E

( )( )2 2 2 2 2

2 2 2 2 22

100 4 200 100 400 200 100 400

( 4) ( 4)4

z x x zv x z z x z x z z

x x xx

+ −∂ + − − += = =∂ + ++

0v

y

∂ =∂

2

2 2 2

100 ( 4) 100

( 4) ( 4)

v x x x

z x x

∂ += =∂ + +

2

2 2 2

100 400 1000

( 4) ( 4)

x z z xV

x x

− += −∇ = − − − + + x y zE a a a , en 0z = queda:

2

100

( 4)

x

x

−=+ zE a

Para encontrar D :

200 2

100

( 4)

xC m

x

ε− ⋅ ⋅=∈ ⋅ =+ zD E a

b) Demostrar que la superficie 0z = es una superficie equipotencial, Evaluando el potencial dado en 0z = se nota que a pesar de que x o y varien, el potencial siempre será cero. Igualmente el campo en 0z = igualmente irá dirigido en la dirección za .

c) Suponer que la superficie 0z = es un conductor y encontrar la carga total en la porción del conductor definida por 0 2x< < , 3 0y− < < .

4

1002

00 +

−==

= x

xDa

zzs

εσ

Q=0 2 0 2

002 23 0 3 0

100100

4 4

x xQ dx dy dx dy

x x

ε ε− −

−= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅+∫ ∫ ∫ ∫


_____________________________________________________________________________________________________


53

Cambio de variable:

xdxdu

xu

=

+=

2

42

( )2 2

0 2 0 020 0 03 0 3 3

0 0

1 1 1100 100 100 ( 4)

2 2 2

duQ dy Ln u dy Ln x dy

uε ε ε

− − −

= − = − = − + ∫ ∫ ∫ ∫

22

0 0 00

300( 4) 150 (8) 150 (4)

2Q Ln x Ln Lnε ε ε = − ⋅ ⋅ + = − +

12 12150 (8.854 10 ) (8) 150 (8.854 10 ) (4)Q x Ln x Ln− −= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

90.92 10Q x C−= −


_____________________________________________________________________________________________________


54

5.19. Sea 2 220 10V x ys z= − en el espacio libre.

a) Determinar las ecuaciones de las superficies equipotenciales en las que 0V = y 60 V,

2 220 10V x yz z= − ; en V = 0v 210 (2 ) 0z x y z− =

22 0x y z− =

En V = 60v

210 (2 ) 60z x y z− =

2 602

10

vx y z

z− =

2 62x y z

z− =

2 22 6 0x zy z− − =

b) Suponer que éstas son superficies conductoras y encontrar la densidad de carga de superficie en el punto de la superficie V = 60V donde 2x = y 1z = . Se sabe que 0 60V< < es la región que contiene el campo, En v = 60v:

1;2;06

2

06

2

22

2

===−−

=−−

zxz

zyx

zzyx

2 22(2) (1) 6 0

8 7 0

70.875

8

y

y

y

− − =− =

= =

v v vV v m

x y z

∂ ∂ ∂= −∇ = − + + ∂ ∂ ∂ E

xyzx

v40=

∂∂

zxy

v 220=∂∂

zyxz

v2020 2 −=

∂∂


_____________________________________________________________________________________________________


55

( )2 240 20 20 20xyz x z x y z= − − − −x y zE a a a

Evaluando en x = 2, y = 0.875 y z = 1, nos queda:

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 240 2 0.875 1 20 2 20 2 0.875 20 1 70 80 50z = − − − − = − − +

x y z x y zE a a a a a a

Entonces:

( )( )12 9 9 9 20 8.85 10 70 80 50 0.62 10 0.71 10 0.44 10x x x x C m− − − −=∈ ⋅ = − − + = − − +x y z x y zD E a a a a a a

Ahora el módulo:

( ) ( ) ( )2 2 29 9 9 9 20.62 10 0.71 10 0.44 10 1.04 10x x x x C m− − − −= − + − + =D

c) Proporcionar el vector unitario en el punto que es normal a la superficie conductoras y está dirigida hacia la superficie 0V = .

( ) ( ) ( )

9 9 9 9 9 9

92 2 29 9 9

0.62 10 0.71 10 0.44 10 0.62 10 0.71 10 0.44 10

1.04 100.62 10 0.71 10 0.44 10N

x x x x x xa

xx x x

− − − − − −

−− − −

− − + − − += =

− + − +


0.6 0.68 0.42Na = − − +x y za a a


_____________________________________________________________________________________________________


56

5.24. A cierta temperatura, las movilidades de los electrones y huecos en el germanio son de 0.43 y 0.21 2m V s⋅ , respectivamente. Si las concentraciones de huecos y electrones

son de 192.3 10x 3m− , encontrar la conductividad a esa temperatura.

hhee µρµρσ +=

19106,1 −= xeρ , conductividad del germanio

)21,043,0)(103,2)(106,1( 31919 += − mxxσ

2.355s mσ =


_____________________________________________________________________________________________________


57

5.26. Una muestra de semiconductor tiene una sección transversal rectangular de 1.5mm por 2.0mm y una longitud de 11.0mm. El material tiene unas densidades de electrones y huecos de 181.8 10x y 153.0 10x 3m− , respectivamente. Si 20.082e m V sµ = ⋅ y

20.0021h m V sµ = ⋅ , encontrar la resistencia ofrecida entre las caras de los extremos de la

muestra.

[ ])0021,0)(103()082,0)(108,1()10,1( 151819 xxx += −σ

0,0236s mσ =

AR

σℓ=

0,011

(0,0236)(0,002)(0,0015)R =

155R K= Ω

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