Teoría electromagnetica hayt 7ed

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  1. 1. preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page ii
  2. 2. Si usted desea ver cmo cobra vida del contenido de electromagntica, como se muestra en estas ilustraciones, asegrese de colocar el CD que acompaa a su libro (o visite el sitio web del mismo en http://www.mhhe.com/haytbuck). Encontrar ilustraciones, animaciones, ejemplos interactivos y cuestiona- rios, todos en ingls, que han sido diseados para proporcionarle una expe- riencia interactiva con los conceptos fundamentales de la electromagntica. Los conos del CD-ROM se han colocado a lo largo del libro para indicar cundo es que estos recursos estn disponibles en Media Suite CD-ROM. Esperamos que utilice Media Suite y que esto fomente su aprendizaje de la electromagntica! La onda del campo elctrico junto con la gua de onda metlica: el modo ET10 dominante. preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page i
  3. 3. preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page ii
  4. 4. Teora electromagntica preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page iii
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  6. 6. Teora electromagntica Sptima edicin William H. Hayt, Jr. Purdue University John A. Buck Georgia Institute of Technology Traduccin Carlos Roberto Cordero Pedraza Catedrtico de Ingeniera electrnica y comunicaciones Secretara de Marina Armada de Mxico, CESNAV Revisin tcnica Gustavo Prez L. Profesor de Ingeniera elctrica y electrnica Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, CEM MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page v
  7. 7. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayn Editor sponsor: Pablo Eduardo Roig Vzquez Editora de desarrollo: Paula Montao Gonzlez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Teora electromagntica Sptima edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorizacin escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS 2006 respecto a la sptima edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN 970-10-5620-5 Traducido de la sptima edicin de: ENGINEERING ELECTROMAGNETICS Copyright MMVI by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Previous editions 1958, 1967, 1974, 1981, 1989 y 2001. ISBN 0-07-252495-2 1234567890 09875432106 Impreso en Mxico Printed in Mexico preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page vi
  8. 8. Para Amanda y Olivia preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page vii
  9. 9. A C E R C A D E L O S A U T O R E S viii William H. Hayt Jr. (R.I.P.) obtuvo los grados de licenciatura y maestra en la Univer- sidad de Purdue y de doctorado en la Universidad de Illinois. Despus de trabajar durante cuatro aos en la industria, el profesor Hayt ingres a la Universidad de Purdue, donde tra- baj como profesor y director de la Escuela de Ingeniera Elctrica y como profesor emrito despus de retirarse en 1986. El profesor Hayt fue miembro de las sociedades profesionales Eta Kappa Nu, Tau Beta Pi, Sigma Xi, Sigma Delta Chi, y becario del IEEE, ASEE y NAEB. Durante su estancia en Purdue recibi muchos premios a la enseanza, incluyendo el premio al mejor profesor universitario. Su nombre aparece en el Libro de los Mejores Profesores de la Universidad de Purdue, una pared permanente que se localiza en el Purdue Memorial Union, a partir del 23 de abril de 1999. En este libro estn escritos los nombres del grupo inaugural que consta de 225 miembros del profesorado de todos los tiempos que han dedicado sus vidas a la excelencia en la enseanza. Estos profesores fueron selecciona- dos por sus colegas y alumnos como los mejores educadores de la Universidad de Purdue. John A. Buck naci en Los ngeles, California, y obtuvo los grados de maestra y doc- torado en ingeniera elctrica en la Universidad de California en Berkeley en 1977 y 1982, respectivamente, y la licenciatura en ingeniera en UCLA en 1975. En 1982 ingres a la Escuela de Ingeniera Elctrica y Computacin del Tecnolgico de Georgia, donde ha tra- bajado por 22 aos. Sus publicaciones y reas de investigacin se han enfocado en las reas de conmutacin ultrarrpida, ptica no lineal y comunicaciones va fibras pticas. El doc- tor Buck es autor del libro Fundamentos de las fibras pticas (Wiley Interscience), actual- mente en su segunda edicin. Cuando no est trabajando con su computadora o confinado en su laboratorio, el doctor Buck pasa su tiempo libre escuchando msica, caminando por el campo y practicando la fotografa. preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page viii
  10. 10. C O N T E N I D O B R E V E ix Prefacio xiv Visita guiada xviii 1 Anlisis vectorial 1 2 Ley de Coulomb e intensidad de campo elctrico 26 3 Densidad de flujo elctrico, ley de Gauss y divergencia 51 4 Energa y potencial 80 5 Corriente y conductores 114 6 Dielctricos y capacitancia 136 7 Ecuaciones de Poisson y de Laplace 172 8 El campo magntico estable 210 9 Fuerzas magnticas, materiales e inductancia 259 10 Campos variantes con el tiempo y ecuaciones de Maxwell 306 11 Lneas de transmisin 331 12 La onda plana uniforme 396 13 Reflexin de ondas planas y dispersin 434 14 Ondas guiadas y radiacin 480 Apndice A Anlisis vectorial 542 Apndice B Unidades 546 Apndice C Constantes de materiales 551 Apndice D Orgenes de la permitividad compleja 554 Apndice E Respuestas a los problemas impares 561 ndice analtico 567 preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page ix
  11. 11. C O N T E N I D O x Prefacio xiv Visita guiada xviii Captulo 1 Anlisis vectorial 1 1.1 Escalares y vectores 1 1.2 lgebra vectorial 2 1.3 El sistema de coordenadas rectangular 4 1.4 Componentes vectoriales y vectores unitarios 5 1.5 El campo vectorial 8 1.6 El producto punto 9 1.7 El producto cruz 12 1.8 Otros sistemas de coordenadas: coordenadas cilndricas circulares 14 1.9 El sistema de coordenadas esfricas 19 Lecturas complementarias 22 Problemas 23 Captulo 2 Ley de Coulomb e intensidad de campo elctrico 26 2.1 La ley experimental de Coulomb 27 2.2 Intensidad de campo elctrico 30 2.3 Campo debido a una distribucin continua de carga volumtrica 34 2.4 Campo de una lnea de carga 37 2.5 Campo de una lmina de carga 43 2.6 Lneas de flujo y esquemas de campos 45 Lecturas complementarias 48 Problemas 48 Captulo 3 Densidad de flujo elctrico, ley de Gauss y divergencia 51 3.1 Densidad de flujo elctrico 51 3.2 Ley de Gauss 55 3.3 Aplicacin de la ley de Gauss: algunas distribuciones de carga simtricas 59 3.4 Aplicaciones de la ley de Gauss: elemento diferencial de volumen 64 3.5 Divergencia 67 3.6 Primera ecuacin de Maxwell (electrosttica) 70 3.7 El operador vectorial y el teorema de la divergencia 72 Lecturas complementarias 75 Problemas 76 Captulo 4 Energa y potencial 80 4.1 Energa para mover una carga puntual en un campo elctrico 81 4.2 La integral de lnea 82 4.3 Definicin de diferencia de potencial y potencial 87 4.4 El campo de potencial de una carga puntual 89 4.5 El campo de potencial de un sistema de cargas: propiedad conservativa 91 4.6 Gradiente de potencial 95 4.7 El dipolo 101 4.8 Densidad de energa en el campo electrosttico 106 Lecturas complementarias 110 Problemas 110 preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page x
  12. 12. Contenido xi Captulo 5 Corriente y conductores 114 5.1 Corriente y densidad de corriente 114 5.2 Continuidad de la corriente 116 5.3 Conductores metlicos 118 5.4 Propiedades de los conductores y condiciones de frontera 123 5.5 El mtodo de las imgenes 128 5.6 Semiconductores 130 Lecturas complementarias 132 Problemas 132 Captulo 6 Dielctricos y capacitancia 136 6.1 Naturaleza de los materiales dielctricos 137 6.2 Condiciones de frontera para materiales dielctricos perfectos 143 6.3 Capacitancia 149 6.4 Varios ejemplos de capacitancia 152 6.5 Capacitancia de una lnea de dos hilos 155 6.6 Utilizacin de mapas de campo para la estimacin de la capacitancia en problemas bidimensionales 160 6.7 Analoga con corrientes 165 Lecturas complementarias 167 Problemas 167 Captulo 7 Ecuaciones de Poisson y de Laplace 172 7.1 Deduccin de las ecuaciones de Poisson y Laplace 173 7.2 Teorema de unicidad 175 7.3 Ejemplos de la solucin de la ecuacin de Laplace 177 7.4 Ejemplos de la solucin de la ecuacin de Poisson 184 7.5 Solucin producto de la ecuacin de Laplace 188 7.6 Resolucin de la ecuacin de Laplace por medio de la iteracin numrica 196 Lecturas complementarias 202 Problemas 203 Captulo 8 El campo magntico estable 210 8.1 Ley de Biot-Savart 210 8.2 Ley circuital de Ampre 218 8.3 El rotacional 225 8.4 Teorema de Stokes 232 8.5 Flujo magntico y densidad de flujo magntico 237 8.6 Potenciales magnticos escalares y vectoriales 240 8.7 Derivacin de las leyes de campos magnticos estables 247 Lecturas complementarias 253 Problemas 253 Captulo 9 Fuerzas magnticas, materiales e inductancia 259 9.1 Fuerza sobre una carga en movimiento 260 9.2 Fuerza sobre un elemento diferencial de corriente 261 9.3 Fuerza entre elementos diferenciales de corriente 265 9.4 Fuerza y torca sobre un circuito cerrado 267 9.5 La naturaleza de los materiales magnticos 273 9.6 Magnetizacin y permeabilidad 276 9.7 Condiciones de frontera magnticas 281 9.8 El circuito magntico 284 9.9 Energa potencial y fuerzas en materiales magnticos 290 9.10 Inductancia e inductancia mutua 292 Lecturas complementarias 299 Problemas 299 preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xi
  13. 13. xii Contenido Captulo 10 Campos variantes con el tiempo y ecuaciones de Maxwell 306 10.1 Ley de Faraday 306 10.2 Corriente de desplazamiento 313 10.3 Ecuaciones de Maxwell en forma puntual 317 10.4 Ecuaciones de Maxwell en forma integral 319 10.5 Los potenciales retardados 321 Lecturas complementarias 325 Problemas 325 Captulo 11 Lneas de transmisin 331 11.1 Descripcin fsica de la propagacin en las lneas de transmisin 332 11.2 Ecuaciones de la lnea de transmisin 334 11.3 Propagacin sin prdidas 336 11.4 Propagacin sin prdidas de voltajes sinusoidales 339 11.5 Anlisis complejo de seales sinusoidales 341 11.6 Ecuaciones de las lneas de transmisin y sus soluciones en forma fasorial 343 11.7 Propagacin sin prdidas y con bajas prdidas 345 11.8 Caracterizacin de la transmisin de potencia y prdidas 347 11.9 Reflexin de la onda en las discontinuidades 350 11.10 Relacin de onda estacionaria de voltaje 353 11.11 Lneas de transmisin de longitud finita 357 11.12 Algunos ejemplos de la lnea de transmisin 360 11.13 Mtodos grficos 364 11.14 Anlisis de transitorios 375 Lecturas complementarias 388 Problemas 388 Captulo 12 La onda plana uniforme 396 12.1 La propagacin de la onda en el espacio libre 396 12.2 Propagacin de ondas en dielctricos 404 12.3 El teorema de Poynting y la potencia de las ondas 413 12.4 Propagacin en buenos conductores: el efecto piel 416 12.5 Polarizacin de onda 423 Lecturas complementarias 430 Problemas 430 Captulo 13 Reflexin de ondas planas y dispersin 434 13.1 Reflexin de ondas planas uniformes que inciden perpendicularmente 434 13.2 Razn de onda estacionaria 441 13.3 Reflexin de ondas sobre mltiples interfases 445 13.4 Propagacin de ondas planas en direcciones generales 453 13.5 Reflexin de ondas planas que inciden en ngulos oblicuos 456 13.6 Reflexin total y transmisin total de ondas incidentes oblicuas 462 13.7 Propagacin de ondas en medios dispersivos 465 13.8 Ensanchamiento de pulsos en medios dispersivos 471 Lecturas complementarias 475 Problemas 476 Captulo 14 Ondas guiadas y radiacin 480 14.1 Campos en las lneas de transmisin y constantes fundamentales 481 14.2 Operacin de la gua de onda bsica 490 14.3 Anlisis de las ondas planas en las guas de ondas de placas paralelas 494 14.4 Anlisis de guas de placas paralelas utilizando la ecuacin de onda 503 14.5 Guas de onda rectangulares 506 14.6 Guas de onda dielctricas planas 511 14.7 Fibra ptica 517 14.8 Principios bsicos de las antenas 527 Lecturas complementarias 537 Problemas 537 preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xii
  14. 14. Contenido xiii Apndice A Anlisis vectorial 542 A.1 Coordenadas curvilneas generales 542 A.2 Divergencia, gradiente y rotacional en coordenadas generales curvilneas 543 A.3 Identidades vectoriales 545 Apndice B Unidades 546 Apndice C Constantes de materiales 551 Apndice D Orgenes de la permitividad compleja 554 Apndice E Respuestas a los problemas impares 561 ndice analtico 567 preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xiii
  15. 15. xiv P R E F A C I O El proceso de preparacin de la nueva edicin de un libro es una mezcla muy particular de esfuerzo y satisfaccin. A lo largo de un gran nmero de horas y pequeos detalles, las ta- reas de incorporar nuevas ideas que expandan las ya existentes y quitar las que se han vuel- to tediosas proporciona momentos muy gratificantes. Durante este proceso se experimenta la sensacin de que este nuevo libro ser mejor y ms til. En el caso de la materia de teora electromagntica la parte fundamental nunca cambia, por lo que se puede pensar que la manera de abordar estos temas en ediciones anteriores se ha dejado intacta. ste fue mi enfoque al preparar la sexta edicin de este libro. Sin embar- go, en la preparacin de esta sptima edicin me he tomado algunas libertades. Los temas que han estado presentes desde la primera edicin se volvieron a analizar y algunos se eli- minaron por completo y otros se reubicaron en otras partes del libro. Estas modificaciones las llev a cabo muy rara vez, ya que mi objetivo siempre fue mejorar la continuidad del ma- terial tratando a la vez de evitar cualquier elemento que pudiera quitarle el atractivo y el xi- to que ha tenido por casi cincuenta aos la obra original del doctor Hayt. En aos ms recientes, muchos cursos sobre la materia de teora electromagntica han resaltado en particular la teora de las lneas de transmisin de una manera consistente con la popularidad de la ingeniera en computacin como una materia de primordial importan- cia dentro del plan de estudios de la carrera de ingeniera elctrica. Esto ha tenido como con- secuencia el cambio ms importante en esta nueva edicin: la reescritura de un captulo (e independiente en esta nueva edicin) sobre lneas de transmisin. Este nuevo captulo es el nmero 11 (antes captulo 13) y est ubicado antes de los captulos que tratan el tema de on- das electromagnticas. En el captulo 11, el tratamiento de las lneas de transmisin se lle- va a cabo por completo en el contexto de la teora de circuitos; se presenta el tema del fenmeno ondulatorio y se utiliza exclusivamente en forma de voltajes y corrientes. Asimis- mo, se aborda el tema de prdidas en lneas de transmisin junto con un minucioso trata- miento de la ecuacin de onda. Los conceptos de inductancia y capacitancia se consideran parmetros conocidos y por tanto no dependen de otros captulos. Esto permite que, si as se desea, las lneas de transmisin sea el tema inicial del curso. Los temas de concepto de campo y clculo paramtrico en lneas se han conservado; sin embargo, aparecen al comienzo del captulo 14 donde juegan un papel muy importante pues ayudan a presentar los concep- tos de gua de ondas a la vez que proporcionan una mejor perspectiva respecto al problema del guiado de ondas. El tratamiento que se le administra a las lneas de dos hilos, coaxiales y planas con diferentes regmenes de frecuencias ha sido el mismo que en ediciones ante- riores; sin embargo, se ha adicionado una nueva seccin acerca de lneas de microcinta. Es- te material puede estudiarse despus del captulo 12 y no requiere del captulo 13. Los captulos sobre ondas electromagnticas, el 12 y el 13 (antes el 11 y el 12), conti- nan siendo independientes del tema teora de las lneas de transmisin en el sentido de que preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xiv
  16. 16. Prefacio xv el estudiante puede abordar el captulo 12 inmediatamente despus del captulo 10. De esta forma, el tema del fenmeno ondulatorio se presenta desde sus principios fundamentales pe- ro dentro del contexto de las ondas planas uniformes. El captulo 12 alude al captulo 11 en puntos donde ste pueda proporcionar una mejor perspectiva y mayores detalles. Sin embar- go, si el profesor o el estudiante desean proceder en ese orden, en el captulo 12 se presen- ta todo el material necesario para aprender el tema de ondas planas sin tener que estudiar el tema de lneas de transmisin primero. El estudio de los temas de reflexin de ondas planas y dispersin en el captulo 13 conti- na en el captulo 14; en ste se analizan los fundamentos del guiado de ondas con la ayuda de los modelos de reflexin de ondas planas, as como mediante la solucin directa de la ecua- cin de onda. Este captulo conserva el contenido original de la sexta edicin; sin embargo, ahora incluye una seccin adicional sobre fibras pticas, adems del tema de estructura de lneas de transmisin mencionado antes. La ltima parte del captulo 14 trata sobre los con- ceptos bsicos de radiacin, el cual es un tema estudiado en las ediciones precedentes. En la reestructuracin de los captulos anteriores se encuentra la divisin del captulo 5 (conductores, dielctricos y capacitancia) en dos captulos (5 y 6) que tratan sobre conduc- tores y capacitores de forma independiente. El captulo 6 (el cual trataba los temas de mapeo de campo y tcnicas numricas) se ha suprimido, pero se ha conservado parte de es- te material en otros captulos. El tema de mapeo cuadrtico curvilneo y el estudio y el an- lisis de analogas de corriente son parte del captulo sobre capacitancia (6), y la seccin sobre la solucin iterativa es ahora parte del desarrollo de las ecuaciones de Laplace y Pois- son en el captulo 7. Un suplemento importante en esta edicin es un CD con demostraciones por computa- dora y programas interactivos desarrollados por Natalia Nikolova de la Universidad de Mc- Master, y Vikram Jandhyala e Indranil Chowdhury de la Universidad de Washington. Sus excelentes contribuciones son muy apropiadas para este texto. Cuando se presenta un ejer- cicio relacionado con el texto, aparecen conos de CD en el margen izquierdo. Asimismo, con la finalidad de servir como ayuda al estudio, el CD contiene pequeos exmenes. Se presenta tambin un gran nmero de animaciones (incluyendo algunas creadas por m) que ayudan a visualizar la mayor parte de los fenmenos que se describen en el texto. Se ha reemplazado aproximadamente un cuarenta por ciento de los problemas de la sex- ta edicin. Adems de la gran cantidad de problemas nuevos, he incluido algunos proble- mas clsicos de Bill Hayt que aparecen en ediciones anteriores de este libro. He tomado la decisin de revivir los que, desde mi particular punto de vista, fueron los mejores y ms relevantes. Los problemas de repaso se han reconstruido por completo y se les han corregi- do errores. Adicionalmente a estas modificaciones, el tema medular del texto se ha conservado desde su primera edicin en 1958. Se ha utilizado un mtodo inductivo que sea consistente con el desarrollo histrico. En dicho mtodo se presentan las leyes experimentales como conceptos independientes que, posteriormente, se unifican en las ecuaciones de Maxwell. Despus del primer captulo que trata el anlisis vectorial se presentan herramientas mate- mticas adicionales a medida que stas se van necesitando. A lo largo de todas las ediciones anteriores, as como en sta, el objetivo fundamental ha sido que los estudiantes aprendan de manera independiente. Con la finalidad de facilitar este proceso se proporciona un gran nmero de ejemplos, problemas de repaso (que por lo general contienen mltiples partes), problemas al final de cada captulo y en CD. Se proporcionan las respuestas a los proble- mas de repaso debajo de cada uno de ellos. En el apndice E se encuentran las respuestas a preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xv
  17. 17. xvi Prefacio los problemas del final del captulo que tienen nmero impar. En un futuro estar dispo- nible el manual de respuestas para el profesor, que junto con el contenido del CD y otros recursos de aprendizaje se encuentran disponibles en la pgina web de este texto, http://www.mhhe.com/haytbuck. La herramienta COSMOS (Complete Online Solutions Manual Operating System), disponible para los instructores en CD-ROM, contiene todos los problemas del libro, incluyendo el texto y las imgenes a los que se refieren, as como la so- lucin a todos los problemas del libro. Este material ayudar al profesor a organizar, distri- buir y rastrear problemas a medida que los asigne a los estudiantes. Asimismo, se agradece el apoyo de las compaas ANSOFT y Faustus Scientific Corp. Este libro contiene material ms que suficiente para un curso de un semestre. Como es lgico, se destacan los conceptos sobre esttica y stos se presentan en la primera parte del texto. En un curso que resalte los conceptos sobre dinmica se puede estudiar el tema sobre lneas de transmisin primero o en cualquier otro punto del curso. El material que versa so- bre esttica puede cubrirse de una forma ms rpida omitiendo el captulo 1 (diseado para leerse como repaso) y saltndose las secciones 2.6, 5.5, 5.6, 6.5, 6.6, 7.4 hasta la 7.6, 8.6, 8.7 y 9.3 hasta la 9.6, 9.8 y 10.5. Se puede lograr una presentacin ms directa del tema de ondas planas omitiendo las secciones 12.5, 13.5 y 13.6. El objetivo del captulo 14 es el es- tudio de temas avanzados en los que el desarrollo de los conceptos de guas de ondas y an- tenas se presenta por medio de la aplicacin de los mtodos aprendidos en captulos anteriores, lo que ayuda al estudiante a afirmar sus conocimientos. Asimismo, puede servir como un puente entre el curso bsico y cursos ms avanzados que le precedan. AGRADECIMIENTOS Estoy profundamente agradecido con un gran nmero de estudiantes y colegas, quienes me han dado su apoyo y aliento antes y durante la preparacin de esta nueva edicin. En la re- visin de este texto, un gran nmero de opiniones y juicios basados en un conocimiento pro- fundo del tema los proporcionaron Raviraj Sadanand Adve, University of Toronto Jonathan S. Babgy, Florida Atlantic University Arun V. Bakshi, College of Engineering, Pimpri, India Shanker Balasubramaniam, Michigan State University N. Scott Barker, University of Virginia Vikram Jandhyala, University of Washington Brian A. Lail, University of Central Florida Sharad R. Laxpati, University of Illinois-Chicago Reinhold Ludwig, Worcester Polytechnic Institute Masoud Mostafavi, San Jose State University Natalia K. Nikolova, McMaster University J. Scott Tyo, University of New Mexico Kathleen L. Virga, University of Arizona Clive Woods, Iowa State University Sus invaluables comentarios y sugerencias modificaron muchos aspectos del producto final. Varios errores e inconsistencias en el texto y en algunos problemas se identificaron gracias a la ayuda de William Thompson, Jr. de la Universidad Estatal de Pennsylvania. Shannon preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xvi
  18. 18. Prefacio xvii Madison del Tecnolgico de Georgia, colabor ampliamente en la revisin de los problemas de repaso, mientras que Diana Fouts fue responsable del diseo y figuras de la cubierta. Durante los cuatro aos desde que se imprimi la ltima edicin de este libro recib una gran cantidad de correos electrnicos con preguntas y sugerencias acerca de partes del texto que, despus de una reflexin detallada, pudieron haber sido escritos de una manera ms cla- ra. Quizs hayan sido estas llamadas de atencin sobre los detalles las ms valiosas en el me- joramiento del producto final. Lamento no haber podido responder todos los mensajes que recib, sin embargo, todos se tomaron en cuenta. Como entonces, estoy abierto a recibir co- rrespondencia de los lectores. Estoy en el correo electrnico [email protected]. Por ltimo, agradezco al grupo de McGraw-Hill que trabaj en este proyecto, cuyo en- tusiasmo, aliento y ayuda fueron de gran valor. En especial, a Michelle Flomenhoft y a Car- lise Stembridge, quienes conformaron todo el material e hicieron posible este libro. Aprecio haber trabajado con ellas. Como en revisiones anteriores, el tiempo fue muy corto para ter- minar todo lo que hubiera querido. Estoy seguro de que mi entusiasmo ser enorme para tra- bajar en una octava edicin, una vez que haya descansado y que mi esposa y mis hijas se hayan armado de paciencia. Espero que mis hijas, quienes son an muy jvenes para com- prender por qu pap se la pasa todo el fin de semana trabajando en la computadora, hayan madurado lo suficiente para soportar esto. Les dedico a ellas este libro. John A. Buck Marietta,GA Septiembre de 2004 preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xvii
  19. 19. xviii V I S I T A G U I A D A El objetivo principal de este libro es presentar la teora electromagntica de una forma clara, in- teresante y fcil de aprender. A continuacin se le presentan al estudiante algunos consejos ti- les para que le ayuden a estudiar y tener xito durante el curso. Ejemplos: En cada captulo se presenta un gran nmero de ejemplos de fcil acceso para que el alumno refuerce los conceptos estudiados. Problemas de repaso: Cada captulo contiene un nmero considerable de problemas de re- paso. Estos problemas, que incluyen su respuesta, sirven para que el estudiante verifique, de una manera rpida, su comprensin del material presentado. (69) donde |V0 (z)| = |V0 (0)|ez. En una lnea de transmisin de 20 m de longitud se presenta una cada de potencia de 2.0 db de extremo a extremo. a) Qu fraccin de la potencia de entrada llega a la salida? b) Qu fraccin de la potencia de entrada llega a la mitad de la lnea? c) Qu coeficiente de ate- nuacin exponencial, , representa esto? Solucin. a) La fraccin de potencia ser b) 2 dB en 20 m equivale a una prdida de 0.2 dB/m. As que, en un tramo de 10 me- tros, la prdida ser de 1.0 dB. Esto representa una fraccin de potencia de 100.1 = 0.79. c) El coeficiente de atenuacin exponencial se encuentra a travs de Como punto final se plantea la pregunta: Por qu utilizar decibeles? La respuesta ine- ludible es que cuando se evala la potencia acumulada de varias lneas y dispositivos conec- EJEMPLO 11.4 (dB) = 10 log10 ( ) P(z) = 20 log10 | 0( )| |V0(z)| P(20) P(0) = 100.2 = 0.63 = 2.0 dB (8.69 dB/Np)(20 m) = 0.012 [Np/m] Prdida de potencia D14.3 Los conductores de una lnea de transmisin bifilar tienen un radio de 0.8 mm cada uno y una conductividad de 3 107 S/m. Se encuentran separados por una dis- tancia de 0.8 cm entre centros en un medio para el cual r = 2.5, r = 1 y = 4 109 S/m. Si la lnea opera a 60 Hz, encuntrese: a) ; b) C; c) G; d) L; e) R. Respuesta: 1.2 cm; 30 pF/m; 5.5 nS/m; 1.02 H/m; 0.033 /m preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xviii
  20. 20. Visita guiada xix Problemas al final del captulo: Cada captulo contiene un gran nmero de problemas, in- cluyendo respuestas a los problemas seleccionados en el apndice E con el fin de ofrecer al estudiante la oportunidad de practicar lo aprendido. CD-ROM del estudiante: Este libro contiene un CD-ROM para mejorar an ms la com- prensin del estudiante de la teora electromagntica. (Los detalles sobre el contenido del CD-ROM se presentan en las dos pginas siguientes.) A lo largo del libro se indica con el cono de un CD, en el margen izquierdo del texto, cundo se debe utilizar ste para obtener ayuda adicional con respecto a un determinado tema. g 14.17 Una gua de ondas rectangular tiene como dimensiones, a = 6 cm y b = 4 cm. a) En qu rango de frecuencias operar la gua en un solo modo? b) En qu rango de fre- cuencias la gua slo soportar ambos modos, TE10 y TM01? 14.18 Dos guas de onda rectangulares estn unidas de extremo a extremo. Las guas tienen dimensiones idnticas, donde a = 2b. Una gua est llena con aire; la otra est llena con un dielctrico sin prdidas caracterizado por r. a) Determine el valor mximo permisible de tal manera que pueda asegurarse una operacin en un solo modo, si- multneamente, de ambas guas a una frecuencia. b) Escriba una expresin para el rango de frecuencias en el que ocurrir la operacin en un solo modo en ambas guas; su respuesta deber estar escrita en trminos de r, dimensiones de las guas y otras constantes conocidas. Respuesta: 0; 1.018 mC; 6.28 C 2.4 Campo de una lnea de carga Hasta el momento se han considerado dos tipos de distribuciones de carga: la carga puntual y la carga distribuida a travs de un volumen con densidad C/m3. Si ahora se considera una distribucin de densidad de carga volumtrica en forma de filamento, por ejemplo, la de un fino haz de electrones en un tubo de rayos catdicos o la de un conductor cargado y de radio muy pequeo, es conveniente tratar la carga como una lnea con densidad de carga L C/m. En el caso del haz de electrones, las cargas estn en movimiento y es cierto que no se trata de un problema electrosttico. Sin embargo, si el movimiento de los electrones se man- Interactivos preliminares ok 12/29/05 7:08 AM Page xix
  21. 21. xx Visita guiada El CD-ROM se cre para proporcionarle al estudiante recursos de aprendizaje adicionales y as pueda comprender los conceptos complejos de la teora electromagntica. Esta herra- mienta de autoestudio posee una interfaz en la que es fcil navegar, lo que permite que el estudiante encuentre el material de cada captulo. Recurso de aprendizaje # 1: Ilustraciones: Con la finalidad de ayudar al estudiante a visua- lizar los conceptos estudiados se incluyen ilus- traciones en cuatro colores. Recurso de aprendizaje # 2: Animaciones: Un gran nmero de animaciones va incluso un paso ms all presentando al estudiante una demostracin de los fen- menos electromagnticos por medio de animacin Flash. Student Media Suite preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xx
  22. 22. Visita guiada xxi Recurso de aprendizaje # 3: Figuras interactivas: Las figuras interactivas no solamente permiten al estudiante ver los conceptos, sino tambin ajustar las variables fsicamente e in- cluso la misma figura para ver los conceptos en accin. Recurso de aprendizaje # 4: Exmenes rpidos: Para evaluar la comprensin del estu- diante se incluye una prueba rpida de cada captulo. El sistema ofrece realimentacin in- mediata para que el estudiante sepa que ha contestado correctamente las preguntas. preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xxi
  23. 23. preliminares ok 12/28/05 2:43 PM Page xxii
  24. 24. C A P T U L O 1 1 Anlisis vectorial E l anlisis vectorial es un campo de las matemticas que imparten mucho mejor los matemticos que los ingenieros. Sin embargo, muchos estudiantes de ingeniera del penltimo y ltimo aos no han tenido el tiempo (o quizs la inclinacin) de tomar un curso de anlisis vectorial, aunque es probable que varios de los conceptos elementales de vectores y sus operaciones les hayan sido presentados en los cursos de clculo. Estos conceptos fundamentales y sus operaciones se explican en este captulo, y el tiempo que se les dedique depender de las bases precedentes. El enfoque de este texto es el de un ingeniero o un fsico y no el de un matemtico, ya que las demostraciones se bosquejan en vez de exponerse rigurosamente y se destaca la interpretacin fsica. Es ms fcil para los ingenieros tomar cursos ms rigurosos y comple- tos en el departamento de matemticas despus de haber estudiado algunos esquemas fsi- cos y sus aplicaciones. El anlisis vectorial es una taquigrafa matemtica. Contiene algunos smbolos nuevos, algunas reglas nuevas, una que otra trampa y, como la mayor parte de los nuevos campos de es- tudio, demanda concentracin, atencin y prctica. Los problemas de repaso, que se presentan por primera vez al final de la seccin 1.4, deben considerarse como parte integral del texto. Todos debern resolverse. No deben presentar dificultad si el material que acompaa esta sec- cin del texto ha sido comprendido por completo. Se requiere un poco ms de tiempo para leer de esta manera el captulo, pero la inversin en tiempo producir buenos dividendos. 1.1 Escalares y vectores El trmino escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con un simple nmero real (positivo o negativo). Las x, y y z usadas en lgebra bsica son escalares, y las cantidades que representan tambin lo son. Si hablamos de un cuerpo que cae a una distancia L en un tiempo t, o de la temperatura T en cualquier punto en un tazn de sopa cuyas coorde- nadas son x, y y z, entonces L, t, T, x, y y z son escalares. Otras cantidades escalares son la masa, la densidad, la presin (pero no la fuerza), el volumen y la resistividad volumtrica. El voltaje tambin es una cantidad escalar, aunque la representacin compleja en nmeros complejos de un voltaje sinusoidal (un procedimiento artificial) produce un escalar comple- jo o fasor, cuya representacin necesita dos nmeros reales, como la amplitud y el ngulo de fase, o parte real y parte imaginaria. cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 1
  25. 25. 2 CAPTULO 1 Anlisis vectorial Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud1 como direccin en el espacio. Slo se- rn de inters los espacios de dos y tres dimensiones, aunque en aplicaciones ms avan- zadas los vectores pueden definirse en espacios de n dimensiones. La fuerza, la velocidad, la aceleracin y una lnea recta que van de la terminal positiva a la negativa de un acumula- dor son ejemplos de vectores. A cada cantidad la caracterizan tanto una magnitud como una direccin. Los campos escalares y vectoriales sern de mayor importancia. Un campo (escalar o vectorial) puede definirse matemticamente como la funcin del vector que conecta un ori- gen arbitrario con un punto cualquiera en el espacio. En general, es posible asociar algn efecto fsico con un campo, como la fuerza sobre la aguja de una brjula en el campo mag- ntico de la Tierra o el movimiento de las partculas de humo en el campo que define el vec- tor velocidad del aire en alguna regin del espacio. Es necesario observar que el concepto de campo invariablemente se relaciona con una regin. Algunas cantidades se definen en ca- da punto de una regin. Tanto los campos escalares como los vectoriales tienen una exis- tencia real. La temperatura de un tazn de sopa y la densidad en cualquier punto de la Tierra son ejemplos de campos escalares. Los ejemplos de campos vectoriales son los campos gra- vitacional y magntico de la Tierra, el gradiente de voltaje en un cable y el gradiente de tem- peratura en la punta de un cautn. En general, el valor de un campo vara tanto con la posicin como con el tiempo. En este libro, as como en muchos otros que utilizan la notacin vectorial, los vectores se indicarn con negritas: A. Los escalares se escribirn en cursivas: A. Cuando escribimos a mano o usamos una mquina de escribir es costumbre dibujar una raya o una flecha sobre la letra que la representa para mostrar el carcter vectorial de la cantidad. (PRECAUCIN: sta es la primera trampa. Una notacin incorrecta, como la omisin de la raya o de la flecha para un vector, es la principal causa de error en el anlisis vectorial.) 1.2 lgebra vectorial Con las definiciones de vectores y campos vectoriales que se han establecido es posible de- finir las reglas de la aritmtica vectorial, del lgebra vectorial y, posteriormente, del clculo vectorial. Ciertas reglas sern similares a las del lgebra escalar; otras, ligeramente diferen- tes, y otras, por completo nuevas y extraas. Esto es de esperarse, ya que un vector presen- ta ms informacin que un escalar, y la multiplicacin de dos vectores, por ejemplo, ser ms complicada que la multiplicacin de dos escalares. Las reglas son de una rama de las matemticas que se encuentra firmemente estableci- da. Todos juegan con las mismas reglas y nosotros, por supuesto, simplemente observa- remos e interpretaremos estas reglas. Sin embargo, es ilustrativo considerarnos pioneros en este campo. Si uno establece sus propias reglas, es posible establecer cualquiera que se de- see. El nico requerimiento es que sean autoconsistentes. Claro est, sera agradable que las reglas concordaran con las del lgebra escalar hasta donde fuera posible, y sera an mejor si nos habilitaran para resolver algunos problemas prcticos. La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo, y sta es fcil de realizar en forma grfica, aunque resulta imprecisa. La figura 1.1 muestra la suma de dos vectores, A y B. Es 1 Se adopta la convencin de que magnitud implica valor absoluto; por lo tanto, la magnitud de cualquier can- tidad es siempre positiva. cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 2
  26. 26. 1 . 2 lgebra vectorial 3 fcil observar que A + B = B + A, es decir, que la suma de vectores tiene la propiedad con- mutativa. La suma vectorial tambin tiene la propiedad asociativa, Obsrvese que cuando un vector se dibuja como una flecha de longitud finita, su loca- lizacin la define la cola de la flecha. Los vectores coplanares o vectores que pertenecen a un plano comn, como los que muestra la figura 1.1, y que estn sobre el plano del papel, pueden agregarse tambin expre- sando cada vector en trminos de sus componentes horizontal y vertical y sumando las componentes correspondientes. Los vectores en tres dimensiones pueden, asimismo, sumarse expresando cada uno de ellos en trminos de sus componentes y sumando stas a los trminos correspondientes. Se encontrarn ejemplos de estos procesos de adicin despus de estudiar las componentes vectoriales en la seccin 1.4. La regla para la sustraccin de vectores se define fcilmente con respecto a la suma, da- do que siempre se puede expresar A B como A + (B); el signo y la direccin del se- gundo vector se invierten, y entonces este vector se suma al primero siguiendo la regla de la adicin vectorial. Los vectores pueden multiplicarse por escalares. Cuando el escalar es positivo, la mag- nitud del vector cambia pero no su direccin. Sin embargo, la direccin se invierte al mul- tiplicarla por un escalar negativo. La multiplicacin de un vector por un escalar tambin tie- ne las propiedades asociativa y distributiva del lgebra, es decir, La divisin de un vector por un escalar es simplemente la multiplicacin por el recproco de dicho escalar. La multiplicacin de un vector por un vector se estudiar en las secciones 1.6 y 1.7. Se dice que dos vectores son iguales si su diferencia es cero, o A = B si A B = 0. Cuando se utilizan campos vectoriales se suman o restan siempre que estn definidos en el mismo punto. Por ejemplo, el campo magntico total alrededor de un pequeo imn de herradura aparecer como la suma de los campos que producen la Tierra y el imn per- manente; es decir, el campo total en cualquier punto es la suma de los campos individuales en dicho punto. De cualquier manera, si no se est considerando un campo vectorial se pueden sumar o restar vectores que no estn definidos en el mismo punto. Por ejemplo, la suma de la fuerza Figura 1.1 Dos vectores pueden sumarse grficamente dibujndolos desde un origen comn y completando el paralelogramo o haciendo que el segundo vector comience en la punta del primero y completando el tringulo; cada uno de estos mtodos es fcilmente generalizado para el caso de tres o ms vectores. A + (B + C) = (A + B) + C (r + s)(A + B) = r(A + B) + s(A + B) = rA + rB + sA + sB cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 3
  27. 27. 4 CAPTULO 1 Anlisis vectorial gravitacional que acta sobre un hombre de 150 lbf (libras-fuerza) en el Polo Norte y la que acta sobre un hombre de 175 lbf en el Polo Sur puede obtenerse trasladando cada vector fuerza al Polo Sur antes de hacer la suma. La resultante es una fuerza de 25 lbf di- rigida hacia el centro de la Tierra en el Polo Sur; si se quieren hacer difciles las cosas se puede describir la fuerza como 25 lbf alejndose del centro de la Tierra (o hacia arriba), en el Polo Norte.2 1.3 El sistema de coordenadas rectangular Para describir con precisin un vector deben darse algunas longitudes especficas, direccio- nes, ngulos, proyecciones o componentes. Existen tres mtodos sencillos para hacer esto, y cerca de otros ocho o diez mtodos que resultan tiles en casos muy especiales. Se utili- zarn nicamente los tres mtodos sencillos, y el ms sencillo de stos es el del sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares. En el sistema de coordenadas cartesianas se utilizan tres ejes coordenados perpendicu- lares entre s, llamados eje x, y y z. Se acostumbra elegir un sistema de coordenadas de ma- no derecha en el cual una rotacin (que describe un pequeo ngulo) del eje x hacia el eje y causara que un tornillo derecho avanzara en la direccin del eje z. Los dedos de la mano derecha, pulgar, ndice y medio, pueden entonces identificar los ejes x, y y z, respectivamen- te. La figura 1.2a muestra un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha. La localizacin de un punto se hace por medio de sus coordenadas x, y y z. stas son, respectivamente, las distancias desde el origen a cada una de las intersecciones de una pro- yeccin perpendicular desde el punto de los ejes x, y y z. Un mtodo opcional para interpre- tar los valores de las coordenadas, y que corresponde al que debe usarse en todos los dems sistemas de coordenadas, es considerar el punto como la interseccin de tres superficies, los planos x = constante, y = constante y z = constante, siendo las constantes los valores de las coordenadas del punto. La figura 1.2b muestra los puntos P y Q, cuyas coordenadas son (1, 2, 3) y (2, 2, 1), respectivamente. Por consiguiente, el punto P se localiza en la interseccin de los planos x = 1, y = 2 y z = 3, mientras que el punto Q se localiza en la interseccin de los planos x = 2, y = 2, z = 1. A medida que aparezcan otros sistemas de coordenadas en las secciones 1.8 y 1.9, se espera encontrar puntos que se localicen en la interseccin comn de tres superficies, no necesariamente planos, pero que sigan siendo mutuamente perpendiculares en el punto de interseccin. Si se visualiza la interseccin de tres planos en cualquier punto P, cuyas coordenadas sean x, y y z, puede incrementarse el valor de cada coordenada por una cantidad diferencial y obtenerse tres planos ligeramente desplazados que se intersecten en un punto P, cuyas coordenadas sern x + dx, y + dy y z + dz. Los seis planos definen un paraleleppedo rec- tangular cuyo volumen es dv = dxdydz; las superficies tienen diferenciales de reas dS de dxdy, dydz y dzdx. Por ltimo, la distancia dL de P a P es la diagonal del paraleleppedo y 2 Algunos han hecho notar que la fuerza debe describirse en el ecuador como si siguiera una direccin norte. Tienen razn, pero sa es una explicacin redundante. cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 4
  28. 28. 1 . 4 Componentes vectoriales y vectores unitarios 5 tiene una longitud de El elemento diferencial de volumen lo muestra la figura 1.2c; el punto P est indicado, pero el punto P se localiza en la nica es- quina invisible. Todo esto es familiar desde la perspectiva de la trigonometra o de la geometra del espa- cio, y hasta ahora involucra nicamente cantidades escalares. En la siguiente seccin se em- pezar con la descripcin de los vectores en trminos de un sistema de coordenadas. 1.4 Componentes vectoriales y vectores unitarios Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas se considera primero un vector r que se extiende alejndose del origen. Una manera lgica de identificar este vector es proporcionar los tres componentes vectoriales, que se encuentran a lo largo de los tres (dx)2 + (dy)2 + (dz)2. Figura 1.2 a) Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha. Si los dedos doblados de la mano derecha indican la direccin de giro por medio de la cual el eje x se hara coincidir con el eje y, el pulgar muestra la direccin del eje z. b) Localizacin de los puntos P(1, 2, 3) y Q(2, 2, 1). c) Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas; dx, dy y dz son, en general, diferenciales independientes. Volumen plano plano plano Origen cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 5
  29. 29. 6 CAPTULO 1 Anlisis vectorial ejes coordenados y cuya suma vectorial debe ser igual al vector dado. Si las componentes vectoriales de un vector r son x, y y z, entonces r = x + y + z. Las componentes vectoria- les se muestran en la figura 1.3a. En vez de un vector ahora se tienen tres, pero esto signi- fica un paso hacia adelante porque los tres vectores son de naturaleza muy sencilla y cada uno se orienta siempre a lo largo de uno de los ejes coordenados. En otras palabras, las componentes vectoriales tienen una magnitud que depende del vector dado (tal como el r citado antes), pero cada una tiene una direccin constante cono- cida. Esto sugiere el uso de vectores unitarios, los cuales tienen magnitud unitaria por defi- nicin y se orientan a lo largo de los ejes coordenados en la direccin en la que crecen los valores de las coordenadas. Se reservar el smbolo a para un vector unitario y se identifica su direccin con un subndice apropiado. Entonces ax ay y az son los vectores unitarios en el sistema de coordenadas cartesianas.3 Son dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z, respec- tivamente, como lo muestra la figura 1.3b. Figura 1.3 a) Componentes vectoriales x, y y z del vector r. b) Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables. c) El vector RPQ es igual al vector diferencia rQ rP. 3 Los smbolos i, j y k tambin se usan comnmente para los vectores unitarios en coordenadas cartesianas. cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 6
  30. 30. 1 . 4 Componentes vectoriales y vectores unitarios 7 Si la componente vectorial y tiene una magnitud de dos unidades y se dirige hacia donde aumentan los valores de y, se deber escribir entonces y = 2ay. Un vector rP que apunta desde el origen a un punto P(1, 2, 3) se escribe como rP = ax + 2ay + 3az. El vector desde el punto P a Q se puede obtener aplicando la regla de la suma vectorial. Esta regla muestra que el vector desde el origen a P ms el vector desde P a Q es igual al vector des- de el origen a Q. El vector deseado desde P(1, 2, 3) a Q(2, 2, 1) es, por lo tanto, Los vectores rP, rQ y RPQ se muestran en la figura 1.3c. Este ltimo vector no empieza en el origen, como lo haca el vector r considerado al principio. Sin embargo, hemos aprendido que los vectores que tienen la misma magnitud y apuntan en la misma direccin son iguales, as que para ayudar al proceso de visualizacin se tiene la libertad de desplazar cualquier vector hasta el origen, antes de determinar sus componentes vectoriales. Desde luego, el paralelismo se debe mantener durante el proceso de desplazamiento. Si se considera un vector fuerza F en vez de cualquier otro vector, excepto uno de des- plazamiento tal como el vector r, el problema radica en proporcionar letras apropiadas pa- ra los tres componentes vectoriales. No sera apropiado llamarlas x, y y z, pues representan desplazamientos o distancias dirigidas, medidas en metros (abreviado m) o alguna otra unidad de longitud. El problema se evita usando componentes escalares, simplemente llamadas componentes Fx, Fy y Fz. Las componentes son las magnitudes, con signo positivo o nega- tivo, de los componentes vectoriales. Se escribe entonces F = Fxax + Fyay + Fzaz. Los com- ponentes vectoriales son Fxax, Fyay y Fzaz. Cualquier vector B, entonces, se puede describir por B = Bxax + Byay + Bzaz. La mag- nitud de B, denotada por |B| o simplemente B, est dada por (1) Cada uno de los tres sistemas coordenados que se estudiarn tendr tres vectores unita- rios fundamentales y mutuamente ortogonales, los cuales se utilizarn para descomponer cualquier vector en sus componentes vectoriales. Sin embargo, los vectores unitarios no se limitarn a esta aplicacin. Es muy necesario saber cmo escribir un vector unitario que ten- ga una direccin especfica. Esto es muy sencillo, pues un vector unitario en una direccin dada es simplemente un vector en esa direccin dividido entre su magnitud. Un vector uni- tario en la direccin r es r y un vector unitario en la direccin B es (2) / x2 + y2 + z2, RP Q = rQ rP = (2 1)ax + (2 2)ay + (1 3)az = ax 4ay 2az |B| = B2 x + B2 y + B2 z aB = B B2 x + B2 y + B2 z = B |B| cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 7
  31. 31. 8 CAPTULO 1 Anlisis vectorial Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2, 2, 1). Solucin. Como primer paso se construye un vector que se extienda desde el origen has- ta el punto G, Entonces se encuentra la magnitud de G, y, por ltimo, se expresa el vector unitario deseado como el cociente, Es deseable escoger un smbolo que identifique un vector unitario de modo que su ca- rcter sea inmediatamente captado. Los smbolos que se han utilizado son uB, aB, 1B, o in- cluso b. Se usar consistentemente la letra minscula a con un subndice apropiado. [NOTA: A lo largo del texto aparecen problemas de repaso despus de las secciones en las que se presenta un nuevo principio, as el estudiante examinar por s mismo su com- prensin de las ideas bsicas. Los problemas son tiles para que se familiaricen con los nue- vos trminos e ideas, por lo que todos deben resolverse. Las respuestas a los problemas se dan en el mismo orden que las partes del problema.] D1.1 Dados los puntos M(1, 2, 1), N(3, 3, 0) y P(2, 3, 4), encontrar: a) RMN; b) RMN + RMP; c) |rM|; d) aMP; e) |2rP 3rN| Respuestas: 4ax 5ay az; 3ax 10ay 6az; 2.45; 0.14ax 0.7ay 0.7az; 15.56 1.5 El campo vectorial Se ha definido ya el campo vectorial como una funcin vectorial de un vector posicin. En ge- neral, la magnitud y direccin de la funcin cambiarn conforme se est moviendo a travs de la regin, y el valor de la funcin vectorial debe determinarse a partir de los valores de las coordenadas del punto en cuestin. Puesto que se ha considerado solamente un sistema de coor- denadas cartesianas, se espera que el vector sea una funcin de las variables x, y y z. Si se presenta nuevamente el vector posicin como r, entonces el campo vectorial G se puede expresar en notacin funcional como G(r); un campo escalar T se escribe T(r). Si se inspecciona la velocidad del agua de mar en alguna regin cercana a la superficie donde las mareas y las corrientes son importantes, se las podra representar por medio de un vector velocidad, que tendra cualquier direccin, incluso hacia arriba o hacia abajo. Si se es- coge el eje z hacia arriba, el eje x en direccin norte, el eje y en direccin oeste y el origen en la superficie, tenemos un sistema de coordenadas de mano derecha y el vector velocidad se puede escribir como: v = vxax + vyay + vzaz, o v(r) = vx(r)ax + vy(r)ay + vz(r)az, en don- de cada componente vx, vy y vz puede ser una funcin de las tres variables x, y y z. EJEMPLO 1.1 G = 2ax 2ay az |G| = (2)2 + (2)2 + (1)2 = 3 aG = G |G| = 2 3 ax 2 3 ay 1 3 az = 0.667ax 0.667ay 0.333az cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 8
  32. 32. 1 . 6 El producto punto 9 Si el problema se simplifica, suponiendo que se est en alguna porcin de la Corriente del Golfo donde el agua se mueve slo hacia el norte, entonces vy y vz son cero. Adems, es po- sible hacer ms suposiciones para simplificar si declina la velocidad segn la profundidad y cambia muy lentamente conforme nos movemos al norte, al sur, este u oeste. Una expre- sin apropiada podra ser v = 2ez/100ax. Con esta expresin se obtiene una velocidad de 2 m/s en la superficie y una velocidad de 0.368 2, o 0.736 m/s, a una profundidad de 100 m (z = 100), y la velocidad contina disminuyendo con la profundidad; en este ejemplo el vector velocidad tiene direccin constante. Mientras que el ejemplo precedente es bastante sencillo y slo es una burda aproxima- cin a una situacin fsica, una expresin ms exacta correspondera a una interpretacin mucho ms compleja y difcil. Se encontrarn, en el estudio de la electricidad y el magne- tismo, varios campos ms sencillos que el ejemplo de la velocidad, en el cual slo intervie- nen una variable y una componente (la componente x y la variable z). Tambin se estudia- rn campos ms complicados, y los mtodos de interpretacin fsica de estas expresiones se analizarn en su momento. D1.2 Un campo vectorial S puede expresarse en coordenadas rectangulares como S = {125/ [(x 1)2 + (y 2)2 + (z + 1)2]}{(x 1)ax + (y 2)ay + (z + 1)az}. a) Evaluar S en P(2, 4, 3). b) Determinar un vector unitario que proporcione la direccin de S en P. c) Especificar la superficie f(x, y, z) en la que |S|= 1. Respuesta: 5.95ax + 11.90ay + 23.8az; 0.218ax + 0.436ay + 0.873az; (x 1)2 + (y 2)2 + (z+ 1)2 = 125. 1.6 El producto punto Aqu se considera el primero de dos tipos de multiplicacin vectorial. El segundo tipo se es- tudiar en la seccin siguiente. Dados dos vectores A y B, el producto punto o producto escalar, se define como el pro- ducto de la magnitud de A, la magnitud de B y el coseno del ngulo entre ellos, (3) El punto que aparece entre los dos vectores debe remarcarse para hacer hincapi en l. El producto escalar o producto punto, que es un escalar, como lo implica uno de sus nombres, obedece a la ley conmutativa, (4) puesto que el signo del ngulo no afecta el trmino del coseno. La expresin A B se lee A punto B. Quiz la aplicacin ms comn del producto punto sea en mecnica, donde una fuerza constante F aplicada sobre un desplazamiento L produce una cantidad de trabajo A B = |A| |B| cos AB A B = B A cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 9
  33. 33. 10 CAPTULO 1 Anlisis vectorial FL cos , que se escribe ms sencillamente como F L. Puede anticiparse uno de los resul- tados del captulo 4 sealando que si la fuerza vara a lo largo de la trayectoria es necesario realizar una integracin para obtener el trabajo total, y el resultado se convierte en Puede tomarse otro ejemplo de los campos magnticos, un tema acerca del cual tendre- mos mucho que decir ms adelante. El flujo total que atraviesa una superficie de rea S est dado por BS si la densidad de flujo magntico B es perpendicular a la superficie y uni- forme sobre ella. Se define el vector de superficie S como aquel cuya magnitud es el rea geomtrica de la superficie y cuya direccin es normal a la superficie (por el momento se evitar el problema de cul de las dos posibles normales debe elegirse). El flujo que atra- viesa la superficie es por consiguiente B S. Esta expresin es vlida para cualquier direccin de la densidad de flujo magntico uniforme. Sin embargo, si la densidad de flujo no es cons- tante sobre la superficie, el flujo total es = En el captulo 3 se presentan inte- grales de esta forma cuando estudiemos la densidad de flujo elctrico. Determinar el ngulo entre dos vectores en un espacio tridimensional es una tarea que con frecuencia se prefiere evitar. Por esta razn, la definicin de producto punto en general no se utiliza en su forma bsica. Se obtiene un resultado ms til al considerar dos vectores expresados en componentes cartesianos como A = Axax + Ayay + Azaz y B = Bxax + Byay + Bzaz. El producto punto tambin obedece la ley distributiva y, por lo tanto, A B produ- ce la suma de nueve trminos escalares, cada uno de los que involucra el producto punto de dos vectores unitarios. Puesto que el ngulo entre dos vectores unitarios diferentes es 90 en el sistema de coordenadas cartesianas, se tiene: Los tres trminos restantes incluyen el producto punto de un vector unitario por s mismo, lo cual da como resultado la unidad. Finalmente, se obtiene: (5) que es una expresin que no incluye ngulos. Un vector multiplicado por s mismo en forma punto da como resultado el cuadrado de la magnitud, es decir: (6) y cualquier vector unitario multiplicado por s mismo en forma punto da como resultado la unidad, Una de las aplicaciones ms importantes del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una direccin dada. Si se observa la figura 1.4a, es posible ob- tener la componente escalar de B en la direccin que especifica el vector unitario a como: El signo de la componente es positivo si 0 Ba 90 y negativo cuando 90 Ba 180. B dS. Trabajo = F dL ax ay = ay ax = ax az = az ax = ay az = az ay = 0 A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz A A = A2 = |A|2 aA aA = 1 B a = |B| |a| cos Ba = |B| cos Ba cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 10
  34. 34. 1 . 6 El producto punto 11 Para obtener la componente vectorial de B en la direccin de a, simplemente se multi- plica la componente (escalar) por a, como se ilustra en la figura 1.4b. Por ejemplo, la com- ponente de B en la direccin de ax es B ax = Bx y la componente vectorial es Bxax o (B ax)ax. Por lo tanto, el problema de encontrar la componente de un vector en cualquier direccin deseada se convierte en el problema de encontrar un vector unitario en esa direc- cin, y eso siempre se puede hacer. El trmino geomtrico proyeccin tambin se expresa con el producto punto. De mane- ra que B a resulta ser la proyeccin de B en la direccin de a. Con la finalidad de ilustrar estas definiciones y operaciones, considrese el campo vectorial G = yax 2.5xay + 3az y el punto Q(4, 5, 2). Se desea encontrar: G en Q; la componente escalar de G en Q en la direccin de aN = (2ax + ay 2az); la componente vectorial de G en Q en la direccin de aN; y, por ltimo, el ngulo Ga entre G(rQ) y aN. Solucin. Sustituyendo las coordenadas del punto Q en la expresin de G, se tiene Posteriormente se encuentra la componente escalar. Utilizando el producto punto se tiene La componente vectorial se obtiene multiplicando la componente escalar por el vector uni- tario en la direccin aN, El ngulo entre G(rQ) y aN se obtiene de y 1 3 Figura 1.4 a) La componente (escalar) de B en la direccin del vector unitario a es B a. b) La componente vectorial de B en la direccin del vector unitario a es (B a)a. EJEMPLO 1.2 G(rQ) = 5ax 10ay + 3az G aN = (5ax 10ay + 3az) 1 3 (2ax + ay 2az) = 1 3 (10 10 6) = 2 (G aN )aN = (2)1 3 (2ax + ay 2az) = 1.333ax 0.667ay + 1.333az G aN = |G| cos Ga 2 = 25 + 100 + 9 cos Ga Ga = cos1 2 134 = 99.9 cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 11
  35. 35. 12 CAPTULO 1 Anlisis vectorial D1.3 Los tres vrtices de un tringulo se encuentran en A(6, 1, 2), B(2, 3, 4) y C(3, 1, 5). Encontrar: a) RAB; b) RAC; c) el ngulo BAC en el vrtice A; d) la proyec- cin (vectorial) de RAB en RAC. Respuesta: 8ax + 4ay 6az; 9ax + 2ay + 3az; 53.6; 5.94ax + 1.319ay + 1.979az 1.7 El producto cruz Dados dos vectores A y B, se define el producto cruz o producto vectorial de A y B, que se indica por medio de una cruz entre estos vectores como A B y se lee A cruz B. El pro- ducto cruz A B es un vector; la magnitud de A B es igual al producto de las magnitu- des de A, B y el seno del ngulo ms pequeo entre A y B; la direccin de A B es per- pendicular al plano que contiene a A y a B, y de las dos posibles perpendiculares, est a lo largo de aquella que apunta en la direccin en la que avanzara un tornillo derecho si A se girara hacia B. Esta direccin se ilustra en la figura 1.5. Recurdese que cada vector puede ser desplazado a voluntad, manteniendo una direccin constante, hasta que los dos vectores tengan un origen comn. Esto determina al plano que contiene a ambos. Sin embargo, en la mayor parte de las aplicaciones se trabajar con vectores definidos en el mismo punto. Como ecuacin, se puede escribir: (7) donde una explicacin adicional, semejante a la que se dio antes, an se requiere para de- terminar la direccin del vector unitario aN. El subndice significa la normal. Figura 1.5 La direccin de A B est en la direccin de un tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B. A B = aN AB|A| |B| sen cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 12
  36. 36. 1 . 7 El producto cruz 13 Si se invierte el orden de los vectores A y B resulta un vector en la direccin opuesta a la del vector unitario, y se ve que el producto cruz no es conmutativo puesto que B A = (A B). Si la definicin del producto cruz se aplica a los vectores unitarios ax y ay, se en- cuentra que ax ay = az, pues cada vector tiene una magnitud unitaria, los dos vectores son perpendiculares, y la rotacin de ax hacia ay indica la direccin positiva de z por la defini- cin del sistema de coordenadas de la mano derecha. De manera similar ay az = ax y az ax = ay. Observe la simetra alfabtica. En tanto los tres vectores ax, ay y az se escriban en orden (y suponiendo que ax le sigue az, como tres elefantes en crculo, agarrados de sus colas, de modo que tambin se pueda escribir ay, az, ax o az, ax, ay), entonces la cruz y el signo igual se pueden colocar en uno u otro de los dos espacios vacantes. En realidad, aho- ra es ms fcil definir un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha diciendo que ax ay = az. Un ejemplo sencillo del uso del producto cruz se puede tomar de la geometra o la tri- gonometra. Encontrar el rea de un paralelogramo requiere multiplicar el producto de las longitudes de los lados adyacentes por el seno del ngulo entre ellos. Cuando se usa la no- tacin vectorial para los dos lados, entonces se puede expresar el rea (escalar) como la magnitud de A B o |A B|. El producto cruz se puede usar como reemplazo de la regla de la mano derecha, fami- liar para todos los ingenieros elctricos. Considrese la fuerza sobre un conductor recto de longitud L, donde la direccin asignada a L corresponde a la direccin de la corriente esta- ble I, en presencia de un campo magntico uniforme de densidad de flujo B. Por medio de la notacin vectorial se puede escribir sencillamente el resultado como F = IL B. Esta relacin se obtendr posteriormente en el captulo 9. La evaluacin del producto cruz por medio de su definicin resulta ms laboriosa que la evaluacin del producto punto por medio de su definicin, pues no slo se debe encon- trar el ngulo entre los vectores, sino tambin una expresin para el vector unitario aN. Es- ta tarea se puede evitar usando componentes cartesianos para los dos vectores A y B y de- sarrollando el producto cruz como una suma de nueve productos cruz simples, donde cada uno involucra dos vectores unitarios, Ya se ha demostrado que ax ay = az, ay az = ax y az ax = ay. Los tres trminos restantes son cero, pues el producto cruz de cualquier vector a s mismo es cero, dado que el ngulo entre ellos es cero. Estos resultados se pueden combinar para dar: (8) o pueden escribirse en forma de un determinante que resulta mucho ms fcil de recordar: (9) A B = Ax Bx ax ax + Ax Byax ay + Ax Bzax az + Ay Bx ay ax + Ay Byay ay + Ay Bzay az + Az Bx az ax + Az Byaz ay + Az Bzaz az A B = (Ay Bz Az By)ax + (Az Bx Ax Bz)ay + (Ax By Ay Bx )az A B = ax ay az Ax Ay Az Bx By Bz cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 13
  37. 37. 14 CAPTULO 1 Anlisis vectorial Entonces, si A = 2ax 3ay + az y B = 4ax 2ay + 5az, se tiene que D1.4 Un tringulo se define por tres puntos: A(6, 1, 2), B(2, 3, 4) y C(3, 1, 5). Encuntrese: a) RAB RAC; b) el rea del tringulo; c) un vector unitario perpendi- cular al plano en el cual se localiza el tringulo. Respuesta: 24ax + 78ay + 20az; 42.0; 0.286ax + 0.928ay + 0.238az 1.8 Otros sistemas de coordenadas: coordenadas cilndricas circulares En general, el sistema de coordenadas cartesianas es el que ms prefieren los estudiantes pa- ra resolver todos los problemas. Esto implica con frecuencia un mayor trabajo, ya que mu- chos problemas poseen un tipo de simetra que requiere un tratamiento ms lgico. Es ms fcil esforzarse de una vez por todas para familiarizarse con las coordenadas esfricas y ci- lndricas en vez de aplicar despus un esfuerzo igual o mayor en cada problema que inclu- ya simetra cilndrica y esfrica. Teniendo en mente que se ahorrar trabajo, se estudiarn con cuidado y sin prisas las coordenadas cilndricas y esfricas. El sistema de coordenadas cilndricas es una versin en tres dimensiones de las coor- denadas polares de la geometra analtica plana. En las coordenadas polares de dos dimen- siones se localizaba un punto en un plano dando su distancia al origen y el ngulo entre la lnea desde el punto al origen y un eje radial arbitrario, en el que se toma = 0.4 Un sis- tema tridimensional de coordenadas cilndricas circulares se obtiene en forma similar espe- cificando la distancia z del punto con respecto a un plano de referencia z = 0 arbitrario, en donde es perpendicular a la lnea = 0. Por comodidad, generalmente se hace referencia a las coordenadas cilndricas circulares sencillamente como coordenadas cilndricas. Esto no debe causar confusin a lo largo de este libro, pero es razonable sealar que existen otros sistemas de coordenadas, por ejemplo: las coordenadas cilndricas hiperblicas, las coorde- nadas cilndricas parablicas y otras. 4 Las dos variables de las coordenadas polares comnmente se llaman r y . Con tres coordenadas, sin embargo, es ms comn usar para la variable radial de las coordenadas cilndricas y r para la variable radial (diferente) de las coordenadas esfricas. Tambin se acostumbra llamar a la variable angular de las coordenadas cilndricas, dado que se usa para un ngulo distinto en coordenadas esfricas. El ngulo es el mismo tanto en las coorde- nadas esfricas como en las cilndricas. A B = ax ay az 2 3 1 4 2 5 = [(3)(5) (1(2)]ax [(2)(5) (1)(4)]ay + [(2)(2) (3)(4)]az = 13ax 14ay 16az cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 14
  38. 38. 1 . 8 Otros sistemas de coordenadas: coordenadas cilndricas circulares 15 Ya no se utilizarn tres ejes como en las coordenadas cartesianas, sino que cada punto debe considerarse como la interseccin de tres superficies mutuamente perpendiculares. Es- tas superficies son: un cilindro circular ( = constante), un plano ( = constante) y otro plano (z = constante). Esto correspondera a la localizacin de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas por la interseccin de tres planos (x = constante, y = constante y z = constante). Las tres superficies de las coordenadas cilndricas circulares se muestran en la figura 1.6a. Obsrvese que las tres superficies pueden hacerse pasar por cualquier punto, a menos que ste se encuentre sobre el eje z, en cuyo caso es suficiente un plano. Tendrn que definirse tambin tres vectores unitarios, pero ya no se dirigirn siguien- do los ejes coordenados, ya que stos existen slo en las coordenadas cartesianas. En su lugar, se tomarn en cuenta caractersticas ms generales de los tres vectores unitarios en las coordenadas cartesianas, y se entender que se dirigen hacia donde aumentan los valores de las coordenadas y que son perpendiculares a la superficie sobre la cual ese valor de la coor- Figura 1.6 a) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas cilndricas circulares. b) Los tres vectores unitarios de un sistema cilndrico circular. c) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas cilndricas circulares; d, d y dz son elementos de longitud. una constante una constante una constante cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 15
  39. 39. 16 CAPTULO 1 Anlisis vectorial denada es constante; por ejemplo, el vector unitario ax es normal al plano x = constante y apunta hacia valores crecientes de x. En forma similar, se definen ahora tres vectores unita- rios en coordenadas cilndricas, a, a y az. El vector unitario a es un punto P(1, 1, z1) y se dirige radialmente hacia fuera y es normal a la superficie cilndrica = 1. Est contenido en los planos = 1 y z = z1. El vector unitario a es normal al plano = 1, apunta en la direccin en que crece el valor de , pertenece al plano z = z1 y es tangente a la superficie cilndrica = 1. El vector unita- rio az es el mismo que el vector unitario az del sistema de coordenadas cartesianas. La figura 1.6b muestra los tres vectores unitarios en coordenadas cilndricas. En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios no estn en funcin de las coordena- das. Sin embargo, dos de los vectores unitarios en coordenadas cilndricas, a y a, varan segn la coordenada , puesto que cambian sus direcciones. Entonces, la integracin o di- ferenciacin con respecto a , a y a no deben tratarse como constantes. De nuevo, los vectores unitarios son perpendiculares entre s, ya que cada uno es nor- mal a una de las tres superficies mutuamente perpendiculares; puede definirse un sistema coordenado cilndrico de mano derecha como aquel en el cual a a = az, o (para quie- nes tienen dedos flexibles) como aquel en el cual el pulgar, el ndice y el dedo medio indi- can la direccin de crecimiento de , y z, respectivamente. Un elemento diferencial de volumen en coordenadas cilndricas se puede obtener au- mentando los valores de , y z por medio de incrementos diferenciales d, d y dz. Los dos cilindros de radios y + d, los dos planos radiales con ngulos y + d y los dos planos horizontales con elevaciones z y z + dz encierran un volumen pequeo, como lo muestra la figura 1.6c, que tiene la forma de una cua truncada. A medida que el elemento diferencial de volumen empequeece, su forma se aproxima a la de un paraleleppedo rec- tangular cuyos lados son de longitud d, d y dz. Debe notarse que d y dz son dimensio- nalmente longitudes, pero d no lo es; en cambio, d s tiene dimensiones de longitud. Las superficies tienen reas de d d, d dz y ddz, y el volumen es d d dz. Las variables de los sistemas de coordenadas cilndricas y rectangulares se relacionan fcilmente unas con otras. Con respecto a la figura 1.7 se observa que (10) Desde otro punto de vista, las variables cilndricas pueden expresarse en trminos de x, y y z: (11) Se considerar que la variable es positiva o cero, y por lo tanto se usa slo el signo posi- tivo para el radical en (11). El valor correcto del ngulo se determina por inspeccin de los signos de x y y. Por ejemplo, si x = 3 y y = 4, se encuentra que el punto est en el se- gundo cuadrante en = 5 y = 126.9. Para x = 3 y y = 4, se tiene = 53.1 o 306.9, escogindose el valor que sea ms conveniente. x = cos z = z y = sen = x2 + y2 ( 0) = tan1 y x z = z cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 16
  40. 40. 1 . 8 Otros sistemas de coordenadas: coordenadas cilndricas circulares 17 Cuando se utiliza (10) u (11), las funciones escalares dadas en un sistema de coordena- das se transforman con facilidad a otro sistema. No obstante, una funcin vectorial en un sistema de coordenadas requiere dos pasos pa- ra transformarla a otro sistema de coordenadas, porque generalmente se necesita un conjun- to distinto de componentes vectoriales. Esto es, se puede dar un vector cartesiano para el cual cada componente se escribe como funcin de x, y y z, y se necesita un vector en coordenadas cilndricas en la cual cada componente se da como funcin de , y z. Para encontrar cualquier componente deseada de un vector, recurdese como se estudi en el producto punto, que una componente en cierta direccin deseada puede obtenerse to- mando el producto punto del vector con un vector unitario en la direccin deseada. De aqu, Al desarrollar estos productos punto se tiene (12) (13) y (14) puesto que az a y az a son cero. Figura 1.7 Relacin entre las variables cartesianas x, y, z y las variables cilndricas , , z. No existe diferencia en la variable z entre los dos sistemas. sen A = Ax ax + Ayay + Azaz A = Aa + Aa + Azaz A = A a A = A ay A = (Ax ax + Ayay + Azaz) a = Ax ax a + Ayay a A = (Ax ax + Ayay + Azaz) a = Ax ax a + Ayay a Az = (Ax ax + Ayay + Azaz) az = Azaz az = Az cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 17
  41. 41. 18 CAPTULO 1 Anlisis vectorial Completar la transformacin de las componentes requiere conocer los productos punto ax a, ay a, ax a y ay a. Por medio de la definicin de producto punto se observa que, dado que se trabaja con vectores unitarios, el resultado es simplemente el coseno del ngulo entre los dos vectores unitarios implicados. Con respecto a la figura 1.7, y si se pien- sa con ahnco, se identifica el ngulo entre ax y a como , y entonces ax a = cos , pe- ro el ngulo entre ay y a es 90 y ay a = cos (90 ) = sen . Los restantes pro- ductos punto de los vectores unitarios se encuentran de manera similar, y los resultados se tabulan como funciones de en la tabla 1.1. La transformacin de vectores de coordenadas cartesianas a cilndricas y viceversa se realiza empleando (10) u (11) para cambiar variables, y empleando los productos punto de los vectores unitarios dados en la tabla 1.1 para cambiar componentes. Los dos pasos pue- den efectuarse en cualquier orden. Transformar el vector B = yax xay + zaz en coordenadas cilndricas. Solucin. Las nuevas componentes son: De esta manera, D1.5 a) D las coordenadas cartesianas del punto C( = 4.4, = 115, z = 2). b) D las coordenadas cilndricas del punto D(x = 3.1, y = 2.6, z = 3). c) Espe- cifique la distancia de C a D. Respuesta: C(x = 1.860, y = 3.99, z = 2); D( = 4.05, = 140.0, z = 3); 8.36 EJEMPLO 1.3 Tabla 1.1 Producto punto de vectores unitarios del sistema de coordenadas cilndricas y del sistema cartesiano a a az ax. cos sen 0 ay. sen cos 0 az. 0 0 1 B = B a = y(ax a) x(ay a) B = B a = y(ax a) x(ay a) 2 cos2 = = y cos x sen = sen cos cos sen = 0 = y sen x cos = sen B = a + zaz cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 18
  42. 42. 1 . 9 El sistema de coordenadas esfricas 19 D1.6 Transformar a coordenadas cilndricas: a) F = 10ax 8ay + 6az, en el punto P(10, 8, 6); b) G = (2x + y)ax (y 4x)ay en el punto Q(, , z). c) Dar las com- ponentes cartesianas del vector H = 20a 10a + 3az en el punto P(x = 5, y = 2, z = 1). Respuesta: 12.81a + 6az; (2 cos2 sen2 + 5 sen cos )a + (4 cos2 sen2 3 sen cos )a; Hx = 22.3, Hy = 1.857, Hz = 3 1.9 El sistema de coordenadas esfricas A diferencia del caso del sistema de coordenadas cilndricas, no existe un sistema de coor- denadas bidimensional que pueda ayudarnos a entender el sistema de coordenadas esfricas en tres dimensiones. Pero en cierto modo pueden aplicarse los conocimientos con respecto al sistema latitud y longitud para localizar un lugar sobre la superficie, y no puntos internos o externos a ella. Se empezar construyendo un sistema de coordenadas esfricas tomando como referen- cia tres ejes cartesianos (figura 1.8a). Se define primero la distancia r desde el origen a cual- quier punto. La superficie r = constante es una esfera. La segunda coordenada es un ngulo entre el eje z y la lnea trazada desde el origen hasta el punto considerado. La superficie = constante es un cono, y las dos superficies, cono y esfera, son perpendiculares en todas partes a lo largo de su interseccin, la cual es un crculo de radio r sen . La coordenada corresponde a la latitud, excepto que la latitud se mide desde el ecuador y se mide desde el Polo Norte. La tercera coordenada tambin es un ngulo y es exactamente igual que el ngulo de las coordenadas cilndricas. ste es un ngulo entre el eje x y la proyeccin en el plano z = 0 de la lnea trazada desde el origen hasta el punto. ste corresponde al ngulo de lon- gitud, slo que el ngulo aumenta hacia el este. La superficie = constante es un pla- no que pasa a travs de la lnea = 0 (o el eje z). Nuevamente se considera cualquier punto como la interseccin de tres superficies mu- tuamente perpendiculares una esfera, un cono y un plano, cada una orientada en la for- ma descrita previamente. Las tres superficies se muestran en la figura 1.8b. Pueden definirse otra vez tres vectores unitarios en cualquier punto. Cada vector unita- rio es perpendicular a una de las tres superficies mutuamente perpendiculares y se orienta en la direccin en la cual la coordenada aumenta. El vector unitario ar apunta radialmente hacia fuera, es normal a la esfera r = constante y est contenido en el cono = constante y el plano = constante. El vector unitario a es normal a la superficie cnica, est conteni- do en el plano y es tangente a la esfera. Se dirige a lo largo de una lnea de longitud y apunta hacia el sur. El tercer vector unitario a es el mismo de las coordenadas cilndri- cas, es normal al plano y tangente al cono y a la esfera. ste se dirige hacia el este. Los tres vectores unitarios los muestra la figura 1.8c. Desde luego, son mutuamente perpendiculares y definen un sistema de coordenadas de la mano derecha en el cual ar a = a. Este sistema es derecho, como lo demostrar una inspeccin de la figura 1.8c cuando se aplica la definicin de producto cruz. La regla de la mano derecha sirve para identificar cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 19
  43. 43. 20 CAPTULO 1 Anlisis vectorial el pulgar, el ndice y el medio con la direccin de crecimiento de r, y , respectivamente. (Obsrvese que esta identificacin en las coordenadas cilndricas se haca con , y z, y en las coordenadas cartesianas con x, y y z.) Un elemento diferencial de volumen se puede cons- truir en coordenadas esfricas aumentando r, y por dr, d y d, respectivamente, como lo muestra la figura 1.8d. La distancia entre dos superficies esfricas de radios r y r + dr es dr; la distancia entre los dos conos generados por los ngulos y + d es rd; y la distan- cia entre los dos planos radiales con ngulos y + d es r sen d, despus de razo- nar un poco con los conceptos de trigonometra. Las reas de las superficies son r dr d, r sen dr d, y r2 sen d d, y el volumen es r2 sen dr d d. Figura 1.8 a) Las tres coordenadas esfricas. b) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfricas. c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfricas: ar a = a. d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esfricas. una constante (cono) una constante (plano) una constante (esfera) sen cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 20
  44. 44. 1 . 9 El sistema de coordenadas esfricas 21 La transformacin de escalares de un sistema de coordenadas cartesianas a esfricas se hace fcilmente utilizando la figura 1.8a para relacionar los dos conjuntos de variables: (15) La transformacin en la direccin opuesta se lleva a cabo con la ayuda de: (16) La variable radial r no es negativa, y est restringida al rango de 0 a 180, inclusive. Los ngulos se colocan en los cuadrantes adecuados inspeccionando los signos de x, y y z. La transformacin de vectores requiere la determinacin de los productos de los vectores unitarios en coordenadas cartesianas y esfricas. Estos productos se resuelven a partir de la fi- gura 1.8c y con un poco de trigonometra. Puesto que el producto punto de cualquier vector unitario esfrico por cualquier vector unitario cartesiano es igual a la componente del vec- tor esfrico en la direccin del vector cartesiano, los productos punto con az son: Los productos punto con ax y ay requieren primero la proyeccin del vector unitario es- frico sobre el plano xy y luego la proyeccin sobre el eje deseado. Por ejemplo, ar ax se obtiene proyectando ar sobre el plano xy, dando sen , y proyectando despus sen sobre el eje x, lo cual produce sen cos . Los otros productos punto se encuentran de manera simi- lar, y se muestran en la tabla 1.2. Tabla 1.2 Productos punto de vectores unitarios en sistemas de coordenadas esfricas y cartesianas ar a a ax. sen cos cos cos sen ay. sen sen cos sen cos az. cos sen 0 z = r cos x = r sen cos y = r sen sen r = x2 + y2 + z2 (r 0) = cos1 z x2 + y2 + z2 (0 180 ) = tan1 y x az ar = cos az a az a = 0 = sen cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 21
  45. 45. 22 CAPTULO 1 Anlisis vectorial Se ilustra este procedimiento transformando el vector G = (xz/y)ax en sus componentes es- fricas y variables. Solucin. Se encuentran las tres componentes esfricas aplicando el producto punto de G con el vector unitario apropiado y cambiando las variables durante el procedimiento: Se recopilan estos datos y se tiene: El apndice A describe el sistema general de coordenadas curvilneas del cual los sis- temas de coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas son casos especiales. La primera seccin de este apndice podra estudiarse en este momento. D1.7 Dados los puntos, C(3, 2, 1) y D(r = 5, = 20, = 70), encontrar: a) las coordenadas esfricas de C; b) las coordenadas cartesianas de D; c) la distancia desde C hasta D. Respuesta: C(r = 3.74, = 74.5, = 146.3); D(x = 0.585, y = 1.607, z = 4.70); 6.29 D1.8 Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfricas en los puntos dados: a) 10ax en el punto P(x = 3, y = 2, z = 4); b) 10ay en el punto Q( = 5, = 30, z = 4); c) 10az en el punto M(r = 4, = 110, = 120). Respuesta: 5.57ar 6.18a 5.55a; 3.90ar + 3.12a + 8.66a; 3.42ar 9.40a Lecturas complementarias 1. Grossman, S. I., Calculus, 3a. ed., Academic Press and Harcourt Brace Jovanovich, Orlando, 1984. El lgebra vectorial y las coordenadas esfricas y cilndricas aparecen en el captulo 17, y el clculo vectorial se presenta en el captulo 20. EJEMPLO 1.4 Gr = G ar = xz y ax ar = xz y cos2 G = G a = xz y ax a = xz y cos cos = r cos2 cos2 G = G a = xz y ax a = xz y = r cos cos sen cos = r sen cos sen (sen ) sen r + cos cot a a)G = r cos cos (sen cot a cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 22
  46. 46. Problemas 23 2. Spiegel, M. R., Vector Analysis, Schaum Outline Series, McGraw-Hill Book Company, Nueva York, 1959. Numerosos ejemplos y problemas con respuestas se dan en este libro conciso y poco costoso de la serie Schaum. 3. Swokowski, E. W., Calculus with Analytic Geometry, 3a. ed., Prindle, Weber & Schmidt, Boston, 1984. El lgebra vectorial y los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas se estudian en el captulo 14, y el clculo vectorial aparece en el captulo 18. 4. Thomas, G. B. Jr. y R. L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 6a. ed., Addison-Wesley Pu- blishing Company, Reading, Mass., 1984. El lgebra vectorial y los tres sistemas de coordenadas que se utilizaron se analizan en el captulo 13. Otras operaciones vectoriales se estudian en los captulos 15 y 17. Problemas 1.1 Dados los vectores M = 10ax + 4ay 8az y N = 8ax + 7ay 2az, encontrar: a) un vector unitario en la direccin de M + 2N; b) la magnitud de 5ax + N 3M; c) |M| |2N| (M + N). 1.2 Los vrtices de un tringulo estn en A(1, 2, 5), B(4, 2, 3) y C(1, 3, 2). a) Encontrar el permetro del tringulo. b) Encontrar un vector unitario dirigido des- de el punto medio del lado AB al punto medio del lado BC. c) Demostrar que este vector unitario multiplicado por un escalar es igual al vector de A a C y que, por lo tanto, el vector unitario es paralelo al lado AC. 1.3 Un vector desde el origen hasta el punto A est dado por (6, 2, 4), y un vector uni- tario dirigido desde el origen hasta el punto B est dado por (2, 2, 1)/3. Si los puntos A y B se encuentran a diez unidades entre s, encontrar las coordenadas del punto B. 1.4 Un crculo con centro en el origen y un radio de 2 unidades est en el plano xy. De- terminar el vector unitario en coordenadas cartesianas que est en el plano xy, es tangente al crculo en el punto (3, 1, 0) y est en la direccin positiva del eje y. 1.5 Un campo vectorial est dado por G = 24xyax + 12(x2 + 2)ay + 18z2az. Dados dos puntos, P(1, 2, 1) y Q(2, 1, 3), encontrar: a) G en P; b) un vector unitario en la direccin de G en Q; c) un vector unitario de Q a P; d) la ecuacin de la superficie en la que |G| = 60. 1.6 Si a es un vector unitario en una determinada direccin, B es un escalar constante y r = xax + yay + zaz, describir la superficie r a = B. Cul es la relacin entre el vector unitario a y el escalar B en esta superficie? (PISTA: Considerar un ejemplo sen- cillo donde a = ax y B = 1 y, posteriormente, cualquier a y B.) 1.7 Dado el campo vectorial E = 4zy2 cos 2xax + 2zy sen 2xay + y2 sen 2xaz en la regin |x|, |y| y |z| menor a 2, encontrar: a) las superficies en las que Ey = 0; b) la regin en la que Ey = Ez; c) la regin en la que E = 0. 1.8 Demostrar la ambigedad que se produce cuando se utiliza el producto cruz para en- contrar el ngulo entre dos vectores y se obtiene el ngulo formado entre A = 3ax 2ay + 4az y B = 2ax + ay 2az. Se presenta esta ambigedad cuando se utiliza el producto punto? 1.9 Dado el campo G = [25/(x2 + y2)](xax + yay), encontrar: a) un vector unitario en la direccin de G en P(3, 4, 2); b) el ngulo entre G y ax en P; c) el valor de la doble integral en el plano y = 7. Exmenes cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 23
  47. 47. 24 CAPTULO 1 Anlisis vectorial 1.10 Utilizando la definicin del producto punto y expresando diagonales como vectores, encontrar el ngulo ms pequeo entre cualquier par de diagonales de un cubo, don- de cada diagonal conecte dos esquinas diametralmente opuestas y pase por el centro del cubo. 1.11 Dados los puntos M (0.1, 0.2, 0.1), N(0.2, 0.1, 0.3) y P(0.4, 0, 0.1), encontrar: a) el vector RMN; b) el producto punto RMN RMP; c) la proyeccin escalar de RMN sobre RMP; d) el ngulo entre RMN y RMP. 1.12 Demostrar que los campos vectoriales A = cos a + sen a + az y B = cos a + sen a az son ortogonales entre s en cualquier punto. 1.13 a) Encontrar la componente vectorial de F = 10ax 6ay + 5az que es paralelo a G = 0.1ax + 0.2ay + 0.3az. b) Encontrar la componente vectorial de F perpendicu- lar a G. c) Encontrar la componente vectorial de G perpendicular a F. 1.14 Demostrar que los campos vectoriales A = ar(sen 2)/r2 + 2a(sen )/r2 y B = r cos ar + ra son paralelos entre s en cualquier punto. 1.15 Tres vectores que se extienden desde el origen estn dados por r1 = (7, 3, 2), r2 = (2, 7, 3) y r3 = (0, 2, 3,). Encontrar: a) un vector unitario ortogonal a r1 y r2; b) un vector unitario perpendicular a los vectores r1 r2 y r2 r3; c) el rea del trin- gulo formado por r1 y r2; d) el rea del tringulo que forman las puntas de los vec- tores r1, r2 y r3. 1.16 El campo vectorial E = (B/)a donde B es constante se desplazar de tal forma que su origen estar en la lnea x = 2, y = 0. Escribir el desplazamiento de E en coorde- nadas cartesianas. 1.17 Un tringulo lo definen el punto A(4, 2, 5) y los vectores RAM = (20, 18, 10) y RAN = (10, 8, 15). a) Encontrar un vector unitario perpendicular al tringulo, b) en- contrar un vector unitario coplanar al tringulo y perpendicular a RAN, c) encontrar un vector unitario coplanar al tringulo que bisecta al ngulo interior en A. 1.18 Convertir de coordenadas cilndricas a esfricas el campo vectorial H = (A/)a, donde A es constante. 1.19 a) Expresar con componentes y variables cilndricas el campo D = (x2 + y2)1 (xax + yay); b) evaluar D en el punto donde = 2, = 0.2 y z = 5, expresando el re- sultado en componentes cilndricas y cartesianas. 1.20 Un cilindro de radio a y centro sobre el eje z, gira con respecto al eje z con una ve- locidad angular de rad/s. El sentido de rotacin es opuesto al de las manecillas del reloj respecto a la direccin positiva del eje z. a) Utilizando componentes cilndricas, obtener una expresin para el campo de velocidad v, el cual proporcione la velocidad tangencial en cualquier punto del cilindro; b) convertir a componentes esfricas el re- sultado del inciso anterior; c) convertirlo a componentes cartesianas. 1.21 Expresar en componentes cilndricas: a) el vector desde C(3, 2, 7) hasta D(1, 4, 2); b) un vector unitario en D dirigido hacia C; c) un vector unitario en D dirigido ha- cia el origen. 1.22 Una esfera con centro en el origen y radio a, gira con respecto al eje z a una veloci- dad angular de rad/s en direccin opuesta a las manecillas del reloj en la direccin positiva del eje z. a) Escribir una expresin, utilizando componentes esfricas, del campo de velocidad v, que proporciona la velocidad tangencial en cualquier punto de la esfera; b) convertirla a componentes cartesianas. cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 24
  48. 48. Problemas 25 1.23 Una superficie cerrada est definida por las superficies = 3, = 5, = 100, = 130, z = 3 y z = 4.5. a) Encontrar el volumen encerrado; b) hallar el rea total de la superficie encerrada; c) encontrar la longitud total de las doce esquinas de las super- ficies; d) encontrar la longitud de la lnea recta ms larga que est encerrada dentro del volumen. 1.24 Expresar el campo E = Aar /r2 en a) coordenadas cartesianas; b) coordenadas ciln- dricas. 1.25 Dado el punto P(r = 0.8, = 30, = 45) y E = 1/r2 (cos ar + sen /sen a), a) encontrar E en P; b) encontrar |E| en P; c) hallar un vector unitario en la direccin de E en P. 1.26 Expresar el campo vectorial uniforme F = 5ax en a) componentes cilndricas; b) com- ponentes esfricas. 1.27 Una superficie cerrada est definida por las superficies r = 2 y 4, = 30 y 50 y = 20 y 60. a) Encontrar el volumen encerrado; b) hallar el rea de la superfi- cie encerrada; c) encontrar la longitud total de las doce orillas de la superficie; d) ha- llar la longitud de la lnea recta ms larga que se encuentra dentro de la superficie. 1.28 Expresar el campo vectorial G = 8 sen a en a) componentes cartesianas; b) com- ponentes cilndricas. 1.29 Expresar el vector unitario ax en componentes esfricas en el punto: a) r = 2, =1 rad, = 0.8 rad; b) x = 3, y = 2, z = 1; c) = 2.5, = 0.7 rad, z = 1.5. 1.30 Un campo vectorial tiene el valor A = 12ar 5a + 15a en el punto B(5, 120, 75). Encontrar la componente vectorial de A que: a) es perpendicular a la superficie r = 5; b) tangente a la superficie r = 5; c) tangente al cono = 120. d) Encontrar un vector unitario que sea perpendicular a A y tangente al cono = 120. cap. 1 ok 12/22/05 4:30 PM Page 25
  49. 49. 2 C A P T U L O 26 Ley de Coulomb e intensidad de campo elctrico A hora que se ha formulado un nuevo lenguaje en el captulo 1, se establecern unos cuantos principios bsicos de electricidad y se procurar describirlos en esos trmi- nos. Despus de haber utilizado el clculo vectorial durante varios aos y teniendo algunas ideas correctas acerca de la electricidad y el magnetismo, sera posible dar un gran salto y de una vez presentar un puado de ecuaciones, incluyendo las de Maxwell y algu- nas otras auxiliares, y proceder a su descripcin fsica en virtud del conocimiento adquiri- do del anlisis vectorial. Quiz sea ste el camino ideal: comenzar con los resultados ms generales y entonces mostrar que las leyes de Ohm, Gauss, Coulom