Cádiz - Teoría Electromagnética Con Ejercicios Resueltos

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Texto de Electricidad y Magnetismo

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  • Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de Fsica

    Teora Electromagnetica

    Con ejercicios resueltos

    Fabian Cadiz

  • 2

  • Parte I

    Electrostatica

    3

  • Captulo 1

    Elementos de Calculo vectorial

    1.1. Algrebra de Vectores en R3

    Esta es una lista de identidades elementales del algebra vectorial, que se supondran bienconocidas

    ~A ~B = AxBx + AyBy + AzBz

    ~A ~B = (AyBz AzBy) i+ (AzBx AxBz) j + (AxBy AyBz) k

    ~A ~A = 0

    ~A (

    ~A ~B)

    = 0

    ~A (

    ~B ~C)

    =(

    ~A ~B)

    ~C

    ~A(

    ~B ~C)

    =(

    ~A ~C)

    ~B (

    ~A ~B)

    ~C

    1.2. Calculo diferencial en R3

    Sea f : [R3] R una funcion real. Tambien es llamada campo escalar, pues a cada puntodel espacio (R3) le asocia un numero real (un escalar). Ejemplo de un campo escalar puede serla temperatura en cierta region del espacio T : [ R3 R]

    Fig. 1.1: T (x, y, z) representa un campo escalar sobre

    Ademas de la existencia de campos escalares, tambien existen campos vectoriales. Laidea es bien simple, a cada punto del espacio se le asocia un vector. En R3, el tipo de camposvectoriales que nos interesaran son de la forma ~F : [ R3] R3.

    5

  • Fig. 1.2: La velocidad de los atomos de un objeto que rota es un ejemplo de campo vectorial

    1.2.1. Derivadas de un campo escalar

    Si f es un campo escalar diferenciable (y por lo tanto una funcion continua) sobre undominio D R3, entonces esta definido el Gradiente de f

    ~f(x, y, z) =(

    f(x, y, z)

    x+f(x, y, z)

    y+f(x, y, z)

    y

    )

    El gradiente es un campo vectorial, pues a cada punto en D le asocia un vector. Esinmediato notar que el gradiente es perpendicular a curvas en donde el campo escalar f esconstante, como las curvas que se muestran en la figura 1. (Llamadas isotermas en el caso deque el campo escalar sea la temperatura). En efecto, la curva

    f(x, y, z) = C

    puede ser parametrizadaf(x(t), y(t), z(t)) = C

    Derivando con respecto a t, se obtiene

    f

    xx(t) +

    f

    yy(t) +

    f

    zz(t) = 0

    (

    f(x, y, z)

    x+f(x, y, z)

    y+f(x, y, z)

    y

    )

    (x(t), y(t), z(t)) = 0

    y entonces el gradiente es perpendicular a la direccion tangente a la curva. Mas aun, si u esun vector unitario, se define la derivada direccional de f en la direccion u como

    Duf(x, y, z) = ~f(x, y, z) u

    Se puede demostrar que la derivada direccional se maximiza en la direccion del gradiente,es decir, el gradiente entrega la direccion de maxima variacion de f .

    6

  • 1.3. ~ como un operadorConviene considerar al gradiente como algo independiende de que funcion se esta derivando.

    Llamamos ~ al operador

    ~ =(

    x,

    y,

    z

    )

    Por supuesto que este operador as escrito no significa nada. El operador ~ debe operarsobre una funcion, por ejemplo

    ~f =(

    f

    x,f

    y,f

    z

    )

    Tiene completo sentido en este caso. Hemos multiplicado al operador por una cantidadescalar. Hay que tener ciertas precauciones con este tipo de notacion, por ejemplo, del algebrade vectores es sabido que si es un escalar

    ~A = ~A

    sin embargo, f ~ no tiene sentido por si mismo, en efecto, es un nuevo operador

    f ~ =(

    f

    x, f

    y, f

    z

    )

    1.3.1. Divergencia y Rotor

    Si ~F es un campo vectorial, entonces

    ~ ~F

    debe ser un escalar, y por lo tanto puede tener un sentido fsico. Entendiendo ~ como unoperador vectorial, se tiene

    ~ ~F =(

    x,

    y,

    z

    )

    (Fx, Fy, Fz)

    ~ ~F = xFx +

    yFy +

    zFz

    A esta cantidad escalar asociada a un campo vectorial se le llama divergencia de ~F .

    Veamos que mas es posible definir a partir del operador gradiente. Que ocurre con ~ ~F?.Por supuesto que el resultado debe ser un campo vectorial, de hecho, muy util en el analisis defunciones vectoriales. Desarrollando este producto cruz segun el algebra de vectores

    (

    ~ ~F)

    x=Fzy

    Fyz

    (

    ~ ~F)

    y=Fxz

    Fzx

    (

    ~ ~F)

    z=Fyx

    Fxy

    A esta combinacion se le llama rotor. En resumen, hemos definido las siguientes cantidades

    7

  • ~f Vector~ ~F Escalar~ ~F Vector

    8

  • 1.3.2. Segundas derivadas

    Hasta ahora hemos definido cantidades que involucran unicamente primeras derivadas.Veamos que ocurre con las siguientes combinaciones

    (a)~ (

    ~f)

    (b)~(

    ~f)

    (c)~(

    ~ ~F)

    (d)~ (

    ~ ~F)

    (e)~(

    ~ ~F)

    Veamos la primera de ellas, es claro que debe obtenerse un campo escalar. Desarrollando

    ~ (

    ~f)

    = ~ (

    f

    x,f

    y,f

    z

    )

    ~ (

    ~f)

    =2f

    x2+2f

    y2+2f

    z2

    Se ve que esto se puede reescribir como

    ~ (

    ~f)

    = ~ ~f =(

    ~ ~)

    f = ~2f

    Vemos a ~2 como un nuevo operador, y como aparece mucho en fsica, tiene un nombre. Esllamado Laplaciano

    Laplaciano ~2 = 2

    x2+

    2

    y2+

    2

    z2

    debido a que el Laplaciano es un operador escalar, podra aplicarse sobre un vector

    ~2 ~F

    por supuesto esto significa que el operador Laplaciano opera sobre cada componente de ~F

    ~2 ~F =(

    ~2Fx, ~2Fy, ~2Fz)

    Veamos que ocurre con la expresion (b). Notemos que tiene la siguiente forma

    ~A(

    ~Af)

    =(

    ~A ~A)

    f = 0

    Esperamos que~

    (

    ~f)

    sea cero para cualquier campo escalar f . Podemos verificarlo tomando alguna de las compo-nentes

    9

  • [~ ~f ]x = ~z(

    ~f)

    y ~y

    (

    ~f)

    z

    [~ ~f ]x =

    z

    (

    f

    y

    )

    y

    (

    f

    z

    )

    = 0

    Del mismo modo se muestra para las demas componentes

    La expresion (c) es por supuesto un campo vectorial

    ~(

    ~ ~F)

    Sin embargo, no hay nada muy especial que decir acerca de el. Es simplemente un campovectorial que podra aparecer en el futuro

    La expresion (d) tiene la forma

    ~A (

    ~A ~B)

    = 0

    Es decir, esperamos que~ (

    ~ ~F)

    = 0

    Para cualquier campo vectorial ~F . Es as, y es facil de verificar

    Por ultimo, veamos que sucede con la expresion (e)

    ~(

    ~ ~F)

    Esta tiene la forma de

    ~A(

    ~B ~C)

    = ~B(

    ~A ~C)

    (

    ~A ~B)

    ~C

    Podramos seguir utilizando esta expresion y escribir

    ~(

    ~ ~F)

    = ~(

    ~ ~F)

    (

    ~ ~)

    ~F

    El ultimo termino es el Laplaciano

    ~(

    ~ ~F)

    = ~(

    ~ ~F)

    ~2 ~F

    En resumen, hemos encontrado

    ~ (

    ~f)

    = ~2f Laplaciano sobre f, campo escalar

    ~(

    ~f)

    = 0

    ~(

    ~ ~F)

    Campo vectorial

    ~ (

    ~ ~F)

    = 0

    ~(

    ~ ~F)

    = ~(

    ~ ~F)

    ~2 ~F campo vectorial

    10

  • 1.3.3. Dos teoremas adicionales

    En muchos problemas fsicos, sucede que un determinado campo vectorial ~F tiene rotornulo. Es decir

    ~ ~F = 0Hemos visto que el rotor de un gradiente es siempre cero. Podra ser ciento entonces, que

    ~F fuera el gradiente de algun campo escalar, de esta forma su rotor sera siempre nulo. Lointeresante es que esto es siempre as, y enunciaremos el siguente teorema

    Si~ ~F = 0

    Existe un campo escalar , tal que

    ~F = ~

    Del mismo modo, hemos visto que la divergencia de un rotor es siempre cero. Luego, si ladivergencia de un campo vectorial ~F es nula, podria tenerse que ~F fuera el rotor de un campovectorial. De ser as, estara garantizado que su divergencia sea nula. En efecto, enunciamos elsegundo teorema

    Si~ ~F = 0

    Existe un campo vectorial ~A, tal que

    ~F = ~ ~A

    1.4. Calculo Integral en R3

    1.4.1. Integral de lnea de un campo vectorial

    Sea ~F : [ R3] R3Consideremos una curva contenida en . Sea ~x0, ~x1, ...~xn una particion de , (xk, yk) un

    punto en el trazo de que va de ~xk1 a ~xk, y ~xk = ~xk ~xk1. Se define la integral de lneade ~F (~x) por

    d~x ~F (~x) = lmn

    ~F (xk, yk) ~xk

    Esto se puede reescribir como

    d~x ~F (~x) = lmn

    ~F (xk, yk) ~xk

    | ~xk || ~xk |=

    dsT (~x) ~F (~x)

    donde T (~x) es la tangente unitaria a la curva en ~x. As

    d~x ~F (~x) =

    dsT (~x) ~F (~x)

    La integral de lnea de un campo vectorial sobre una curva corresponde a sumar lasproyeccciones de ~F (~x) en la direccion tangente a la curva en todo punto.

    11

  • 1.4.2. Integral de superficie de un campo vectorial

    Sea ~F : [ R3] R3 y S una superficie contenida en . Se define la integral de flujo delcampo ~F sobre S como

    S

    d~S(~x) ~F (~x) =

    S

    dS(~x)n(~x) ~F (~x)

    corresponde a sumar la proyeccion del campo ~F sobre la normal a la superficie S en cadapunto.

    1.4.3. Teorema de la Divergencia

    Sea R3 una region. Sea ~F un campo vectorial continuo y diferenciable en . Entonces

    d3x~ ~F =

    d~S(~x) ~F (~x)

    1.4.4. Teorema de Stokes

    Sea S una superficie en R3. Sea ~F un campo vectorial continuo y diferenciable en una regionque contiene a S. Entonces

    S

    d~S(~x) (

    ~ ~F (~x))

    =

    S

    d~x ~F (~x)

    donde S es el contorno de S (una curva en R3)

    12

  • Captulo 2

    Introduccion

    Este curso trata sobre los fundamentos de la teora Electromagnetica, una teora realmenteexitosa y que es capaz de explicar y predecir una gran cantidad de fenomenos. Una de lasdificultades en su construccion fue la gran cantidad de fenomenos complejos, que en un principioaparentemente no tenan relacion unos co