Teoría Electromagnética - 7ma Edición - William H. Hayt Jr.

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Si usted desea ver cmo cobra vida del contenido de electromagntica, comose muestra en estas ilustraciones, asegrese de colocar el CD que acompaa asu libro (o visite el sitio web del mismo en http://www.mhhe.com/haytbuck).Encontrar ilustraciones, animaciones, ejemplos interactivos y cuestiona-rios, todos en ingls, que han sido diseados para proporcionarle una expe-riencia interactiva con los conceptos fundamentales de la electromagntica.Los conos del CD-ROM se han colocado a lo largo del libro para indicarcundo es que estos recursos estn disponibles en Media Suite CD-ROM.Esperamos que utilice Media Suite y que esto fomente su aprendizaje de laelectromagntica!

La onda del campo elctrico junto con la gua de onda metlica: el modo ET10 dominante.

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Teora electromagntica

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Teora electromagnticaSptima edicin

William H. Hayt, Jr.Purdue University

John A. BuckGeorgia Institute of Technology

TraduccinCarlos Roberto Cordero Pedraza

Catedrtico de Ingeniera electrnica y comunicacionesSecretara de Marina Armada de Mxico, CESNAV

Revisin tcnicaGustavo Prez L.

Profesor de Ingeniera elctrica y electrnicaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, CEM

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO

AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHISAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO

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Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosDirector editorial: Ricardo A. del Bosque AlaynEditor sponsor: Pablo Eduardo Roig VzquezEditora de desarrollo: Paula Montao GonzlezSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

Teora electromagnticaSptima edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2006 respecto a la sptima edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Edificio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN 970-10-5620-5

Traducido de la sptima edicin de: ENGINEERING ELECTROMAGNETICSCopyright MMVI by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.Previous editions 1958, 1967, 1974, 1981, 1989 y 2001.ISBN 0-07-252495-2

1234567890 09875432106

Impreso en Mxico Printed in Mexico

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Para Amanda y Olivia

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A C E R C A D E L O S A U T O R E S

viii

William H. Hayt Jr. (R.I.P.) obtuvo los grados de licenciatura y maestra en la Univer-sidad de Purdue y de doctorado en la Universidad de Illinois. Despus de trabajar durantecuatro aos en la industria, el profesor Hayt ingres a la Universidad de Purdue, donde tra-baj como profesor y director de la Escuela de Ingeniera Elctrica y como profesor emritodespus de retirarse en 1986. El profesor Hayt fue miembro de las sociedades profesionalesEta Kappa Nu, Tau Beta Pi, Sigma Xi, Sigma Delta Chi, y becario del IEEE, ASEE yNAEB. Durante su estancia en Purdue recibi muchos premios a la enseanza, incluyendoel premio al mejor profesor universitario. Su nombre aparece en el Libro de los MejoresProfesores de la Universidad de Purdue, una pared permanente que se localiza en el PurdueMemorial Union, a partir del 23 de abril de 1999. En este libro estn escritos los nombresdel grupo inaugural que consta de 225 miembros del profesorado de todos los tiempos quehan dedicado sus vidas a la excelencia en la enseanza. Estos profesores fueron selecciona-dos por sus colegas y alumnos como los mejores educadores de la Universidad de Purdue.

John A. Buck naci en Los ngeles, California, y obtuvo los grados de maestra y doc-torado en ingeniera elctrica en la Universidad de California en Berkeley en 1977 y 1982,respectivamente, y la licenciatura en ingeniera en UCLA en 1975. En 1982 ingres a laEscuela de Ingeniera Elctrica y Computacin del Tecnolgico de Georgia, donde ha tra-bajado por 22 aos. Sus publicaciones y reas de investigacin se han enfocado en las reasde conmutacin ultrarrpida, ptica no lineal y comunicaciones va fibras pticas. El doc-tor Buck es autor del libro Fundamentos de las fibras pticas (Wiley Interscience), actual-mente en su segunda edicin. Cuando no est trabajando con su computadora o confinadoen su laboratorio, el doctor Buck pasa su tiempo libre escuchando msica, caminando porel campo y practicando la fotografa.

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C O N T E N I D O B R E V E

ix

Prefacio xiv

Visita guiada xviii

1 Anlisis vectorial 1

2 Ley de Coulomb e intensidad de campo elctrico 26

3 Densidad de flujo elctrico, ley de Gauss y divergencia 514 Energa y potencial 80

5 Corriente y conductores 114

6 Dielctricos y capacitancia 136

7 Ecuaciones de Poisson y de Laplace 172

8 El campo magntico estable 210

9 Fuerzas magnticas, materiales e inductancia 259

10 Campos variantes con el tiempo y ecuaciones de Maxwell 306

11 Lneas de transmisin 331

12 La onda plana uniforme 396

13 Reflexin de ondas planas y dispersin 434

14 Ondas guiadas y radiacin 480

Apndice A Anlisis vectorial 542

Apndice B Unidades 546

Apndice C Constantes de materiales 551

Apndice D Orgenes de la permitivida d compleja 554

Apndice E Respuestas a los problemas impares 561

ndice analtico 567

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C O N T E N I D O

x

Prefacio xiv

Visita guiada xviii

Captulo 1Anlisis vectorial 11.1 Escalares y vectores 11.2 lgebra vectorial 21.3 El sistema de coordenadas rectangular 41.4 Componentes vectoriales y vectores unitarios 51.5 El campo vectorial 81.6 El producto punto 91.7 El producto cruz 121.8 Otros sistemas de coordenadas:

coordenadas cilndricas circulares 141.9 El sistema de coordenadas esfricas 19

Lecturas complementarias 22Problemas 23

Captulo 2Ley de Coulomb e intensidad de campo elctrico 262.1 La ley experimental de Coulomb 272.2 Intensidad de campo elctrico 302.3 Campo debido a una distribucin continua

de carga volumtrica 342.4 Campo de una lnea de carga 372.5 Campo de una lmina de carga 432.6 Lneas de flujo y esquemas de campos 45


Captulo 3Densidad de flujo elctrico, ley de Gauss y divergencia 513.1 Densidad de flujo elctrico 513.2 Ley de Gauss 553.3 Aplicacin de la ley de Gauss:

algunas distribuciones de carga simtricas 593.4 Aplicaciones de la ley de Gauss:

elemento diferencial de volumen 643.5 Divergencia 673.6 Primera ecuacin de Maxwell (electrosttica) 703.7 El operador vectorial y el teorema

de la divergencia 72Lecturas complementarias 75Problemas 76

Captulo 4Energa y potencial 804.1 Energa para mover una carga

puntual en un campo elctrico 814.2 La integral de lnea 824.3 Definicin de diferencia

de potencial y potencial 874.4 El campo de potencial de una carga puntual 894.5 El campo de potencial de un sistema

de cargas: propiedad conservativa 914.6 Gradiente de potencial 954.7 El dipolo 1014.8 Densidad de energa

en el campo electrosttico 106Lecturas complementarias 110Problemas 110

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Contenido xi

Captulo 5Corriente y conductores 1145.1 Corriente y densidad de corriente 1145.2 Continuidad de la corriente 1165.3 Conductores metlicos 1185.4 Propiedades de los conductores

y condiciones de frontera 1235.5 El mtodo de las imgenes 1285.6 Semiconductores 130


Captulo 6Dielctricos y capacitancia 1366.1 Naturaleza de los materiales dielctricos 1376.2 Condiciones de frontera para materiales

dielctricos perfectos 1436.3 Capacitancia 1496.4 Varios ejemplos de capacitancia 1526.5 Capacitancia de una lnea de dos hilos 1556.6 Utilizacin de mapas de campo

para la estimacin de la capacitancia en problemas bidimensionales 160

6.7 Analoga con corrientes 165Lecturas complementarias 167Problemas 167

Captulo 7Ecuaciones de Poisson y de Laplace 1727.1 Deduccin de las ecuaciones

de Poisson y Laplace 1737.2 Teorema de unicidad 1757.3 Ejemplos de la solucin

de la ecuacin de Laplace 1777.4 Ejemplos de la solucin

de la ecuacin de Poisson 1847.5 Solucin producto de la ecuacin

de Laplace 188

7.6 Resolucin de la ecuacin de Laplacepor medio de la iteracin numrica 196Lecturas complementarias 202Problemas 203

Captulo 8El campo magntico estable 2108.1 Ley de Biot-Savart 2108.2 Ley circuital de Ampre 2188.3 El rotacional 2258.4 Teorema de Stokes 2328.5 Flujo magntico y densidad

de flujo magntico 2378.6 Potenciales magnticos

escalares y vectoriales 2408.7 Derivacin de las leyes de campos

magnticos estables 247Lecturas complementarias 253Problemas 253

Captulo 9Fuerzas magnticas, materiales

e inductancia 2599.1 Fuerza sobre una carga en movimiento 2609.2 Fuerza sobre un elemento

diferencial de corriente 2619.3 Fuerza entre elementos

diferenciales de corriente 2659.4 Fuerza y torca sobre un circuito cerrado 2679.5 La naturaleza de los materiales magnticos 2739.6 Magnetizacin y permeabilidad 2769.7 Condiciones de frontera magnticas 2819.8 El circuito magntico 2849.9 Energa potencial y fuerzas

en materiales magnticos 2909.10 Inductancia e inductancia mutua 292


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xii Contenido

Captulo 10Campos variantes con el tiempo y ecuaciones de Maxwell 30610.1 Ley de Faraday 30610.2 Corriente de desplazamiento 31310.3 Ecuaciones de Maxwell en forma puntual 31710.4 Ecuaciones de Maxwell en forma integral 31910.5 Los potenciales retardados 321


Captulo 11Lneas de transmisin 33111.1 Descripcin fsica de la propagacin

en las lneas de transmisin 33211.2 Ecuaciones de la lnea de transmisin 33411.3 Propagacin sin prdidas 33611.4 Propagacin sin prdidas de voltajes

sinusoidales 33911.5 Anlisis complejo de seales sinusoidales 34111.6 Ecuaciones de las lneas de transmisin

y sus soluciones en forma fasorial 34311.7 Propagacin sin prdidas y con bajas

prdidas 34511.8 Caracterizacin de la transmisin

de potencia y prdidas 34711.9 Reflexin de la onda en las

discontinuidades 35011.10 Relacin de onda estacionaria de voltaje 35311.11 Lneas de transmisin de longitud finita 35711.12 Algunos ejemplos de la lnea

de transmisin 36011.13 Mtodos grficos 36411.14 Anlisis de transitorios 375


Captulo 12La onda plana uniforme 39612.1 La propagacin de la onda en el espacio

libre 39612.2 Propagacin de ondas en dielctricos 40412.3 El teorema de Poynting

y la potencia de las ondas 413

12.4 Propagacin en buenos conductores: el efecto piel 416

12.5 Polarizacin de onda 423Lecturas complementarias 430Problemas 430

Captulo 13Reflexin de ondas planas y dispersin 43413.1 Reflexin de ondas planas uniformes

que inciden perpendicularmente 43413.2 Razn de onda estacionaria 44113.3 Reflexin de ondas sobre

mltiples interfases 44513.4 Propagacin de ondas planas

en direcciones generales 45313.5 Reflexin de ondas planas que inciden

en ngulos oblicuos 45613.6 Reflexin total y transmisin

total de ondas incidentes oblicuas 46213.7 Propagacin de ondas

en medios dispersivos 46513.8 Ensanchamiento de pulsos

en medios dispersivos 471Lecturas complementarias 475Problemas 476

Captulo 14Ondas guiadas y radiacin 48014.1 Campos en las lneas de transmisin

y constantes fundamentales 48114.2 Operacin de la gua de onda bsica 49014.3 Anlisis de las ondas planas en las guas

de ondas de placas paralelas 49414.4 Anlisis de guas de placas paralelas

utilizando la ecuacin de onda 50314.5 Guas de onda rectangulares 50614.6 Guas de onda dielctricas planas 51114.7 Fibra ptica 51714.8 Principios bsicos de las antenas 527


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Contenido xiii

Apndice AAnlisis vectorial 542A.1 Coordenadas curvilneas generales 542A.2 Divergencia, gradiente y rotacional

en coordenadas generales curvilneas 543A.3 Identidades vectoriales 545

Apndice BUnidades 546

Apndice CConstantes de materiales 551

Apndice DOrgenes de la permitividad compleja 554

Apndice ERespuestas a los problemasimpares 561

ndice analtico 567

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xiv

P R E F A C I O

El proceso de preparacin de la nueva edicin de un libro es una mezcla muy particular deesfuerzo y satisfaccin. A lo largo de un gran nmero de horas y pequeos detalles, las ta-reas de incorporar nuevas ideas que expandan las ya existentes y quitar las que se han vuel-to tediosas proporciona momentos muy gratificantes. Durante este proceso se experimentala sensacin de que este nuevo libro ser mejor y ms til.

En el caso de la materia de teora electromagntica la parte fundamental nunca cambia,por lo que se puede pensar que la manera de abordar estos temas en ediciones anteriores seha dejado intacta. ste fue mi enfoque al preparar la sexta edicin de este libro. Sin embar-go, en la preparacin de esta sptima edicin me he tomado algunas libertades. Los temasque han estado presentes desde la primera edicin se volvieron a analizar y algunos se eli-minaron por completo y otros se reubicaron en otras partes del libro. Estas modificacioneslas llev a cabo muy rara vez, ya que mi objetivo siempre fue mejorar la continuidad del ma-terial tratando a la vez de evitar cualquier elemento que pudiera quitarle el atractivo y el xi-to que ha tenido por casi cincuenta aos la obra original del doctor Hayt.

En aos ms recientes, muchos cursos sobre la materia de teora electromagntica hanresaltado en particular la teora de las lneas de transmisin de una manera consistente conla popularidad de la ingeniera en computacin como una materia de primordial importan-cia dentro del plan de estudios de la carrera de ingeniera elctrica. Esto ha tenido como con-secuencia el cambio ms importante en esta nueva edicin: la reescritura de un captulo (eindependiente en esta nueva edicin) sobre lneas de transmisin. Este nuevo captulo es elnmero 11 (antes captulo 13) y est ubicado antes de los captulos que tratan el tema de on-das electromagnticas. En el captulo 11, el tratamiento de las lneas de transmisin se lle-va a cabo por completo en el contexto de la teora de circuitos; se presenta el tema delfenmeno ondulatorio y se utiliza exclusivamente en forma de voltajes y corrientes. Asimis-mo, se aborda el tema de prdidas en lneas de transmisin junto con un minucioso trata-miento de la ecuacin de onda. Los conceptos de inductancia y capacitancia se consideranparmetros conocidos y por tanto no dependen de otros captulos. Esto permite que, si asse desea, las lneas de transmisin sea el tema inicial del curso. Los temas de concepto decampo y clculo paramtrico en lneas se han conservado; sin embargo, aparecen al comienzodel captulo 14 donde juegan un papel muy importante pues ayudan a presentar los concep-tos de gua de ondas a la vez que proporcionan una mejor perspectiva respecto al problemadel guiado de ondas. El tratamiento que se le administra a las lneas de dos hilos, coaxialesy planas con diferentes regmenes de frecuencias ha sido el mismo que en ediciones ante-riores; sin embargo, se ha adicionado una nueva seccin acerca de lneas de microcinta. Es-te material puede estudiarse despus del captulo 12 y no requiere del captulo 13.

Los captulos sobre ondas electromagnticas, el 12 y el 13 (antes el 11 y el 12), conti-nan siendo independientes del tema teora de las lneas de transmisin en el sentido de que

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Prefacio xv

el estudiante puede abordar el captulo 12 inmediatamente despus del captulo 10. De estaforma, el tema del fenmeno ondulatorio se presenta desde sus principios fundamentales pe-ro dentro del contexto de las ondas planas uniformes. El captulo 12 alude al captulo 11 enpuntos donde ste pueda proporcionar una mejor perspectiva y mayores detalles. Sin embar-go, si el profesor o el estudiante desean proceder en ese orden, en el captulo 12 se presen-ta todo el material necesario para aprender el tema de ondas planas sin tener que estudiar eltema de lneas de transmisin primero.

El estudio de los temas de reflexin de ondas planas y dispersin en el captulo 13 conti-na en el captulo 14; en ste se analizan los fundamentos del guiado de ondas con la ayudade los modelos de reflexin de ondas planas, as como mediante la solucin directa de la ecua-cin de onda. Este captulo conserva el contenido original de la sexta edicin; sin embargo,ahora incluye una seccin adicional sobre fibras pticas, adems del tema de estructura delneas de transmisin mencionado antes. La ltima parte del captulo 14 trata sobre los con-ceptos bsicos de radiacin, el cual es un tema estudiado en las ediciones precedentes.

En la reestructuracin de los captulos anteriores se encuentra la divisin del captulo 5(conductores, dielctricos y capacitancia) en dos captulos (5 y 6) que tratan sobre conduc-tores y capacitores de forma independiente. El captulo 6 (el cual trataba los temas demapeo de campo y tcnicas numricas) se ha suprimido, pero se ha conservado parte de es-te material en otros captulos. El tema de mapeo cuadrtico curvilneo y el estudio y el an-lisis de analogas de corriente son parte del captulo sobre capacitancia (6), y la seccinsobre la solucin iterativa es ahora parte del desarrollo de las ecuaciones de Laplace y Pois-son en el captulo 7.

Un suplemento importante en esta edicin es un CD con demostraciones por computa-dora y programas interactivos desarrollados por Natalia Nikolova de la Universidad de Mc-Master, y Vikram Jandhyala e Indranil Chowdhury de la Universidad de Washington. Susexcelentes contribuciones son muy apropiadas para este texto. Cuando se presenta un ejer-cicio relacionado con el texto, aparecen conos de CD en el margen izquierdo. Asimismo,con la finalidad de servir como ayuda al estudio, el CD contiene pequeos exmenes. Sepresenta tambin un gran nmero de animaciones (incluyendo algunas creadas por m) queayudan a visualizar la mayor parte de los fenmenos que se describen en el texto.

Se ha reemplazado aproximadamente un cuarenta por ciento de los problemas de la sex-ta edicin. Adems de la gran cantidad de problemas nuevos, he incluido algunos proble-mas clsicos de Bill Hayt que aparecen en ediciones anteriores de este libro. He tomadola decisin de revivir los que, desde mi particular punto de vista, fueron los mejores y msrelevantes. Los problemas de repaso se han reconstruido por completo y se les han corregi-do errores.

Adicionalmente a estas modificaciones, el tema medular del texto se ha conservadodesde su primera edicin en 1958. Se ha utilizado un mtodo inductivo que sea consistentecon el desarrollo histrico. En dicho mtodo se presentan las leyes experimentales comoconceptos independientes que, posteriormente, se unifican en las ecuaciones de Maxwell.Despus del primer captulo que trata el anlisis vectorial se presentan herramientas mate-mticas adicionales a medida que stas se van necesitando. A lo largo de todas las edicionesanteriores, as como en sta, el objetivo fundamental ha sido que los estudiantes aprendande manera independiente. Con la finalidad de facilitar este proceso se proporciona un grannmero de ejemplos, problemas de repaso (que por lo general contienen mltiples partes),problemas al final de cada captulo y en CD. Se proporcionan las respuestas a los proble-mas de repaso debajo de cada uno de ellos. En el apndice E se encuentran las respuestas a

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xvi Prefacio

los problemas del final del captulo que tienen nmero impar. En un futuro estar dispo-nible el manual de respuestas para el profesor, que junto con el contenido del CD y otrosrecursos de aprendizaje se encuentran disponibles en la pgina web de este texto,http://www.mhhe.com/haytbuck. La herramienta COSMOS (Complete Online SolutionsManual Operating System), disponible para los instructores en CD-ROM, contiene todos losproblemas del libro, incluyendo el texto y las imgenes a los que se refieren, as como la so-lucin a todos los problemas del libro. Este material ayudar al profesor a organizar, distri-buir y rastrear problemas a medida que los asigne a los estudiantes. Asimismo, se agradeceel apoyo de las compaas ANSOFT y Faustus Scientific Corp.

Este libro contiene material ms que suficiente para un curso de un semestre. Como eslgico, se destacan los conceptos sobre esttica y stos se presentan en la primera parte deltexto. En un curso que resalte los conceptos sobre dinmica se puede estudiar el tema sobrelneas de transmisin primero o en cualquier otro punto del curso. El material que versa so-bre esttica puede cubrirse de una forma ms rpida omitiendo el captulo 1 (diseado paraleerse como repaso) y saltndose las secciones 2.6, 5.5, 5.6, 6.5, 6.6, 7.4 hasta la 7.6, 8.6,8.7 y 9.3 hasta la 9.6, 9.8 y 10.5. Se puede lograr una presentacin ms directa del tema deondas planas omitiendo las secciones 12.5, 13.5 y 13.6. El objetivo del captulo 14 es el es-tudio de temas avanzados en los que el desarrollo de los conceptos de guas de ondas y an-tenas se presenta por medio de la aplicacin de los mtodos aprendidos en captulosanteriores, lo que ayuda al estudiante a afirmar sus conocimientos. Asimismo, puede servircomo un puente entre el curso bsico y cursos ms avanzados que le precedan.

AGRADECIMIENTOSEstoy profundamente agradecido con un gran nmero de estudiantes y colegas, quienes mehan dado su apoyo y aliento antes y durante la preparacin de esta nueva edicin. En la re-visin de este texto, un gran nmero de opiniones y juicios basados en un conocimiento pro-fundo del tema los proporcionaron

Raviraj Sadanand Adve, University of TorontoJonathan S. Babgy, Florida Atlantic UniversityArun V. Bakshi, College of Engineering, Pimpri, IndiaShanker Balasubramaniam, Michigan State UniversityN. Scott Barker, University of VirginiaVikram Jandhyala, University of WashingtonBrian A. Lail, University of Central FloridaSharad R. Laxpati, University of Illinois-ChicagoReinhold Ludwig, Worcester Polytechnic InstituteMasoud Mostafavi, San Jose State UniversityNatalia K. Nikolova, McMaster UniversityJ. Scott Tyo, University of New MexicoKathleen L. Virga, University of ArizonaClive Woods, Iowa State University

Sus invaluables comentarios y sugerencias modificaron muchos aspectos del producto final.Varios errores e inconsistencias en el texto y en algunos problemas se identificaron graciasa la ayuda de William Thompson, Jr. de la Universidad Estatal de Pennsylvania. Shannon

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Prefacio xvii

Madison del Tecnolgico de Georgia, colabor ampliamente en la revisin de los problemasde repaso, mientras que Diana Fouts fue responsable del diseo y figuras de la cubierta.

Durante los cuatro aos desde que se imprimi la ltima edicin de este libro recib unagran cantidad de correos electrnicos con preguntas y sugerencias acerca de partes del textoque, despus de una reflexin detallada, pudieron haber sido escritos de una manera ms cla-ra. Quizs hayan sido estas llamadas de atencin sobre los detalles las ms valiosas en el me-joramiento del producto final. Lamento no haber podido responder todos los mensajes querecib, sin embargo, todos se tomaron en cuenta. Como entonces, estoy abierto a recibir co-rrespondencia de los lectores. Estoy en el correo electrnico [email protected].

Por ltimo, agradezco al grupo de McGraw-Hill que trabaj en este proyecto, cuyo en-tusiasmo, aliento y ayuda fueron de gran valor. En especial, a Michelle Flomenhoft y a Car-lise Stembridge, quienes conformaron todo el material e hicieron posible este libro. Apreciohaber trabajado con ellas. Como en revisiones anteriores, el tiempo fue muy corto para ter-minar todo lo que hubiera querido. Estoy seguro de que mi entusiasmo ser enorme para tra-bajar en una octava edicin, una vez que haya descansado y que mi esposa y mis hijas sehayan armado de paciencia. Espero que mis hijas, quienes son an muy jvenes para com-prender por qu pap se la pasa todo el fin de semana trabajando en la computadora, hayanmadurado lo suficiente para soportar esto. Les dedico a ellas este libro.

John A. BuckMarietta,GA

Septiembre de 2004

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V I S I T A G U I A D A

El objetivo principal de este libro es presentar la teora electromagntica de una forma clara, in-teresante y fcil de aprender. A continuacin se le presentan al estudiante algunos consejos ti-les para que le ayuden a estudiar y tener xito durante el curso.

Ejemplos: En cada captulo se presenta un gran nmero de ejemplos de fcil acceso paraque el alumno refuerce los conceptos estudiados.

Problemas de repaso: Cada captulo contiene un nmero considerable de problemas de re-paso. Estos problemas, que incluyen su respuesta, sirven para que el estudiante verifique, deuna manera rpida, su comprensin del material presentado.

(69)

donde |V0 (z)| = |V0 (0)|ez.

En una lnea de transmisin de 20 m de longitud se presenta una cada de potencia de 2.0 dbde extremo a extremo. a) Qu fraccin de la potencia de entrada llega a la salida? b) Qufraccin de la potencia de entrada llega a la mitad de la lnea? c) Qu coeficiente de ate-nuacin exponencial, , representa esto?

Solucin. a) La fraccin de potencia ser

b) 2 dB en 20 m equivale a una prdida de 0.2 dB/m. As que, en un tramo de 10 me-tros, la prdida ser de 1.0 dB. Esto representa una fraccin de potencia de 100.1 = 0.79.

c) El coeficiente de atenuacin exponencial se encuentra a travs de

Como punto final se plantea la pregunta: Por qu utilizar decibeles? La respuesta ine-ludible es que cuando se evala la potencia acumulada de varias lneas y dispositivos conec-

EJEMPLO 11.4

(dB) = 10 log10[ ( )P(z)

]= 20 log10

[ | 0( )||V0(z)|

]

P(20)P(0) = 10

0.2 = 0.63

= 2.0 dB(8.69 dB/Np)(20 m) = 0.012 [Np/m]

Prdida de potencia

D14.3 Los conductores de una lnea de transmisin bifilar tienen un radio de 0.8 mmcada uno y una conductividad de 3 107 S/m. Se encuentran separados por una dis-tancia de 0.8 cm entre centros en un medio para el cual

r= 2.5,

r= 1 y = 4

109 S/m. Si la lnea opera a 60 Hz, encuntrese: a) ; b) C; c) G; d) L; e) R.

Respuesta: 1.2 cm; 30 pF/m; 5.5 nS/m; 1.02 H/m; 0.033 /m

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Visita guiada xix

Problemas al final del captulo: Cada captulo contiene un gran nmero de problemas, in-cluyendo respuestas a los problemas seleccionados en el apndice E con el fin de ofrecer alestudiante la oportunidad de practicar lo aprendido.

CD-ROM del estudiante: Este libro contiene un CD-ROM para mejorar an ms la com-prensin del estudiante de la teora electromagntica. (Los detalles sobre el contenido delCD-ROM se presentan en las dos pginas siguientes.) A lo largo del libro se indica con elcono de un CD, en el margen izquierdo del texto, cundo se debe utilizar ste para obtenerayuda adicional con respecto a un determinado tema.

g14.17 Una gua de ondas rectangular tiene como dimensiones, a = 6 cm y b = 4 cm. a) En

qu rango de frecuencias operar la gua en un solo modo? b) En qu rango de fre-cuencias la gua slo soportar ambos modos, TE10 y TM01?

14.18 Dos guas de onda rectangulares estn unidas de extremo a extremo. Las guas tienendimensiones idnticas, donde a = 2b. Una gua est llena con aire; la otra est llenacon un dielctrico sin prdidas caracterizado por

r. a) Determine el valor mximo

permisible de tal manera que pueda asegurarse una operacin en un solo modo, si-multneamente, de ambas guas a una frecuencia. b) Escriba una expresin para elrango de frecuencias en el que ocurrir la operacin en un solo modo en ambas guas;su respuesta deber estar escrita en trminos de

r, dimensiones de las guas y otras

constantes conocidas.

Respuesta: 0; 1.018 mC; 6.28 C

2.4 Campo de una lnea de cargaHasta el momento se han considerado dos tipos de distribuciones de carga: la carga puntualy la carga distribuida a travs de un volumen con densidad

C/m3. Si ahora se considera

una distribucin de densidad de carga volumtrica en forma de filamento, por ejemplo, lade un fino haz de electrones en un tubo de rayos catdicos o la de un conductor cargado y deradio muy pequeo, es conveniente tratar la carga como una lnea con densidad de carga LC/m. En el caso del haz de electrones, las cargas estn en movimiento y es cierto que no setrata de un problema electrosttico. Sin embargo, si el movimiento de los electrones se man-

Interactivos

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xx Visita guiada

El CD-ROM se cre para proporcionarle al estudiante recursos de aprendizaje adicionalesy as pueda comprender los conceptos complejos de la teora electromagntica. Esta herra-mienta de autoestudio posee una interfaz en la que es fcil navegar, lo que permite que elestudiante encuentre el material de cada captulo.

Recurso de aprendizaje # 1: Ilustraciones:Con la finalidad de ayudar al estudiante a visua-lizar los conceptos estudiados se incluyen ilus-traciones en cuatro colores.

Recurso de aprendizaje # 2: Animaciones: Un grannmero de animaciones va incluso un paso ms allpresentando al estudiante una demostracin de los fen-menos electromagnticos por medio de animacinFlash.

Student Media Suite

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Visita guiada xxi

Recurso de aprendizaje # 3: Figuras interactivas: Las figuras interactivas no solamentepermiten al estudiante ver los conceptos, sino tambin ajustar las variables fsicamente e in-cluso la misma figura para ver los conceptos en accin.

Recurso de aprendizaje # 4: Exmenes rpidos: Para evaluar la comprensin del estu-diante se incluye una prueba rpida de cada captulo. El sistema ofrece realimentacin in-mediata para que el estudiante sepa que ha contestado correctamente las preguntas.

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C A P T U L O 1

1

Anlisis vectorial

El anlisis vectorial es un campo de las matemticas que imparten mucho mejor losmatemticos que los ingenieros. Sin embargo, muchos estudiantes de ingeniera delpenltimo y ltimo aos no han tenido el tiempo (o quizs la inclinacin) de tomarun curso de anlisis vectorial, aunque es probable que varios de los conceptos elementalesde vectores y sus operaciones les hayan sido presentados en los cursos de clculo. Estosconceptos fundamentales y sus operaciones se explican en este captulo, y el tiempo que seles dedique depender de las bases precedentes.

El enfoque de este texto es el de un ingeniero o un fsico y no el de un matemtico, yaque las demostraciones se bosquejan en vez de exponerse rigurosamente y se destaca lainterpretacin fsica. Es ms fcil para los ingenieros tomar cursos ms rigurosos y comple-tos en el departamento de matemticas despus de haber estudiado algunos esquemas fsi-cos y sus aplicaciones.

El anlisis vectorial es una taquigrafa matemtica. Contiene algunos smbolos nuevos,algunas reglas nuevas, una que otra trampa y, como la mayor parte de los nuevos campos de es-tudio, demanda concentracin, atencin y prctica. Los problemas de repaso, que se presentanpor primera vez al final de la seccin 1.4, deben considerarse como parte integral del texto.Todos debern resolverse. No deben presentar dificultad si el material que acompaa esta sec-cin del texto ha sido comprendido por completo. Se requiere un poco ms de tiempo paraleer de esta manera el captulo, pero la inversin en tiempo producir buenos dividendos.

1.1 Escalares y vectoresEl trmino escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con un simplenmero real (positivo o negativo). Las x, y y z usadas en lgebra bsica son escalares, y lascantidades que representan tambin lo son. Si hablamos de un cuerpo que cae a una distancia Len un tiempo t, o de la temperatura T en cualquier punto en un tazn de sopa cuyas coorde-nadas son x, y y z, entonces L, t, T, x, y y z son escalares. Otras cantidades escalares son lamasa, la densidad, la presin (pero no la fuerza), el volumen y la resistividad volumtrica.El voltaje tambin es una cantidad escalar, aunque la representacin compleja en nmeroscomplejos de un voltaje sinusoidal (un procedimiento artificial) produce un escalar comple-jo o fasor, cuya representacin necesita dos nmeros reales, como la amplitud y el ngulode fase, o parte real y parte imaginaria.

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2 CAPTULO 1 Anlisis vectorial

Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud1 como direccin en el espacio. Slo se-rn de inters los espacios de dos y tres dimensiones, aunque en aplicaciones ms avan-zadas los vectores pueden definirse en espacios de n dimensiones. La fuerza, la velocidad, laaceleracin y una lnea recta que van de la terminal positiva a la negativa de un acumula-dor son ejemplos de vectores. A cada cantidad la caracterizan tanto una magnitud comouna direccin.

Los campos escalares y vectoriales sern de mayor importancia. Un campo (escalar ovectorial) puede definirse matemticamente como la funcin del vector que conecta un ori-gen arbitrario con un punto cualquiera en el espacio. En general, es posible asociar algnefecto fsico con un campo, como la fuerza sobre la aguja de una brjula en el campo mag-ntico de la Tierra o el movimiento de las partculas de humo en el campo que define el vec-tor velocidad del aire en alguna regin del espacio. Es necesario observar que el conceptode campo invariablemente se relaciona con una regin. Algunas cantidades se definen en ca-da punto de una regin. Tanto los campos escalares como los vectoriales tienen una exis-tencia real. La temperatura de un tazn de sopa y la densidad en cualquier punto de la Tierrason ejemplos de campos escalares. Los ejemplos de campos vectoriales son los campos gra-vitacional y magntico de la Tierra, el gradiente de voltaje en un cable y el gradiente de tem-peratura en la punta de un cautn. En general, el valor de un campo vara tanto con la posicincomo con el tiempo.

En este libro, as como en muchos otros que utilizan la notacin vectorial, los vectoresse indicarn con negritas: A. Los escalares se escribirn en cursivas: A. Cuando escribimos amano o usamos una mquina de escribir es costumbre dibujar una raya o una flecha sobre laletra que la representa para mostrar el carcter vectorial de la cantidad. (PRECAUCIN: sta esla primera trampa. Una notacin incorrecta, como la omisin de la raya o de la flecha paraun vector, es la principal causa de error en el anlisis vectorial.)

1.2 lgebra vectorialCon las definiciones de vectores y campos vectoriales que se han establecido es posible de-finir las reglas de la aritmtica vectorial, del lgebra vectorial y, posteriormente, del clculovectorial. Ciertas reglas sern similares a las del lgebra escalar; otras, ligeramente diferen-tes, y otras, por completo nuevas y extraas. Esto es de esperarse, ya que un vector presen-ta ms informacin que un escalar, y la multiplicacin de dos vectores, por ejemplo, serms complicada que la multiplicacin de dos escalares.

Las reglas son de una rama de las matemticas que se encuentra firmemente estableci-da. Todos juegan con las mismas reglas y nosotros, por supuesto, simplemente observa-remos e interpretaremos estas reglas. Sin embargo, es ilustrativo considerarnos pioneros eneste campo. Si uno establece sus propias reglas, es posible establecer cualquiera que se de-see. El nico requerimiento es que sean autoconsistentes. Claro est, sera agradable que lasreglas concordaran con las del lgebra escalar hasta donde fuera posible, y sera an mejorsi nos habilitaran para resolver algunos problemas prcticos.

La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo, y sta es fcil de realizar en formagrfica, aunque resulta imprecisa. La figura 1.1 muestra la suma de dos vectores, A y B. Es

1 Se adopta la convencin de que magnitud implica valor absoluto; por lo tanto, la magnitud de cualquier can-tidad es siempre positiva.

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1 . 2 lgebra vectorial 3

fcil observar que A + B = B + A, es decir, que la suma de vectores tiene la propiedad con-mutativa. La suma vectorial tambin tiene la propiedad asociativa,

Obsrvese que cuando un vector se dibuja como una flecha de longitud finita, su loca-lizacin la define la cola de la flecha.

Los vectores coplanares o vectores que pertenecen a un plano comn, como los quemuestra la figura 1.1, y que estn sobre el plano del papel, pueden agregarse tambin expre-sando cada vector en trminos de sus componentes horizontal y vertical y sumando lascomponentes correspondientes.

Los vectores en tres dimensiones pueden, asimismo, sumarse expresando cada uno deellos en trminos de sus componentes y sumando stas a los trminos correspondientes. Seencontrarn ejemplos de estos procesos de adicin despus de estudiar las componentesvectoriales en la seccin 1.4.

La regla para la sustraccin de vectores se define fcilmente con respecto a la suma, da-do que siempre se puede expresar A B como A + (B); el signo y la direccin del se-gundo vector se invierten, y entonces este vector se suma al primero siguiendo la regla dela adicin vectorial.

Los vectores pueden multiplicarse por escalares. Cuando el escalar es positivo, la mag-nitud del vector cambia pero no su direccin. Sin embargo, la direccin se invierte al mul-tiplicarla por un escalar negativo. La multiplicacin de un vector por un escalar tambin tie-ne las propiedades asociativa y distributiva del lgebra, es decir,

La divisin de un vector por un escalar es simplemente la multiplicacin por el recproco dedicho escalar.

La multiplicacin de un vector por un vector se estudiar en las secciones 1.6 y 1.7.Se dice que dos vectores son iguales si su diferencia es cero, o A = B si A B = 0.Cuando se utilizan campos vectoriales se suman o restan siempre que estn definidos

en el mismo punto. Por ejemplo, el campo magntico total alrededor de un pequeo imnde herradura aparecer como la suma de los campos que producen la Tierra y el imn per-manente; es decir, el campo total en cualquier punto es la suma de los campos individualesen dicho punto.

De cualquier manera, si no se est considerando un campo vectorial se pueden sumar orestar vectores que no estn definidos en el mismo punto. Por ejemplo, la suma de la fuerza

Figura 1.1 Dos vectores pueden sumarse grficamente dibujndolos desde unorigen comn y completando el paralelogramo o haciendo que el segundo vectorcomience en la punta del primero y completando el tringulo; cada uno de estosmtodos es fcilmente generalizado para el caso de tres o ms vectores.

A + (B + C) = (A + B) + C

(r + s)(A + B) = r (A + B) + s(A + B) = rA + rB + sA + sB

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gravitacional que acta sobre un hombre de 150 lbf (libras-fuerza) en el Polo Norte y laque acta sobre un hombre de 175 lbf en el Polo Sur puede obtenerse trasladando cadavector fuerza al Polo Sur antes de hacer la suma. La resultante es una fuerza de 25 lbf di-rigida hacia el centro de la Tierra en el Polo Sur; si se quieren hacer difciles las cosas sepuede describir la fuerza como 25 lbf alejndose del centro de la Tierra (o hacia arriba),en el Polo Norte.2

1.3 El sistema de coordenadas rectangular

Para describir con precisin un vector deben darse algunas longitudes especficas, direccio-nes, ngulos, proyecciones o componentes. Existen tres mtodos sencillos para hacer esto,y cerca de otros ocho o diez mtodos que resultan tiles en casos muy especiales. Se utili-zarn nicamente los tres mtodos sencillos, y el ms sencillo de stos es el del sistema decoordenadas cartesianas o rectangulares.

En el sistema de coordenadas cartesianas se utilizan tres ejes coordenados perpendicu-lares entre s, llamados eje x, y y z. Se acostumbra elegir un sistema de coordenadas de ma-no derecha en el cual una rotacin (que describe un pequeo ngulo) del eje x hacia el ejey causara que un tornillo derecho avanzara en la direccin del eje z. Los dedos de la manoderecha, pulgar, ndice y medio, pueden entonces identificar los ejes x, y y z, respectivamen-te. La figura 1.2a muestra un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha.

La localizacin de un punto se hace por medio de sus coordenadas x, y y z. stas son,respectivamente, las distancias desde el origen a cada una de las intersecciones de una pro-yeccin perpendicular desde el punto de los ejes x, y y z. Un mtodo opcional para interpre-tar los valores de las coordenadas, y que corresponde al que debe usarse en todos los demssistemas de coordenadas, es considerar el punto como la interseccin de tres superficies, losplanos x = constante, y = constante y z = constante, siendo las constantes los valores de lascoordenadas del punto.

La figura 1.2b muestra los puntos P y Q, cuyas coordenadas son (1, 2, 3) y (2, 2, 1),respectivamente. Por consiguiente, el punto P se localiza en la interseccin de los planosx = 1, y = 2 y z = 3, mientras que el punto Q se localiza en la interseccin de los planos x = 2,y = 2, z = 1.

A medida que aparezcan otros sistemas de coordenadas en las secciones 1.8 y 1.9, seespera encontrar puntos que se localicen en la interseccin comn de tres superficies, nonecesariamente planos, pero que sigan siendo mutuamente perpendiculares en el punto deinterseccin.

Si se visualiza la interseccin de tres planos en cualquier punto P, cuyas coordenadassean x, y y z, puede incrementarse el valor de cada coordenada por una cantidad diferencialy obtenerse tres planos ligeramente desplazados que se intersecten en un punto P, cuyascoordenadas sern x + dx, y + dy y z + dz. Los seis planos definen un paraleleppedo rec-tangular cuyo volumen es dv = dxdydz; las superficies tienen diferenciales de reas dS dedxdy, dydz y dzdx. Por ltimo, la distancia dL de P a P es la diagonal del paraleleppedo y

2 Algunos han hecho notar que la fuerza debe describirse en el ecuador como si siguiera una direccin norte.Tienen razn, pero sa es una explicacin redundante.

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1 . 4 Componentes vectoriales y vectores unitarios 5

tiene una longitud de El elemento diferencial de volumen lomuestra la figura 1.2c; el punto P est indicado, pero el punto P se localiza en la nica es-quina invisible.

Todo esto es familiar desde la perspectiva de la trigonometra o de la geometra del espa-cio, y hasta ahora involucra nicamente cantidades escalares. En la siguiente seccin se em-pezar con la descripcin de los vectores en trminos de un sistema de coordenadas.

1.4 Componentes vectoriales y vectores unitarios

Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas se considera primero unvector r que se extiende alejndose del origen. Una manera lgica de identificar este vectores proporcionar los tres componentes vectoriales, que se encuentran a lo largo de los tres

(dx)2 + (dy)2 + (dz)2.

Figura 1.2 a) Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha. Si los dedosdoblados de la mano derecha indican la direccin de giro por medio de la cual el eje x sehara coincidir con el eje y, el pulgar muestra la direccin del eje z. b) Localizacin de lospuntos P(1, 2, 3) y Q(2, 2, 1). c) Elemento diferencial de volumen en coordenadascartesianas; dx, dy y dz son, en general, diferenciales independientes.

Volumen

plano

plano

plano

Origen

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ejes coordenados y cuya suma vectorial debe ser igual al vector dado. Si las componentesvectoriales de un vector r son x, y y z, entonces r = x + y + z. Las componentes vectoria-les se muestran en la figura 1.3a. En vez de un vector ahora se tienen tres, pero esto signi-fica un paso hacia adelante porque los tres vectores son de naturaleza muy sencilla y cadauno se orienta siempre a lo largo de uno de los ejes coordenados.

En otras palabras, las componentes vectoriales tienen una magnitud que depende delvector dado (tal como el r citado antes), pero cada una tiene una direccin constante cono-cida. Esto sugiere el uso de vectores unitarios, los cuales tienen magnitud unitaria por defi-nicin y se orientan a lo largo de los ejes coordenados en la direccin en la que crecen losvalores de las coordenadas. Se reservar el smbolo a para un vector unitario y se identificasu direccin con un subndice apropiado. Entonces a

xay y az son los vectores unitarios en

el sistema de coordenadas cartesianas.3 Son dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z, respec-tivamente, como lo muestra la figura 1.3b.

Figura 1.3 a) Componentes vectoriales x, y y z del vector r. b) Los vectoresunitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y sedirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables. c) Elvector RPQ es igual al vector diferencia rQ rP.

3 Los smbolos i, j y k tambin se usan comnmente para los vectores unitarios en coordenadas cartesianas.

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1 . 4 Componentes vectoriales y vectores unitarios 7

Si la componente vectorial y tiene una magnitud de dos unidades y se dirige haciadonde aumentan los valores de y, se deber escribir entonces y = 2ay. Un vector rP queapunta desde el origen a un punto P(1, 2, 3) se escribe como rP = ax + 2ay + 3az. El vectordesde el punto P a Q se puede obtener aplicando la regla de la suma vectorial. Esta reglamuestra que el vector desde el origen a P ms el vector desde P a Q es igual al vector des-de el origen a Q. El vector deseado desde P(1, 2, 3) a Q(2, 2, 1) es, por lo tanto,

Los vectores rP , rQ y RPQ se muestran en la figura 1.3c.Este ltimo vector no empieza en el origen, como lo haca el vector r considerado al

principio. Sin embargo, hemos aprendido que los vectores que tienen la misma magnitud yapuntan en la misma direccin son iguales, as que para ayudar al proceso de visualizacinse tiene la libertad de desplazar cualquier vector hasta el origen, antes de determinar suscomponentes vectoriales. Desde luego, el paralelismo se debe mantener durante el procesode desplazamiento.

Si se considera un vector fuerza F en vez de cualquier otro vector, excepto uno de des-plazamiento tal como el vector r, el problema radica en proporcionar letras apropiadas pa-ra los tres componentes vectoriales. No sera apropiado llamarlas x, y y z, pues representandesplazamientos o distancias dirigidas, medidas en metros (abreviado m) o alguna otra unidadde longitud. El problema se evita usando componentes escalares, simplemente llamadascomponentes F

x, Fy y Fz. Las componentes son las magnitudes, con signo positivo o nega-

tivo, de los componentes vectoriales. Se escribe entonces F = Fxa

x+ Fyay + Fzaz. Los com-

ponentes vectoriales son Fxa

x, Fyay y Fzaz.

Cualquier vector B, entonces, se puede describir por B = Bxa

x+ Byay + Bzaz. La mag-

nitud de B, denotada por |B| o simplemente B, est dada por

(1)

Cada uno de los tres sistemas coordenados que se estudiarn tendr tres vectores unita-rios fundamentales y mutuamente ortogonales, los cuales se utilizarn para descomponercualquier vector en sus componentes vectoriales. Sin embargo, los vectores unitarios no selimitarn a esta aplicacin. Es muy necesario saber cmo escribir un vector unitario que ten-ga una direccin especfica. Esto es muy sencillo, pues un vector unitario en una direccindada es simplemente un vector en esa direccin dividido entre su magnitud. Un vector uni-tario en la direccin r es r y un vector unitario en la direccin B es

(2)

/

x2 + y2 + z2,

RP Q = rQ rP = (2 1)ax + (2 2)ay + (1 3)az= ax 4ay 2az

|B| =

B2x + B2y + B2z

aB = BB2x + B2y + B2z

= B|B|

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Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2, 2, 1).Solucin. Como primer paso se construye un vector que se extienda desde el origen has-ta el punto G,

Entonces se encuentra la magnitud de G,

y, por ltimo, se expresa el vector unitario deseado como el cociente,

Es deseable escoger un smbolo que identifique un vector unitario de modo que su ca-rcter sea inmediatamente captado. Los smbolos que se han utilizado son uB, aB, 1B, o in-cluso b. Se usar consistentemente la letra minscula a con un subndice apropiado.

[NOTA: A lo largo del texto aparecen problemas de repaso despus de las secciones enlas que se presenta un nuevo principio, as el estudiante examinar por s mismo su com-prensin de las ideas bsicas. Los problemas son tiles para que se familiaricen con los nue-vos trminos e ideas, por lo que todos deben resolverse. Las respuestas a los problemas sedan en el mismo orden que las partes del problema.]

D1.1 Dados los puntos M(1, 2, 1), N(3, 3, 0) y P(2, 3, 4), encontrar: a) RMN;b) RMN + RMP; c) |rM|; d) aMP; e) |2rP 3rN|

Respuestas: 4ax 5ay az; 3ax 10ay 6az; 2.45; 0.14ax 0.7ay 0.7az; 15.56

1.5 El campo vectorialSe ha definido ya el campo vectorial como una funcin vectorial de un vector posicin. En ge-neral, la magnitud y direccin de la funcin cambiarn conforme se est moviendo a travs dela regin, y el valor de la funcin vectorial debe determinarse a partir de los valores de lascoordenadas del punto en cuestin. Puesto que se ha considerado solamente un sistema de coor-denadas cartesianas, se espera que el vector sea una funcin de las variables x, y y z.

Si se presenta nuevamente el vector posicin como r, entonces el campo vectorial G sepuede expresar en notacin funcional como G(r); un campo escalar T se escribe T(r).

Si se inspecciona la velocidad del agua de mar en alguna regin cercana a la superficiedonde las mareas y las corrientes son importantes, se las podra representar por medio de unvector velocidad, que tendra cualquier direccin, incluso hacia arriba o hacia abajo. Si se es-coge el eje z hacia arriba, el eje x en direccin norte, el eje y en direccin oeste y el origen enla superficie, tenemos un sistema de coordenadas de mano derecha y el vector velocidad sepuede escribir como: v = v

xa

x+ vyay + vzaz, o v(r) = vx(r)ax + vy(r)ay + vz(r)az, en don-

de cada componente vx, vy y vz puede ser una funcin de las tres variables x, y y z.

EJEMPLO 1.1

G = 2ax 2ay az

|G| =

(2)2 + (2)2 + (1)2 = 3

aG = G|G| =23 ax 23 ay 13 az = 0.667ax 0.667ay 0.333az

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1 . 6 El producto punto 9

Si el problema se simplifica, suponiendo que se est en alguna porcin de la Corriente delGolfo donde el agua se mueve slo hacia el norte, entonces vy y vz son cero. Adems, es po-sible hacer ms suposiciones para simplificar si declina la velocidad segn la profundidady cambia muy lentamente conforme nos movemos al norte, al sur, este u oeste. Una expre-sin apropiada podra ser v = 2ez/100a

x. Con esta expresin se obtiene una velocidad de

2 m/s en la superficie y una velocidad de 0.368 2, o 0.736 m/s, a una profundidad de 100 m(z = 100), y la velocidad contina disminuyendo con la profundidad; en este ejemplo elvector velocidad tiene direccin constante.

Mientras que el ejemplo precedente es bastante sencillo y slo es una burda aproxima-cin a una situacin fsica, una expresin ms exacta correspondera a una interpretacinmucho ms compleja y difcil. Se encontrarn, en el estudio de la electricidad y el magne-tismo, varios campos ms sencillos que el ejemplo de la velocidad, en el cual slo intervie-nen una variable y una componente (la componente x y la variable z). Tambin se estudia-rn campos ms complicados, y los mtodos de interpretacin fsica de estas expresiones seanalizarn en su momento.

D1.2 Un campo vectorial S puede expresarse en coordenadas rectangulares comoS = {125/ [(x 1)2 + (y 2)2 + (z + 1)2]}{(x 1)a

x+ (y 2)ay + (z + 1)az}. a)

Evaluar S en P(2, 4, 3). b) Determinar un vector unitario que proporcione la direccinde S en P. c) Especificar la superficie f(x, y, z) en la que |S|= 1.

Respuesta: 5.95ax+ 11.90ay + 23.8az; 0.218ax + 0.436ay + 0.873az;

(x 1)2 + (y 2)2 + (z+ 1)2 = 125.

1.6 El producto puntoAqu se considera el primero de dos tipos de multiplicacin vectorial. El segundo tipo se es-tudiar en la seccin siguiente.

Dados dos vectores A y B, el producto punto o producto escalar, se define como el pro-ducto de la magnitud de A, la magnitud de B y el coseno del ngulo entre ellos,

(3)

El punto que aparece entre los dos vectores debe remarcarse para hacer hincapi en l. Elproducto escalar o producto punto, que es un escalar, como lo implica uno de sus nombres,obedece a la ley conmutativa,

(4)

puesto que el signo del ngulo no afecta el trmino del coseno. La expresin A B se leeA punto B.

Quiz la aplicacin ms comn del producto punto sea en mecnica, donde unafuerza constante F aplicada sobre un desplazamiento L produce una cantidad de trabajo

A B = |A| |B| cos AB

A B = B A

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FL cos , que se escribe ms sencillamente como F L. Puede anticiparse uno de los resul-tados del captulo 4 sealando que si la fuerza vara a lo largo de la trayectoria es necesariorealizar una integracin para obtener el trabajo total, y el resultado se convierte en

Puede tomarse otro ejemplo de los campos magnticos, un tema acerca del cual tendre-mos mucho que decir ms adelante. El flujo total que atraviesa una superficie de rea Sest dado por BS si la densidad de flujo magntico B es perpendicular a la superficie y uni-forme sobre ella. Se define el vector de superficie S como aquel cuya magnitud es el reageomtrica de la superficie y cuya direccin es normal a la superficie (por el momento seevitar el problema de cul de las dos posibles normales debe elegirse). El flujo que atra-viesa la superficie es por consiguiente B S. Esta expresin es vlida para cualquier direccinde la densidad de flujo magntico uniforme. Sin embargo, si la densidad de flujo no es cons-tante sobre la superficie, el flujo total es = En el captulo 3 se presentan inte-grales de esta forma cuando estudiemos la densidad de flujo elctrico.

Determinar el ngulo entre dos vectores en un espacio tridimensional es una tarea quecon frecuencia se prefiere evitar. Por esta razn, la definicin de producto punto en generalno se utiliza en su forma bsica. Se obtiene un resultado ms til al considerar dos vectoresexpresados en componentes cartesianos como A = A

xa

x+ Ayay + Azaz y B = Bxax + Byay+ Bzaz. El producto punto tambin obedece la ley distributiva y, por lo tanto, A B produ-

ce la suma de nueve trminos escalares, cada uno de los que involucra el producto punto dedos vectores unitarios. Puesto que el ngulo entre dos vectores unitarios diferentes es 90en el sistema de coordenadas cartesianas, se tiene:

Los tres trminos restantes incluyen el producto punto de un vector unitario por s mismo,lo cual da como resultado la unidad. Finalmente, se obtiene:

(5)que es una expresin que no incluye ngulos.

Un vector multiplicado por s mismo en forma punto da como resultado el cuadrado dela magnitud, es decir:

(6)y cualquier vector unitario multiplicado por s mismo en forma punto da como resultadola unidad,

Una de las aplicaciones ms importantes del producto punto consiste en encontrar lacomponente de un vector en una direccin dada. Si se observa la figura 1.4a, es posible ob-tener la componente escalar de B en la direccin que especifica el vector unitario a como:

El signo de la componente es positivo si 0 Ba 90 y negativo cuando 90 Ba 180.

B dS.

Trabajo =

F dL

ax ay = ay ax = ax az = az ax = ay az = az ay = 0

A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

A A = A2 = |A|2

aA aA = 1

B a = |B| |a| cos Ba = |B| cos Ba

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1 . 6 El producto punto 11

Para obtener la componente vectorial de B en la direccin de a, simplemente se multi-plica la componente (escalar) por a, como se ilustra en la figura 1.4b. Por ejemplo, la com-ponente de B en la direccin de a

xes B a

x= B

xy la componente vectorial es B

xa

xo

(B ax)a

x. Por lo tanto, el problema de encontrar la componente de un vector en cualquier

direccin deseada se convierte en el problema de encontrar un vector unitario en esa direc-cin, y eso siempre se puede hacer.

El trmino geomtrico proyeccin tambin se expresa con el producto punto. De mane-ra que B a resulta ser la proyeccin de B en la direccin de a.

Con la finalidad de ilustrar estas definiciones y operaciones, considrese el campo vectorialG = ya

x 2.5xay + 3az y el punto Q(4, 5, 2). Se desea encontrar: G en Q; la componente

escalar de G en Q en la direccin de aN = (2ax + ay 2az); la componente vectorial deG en Q en la direccin de aN; y, por ltimo, el ngulo Ga entre G(rQ) y aN.

Solucin. Sustituyendo las coordenadas del punto Q en la expresin de G, se tiene

Posteriormente se encuentra la componente escalar. Utilizando el producto punto se tiene

La componente vectorial se obtiene multiplicando la componente escalar por el vector uni-tario en la direccin aN,

El ngulo entre G(rQ) y aN se obtiene de

y

13

Figura 1.4 a) La componente (escalar) de B en la direccin del vectorunitario a es B a. b) La componente vectorial de B en la direccin delvector unitario a es (B a)a.

EJEMPLO 1.2

G(rQ) = 5ax 10ay + 3az

G aN = (5ax 10ay + 3az) 13 (2ax + ay 2az) = 13 (10 10 6) = 2

(G aN )aN = (2) 13 (2ax + ay 2az) = 1.333ax 0.667ay + 1.333az

G aN = |G| cos Ga2 = 25 + 100 + 9 cos Ga

Ga = cos1 2134

= 99.9

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D1.3 Los tres vrtices de un tringulo se encuentran en A(6, 1, 2), B(2, 3, 4) yC(3, 1, 5). Encontrar: a) RAB; b) RAC; c) el ngulo BAC en el vrtice A; d) la proyec-cin (vectorial) de RAB en RAC.

Respuesta: 8ax+ 4ay 6az; 9ax + 2ay + 3az; 53.6; 5.94ax + 1.319ay + 1.979az

1.7 El producto cruzDados dos vectores A y B, se define el producto cruz o producto vectorial de A y B, que seindica por medio de una cruz entre estos vectores como A B y se lee A cruz B. El pro-ducto cruz A B es un vector; la magnitud de A B es igual al producto de las magnitu-des de A, B y el seno del ngulo ms pequeo entre A y B; la direccin de A B es per-pendicular al plano que contiene a A y a B, y de las dos posibles perpendiculares, est a lolargo de aquella que apunta en la direccin en la que avanzara un tornillo derecho si A segirara hacia B. Esta direccin se ilustra en la figura 1.5. Recurdese que cada vector puedeser desplazado a voluntad, manteniendo una direccin constante, hasta que los dos vectorestengan un origen comn. Esto determina al plano que contiene a ambos. Sin embargo, enla mayor parte de las aplicaciones se trabajar con vectores definidos en el mismo punto.

Como ecuacin, se puede escribir:

(7)

donde una explicacin adicional, semejante a la que se dio antes, an se requiere para de-terminar la direccin del vector unitario aN . El subndice significa la normal.

Figura 1.5 La direccin de A B est en la direccin de un tornillo derosca derecha cuando A se gira hacia B.

A B = aN AB|A| |B| sen

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1 . 7 El producto cruz 13

Si se invierte el orden de los vectores A y B resulta un vector en la direccin opuesta ala del vector unitario, y se ve que el producto cruz no es conmutativo puesto que B A =(A B). Si la definicin del producto cruz se aplica a los vectores unitarios a

xy ay, se en-

cuentra que ax ay = az, pues cada vector tiene una magnitud unitaria, los dos vectores son

perpendiculares, y la rotacin de ax

hacia ay indica la direccin positiva de z por la defini-cin del sistema de coordenadas de la mano derecha. De manera similar ay az = ax y az a

x= ay. Observe la simetra alfabtica. En tanto los tres vectores ax, ay y az se escriban

en orden (y suponiendo que ax

le sigue az, como tres elefantes en crculo, agarrados de suscolas, de modo que tambin se pueda escribir ay, az, ax o az, ax, ay), entonces la cruz y elsigno igual se pueden colocar en uno u otro de los dos espacios vacantes. En realidad, aho-ra es ms fcil definir un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha diciendoque a

x ay = az.

Un ejemplo sencillo del uso del producto cruz se puede tomar de la geometra o la tri-gonometra. Encontrar el rea de un paralelogramo requiere multiplicar el producto de laslongitudes de los lados adyacentes por el seno del ngulo entre ellos. Cuando se usa la no-tacin vectorial para los dos lados, entonces se puede expresar el rea (escalar) como lamagnitud de A B o |A B|.

El producto cruz se puede usar como reemplazo de la regla de la mano derecha, fami-liar para todos los ingenieros elctricos. Considrese la fuerza sobre un conductor recto delongitud L, donde la direccin asignada a L corresponde a la direccin de la corriente esta-ble I, en presencia de un campo magntico uniforme de densidad de flujo B. Por medio dela notacin vectorial se puede escribir sencillamente el resultado como F = IL B. Estarelacin se obtendr posteriormente en el captulo 9.

La evaluacin del producto cruz por medio de su definicin resulta ms laboriosa quela evaluacin del producto punto por medio de su definicin, pues no slo se debe encon-trar el ngulo entre los vectores, sino tambin una expresin para el vector unitario aN. Es-ta tarea se puede evitar usando componentes cartesianos para los dos vectores A y B y de-sarrollando el producto cruz como una suma de nueve productos cruz simples, donde cadauno involucra dos vectores unitarios,

Ya se ha demostrado que ax ay = az, ay az = ax y az ax = ay. Los tres trminos

restantes son cero, pues el producto cruz de cualquier vector a s mismo es cero, dado queel ngulo entre ellos es cero. Estos resultados se pueden combinar para dar:

(8)

o pueden escribirse en forma de un determinante que resulta mucho ms fcil de recordar:

(9)

A B = Ax Bx ax ax + Ax Byax ay + Ax Bzax az+ Ay Bx ay ax + Ay Byay ay + Ay Bzay az+ Az Bx az ax + Az Byaz ay + Az Bzaz az

A B = (Ay Bz Az By)ax + (Az Bx Ax Bz)ay + (Ax By Ay Bx )az

A B =ax ay azAx Ay AzBx By Bz

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Entonces, si A = 2ax 3ay + az y B = 4ax 2ay + 5az, se tiene que

D1.4 Un tringulo se define por tres puntos: A(6, 1, 2), B(2, 3, 4) y C(3, 1, 5).Encuntrese: a) RAB RAC; b) el rea del tringulo; c) un vector unitario perpendi-cular al plano en el cual se localiza el tringulo.

Respuesta: 24ax+ 78ay + 20az; 42.0; 0.286ax + 0.928ay + 0.238az

1.8 Otros sistemas de coordenadas: coordenadas cilndricas circulares

En general, el sistema de coordenadas cartesianas es el que ms prefieren los estudiantes pa-ra resolver todos los problemas. Esto implica con frecuencia un mayor trabajo, ya que mu-chos problemas poseen un tipo de simetra que requiere un tratamiento ms lgico. Es msfcil esforzarse de una vez por todas para familiarizarse con las coordenadas esfricas y ci-lndricas en vez de aplicar despus un esfuerzo igual o mayor en cada problema que inclu-ya simetra cilndrica y esfrica. Teniendo en mente que se ahorrar trabajo, se estudiarncon cuidado y sin prisas las coordenadas cilndricas y esfricas.

El sistema de coordenadas cilndricas es una versin en tres dimensiones de las coor-denadas polares de la geometra analtica plana. En las coordenadas polares de dos dimen-siones se localizaba un punto en un plano dando su distancia al origen y el ngulo entrela lnea desde el punto al origen y un eje radial arbitrario, en el que se toma = 0.4 Un sis-tema tridimensional de coordenadas cilndricas circulares se obtiene en forma similar espe-cificando la distancia z del punto con respecto a un plano de referencia z = 0 arbitrario, endonde es perpendicular a la lnea = 0. Por comodidad, generalmente se hace referencia alas coordenadas cilndricas circulares sencillamente como coordenadas cilndricas. Esto nodebe causar confusin a lo largo de este libro, pero es razonable sealar que existen otrossistemas de coordenadas, por ejemplo: las coordenadas cilndricas hiperblicas, las coorde-nadas cilndricas parablicas y otras.

4 Las dos variables de las coordenadas polares comnmente se llaman r y . Con tres coordenadas, sin embargo,es ms comn usar para la variable radial de las coordenadas cilndricas y r para la variable radial (diferente) delas coordenadas esfricas. Tambin se acostumbra llamar a la variable angular de las coordenadas cilndricas,dado que se usa para un ngulo distinto en coordenadas esfricas. El ngulo es el mismo tanto en las coorde-nadas esfricas como en las cilndricas.

A B =ax ay az2 3 1

4 2 5

= [(3)(5) (1(2)]ax [(2)(5) (1)(4)]ay + [(2)(2) (3)(4)]az= 13ax 14ay 16az

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1 . 8 Otros sistemas de coordenadas: coordenadas cilndricas circulares 15

Ya no se utilizarn tres ejes como en las coordenadas cartesianas, sino que cada puntodebe considerarse como la interseccin de tres superficies mutuamente perpendiculares. Es-tas superficies son: un cilindro circular ( = constante), un plano ( = constante) y otroplano (z = constante). Esto correspondera a la localizacin de un punto en un sistema decoordenadas cartesianas por la interseccin de tres planos (x = constante, y = constante y z= constante). Las tres superficies de las coordenadas cilndricas circulares se muestran enla figura 1.6a. Obsrvese que las tres superficies pueden hacerse pasar por cualquier punto,a menos que ste se encuentre sobre el eje z, en cuyo caso es suficiente un plano.

Tendrn que definirse tambin tres vectores unitarios, pero ya no se dirigirn siguien-do los ejes coordenados, ya que stos existen slo en las coordenadas cartesianas. En sulugar, se tomarn en cuenta caractersticas ms generales de los tres vectores unitarios en lascoordenadas cartesianas, y se entender que se dirigen hacia donde aumentan los valores delas coordenadas y que son perpendiculares a la superficie sobre la cual ese valor de la coor-

Figura 1.6 a) Las tres superficies mutuamente perpendiculares de unsistema de coordenadas cilndricas circulares. b) Los tres vectoresunitarios de un sistema cilndrico circular. c) Elemento diferencial devolumen en un sistema de coordenadas cilndricas circulares; d, d ydz son elementos de longitud.

una constante

una constante

una constante

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denada es constante; por ejemplo, el vector unitario ax

es normal al plano x = constante yapunta hacia valores crecientes de x. En forma similar, se definen ahora tres vectores unita-rios en coordenadas cilndricas, a, a y az.

El vector unitario a es un punto P(1, 1, z1) y se dirige radialmente hacia fuera y esnormal a la superficie cilndrica = 1. Est contenido en los planos = 1 y z = z1. Elvector unitario a

es normal al plano = 1, apunta en la direccin en que crece el valor de

, pertenece al plano z = z1 y es tangente a la superficie cilndrica = 1. El vector unita-rio az es el mismo que el vector unitario az del sistema de coordenadas cartesianas. Lafigura 1.6b muestra los tres vectores unitarios en coordenadas cilndricas.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios no estn en funcin de las coordena-das. Sin embargo, dos de los vectores unitarios en coordenadas cilndricas, a y a, varansegn la coordenada , puesto que cambian sus direcciones. Entonces, la integracin o di-ferenciacin con respecto a , a y a no deben tratarse como constantes.

De nuevo, los vectores unitarios son perpendiculares entre s, ya que cada uno es nor-mal a una de las tres superficies mutuamente perpendiculares; puede definirse un sistemacoordenado cilndrico de mano derecha como aquel en el cual a a = az, o (para quie-nes tienen dedos flexibles) como aquel en el cual el pulgar, el ndice y el dedo medio indi-can la direccin de crecimiento de , y z, respectivamente.

Un elemento diferencial de volumen en coordenadas cilndricas se puede obtener au-mentando los valores de , y z por medio de incrementos diferenciales d, d y dz. Losdos cilindros de radios y + d, los dos planos radiales con ngulos y + d y los dosplanos horizontales con elevaciones z y z + dz encierran un volumen pequeo, como lomuestra la figura 1.6c, que tiene la forma de una cua truncada. A medida que el elementodiferencial de volumen empequeece, su forma se aproxima a la de un paraleleppedo rec-tangular cuyos lados son de longitud d, d y dz. Debe notarse que d y dz son dimensio-nalmente longitudes, pero d no lo es; en cambio, d s tiene dimensiones de longitud. Lassuperficies tienen reas de d d, d dz y ddz, y el volumen es d d dz.

Las variables de los sistemas de coordenadas cilndricas y rectangulares se relacionanfcilmente unas con otras. Con respecto a la figura 1.7 se observa que

(10)

Desde otro punto de vista, las variables cilndricas pueden expresarse en trminos de x, y y z:

(11)

Se considerar que la variable es positiva o cero, y por lo tanto se usa slo el signo posi-tivo para el radical en (11). El valor correcto del ngulo se determina por inspeccin delos signos de x y y. Por ejemplo, si x = 3 y y = 4, se encuentra que el punto est en el se-gundo cuadrante en = 5 y = 126.9. Para x = 3 y y = 4, se tiene = 53.1 o 306.9,escogindose el valor que sea ms conveniente.

x = cos

z = zy = sen

=

x2 + y2 ( 0) = tan1 y

xz = z

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1 . 8 Otros sistemas de coordenadas: coordenadas cilndricas circulares 17

Cuando se utiliza (10) u (11), las funciones escalares dadas en un sistema de coordena-das se transforman con facilidad a otro sistema.

No obstante, una funcin vectorial en un sistema de coordenadas requiere dos pasos pa-ra transformarla a otro sistema de coordenadas, porque generalmente se necesita un conjun-to distinto de componentes vectoriales. Esto es, se puede dar un vector cartesiano

para el cual cada componente se escribe como funcin de x, y y z, y se necesita un vectoren coordenadas cilndricas

en la cual cada componente se da como funcin de , y z.Para encontrar cualquier componente deseada de un vector, recurdese como se estudi

en el producto punto, que una componente en cierta direccin deseada puede obtenerse to-mando el producto punto del vector con un vector unitario en la direccin deseada. De aqu,

Al desarrollar estos productos punto se tiene

(12)(13)

y

(14)puesto que az a y az a son cero.

Figura 1.7 Relacin entre las variablescartesianas x, y, z y las variablescilndricas , , z. No existe diferencia enla variable z entre los dos sistemas.

sen

A = Ax ax + Ayay + Azaz

A = Aa + Aa + Azaz

A = A a A = A a y

A = (Ax ax + Ayay + Azaz) a = Ax ax a + Ayay aA = (Ax ax + Ayay + Azaz) a = Ax ax a + Ayay a

Az = (Ax ax + Ayay + Azaz) az = Azaz az = Az

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Completar la transformacin de las componentes requiere conocer los productos puntoa

x a, ay a, ax a y ay a. Por medio de la definicin de producto punto se observa

que, dado que se trabaja con vectores unitarios, el resultado es simplemente el coseno delngulo entre los dos vectores unitarios implicados. Con respecto a la figura 1.7, y si se pien-sa con ahnco, se identifica el ngulo entre a

xy a como , y entonces ax a = cos , pe-

ro el ngulo entre ay y a es 90 y ay a = cos (90 ) = sen . Los restantes pro-ductos punto de los vectores unitarios se encuentran de manera similar, y los resultados setabulan como funciones de en la tabla 1.1.

La transformacin de vectores de coordenadas cartesianas a cilndricas y viceversa serealiza empleando (10) u (11) para cambiar variables, y empleando los productos punto delos vectores unitarios dados en la tabla 1.1 para cambiar componentes. Los dos pasos pue-den efectuarse en cualquier orden.

Transformar el vector B = yax xay + zaz en coordenadas cilndricas.

Solucin. Las nuevas componentes son:

De esta manera,

D1.5 a) D las coordenadas cartesianas del punto C( = 4.4, = 115, z = 2).b) D las coordenadas cilndricas del punto D(x = 3.1, y = 2.6, z = 3). c) Espe-cifique la distancia de C a D.

Respuesta: C(x = 1.860, y = 3.99, z = 2); D( = 4.05, = 140.0, z = 3); 8.36

EJEMPLO 1.3

Tabla 1.1 Producto punto de vectores unitarios del sistema decoordenadas cilndricas y del sistema cartesiano

a a az

ax. cos sen 0

ay. sen cos 0az. 0 0 1

B = B a = y(ax a) x(ay a)

B = B a = y(ax a) x(ay a)2 cos2 =

= y cos x sen = sen cos cos sen = 0

= y sen x cos = sen

B = a + zaz

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1 . 9 El sistema de coordenadas esfricas 19

D1.6 Transformar a coordenadas cilndricas: a) F = 10ax 8ay + 6az, en el punto

P(10, 8, 6); b) G = (2x + y)ax (y 4x)ay en el punto Q(, , z). c) Dar las com-

ponentes cartesianas del vector H = 20a 10a + 3az en el punto P(x = 5, y = 2,z = 1).

Respuesta: 12.81a + 6az; (2 cos2 sen2 + 5 sen cos )a + (4 cos2 sen2 3 sen cos )a

; H

x= 22.3, Hy = 1.857, Hz = 3

1.9 El sistema de coordenadas esfricasA diferencia del caso del sistema de coordenadas cilndricas, no existe un sistema de coor-denadas bidimensional que pueda ayudarnos a entender el sistema de coordenadas esfricasen tres dimensiones. Pero en cierto modo pueden aplicarse los conocimientos con respectoal sistema latitud y longitud para localizar un lugar sobre la superficie, y no puntos internoso externos a ella.

Se empezar construyendo un sistema de coordenadas esfricas tomando como referen-cia tres ejes cartesianos (figura 1.8a). Se define primero la distancia r desde el origen a cual-quier punto. La superficie r = constante es una esfera.

La segunda coordenada es un ngulo entre el eje z y la lnea trazada desde el origenhasta el punto considerado. La superficie = constante es un cono, y las dos superficies,cono y esfera, son perpendiculares en todas partes a lo largo de su interseccin, la cual esun crculo de radio r sen . La coordenada corresponde a la latitud, excepto que la latitudse mide desde el ecuador y se mide desde el Polo Norte.

La tercera coordenada tambin es un ngulo y es exactamente igual que el ngulo de las coordenadas cilndricas. ste es un ngulo entre el eje x y la proyeccin en el planoz = 0 de la lnea trazada desde el origen hasta el punto. ste corresponde al ngulo de lon-gitud, slo que el ngulo aumenta hacia el este. La superficie = constante es un pla-no que pasa a travs de la lnea = 0 (o el eje z).

Nuevamente se considera cualquier punto como la interseccin de tres superficies mu-tuamente perpendiculares una esfera, un cono y un plano, cada una orientada en la for-ma descrita previamente. Las tres superficies se muestran en la figura 1.8b.

Pueden definirse otra vez tres vectores unitarios en cualquier punto. Cada vector unita-rio es perpendicular a una de las tres superficies mutuamente perpendiculares y se orientaen la direccin en la cual la coordenada aumenta. El vector unitario a

rapunta radialmente

hacia fuera, es normal a la esfera r = constante y est contenido en el cono = constante yel plano = constante. El vector unitario a

es normal a la superficie cnica, est conteni-

do en el plano y es tangente a la esfera. Se dirige a lo largo de una lnea de longitud yapunta hacia el sur. El tercer vector unitario a

es el mismo de las coordenadas cilndri-

cas, es normal al plano y tangente al cono y a la esfera. ste se dirige hacia el este.Los tres vectores unitarios los muestra la figura 1.8c. Desde luego, son mutuamente

perpendiculares y definen un sistema de coordenadas de la mano derecha en el cual ar a

= a. Este sistema es derecho, como lo demostrar una inspeccin de la figura 1.8c cuando se

aplica la definicin de producto cruz. La regla de la mano derecha sirve para identificar

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el pulgar, el ndice y el medio con la direccin de crecimiento de r, y , respectivamente.(Obsrvese que esta identificacin en las coordenadas cilndricas se haca con , y z, y enlas coordenadas cartesianas con x, y y z.) Un elemento diferencial de volumen se puede cons-truir en coordenadas esfricas aumentando r, y por dr, d y d, respectivamente, comolo muestra la figura 1.8d. La distancia entre dos superficies esfricas de radios r y r + dr esdr; la distancia entre los dos conos generados por los ngulos y + d es rd; y la distan-cia entre los dos planos radiales con ngulos y + d es r sen d, despus de razo-nar un poco con los conceptos de trigonometra. Las reas de las superficies son r dr d,r sen dr d, y r2 sen d d, y el volumen es r2 sen dr d d.

Figura 1.8 a) Las tres coordenadas esfricas. b) Las tres superficiesmutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esfricas.c) Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esfricas: ar a =a

. d) Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas

esfricas.

una constante (cono)

una constante (plano)

una constante (esfera)

sen

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1 . 9 El sistema de coordenadas esfricas 21

La transformacin de escalares de un sistema de coordenadas cartesianas a esfricas sehace fcilmente utilizando la figura 1.8a para relacionar los dos conjuntos de variables:

(15)

La transformacin en la direccin opuesta se lleva a cabo con la ayuda de:

(16)

La variable radial r no es negativa, y est restringida al rango de 0 a 180, inclusive. Losngulos se colocan en los cuadrantes adecuados inspeccionando los signos de x, y y z.

La transformacin de vectores requiere la determinacin de los productos de los vectoresunitarios en coordenadas cartesianas y esfricas. Estos productos se resuelven a partir de la fi-gura 1.8c y con un poco de trigonometra. Puesto que el producto punto de cualquier vectorunitario esfrico por cualquier vector unitario cartesiano es igual a la componente del vec-tor esfrico en la direccin del vector cartesiano, los productos punto con az son:

Los productos punto con ax

y ay requieren primero la proyeccin del vector unitario es-frico sobre el plano xy y luego la proyeccin sobre el eje deseado. Por ejemplo, a

r a

xse

obtiene proyectando ar

sobre el plano xy, dando sen , y proyectando despus sen sobre eleje x, lo cual produce sen cos . Los otros productos punto se encuentran de manera simi-lar, y se muestran en la tabla 1.2.

Tabla 1.2 Productos punto de vectores unitarios en sistemas de coordenadas esfricas y cartesianas

ar

a

a

ax. sen cos cos cos sen

ay. sen sen cos sen cos az. cos sen 0

z = r cos

x = r sen cos y = r sen sen

r =

x2 + y2 + z2 (r 0) = cos1 z

x2 + y2 + z2(0 180)

= tan1 yx

az ar = cos az aaz a = 0

= sen

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Se ilustra este procedimiento transformando el vector G = (xz/y)ax

en sus componentes es-fricas y variables.

Solucin. Se encuentran las tres componentes esfricas aplicando el producto punto de Gcon el vector unitario apropiado y cambiando las variables durante el procedimiento:

Se recopilan estos datos y se tiene:

El apndice A describe el sistema general de coordenadas curvilneas del cual los sis-temas de coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas son casos especiales. La primeraseccin de este apndice podra estudiarse en este momento.

D1.7 Dados los puntos, C(3, 2, 1) y D(r = 5, = 20, = 70), encontrar: a)las coordenadas esfricas de C; b) las coordenadas cartesianas de D; c) la distanciadesde C hasta D.

Respuesta: C(r = 3.74, = 74.5, = 146.3); D(x = 0.585, y = 1.607, z = 4.70); 6.29

D1.8 Convierta los vectores siguientes a coordenadas esfricas en los puntos dados:a) 10a

xen el punto P(x = 3, y = 2, z = 4); b) 10ay en el punto Q( = 5, = 30,

z = 4); c) 10az en el punto M(r = 4, = 110, = 120).Respuesta: 5.57a

r 6.18a

5.55a

; 3.90a

r+ 3.12a

+ 8.66a

; 3.42a

r 9.40a

Lecturas complementarias1. Grossman, S. I., Calculus, 3a. ed., Academic Press and Harcourt Brace Jovanovich, Orlando,

1984. El lgebra vectorial y las coordenadas esfricas y cilndricas aparecen en el captulo 17, yel clculo vectorial se presenta en el captulo 20.

EJEMPLO 1.4

Gr = G ar = xzy ax ar =xz

ycos2

G = G a = xzy ax a =xz

ycos cos

= r cos2 cos2

G = G a = xzy ax a =xz

y= r cos cos

sen cos

= r sen cos

sen

(sen )

sen

r + cos cot a a)G = r cos cos (sen cot a

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Problemas 23

2. Spiegel, M. R., Vector Analysis, Schaum Outline Series, McGraw-Hill Book Company, NuevaYork, 1959. Numerosos ejemplos y problemas con respuestas se dan en este libro conciso y pococostoso de la serie Schaum.

3. Swokowski, E. W., Calculus with Analytic Geometry, 3a. ed., Prindle, Weber & Schmidt, Boston,1984. El lgebra vectorial y los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas se estudian en elcaptulo 14, y el clculo vectorial aparece en el captulo 18.

4. Thomas, G. B. Jr. y R. L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 6a. ed., Addison-Wesley Pu-blishing Company, Reading, Mass., 1984. El lgebra vectorial y los tres sistemas de coordenadasque se utilizaron se analizan en el captulo 13. Otras operaciones vectoriales se estudian en loscaptulos 15 y 17.

Problemas1.1 Dados los vectores M = 10a

x+ 4ay 8az y N = 8ax + 7ay 2az, encontrar:

a) un vector unitario en la direccin de M + 2N; b) la magnitud de 5ax+ N 3M;

c) |M| |2N| (M + N).1.2 Los vrtices de un tringulo estn en A(1, 2, 5), B(4, 2, 3) y C(1, 3, 2).

a) Encontrar el permetro del tringulo. b) Encontrar un vector unitario dirigido des-de el punto medio del lado AB al punto medio del lado BC. c) Demostrar que estevector unitario multiplicado por un escalar es igual al vector de A a C y que, por lotanto, el vector unitario es paralelo al lado AC.

1.3 Un vector desde el origen hasta el punto A est dado por (6, 2, 4), y un vector uni-tario dirigido desde el origen hasta el punto B est dado por (2, 2, 1)/3. Si los puntosA y B se encuentran a diez unidades entre s, encontrar las coordenadas del punto B.

1.4 Un crculo con centro en el origen y un radio de 2 unidades est en el plano xy. De-terminar el vector unitario en coordenadas cartesianas que est en el plano xy, estangente al crculo en el punto (3, 1, 0) y est en la direccin positiva del eje y.

1.5 Un campo vectorial est dado por G = 24xyax+ 12(x2 + 2)ay + 18z2az. Dados dos

puntos, P(1, 2, 1) y Q(2, 1, 3), encontrar: a) G en P; b) un vector unitario en ladireccin de G en Q; c) un vector unitario de Q a P; d) la ecuacin de la superficieen la que |G| = 60.

1.6 Si a es un vector unitario en una determinada direccin, B es un escalar constante yr = xa

x+ yay + zaz, describir la superficie r a = B. Cul es la relacin entre el

vector unitario a y el escalar B en esta superficie? (PISTA: Considerar un ejemplo sen-cillo donde a = a

xy B = 1 y, posteriormente, cualquier a y B.)

1.7 Dado el campo vectorial E = 4zy2 cos 2xax+ 2zy sen 2xay + y2 sen 2xaz en la regin|x|, |y| y |z| menor a 2, encontrar: a) las superficies en las que Ey = 0; b) la regin en

la que Ey = Ez; c) la regin en la que E = 0.1.8 Demostrar la ambigedad que se produce cuando se utiliza el producto cruz para en-

contrar el ngulo entre dos vectores y se obtiene el ngulo formado entre A = 3ax 2ay + 4az y B = 2ax + ay 2az. Se presenta esta ambigedad cuando se utiliza

el producto punto?1.9 Dado el campo G = [25/(x2 + y2)](xa

x+ yay), encontrar: a) un vector unitario en la

direccin de G en P(3, 4, 2); b) el ngulo entre G y ax

en P; c) el valor de la dobleintegral en el plano y = 7.

Exmenes

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1.10 Utilizando la definicin del producto punto y expresando diagonales como vectores,encontrar el ngulo ms pequeo entre cualquier par de diagonales de un cubo, don-de cada diagonal conecte dos esquinas diametralmente opuestas y pase por el centrodel cubo.

1.11 Dados los puntos M (0.1, 0.2, 0.1), N(0.2, 0.1, 0.3) y P(0.4, 0, 0.1), encontrar:a) el vector RMN; b) el producto punto RMN RMP; c) la proyeccin escalar de RMNsobre RMP; d) el ngulo entre RMN y RMP.

1.12 Demostrar que los campos vectoriales A = cos a+ sen a

+ az y B = cos

a+ sen a

a

zson ortogonales entre s en cualquier punto.

1.13 a) Encontrar la componente vectorial de F = 10ax 6ay + 5az que es paralelo a

G = 0.1ax+ 0.2ay + 0.3az. b) Encontrar la componente vectorial de F perpendicu-

lar a G. c) Encontrar la componente vectorial de G perpendicular a F.1.14 Demostrar que los campos vectoriales A = a

r(sen 2)/r2 + 2a(sen )/r2 y B = r cos

ar+ ra son paralelos entre s en cualquier punto.

1.15 Tres vectores que se extienden desde el origen estn dados por r1 = (7, 3, 2), r2 =(2, 7, 3) y r3 = (0, 2, 3,). Encontrar: a) un vector unitario ortogonal a r1 y r2; b)un vector unitario perpendicular a los vectores r1 r2 y r2 r3; c) el rea del trin-gulo formado por r1 y r2; d) el rea del tringulo que forman las puntas de los vec-tores r1, r2 y r3.

1.16 El campo vectorial E = (B/)a

donde B es constante se desplazar de tal forma quesu origen estar en la lnea x = 2, y = 0. Escribir el desplazamiento de E en coorde-nadas cartesianas.

1.17 Un tringulo lo definen el punto A(4,

Teoría Electromagnética - 7ma Edición - William H. Hayt Jr.

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