INTRODUCCION A LOS VECTORES

Cantidades Físicas

• Llamamos magnitud física a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, la longitud, la velocidad o la temperatura son todas magnitudes físicas.

• Las cantidades físicas de acuerdo a sus propiedades se definen como:

Escalares, vectores, fasores y tensores• El aroma o la simpatía, puesto que no pueden

medirse, no son magnitudes físicas.

Escalares

• Son escalares las magnitudes que se describen con un valor y una unidad.

Ejemplo: masa, tiempo, trabajo y energía, etc.

Vectores

• Son vectoriales las magnitudes que se describen usando un valor, una unidad y una dirección.

Ejemplo: Velocidad, fuerza, aceleración, etc.

Fasores

• Son cantidades que tienen tanto magnitud, dirección y rotación, es decir son vectores rotatorios

Ejemplo: Voltaje alterno, corriente alterna

• Un fasor es un constante numero complejo que representa la amplitud compleja (magnitud y fase) de una función de tiempo sinusoidal

Tensores

• Matriz de vectores que representan una cantidad física en un espacio vectorial

Ejemplo: Esfuerzos de un material• la noción tensorial es absolutamente

general, y se aplica a todos los ejemplos antedichos; los escalares y los vectores son clases especiales de tensores.

¿Porque usar vectores?

• Si nos dicen que un auto circula durante una hora a 60 km/h no podemos saber en qué lugar se encontrará al cabo de ese tiempo porque no sabemos la dirección en la que ha viajado.

Vectores

• Hay muchas magnitudes físicas, como por ejemplo la velocidad, en las que hay que especificar una dirección para describirlas completamente. Por ejemplo, si sabemos que el coche anterior se movía hacia el Norte, ya no tenemos el problema de antes.

• Por supuesto hay también muchas magnitudes, como la masa, que no dependen de la dirección. Así, diciendo que la masa de un cuerpo es 24 kg describimos completamente esta magnitud.

Cantidad Vectorial:

Está definida por la magnitud y dirección

La magnitud es cuanto mide el vector.

La dirección es el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las X y define su línea de acción

A

A

θ X

Pregunta

• ¿Cuál si y cuales no de los siguientes son vectores?

Fuerza, temperatura, volumen, numero de espectadores en un programa de televisión, altura, velocidad, edad

Punto de aplicación

Modulo

Dirección

Sentido

Representación de un Vector

• Vector A = A =

• Magnitud del vector A = = A

A

A

Vector Unitario: Aquel vector que tiene magnitud igual a 1

Vector nulo : Aquel vector que no tiene magnitud

Vector negativo de otro vector: Aquel vector que tiene la misma magnitud del otro vector pero un ángulo con 180o de diferencia

180o

–A A

Vector Paralelo : Aquel vector que tiene la misma dirección de otro vector, aunque puede tener otro punto de aplicación

Clases de vectores

Vectores colineales:

Son aquellos vectores que tienen una misma línea de acción, o que están contenidos en una misma recta

A B C

Vectores coplanares:

Cuando están contenidos en un mismo plano

Vector Resultante: Es el vector que reemplaza una serie de varios vectores. Es decir produce el mismo efecto por si solo que si estuvieran actuando todos los otros vectores a la vez. Algunas veces se trata del vector suma.

Componentes de un vector.

Un vector puede ser representado por sus componentes, es decir las proyecciones del vector a los ejes Y y X en el plano ortogonal, o también en los ejes X, Y y Z en el espacio tridimensional.

Y

V

Vy

Vx X

Componentes de un vector

Componentes Ortogonales

Las componentes ortogonales, es decir perpendiculares pueden ser hallados usando las funciones trigonométricas Seno y Coseno.

V Vy

θ

Vx

22 VyVxV +=

θcosVVx =θVsenVy =

Vx

VyTg =θ

Pregunta

• En que circunstancias un vector diferente de cero que esta en el plano xy tendría componentes de igual magnitud

• Respuesta: Si forma un ángulo de 45 grados con el eje x

Vz

V

Vy

Z

X

Y

Vx

Formas para representar un vector

• Como coordenadas en un sistema de referenciaV = (Vx, Vy, Vz)

Como coordenadas en un sistema de referencia

• Con magnitud y direcciónP = 40 newtons, 20 grados⁰Q = 60 newtons, 45 noreste⁰

• En función de los vectores unitariosV = 2i - 5j + 9k

• En función de sus cosenos directores o como vector unitarioV = V(cosαi + cosβj + cosγk)

Operaciones con cantidades vectoriales

• Adición

• Sustracción

• Multiplicación– Multiplicación entre vectores

• Producto Punto• Producto Vectorial

– Multiplicación de un vector con un escalar

Adición entre vectores

• Método Gráfico– Método del polígono cerrado– Método del paralelogramo

• Método Analítico– Ley del seno– Ley del coseno

– Método de las componentes

La adición entre vectores tiene las propiedades siguientes

• A + B = B + A (ley conmutativa)

• A +(B + C) = (A + B) + C (ley asociativa)

• λ(A + B) = λA + λB (ley distributiva) donde λ es una cantidad escalar

Sustracción de vectores

• La sustracción de vectores se convierte en una suma de vectores al emplear el concepto de vector negativo

La diferencia de vectores es anticonmutativa

A – B ≠ B – A

Realizar las siguientes operaciones vectoriales

A

B-B

A + B

A - B

a) A + B b) A - B

Método del paralelogramo

• Es mas común emplear este método entre dos vectores

• Consiste en trazar paralelas a cada vector hasta formar un polígono cerrado de cuatro caras

• El vector resultante estará en la diagonal del paralelogramo

Método del paralelogramo

A

B-B

A + B

A - B

Método del paralelogramo

Encontrar la resultante entre P y Q

Método del paralelogramo

Método del polígono cerrado

• Se hace coincidir los extremos de cada vector con los orígenes de los otros y se cierra el polígono con el vector resultante

AB

CR

Encontrar la resultante entre P y Q

Método del polígono cerrado

Considere los vectores mostrados en la figura

• ¿Cuál de los siguientes vectores representa mejor al vector C – B – A

A B C

a) b) c) d) e)

Pregunta

• Si B se suma a A: a)¿En que condiciones el vector resultante A + B tiene una magnitud igual a A + B?, b)¿Bajo que condiciones el vector resultante es igual a cero?

• Respuesta: a) Solo si los vectores son colineales y tienen el mismo sentido, b) Solo si los vectores son colineales, tienen sentido contrario e igual magnitud

• Si una componente de un vector no es cero, ¿su magnitud puede ser cero?, explique

• Respuesta: La magnitud de un vector esta dada por , por lo que si una componente no es cero, su magnitud tampoco es cero

Pregunta

22 VyVxV +=

Pregunta

• ¿La magnitud del desplazamiento de una partícula puede ser mayor que la distancia recorrida?

No!

Ley del coseno

• Método analítico del paralelogramo– Se usa para encontrar la magnitud del vector

resultante

– Pero matemáticamente puede usarse en cualquier triangulo para encontrar uno de sus lados

A

B

RA

Acosθθ

β

φθ

α

Asenθ

Demostración

• ¿ A que operación corresponderá la siguiente expresión?

A

B-B

A - B

A

Acosθ

Asenθθθ

Demostración

En general

B

CA

β

φ α

)cos(2222 φBCCBA −+=)cos(2222 βACCAB −+=)cos(2222 αABBAC −+=

Ley del seno

A

B

RA

Acosθθ

β

φθ

α

AsenθL

Encontrar la resultante entre P y Q

Método analítico

DETERMINE LAS TENSIONES DE LAS CUERDAS T1 Y T2 SI α=450 Y LA FUERZA RESULTANTE ES 25 N

HORIZONTAL HACIA LA DERECHA

T1 = 18.9 KN T2 = 12.95 KN

Suma de Vectores por el método de las componentes

• Podemos sumar vectores de dos maneras: matemáticamente o gráficamente. Supongamos que tenemos los vectores A = (4, 3) , B = (2, 5) .

• Para conocer el vector suma (A+B) sólo tenemos que sumar, respectivamente, las componentes X y las componentes Y:

• A+B = (4+2, 3+5) = (6, 8)• Si tenemos más de dos vectores procedemos de la

misma forma. Por ejemplo vamos a sumar los vectores A= (-1, 4) , B = (3, 6) , C = (-2, -3) y D = (5, 5):

• A+B+C+D = (-1+3-2+5, 4+6-3+5) = (5, 12)

Determine la Fuerza Resultante

Método analítico de componentes

110

Pregunta

• Las magnitudes de dos vectores A y B son A = 5 unidades y B = 2 unidades. Encuentre los valores mas grandes y mas pequeño posibles para el vector resultante R = A + B

• Respuesta: R = 7u. y R = 3u.

Pregunta

• ¿La magnitud de un vector puede tener un valor negativo?, Explique

• Respuesta: Nunca la magnitud de un vector es negativa

Pregunta

• Dos vectores tienen magnitudes diferentes. ¿Su suma puede ser cero?

• Respuesta: Nunca

Encontrar la resultante entre P y Q por componentes

Vectores en el espacio coordenadas rectangulares

Vectores unitarios directores

Cosenos directores

Multiplicación de un escalar por un vector

• Sea λ un escalar y A un vector entonces definimos el producto λA

• Si multiplicamos λA = BExisten varios casos dependiendo del valor y signo de λ

• 0< λ<1; el vector resultante mantiene la misma dirección pero se reduce λ veces Ejemplo: λ=0,5=1/2 => B=0.5A

• λ = 1; el vector resultante es el mismo vector Ejemplo: λ=1 => B=1A

• λ >1; el vector resultante mantiene la misma dirección pero aumenta λ veces Ejemplo: λ=2 => B=2A

• λ = 0; el vector resultante se convierte en el vector nulo Ejemplo: λ=0 => B=0A=0

• -1< λ<0; el vector resultante cambia su dirección 180 pero se reduce ⁰ λ veces Ejemplo: λ=-0,5=-1/2 => B=-0.5A

• λ = -1; el vector resultante se convierte en el negativo del vector Ejemplo: λ=-1 => B=-1A

• λ <-1; el vector resultante cambia su dirección 180 pero aumenta ⁰ λ veces Ejemplo: λ=-2 => B=-2A

Pregunta

Exprese el vector u de la figura en términos de los vectores a, b y c

A) –a + b + c

B) a + b + c

C) a – b + c

D) –a – b – c

E) –a – b + c

a

b

uc

• ¿En cual de los siguientes casos la longitud de a + b es menor que la longitud de a – b?

• A) B)

• C) D)

ba

ba

b

b

a

a

Producto de vectores

• Producto escalar o producto punto

• Producto vectorial o producto cruz

Producto escalar o producto punto

• Representación

• θ debe ser el menor ángulo entre los vectores• Ejemplo físico:

CBA =•θcosABC =

θcosFdWdF ==•

AB

Ap

Bp

θ

θcosBBp =

θcosAAp =

θcosABBApABpC ===

CBA =•

B

BAAp

•=

A

BABp

•=

Aplicación

Posibles casos del producto escalar

• Si θ < 90 => C es positivo; cos⁰ θ > 0

• Si θ = 90 => C es cero; cos⁰ θ = 0

• Si θ > 90 => C es negativo; cos⁰ θ < 0

Producto vectorial o producto cruz

• θ debe ser el menor ángulo entre los vectores

CBA

=×

θABsenC =

Propiedades del producto cruz

• El resultado de la operación es un tercer vector• El modulo del vector resultante es ABsenθ

donde θ es el menor ángulo entre los vectores• El vector resultante quedará en una recta

perpendicular al plano formado por los vectores A y B y cuya dirección estará dada por la regla de la mano derecha

• El producto cruz no es conmutativo, es decir

ABBA

×≠× ABBA

×−=×

Casos particulares del producto cruz

• Si θ = 0 => C = AB(0); sen⁰ θ = 0

• Si θ = 90 => C = AB(1); sen⁰ θ = 1

• Si θ = 180 => C = AB(0); sen⁰ θ = 0• El producto vectorial de un vector por si

mismo es cero

Aplicación

• Si los vectores A y B forman un paralelogramo, entonces el modulo del producto cruz representa el área del paralelogramo

Demostración

AB

θ

hBArea ⋅=

θAsenh =

θABsenArea =

Vectores unitarios directores

Vectores unitarios directores• A cada eje coordenado x, y, z se le asigna

correspondientemente un vector unitario i, j, k• Todo vector unitario tiene por definición modulo 1 y

es adimensional• Cada vector unitario tiene la dirección de su propio

eje• Cualquier cantidad real en un eje multiplicada por el

correspondiente vector unitario, se convierte en una magnitud vectorial con la dirección de ese eje según el signo de la cantidad

Vectores unitarios directores

ai = a bj = b ck = c

Notación: vector unitario i = i = = ii

Vectores unitarios y producto punto

i•i =

i•j =

j•j =

j•k =

k•k =

i•k = 0

1

0 0

1 1

Vectores unitarios y producto cruz

ixi =

ixj =

ixk =

jxj =

jxk =

jxi =

kxk =

kxi =

kxj =

k

0

i j

0 0

-j -k -i

• El vector resultante de la operación producto cruz se lo puede obtener como la determinante de la matriz que forman los vectores

Producto vectorial en R3

ByBx

AyAxk

BzBx

AzAxj

BzBy

AzAyi

BzByBx

AzAyAx

kji

BA +−==×

)()()( AyBxAxBykAzBxAxBzjAzByAyBziBA −+−−−=×

Problema

Sean los vectores D = 2i – 3pj + 2k, E = i + 2j + 3k y F = -2i + 2j + 2k

1) El valor de p para que D y E sean perpendiculares es:

a) 3/4 c) -4/3 e) 0

b) 4/3 d) -3/4

2) El ángulo entre E y F es:

a) 90 c) 51.9 e) 22.2

b) 72.4 d) 38.1

3) El ángulo que el vector F forma con el semieje x positivo es:

a) 125.3 c) 54.7 e) -35.3

b) 60 d) 35.3

4) El vector 2E – 3F es:

a) -4i + 10j + 12k c) 8i – 2j e) 4i - j

b) 4i – 10j – 12k d) -8i + 2j

5) un vector perpendicular a E y F es:

A) 2i + 8j + 6k

B) 2i – 8j + 6k

C) -2i +8j + 6k

D) -2i + 8j – 6k

E) -2i – 8j + 6k

ProblemaLos vectores A y B forman entre si un ángulo de 30 . El modulo de A vale 3. Hallar cual debe ⁰ser el modulo de B para que A – 2B sea perpendicular a A.

• a) 1.73

• b) 6.00

• c) 3.00• d) 0.77

• e) 0.57

0)2( =•− ABA

02 =•−• ABAA

022 =•− ABA

22 AAB −=•−

230cos

2AAB =°

73.130cos2

=°

= AB

Sean A, B, C y D cantidades físicas vectoriales diferentes. ¿Cuál de las siguientes no es posible realizar?

A) A = B + C + D

B) A = B x (C x D)

C) B = A●(C x D)

D) D = (B●C)A

La figura muestra una circunferencia de centro “O”. El vector X en función de los vectores A y B es:

a) X = B/2 – A/2

b) X = A/2 – B/2

c) X = B – A

d) X = B – A/2

0

X

A B

De acuerdo al grafico mostrado, si A + B = 3i entonces el vector B es:

a) 8i + 4.6j b) 11i + 4.6j

c) 5i – 3j

d) 5i – 4.6j

e) -11i – 4.6j

30º

A

y

x

• Se tienen tres vectores A, B y C de magnitudes 10, 15 y 20 unidades respectivamente, como se muestran en la figura. El valor de la operación: (A●C) + (B●C) es

• A) -12.3

• B) 12.3

• C) 275,8• D) -275,8

10

A=300

5

Z(m)

X(m)

Z(m)

• Los vectores indicados en la figura tienen la misma magnitud y se encuentran en el mismo plano. ¿Cuál de las siguientes operaciones dará como resultado un vector de mayor magnitud?

a) (A x C)●B

b) (A x B) x (B x C)

c) (A - C) x B

d) (A + C) x B

ESO ES TODO POR HOY:::::: GRACIAS!