Universidad Católica de Costa Rica

Departamento de matemática

Prof. Manuel Rojas Zúñiga

Nivel: Décimo año

Área: Geometría

Objetivos generales: Representar gráficamente y algebraica- mente una

circunferencia dado su centro y su radio.

Situación problema:

“Si tomamos como puto de referencia el parque de San Vito, la casa de María se ubica

a 600m al norte y el hospital se encuentra a 400m al oeste, su amiga Ana vive a 700m

al este”

Conteste las siguientes preguntas

1) ¿A qué distancia se encuentra la casa de maría del hospital?

2) ¿A qué distancia se encuentra la casa de Ana ala de María?

3) ¿A qué distancia esta la casa de Ana al hospital?

Contenido de estudio

La circunferencia:

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a

la misma distancia de un punto f i jo l lamado centro.

Diámetro:

Es el segmento de recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de una

circunferencia.

Radio: Es cualquier segmento que une el centro a cualquier punto de dicha

circunferencia.

La longitud del radio es la mitad de la del diámetro.

Ecuación de la circunferencia

Con el centro y el radio podemos encontrar la ecuación de una circunferencia.

Para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y

con radio r, la ecuación ordinaria es (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

Donde:

(d) Distancia CP = r

y

Fórmula que elevada al cuadrado nos da

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

También se usa como

(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (2;6) y con radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

Ecuación reducida de la circunferencia

Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2, debemos consignar que

si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la

ecuación queda reducida a:

(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2

(x ─ 0)2 + (y ─ 0)2 = r2

x2 + y2 = r2

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3

x ² + y ² = 3²

Datos a recordar

Binomio de suma al cuadrado:

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer

término, más el doble producto del primero por el segundo más el

cuadrado segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado:

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer

término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el

cuadrado segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro C (2;6) y radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²

x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16

x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0

x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0

Evaluación

Conteste las siguientes preguntas

1) ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia si su centro es (4,8) y su radio r=3?

2) ¿Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (0,0) y su radio r=4?

3) ¿Determine cuál es el radio de la circunferencia que tiene como ecuación

x2+y2-45?