TorsiónEjercicio N° 1 de la Guía de

Problemas Propuestos

Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol

Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Para las siguientes barras, todas de secciones circulares, de las figuras que a continuación se detallan, se pide analizar lo

siguiente:

EnunciadoDatos:Mt = 11 tmG = 0,85 E6 kg/cm2D = 17,50 cmL = 80 cm

1. Reacciones de vínculo externo.2. Diagrama de momentos torsores a lo

largo de las barras.3. Diagrama de tensiones tangenciales a

lo largo de las barras.4. Diagrama de tensiones tangenciales en

la sección T-T que está ubicada a L/2.5. Diagrama de ángulos de torsión

específicas.6. Diagrama de ángulos de torsión.

Consignas

Problema a)

Cálculo de las reacciones de vínculo

Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:

El momento torsor resulta ser constante a lo largo de toda la barra e igual al valor de la reacción de vínculo.

tBBtT MMMMM 0

cmkgmtcteMM tB 5101111

Datos:Mt = 11 t.mG = 0,85 x 106 kg/cm2

D = 17,5 cmL = 80 cm

Problema a)

Cálculo de las tensiones tangenciales

Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:

Al ser constante el momento torsor y la sección de la barra a lo largo de todo el eje, en la sección T-T las tensiones tendrán el valor del punto anterior.

23

5

3

4

00

32,045.150,1710111616

32;2

cmkg

cmcmkg

DMDJ

J

DMt

t

232,045.1cmkg

Problema a)

Cálculo del ángulo torsión y de torsión específicas

El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:

cmcmcmkg

cmkgDGM

DJJG

M

t

t

11041,150,171085,0

10113232

32;

4

42

6

5

4

4

00

El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue:

0112,08011041,13232 44

04

0

cm

cmL

DGMdx

DGMdxx t

Lt

L

Problema a)

Veamos los gráficos

Problema b)

Cálculo de las reacciones de vínculo

Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:

El momento torsor resulta ser una función lineal a lo largo de toda la barra por lo que:

LmMMLmM tBBtT 0

cmkgcmtkg

mmtLmdxmM

xmdxmdxmxM

L

ttB

x

tt

x

tt

5

0

00

1036,91201

10008,7

Datos:mt = 7,8 t.m/mG = 0,85 x 106 kg/cm2

D = 95 cmL = 120 cm

Problema b)

Cálculo de las tensiones tangenciales

Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:

En la sección T-T las tensiones tendrán el valor de la expresión del punto anterior en x = L/2:

3

4

00

1632

;2DxmxDJ

J

DxMx t

t

23

3

3278,2

952

120108,716

216

cmkg

cm

cmcmcmkg

DLmt

LxTT

23

3

3max 56,595

120108,71616

cmkg

cm

cmcmcmkg

DLmt

BLx

Problema b)

Cálculo del ángulo torsión y de torsión específicas

El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:

4

4

00

3232

;DGxmDJ

JGxM tt

El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue:

64

2

04

04

0max 1026,8163232

DGLmdxx

DGMdx

DGxmdxx t

Lt

Lt

L

cmcmcmkg

cmcmcmkg

DGLmt

Lx

x

11038,1951085,0

120108,73232

0

7

42

6

3

4max

0min

Problema b)

Veamos los gráficos

Problema c)

Cálculo de las reacciones de vínculo

Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:

El momento torsor resulta ser una función lineal a lo largo de toda la barra por lo que:

LmMMMLmMM ttBBttT 0

xLmMdxmLmMxM tt

x

tttt 0

Datos:Mt = 11 t.mmt = 7,8 t.m/mG = 0,85 x 106 kg/cm2

D = 111 cmL = 180 cm

cmkgcmtkg

mmtcmkgM

LmMxMM

B

ttxtB

55

0

1004,251801

10008,71011

cmkgMLLmMxMM tttLxtA

51011

Problema c)

Cálculo de las tensiones tangenciales

Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:

xLDm

DMxDJ

J

DxMx tt

t

33

4

00

161632

;2

235

3max

3330max

32,9180108,7101111116

161616

cmkgcm

cmcmkgcmkg

cm

LmMDD

LmDMx tt

ttBx

23

5

3min 096,411110111616

cmkg

cmcmkg

DMx t

ALx

Problema c)

Cálculo de las tensiones tangenciales en T-T

En la sección T-T las tensiones tendrán el valor de la expresión del punto anterior para x = L/2:

3332

216

21616

D

LmMLL

Dm

DMxx

tttt

LxTT

23

35

71,6111

2180108,7101116

cmkg

cm

cmcmcmkgcmkg

x TT

Problema c)

Cálculo del ángulo de torsión específico

El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:

4

0

32DG

xLmMJGxM ttt

cm

cmcmkg

cmcmcmkgcmkg

DGLmM

B

ttxB

1108,19

1111085,0

180108,710113232

8max

42

6

35

40

Para la sección “B” resulta:

Problema c)

Cálculo del ángulo de torsión específica para la sección A y el ángulo de torsión

Para la sección “A” resulta:

cmcmcmkg

cmkgDGM

A

tLxA

11068,81111085,0

101132

32

8

42

6

5

4

El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue

232

23232

323232

4

2

44

04

04

04

0

xLmMDGxx

DGmx

DGLmMx

dxxDGmdx

DGLmMdx

DGxLmMdxx

ttttt

Lt

Ltt

Ltt

L

Problema c)

Cálculo del ángulo de torsión para las secciones A y B

El ángulo de torsión “” para la sección “B” resulta:

00

xBxx

El ángulo de torsión “” para la sección “A” resulta:

5

46

35

4

1056,21111085,0

2180108,7101118032

232

cmcmkg

cmcmcmkgcmkgcm

x

DG

LmMLxx

A

tt

LxA

Problema c)

Veamos los gráficos

Problema d)

Cálculo de las reacciones de vínculo

Para que el sistema esté en equilibrio la sumatoria de momento debe ser nula:

El momento torsor resulta ser constate por tramos, por lo que:

21210 ttCCttT MMMMMMM

AtL

LtCttL

t MMxMMMMxM 1221

2

0

Datos:Mt1 = 12 t.m ; L1 = 95 cmMt2 = 8,5 t.m ; L2 = 120 cmG = 0,85 x 106 kg/cm2

A1 = 17,5 cm2 ; A2 = 26,5 cm2

D1 = 4,72 cm ; D2 = 5,81 cm

cmkgcmkgcmkgM

cmkgM

C

A

555

5

105,20105,81012

1012

Problema d)

Cálculo de las tensiones tangenciales

Serán directamente proporcional al momento torsor y al radio de la sección de la barra e inversamente proporcional al momento de inercia polar de la sección:

0

2J

DxMx

t

En la sección T-T las tensiones tendrán el valor del punto anterior en x = L/2:

208,532342

cmkgx L

TT

23

5

31

23

5

32

0

5812072,410121616

8,5323481,5105,201616

1

2

212

cmkg

cmcmkg

D

Mx

cmkg

cmcmkg

D

MMx

tL

L

ttL

Problema d)

Cálculo del ángulo de torsión específico

El ángulo de torsión específica “” lo calculamos como sigue:

40

32DGxM

JGxM tt

cmcmcmkg

cmkgDG

Mx

cmcmcmkg

cmkgDG

MMx

tL

L

ttL

1029,072,41085,0

10123232

10215,081,51085,0

105,203232

42

6

5

41

42

6

5

42

0

1

2

212

Problema d)

Cálculo del ángulo de torsión

El ángulo de torsión “” lo calculamos como sigue

dxDxM

Gdx

JGxMdxxx

Lt

Lt

L

0

40 00

32

radcm

cmkg

cmcmkgradDG

LMxx

x

radcm

cmkg

cmcmkgDG

LMMxx

tBA

C

ttL

B

339,572,41085,0

95101232587,232

0

587,281,51085,0

120105,203232

42

6

5

41

1

42

6

5

42

2

0

1

212

Problema d)

Veamos los gráficos

Bibliografía

Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias