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1 Taller sobre Estudios Hidrológicos en Areas Serranas de la Provincia de
Córdoba
Teoría de Valores Extremos
Rafael Santiago SeoaneInstituto Nacional del Agua
FIUBA, CONICETCórdoba Octubre 2011
• Conceptos clásicosConceptos clásicos
• Nuevos temas de estudioNuevos temas de estudio
Aplicaciones e importancia de la teoría
Estimación de caudales máximos y mínimos y su frecuencia de ocurrencia.
Definir la relación caudal-periodo de retorno.Estimación de una función de densidad de
probabilidades.Numerosas obras hidráulicas se diseñan con
esta metodología.Algunos países trataron de definir este problema
con una legislación,
Nuevos temas
Procesos No estacionarios. Los procesos hidrológicos pueden presentar características que cambian con el tiempo. En el contexto hidrológico se definen: a) ocurren en ciertas épocas del año y b) asociados con la presencia de tendencias relacionadas a cambios climáticos de largo plazo (long term period).
Algunos orígenes de la No estacionariedad. Se asocian con cambios en el uso del suelo en la cuenca, presencia de nuevas obras (por ejemplo: embalses) y modificaciones en las propiedades de la precipitación.
Modelos y temas
Principales modelos de valores extremos: Gumbel, Log-Normal II y III, Pearson III, Log-Pearson III.
Problemas clásicos: selección del modelo y estimación de sus parámetros.
Principales hipótesis de la teoría clásica.Modelos en un contexto no estacionario.Detección de tendencias en máximos y mínimos. Modelos de función de densidad derivada de
caudales extremos.
Evolución de los temas
Selección de modelos.
Estimación de parámetros y verificación del modelo.
Máxima verosimilitudes irregulares.
No estacionariedad.Detección de
tendencias.Modelo Generalizado
de Valores Extremos. Máxima verosimilitud.Ecuaciones con la
variación temporal de los parámetros.
Temas a considerar
Existen numerosos métodos de estimación de los parámetros del modelo.
Orígenes de la incertidumbre de las estimaciones con los modelos de valores extremos.
Presentación de algunos criterios de selección del modelo.
Proceso de selección y estimación de un modelo
Seleccionar una función de densidad de probabilidades para representar una serie de caudales máximos o mínimos(*).
Estimar los parámetros de la función de densidad de probabilidades
Estimar los caudales máximos o mínimos asociados con distintos períodos de retorno.
(*) importancia de la autocorrelación entre los datos.
Métodos de estimación
Los parámetros desconocidos del modelo son inferidos a partir de datos históricos .
Existen numerosas técnicas para la estimación de los parámetros pero todas tienen ventajas y desventajas.
Los métodos de estimación no son independientes del problema de la selección del modelo.
La estimación de parámetros en modelos asimétricos es más complicada debido a la presencia de verosimilitudes irregulares.
Histograma Río Paraná
Función GEV en Posadas
Fuentes de incertidumbreIncertidumbre en los parámetros:
corresponde a la asociada con la estimación de los parámetros del proceso utilizando una cantidad limitada de datos.
Incertidumbre en el modelo: corresponde a la asociada con la idea de que el modelo probabilístico asumido del proceso estocástico sea el correcto.
Cuantificación de la incertidumbreLos análisis estadísticos definen estimaciones a
partir de datos históricos. Diferentes muestras igualmente representativas pueden definir otras y distintas estimaciones.
En el análisis de valores extremos resulta muy importante la cuantificación de la incertidumbre debido a que cambios pequeños en los parámetros pueden influir en las extrapolaciones de la variable.
Algunos conceptos sobre el modelo
Paradigma de valores extremos que implica: la independencia y la estacionaridad.
Existe una hipótesis implícita que consiste en suponer que el mecanismo estocástico subyacente del proceso es suave para permitir la extrapolación de los valores de la muestra.
Procesos aleatoriosUn proceso aleatorio es una secuencia de
variables aleatorias X1, X2, X3--- Xn. El ejemplo más simple consiste en las variables independientes e idénticamente distribuidas.
Estacionario: un proceso aleatorio es estacionario si dado un conjunto de variables (i1,i2,i3…in) si para cualquier entero m son idénticas las distribuciones conjuntas de (Xi,1,…, Xi,k) y (Xi,1+m,…, Xi,k+m).
Modelos matemáticos
Son expresiones matemáticas que representan las principales características de los procesos.
Algunos ejemplo son los modelos (PIC):
Probabilísticos: Gumbel y GEV. Probabilísticos-Dererminísticos: FDD.
Algunas hipótesis básicas
• Independencia temporal entre las observaciones.
• Las observaciones tienen las mismas propiedades estadísticas (Existe una única función de densidad de probabilidades).
Presencia de autocorrelación (Caudales mínimos)
Funciones de densidad de probabilidades en Hidrología
GumbelGeneralizada de Valores ExtremosPearson IIILog-Pearson IIILog-Normal II y III
Modelos de valores extremosModelo Función de densidad o
distribución
Log-Normal II
Pearson III
Log-Pearson III
Gumbel
GEV
2
)ln(
2
1exp
2
1)(
x
x
x
x
xxf
)(
)(exp)()(
1
xxxf
x
)(
))(ln(exp))(ln()( 1
xx
xxf x
xx
xfx
expexp1
)(
1
)(1exp)(
x
xFx
Métodos de estimación de parámetros
MomentosMáxima VerosimilitudMáxima Verosimilitud Corregido
Problema clave: la cantidad de combinaciones posibles entre distintos modelos y métodos de estimación.
Máxima verosimilitudEs un método flexible y general de estimación de los parámetros desconocidos θ0 de un modelo dentro de una familia F de
modelos. Siendo x1,x2,x3,,,,,xn las ocurrencias
independientes de una variable aleatoria con una unción de densidad de probabilidades f(x; θ0).
Función de verosimilitud
),()(1
n
iixfL
),(log)(log)(1
n
iixfLl
Modelo de valores extremos /EV1-Gumbel)
Valores extremos: máximos o mínimos.
Caudal máximo o caudal mínimo.
Precipitaciones máximas.
Siendo el número de valores observado es grande la distribución converge a alguna de las tres formas denominadas I, II y III.
24
Modelo de Gumbel
Moda α,
Media α+γβ (where γ=0.5772156649... is Euler's constant),
and
Varianza ⅙β2π2
Modelo Gumbel y Máxima Verosimilitud
)(exp)(exp),,( xxxf
N
ixxNNLogL
1)(explog
Modelo Gumbel
27
Distribution of annual maximum streamflow follows an EV1 distribution
Ecuaciones de MV del Modelo Pearson III
Ecuaciones no lineales
n
i
n
iii
nxxnL1 1
ln)log()1()(1
)(loglog
n
ii
nx
L12
0)(1log
n
i
ix
nL12
0)(
1)1(
log
n
ii
nxnL
10ln)log(
)(
)'(log
Función de Verosimilitud
Modelo Pearson III
Río Blackstone
Diferencias según el modelo Río Blackstone (USA) (MV)
Modelo 100 1000 5000 10000
Gumbel 430 578 681 726
Log-N II 747 1297 1795 2041
Log-N III 577 941 1261 1432
P III 560 802 974 1050
LP III 877 2520 5311 7343
Nota: Caudales en m3/s, Período de retorno en años.
Criterios de selección entre modelos
El Criterio de Información Bayesiano (BIC) contribuye a resolver el problema de la selección entre varios modelos alternativos.
El Criterio de Información de Akaike (AIC) permite analizar la bondad del ajuste e incluye una penalización por el número de parámetros estimados para el modelo.
Criterios de selección entre modelos (AIC y BIC)
Akaike Information Criterio (AIC, 1974)
k: número de parámetros y L: verosimilitud.
Bayesian Information Criterio (BIC, 1978)
n: cantidad de datos.
)ln(22 LkAIC
)ln(2)ln( LnkBIC
Diferencias por método deestimación y un período de retorno10000 años
Modelo Log-Normal II (M o MV)
Log-Normal III (M)
Log-Normal III MV
Blackstone 72117 80978 50082
Feather 660182 413930 983531
Limay (PL) 10483 7762 15366
Manawatu 8094 7207 8237
Type of project Return period (years) Examples
Urban drainage (low risk, up to 1 km2)
5 to 10 Small city
Urban drainage (mediun risk, more than to
1 km2)
25 to 50 Medium city
Urban drainage (high risk, more than to
10 km2)
50 to 100 Large city(Buenos Aires,
Rosario)
Principal spillways (dams)
20 to 100 Corpus y Yacireta
Emergency spillways (dams)
100 to 10000 Corpus y Yacireta
Bridges 100 to 500 Tancredo NevesY Túnel subfluvial
Prueba no paramétricade Mann - Kendall
La prueba tiene como objetivo detectar una tendencia al incremento o al decrecimiento en los datos más que la ocurrencia de un evento aislado.
H0) los datos son una muestra de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.
H1) la distribución de xj y xk no son idénticas para todos k, j < n con k j.
(xj y xk son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas)
Los estadísticos que intervienen en el análisis son S y Z, que se asocian con el estimador de pendiente B en el signo:
1n
1k
n
1kjkj )xsgn(xS
0 < θ si 1-
0 θ si 0
0 θ si 1
= ) (θ sgn
0SsiVar(S)
1S
0Ssi0
0SsiVar(S)
1S
Zj<kMediana
k-jk
xj
x = B
Prueba de Verosimilitud
),(),,(,2 0,01
22,11
l
nkk
l
njj
m
nii xLxLxL
: log-verosimilitud estimada con las observaciones de la
primer parte de la serie para el modelo seleccionado; : log-verosimilitud estimada con las observaciones de la segunda parte de la serie para el modelo seleccionado;
: log-verosimilitud estimada con las observaciones de la serie completa para el modelo seleccionado.
ixL ,11 ,
),,( 22 jxL
),( 0,0 kxL
donde:
La estimación del estadístico de la prueba implica ajustar una función de densidad de probabilidades a la serie completa de las observaciones y a las dos series parciales correspondientes a la primera y segunda parte de la serie temporal.
Ho: las observaciones pueden ser representadas por un único modelo.
H1: las observaciones no pueden ser representadas por un único modelo.
Prueba de VerosimilitudPARANA - CORRIENTES
Series de Caudales Máximos Anuales - Prueba de Verosimilitud
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
19
04
-19
66
vs
19
67
-20
02
19
04
-19
67
vs
19
68
-20
02
19
04
-19
68
vs
19
69
-20
02
19
04
-19
69
vs
19
70
-20
02
19
04
-19
70
vs
19
71
-20
02
19
04
-19
71
vs
19
72
-20
02
19
04
-19
72
vs
19
73
-20
02
19
04
-19
73
vs
19
74
-20
02
19
04
-19
74
vs
19
75
-20
02
19
04
-19
75
vs
19
76
-20
02
19
04
-19
76
vs
19
77
-20
02
19
04
-19
77
vs
19
78
-20
02
19
04
-19
78
vs
19
79
-20
02
19
04
-19
79
vs
19
80
-20
02
19
04
-19
80
vs
19
81
-20
02
19
04
-19
81
vs
19
82
-20
02
19
04
-19
82
vs
19
83
-20
02
Co
efi
cie
nte
Pru
eb
a d
e V
ero
sim
ilit
ud
GUMBEL GEV
Pruebas para detección del punto de cambio
CUSUM
Prueba de Pettitt
Análisis de tendencias
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
04
-05
08
-09
12
-13
16
-17
20
-21
24
-25
28
-29
32
-33
36
-37
40
-41
44
-45
48
-49
52
-53
56
-57
60
-61
64
-65
68
-69
72
-73
76
-77
80
-81
84
-85
88
-89
92
-93
96
-97
00
-01
Pro
ba
bilid
ad
-130000
-110000
-90000
-70000
-50000
-30000
-10000
10000
30000
50000
70000
Sm
Probabilidad de Punto de Cambio - PETTITT Sm (Cusum)
Caudales máximos ( Corrientes) AJUSTE MÁXIMOS RIO PARANÁ - Estación Corrientes
GEV - MMV
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
1 10 100 1000
Tr (año)
Q (
m3 /s
)
Serie Completa1976-77 a 2002-031904-05 a 1975-76
Gumbel:
M0 = modelo estacionarioM1 =Tendencia lineal
M3 = Tendencia lineal + SOI
M2 = SOI influence
No estacionario
Log-likelihood Gumbel:
Estimación de parámetros
Inferencia para distintos períodos de retorno
Resultados para Modelos No Estacionarios
TR Stationary Non-Stat (M3) Dif (%)
10 38337 40929 6.3
50 47322 51144 7.5
100 51121 56123 8.9
200 54905 62743 12.5500 59899 75273 20.4
Corrientes Flow (m3/s)
Modelo GEV
),),(( tGEVtz
tt 10
2210ttt
)(10
tSOIt
Expresiones de Verosimilitud
1
10(11
10(1log)11(log),,(
ttzm
t
ttzl
1
)(10(1
1
)(10(1log)11(log),,(
tSOItzm
t
tSOItzl
Problemas asociados para considerarAlguna distribuciones utilizadas en Hidrología
presentan tres parámetros y el método de máxima verosimilitud podría producir problemas de estimación.
Las pruebas usadas (Chi-cuadrado y Kolmogorov-Smirnov) fueron diseñadas para discriminar modelos en la región de los medios.
Los valores estimados de los caudales asociados con un período de retorno dado difieren según el modelo y el método de estimación de parámetros.
Modelos de función de Modelos de función de densidad derivada de densidad derivada de
caudales extremoscaudales extremos
El procedimiento para la evaluación de una distribución de
frecuencias de caudales máximos para cuencas con datos
escasos tiene las siguientes etapas:
1.-Definir la función de densidad de probabilidades conjunta de intensidad y duración de la precipitación.
2.-Seleccionar el modelo de infiltración.
3.-Obtener la función de densidad de probabilidades conjunta del exceso de precipitación.
4.-Definir el proceso de escurrimiento directo.
5.-Definir la función de distribución acumulada del caudal directo máximo.
6.-Modelar el flujo base.
7.-Estimar los caudales máximos asociados a distintas probabilidades de excedencia.
Qmáx = g(ie,te)
Obtención de la distribución de
Qmáx
Modelo de precipitación
Parámetros climáticos
Modelo de respuesta P - Q
Parámetros de la cuenca
f(ie,te)
Esquema de la función de densidad derivada de caudales (Eagleson, 1972)
FQmáx(Qmáx)
R
eeeeTe,IemáxQmáx dtdi)t,i(f)Q(F
Nueva función de densidad de probabilidades derivada de
caudales máximos que incluye el HUI de Nash como
modelo de respuesta de la cuenca.
Para estimar la probabilidad de excedencia del caudal
máximo es necesario determinar la función de distribución
acumulada de Qmáx que está dada por:
Región del plano ie, te donde la convolución de fie,te con el modelo de respuesta de la
cuenca produce caudales máximos menores o iguales a Qmáx
Función de densidad de probabilidades conjunta de la intensidad y duración
efectivas de la precipitación
La función de densidad de probabilidades conjunta de la
intensidad y duración efectivas está dada en dos partes,
(Raines y Valdés, 1993):
)()exp(t,i ee 110 0Prob
558390441610441610
441610441610441610
390471
1776420
.e
.e
.*
.e
.e
.e
*eeTe,Ie
itS.exp
itS)()texp(.)t,i(f
2120
S. *
: inversa del valor medio de la duración [1/L],
: inversa del valor medio de la intensidad puntual [T/L],
K*
A..exp.expK .. 003861011 11 1 250250
A: Area de la cuenca
CN: Número de curva 25425400
CNS
Aplicando la aproximación de Díaz Granados et al. (1984)
para obtener la función de distribución acumulada de
Qmáx, se llega a:
imáxQmáx HG)()exp()Q(F 11
*Te
.e
.*máx
.*e dttQS.texpG 390471 441610558390441610
*i
*i
iiTb
Tae
.e
d.
e
d*máxi
*.*
ei dtttQcT
S.texpH 390471 441610
558390
441610
A
QQ máx*
máx
)nexp()n()n(k
Tn
*
112
1
ii aaii bbii ccii ddii
1 0.0000 0.1024 0.5000 1.0000
2 0.1024 0.2890 0.6529 1.1081
3 0.2890 0.5722 0.8048 1.3640
4 0.5722 1.0000 1.0000 3.1358
Aplicación de la metodología en dos cuencas del centro de la provincia de Buenos Aires
Parámetros del modelo de precipitación
Estación: Aeropuerto de Olavarría. Servicio Meteorológico Nacional.
Período: 1988 – 1997.
Precipitación media anual: 900 mm.
Separación de eventos independientes: Córdova y Bras (1981).
SerieSerie Escala Escala temporaltemporal
ParámetrosParámetros
(h/cm)(h/cm) (1/h)(1/h)
Olavarría horaria 1.014 0.255
Cuenca arroyo Tapalqué
Comparación de las funciones de distribución acumuladas
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
100 150 200 250 300 350 400 450
Caudal (m3/ s)
Pro
babilid
ad d
e n
o e
xce
denci
a
Nuevo modelo (mediana momentos)
Nuevo modelo (Rosso v=0.18 m/s)
Raines y Valdés
Empírica F(x) = 1- m/(n+1)
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
100 150 200 250 300 350 400 450
Caudal (m3/ s)
Pro
babilid
ad d
e n
o e
xce
denci
a
Nuevo modelo (mediana momentos)
Nuevo modelo (Rosso v=0.08 m/s)
Raines y Valdés
Empírica F(x) = 1- m/(n+1)
Cuenca arroyo Azul
ModeloMétodo de estimación
Dn
QQmáxmáx > 50 m > 50 m33/s/s QQmáxmáx > 250 m > 250 m33/s/s
Raines y Valdés 0.212 0.063
Nuevo modelo
Media momentos 0.269 0.027
Mediana momentos 0.264 0.025
Rosso v=0.18 m/s 0.261 0.023
Rosso v=0.50 m/s 0.200 0.051
Rosso v=1.07 m/s 0.155 0.082
Distancias de Kolmogorov -Smirnov
1 jx
n
jn XFnj
máxD
Dn: distancia de Kolmogorov-Smirnov,
Xj: caudal máximo observado,
Fx(Xj): función de distribución acumulada de
Qmáx,j : número de orden,n: tamaño de la muestra.
Conclusiones La idea de un programa de investigación sobre
máximos, muy importante durante la mayor parte del siglo XX implica incluir algunos nuevos temas.
La hipótesis de no estacionariedad ha pasado a ser considerada importante de la modelación de valores extremos.
La relación caudal-periodo de retorno depende de la autocorrelación (mínimos).
El modelo de función derivada muestra la importancia de incluir las características de la cuenca y del clima en la representación de los extremos .
BibliografíaBras,R., 1990. Hydrology. An Introduction to
Hydrologic Science. Addison Wisley, 1990. Maidment,D.,1992. Handbook of Hydrology.
Mc Graw-Hill.Ven Te Chow, 1962. Handbook of Applied
Hydrology. Ven Te Chow, Maidment,D y L. Mays. 1994.
Hidrología Aplicada. Mc Graw-Hill.
BibliografíaTapley T. D. y P. R. Waylen, 1990. Spatial variability
of annual precipitation and ENSO events in Western Peru. Hydrol. Sci. J.35(4), 429-446.
World Meteorological Organization, 1989. Statistical distributions for flood frequency analysis. World Meterol. Organization, WMO-Nº 718, OH Rep. Nº 33.
Valores estimados del AIC y BIC
Modelo Número de parámetros
AIC BIC
Pearson III 3 671.80 676.71
Gumbel 2 674.38 677.66
Log-Normal II
3 674.13 679.05
Log-Normal III
3 674.72 679.64
GEV 3 675.66 680.58
Modelo Gumbel
Bondad de ajustePrueba de Prueba de
Kolmogorov-SmirnovKolmogorov-Smirnov : :
Función GEV Corrientes Density Plot for GEV Distribution for CORRIENTES
CORRIENTES
20
10
0
6000050000
25
5
15
400003000020000
Den
sity
Función de verosimilitud GEV
Función GEVEstimates of GEV parameters estimate "s.e." Mu 25923 832.5 Sigma 5334 610.7 Eta 0.05845 0.09646 Maximum Log-Likelihood = -1039.633
Análisis del ajuste Q-Q Plot
• Type of projects (several return period)
•Selection of projects at Paraná river
•Non stationary processes (flood analysis and Gumbel models)
•Precipitation analysis and largest cities at Paraná basin
72
Return PeriodRandom variable:Threshold level:Extreme event occurs if: Recurrence interval: Return Period:
Average recurrence interval between events equaling or exceeding a threshold
If p is the probability of occurrence of an extreme event, then
or
TxX Tx
X
TxX of ocurrencesbetween Time
)(E
pTE
1)(
TxXP T
1)(
73
Hydrologic extremes Extreme events
Floods Droughts
Magnitude of extreme events is related to their frequency of occurrence
The objective of frequency analysis is to relate the magnitude of events to their frequency of occurrence through probability distribution
It is assumed the events (data) are independent and come from identical distribution
occurence ofFrequency
1Magnitude
Flood •High stage in river when the river overflows and inundates the adjoining area
•Flood peak and frequency of the peak is an important consideration in hydraulic design
•Magnitude and time of the flood varies with change in watershed characteristics
•Peak flood depends on rainfall, discharge and watershed area and type
Flood •Magnitude of flood can be estimated by
•Rational method
•Empirical method
•Unit hydrograph technique
•Flood frequency studies
La modelación como población mezcla (Tapley y Waylen, 1990) que expresa que cuando una variable aleatoria, x, resulta de una gran cantidad de posibles procesos generados, su distribución de probabilidad, Fx, puede asumirse como la suma de m distribuciones de cada uno de los procesos generados Fk, donde k = 1, ..., m, ponderándolos de acuerdo a su frecuencia de ocurrencia, gk,
Análisis de extremos y ENSO
Análisis de extremos y ENSOModelo de población mixta
22
1
22
22
1
11
11 )(1exp)(1exp)(
kk
x xk
gxk
gXxF
)()(1
XxFgXxFk
m
kkx
Modelación de extremos ENSO
Ajuste Población Mezcla
10
100
1000
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Variable reducida Gumbel
Caudal M
ax .In
st. (
m3/s
)
No Niño Niño GVE Mezcla GEV
Series de extremos
Series de extremos
Río Blackstone Río Feather
Diferencias por la presencia de Autocorrelación
Curvas Qmin - Período de retornoRío Bermejo - Estación Pozo Sarmiento
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Tr (Años)
Q (
m3
/se
g)
METODOLOGIA CLASICA
CORRECCION POR AUTOCORRELACION r1=0.366
•"Type of project Return period (years) Examples
Urban drainage (low risk, up to 1 km2)
5 to 10 Small city
Urban drainage (mediun risk, more than to
1 km2)
25 to 50 Medium city
Urban drainage (high risk, more than to
10 km2)
50 to 100 Large city(Buenos Aires,
Rosario)
Principal spillways (dams)
20 to 100 Corpus y Yacireta
Emergency spillways (dams)
100 to 10000 Corpus y Yacireta
Bridges 100 to 500 Tancredo NevesY Túnel subfluvial
•"Selection of project Name River
Dam Yacyreta Paraná
Dam Corpus Paraná
Bridge Tancredo Neves Paraná
Bridge Rosario-Victoria Paraná
Bridge Tunel Subfluvial Paraná
Bridge Zarate Brazo Largo Paraná
Empirical FormulaCharacteristics of Empirical Formulae are :
Regional formulaBased on correlationBetween flow(Qp) and catchment propertiesAlmost all the formula represent discharge as a
function of AreaNeglects flood frequencyThe reason why empirical formulas are all regional
and gives approximate results when applied to other regions
1 8 5 0 1 9 0 0 1 9 5 0 2 0 0 00
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0
5 0 0 0R u n o f f( m 3
s – 1 )
Gardenier & Gardenier (1988) In: Encyclopedia of statistical sciences 8:141, WileyMudelsee (2006) DKKV/ARL Workshop
Dresden, river Elbe
mean and variability risk
and extremes
Climate Risk
P D F
0 2000 4000
R u n o f f ( m 3 s – 1 )
2 %
1 8 5 0 1 9 0 0 1 9 5 0 2 0 0 00
1 0 0 0
2 0 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0
5 0 0 0R u n o f f( m 3
s – 1 )
Dresden, river Elbe
climate risk change?
Solomon et al. (Eds.) (2007) Climate Change 2007: The Physical Science Basis. Cambridge Univ. Press
Climate Change
P D F
0 2000 4000
R u n o f f ( m 3 s – 1 )
2 %
P D F
5 %
0 2000 4000
R u n o f f ( m 3 s – 1 )
87
Hydrologic extremes Extreme events
Floods Droughts
Magnitude of extreme events is related to their frequency of occurrence
The objective of frequency analysis is to relate the magnitude of events to their frequency of occurrence through probability distribution
It is assumed the events (data) are independent and come from identical distribution
occurence ofFrequency
1Magnitude
88
Return PeriodRandom variable:Threshold level:Extreme event occurs if: Recurrence interval: Return Period:
Average recurrence interval between events equaling or exceeding a threshold
If p is the probability of occurrence of an extreme event, then
or
TxX
Tx
X
TxX of ocurrencesbetween Time
)(E
pTE
1)(
TxXP T
1)(
89
More on return periodIf p is probability of success, then (1-p) is the
probability of failureFind probability that (X ≥ xT) at least once in N
years.
NN
T
TT
T
T
TpyearsNinonceleastatxXP
yearsNallxXPyearsNinonceleastatxXP
pxXP
xXPp
111)1(1)(
)(1)(
)1()(
)(
90
Frequency FactorsPrevious example only works if distribution is
invertible, many are not.Once a distribution has been selected and its
parameters estimated, then how do we use it?Chow proposed using:
where
sKxx TT
deviationstandardSample
meanSample
periodReturn
factorFrequency
magnitudeeventEstimated
s
x
T
K
x
T
T
x
fX(x)
sKT
x
91
Return period exampleDataset – annual maximum discharge for 106 years
on Colorado River near Austin
0
100
200
300
400
500
600
1905 1908 1918 1927 1938 1948 1958 1968 1978 1988 1998
Year
An
nu
al M
ax F
low
(10
3 c
fs)
xT = 200,000 cfs
No. of occurrences = 3
2 recurrence intervals in 106 years
T = 106/2 = 53 years
If xT = 100, 000 cfs
7 recurrence intervals
T = 106/7 = 15.2 yrsP( X ≥ 100,000 cfs at least once in the next 5 years) = 1- (1-1/15.2)5 = 0.29
92
Data series
0
100
200
300
400
500
600
1905 1908 1918 1927 1938 1948 1958 1968 1978 1988 1998
Year
An
nu
al M
ax F
low
(10
3 c
fs)
Considering annual maximum series, T for 200,000 cfs = 53 years.
The annual maximum flow for 1935 is 481 cfs. The annual maximum data series probably excluded some flows that are greater than 200 cfs and less than 481 cfs
Will the T change if we consider monthly maximum series or weekly maximum series?
93
Hydrologic data series
• Complete duration series– All the data available
• Partial duration series– Magnitude greater than base value
• Annual exceedance series– Partial duration series with # of
values = # years• Extreme value series
– Includes largest or smallest values in equal intervals• Annual series: interval = 1 year• Annual maximum series: largest
values• Annual minimum series : smallest
values
Clima y estimación de valores extremos