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7/30/2019 SOLUCIONARIO EvDist2_Mat1
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MATEMTICA I
SEGUNDA EVALUACIN A DISTANCIA
PRUEBA OBJETIVA
Encierre en un crculo la letra V si es verdadero o F si es falso, en cada una de las
siguientes afirmaciones. (Cada respuesta correcta vale 0,2 de punto)
1. V F Si )(cos xsenxeyx
+=
, entonces xsenedx
dy x= 2 .
2. V F Si )1(ln = xxy , entonces xxdx
dyln= .
3. V F Si f es derivable, entoncesx
xfxf
dx
d
2
)()( = .
4. V F 122
+=+ xxxdxd .
5. V F 45cos
1
yydx
dy
= , si5yxysen += .
6. V F El valor mximo de la funcin ,cos)( xsenxxf += en el intervalo
[2
,2
] es 2 .
7. V F La funcin f(x) = x3 27x es decreciente en el intervalo (-3, 3).
8. V F3/53/2 25)( xxxf = tiene un mnimo relativo en x = 0 y un mximo
relativo en x = 1.
9. V F2
2
1
1)(
x
xxf
+= es creciente en el intervalo (-, -1) y tiene un extremo
relativo en x = -1.
10. V F Si f es continua en el intervalo [a, b], f tiene mximo y mnimo absoluto.
11. V F El valor mximo absoluto de f(x) = x4ln x en (0, e] es e4 y el valor
mnimo absoluto ese4
1 .
12. V F La grfica de34 8)( xxxf = es cncava hacia abajo en (4, +).
13. V F )1
,1
(2ee
es un punto de inflexin de la grfica de xxxf2ln)( = .
14. V F Si f(x) = sen2 (2x), entonces f(x) = 2(sen2x)(cos2x).
15. V F Si y es una funcin derivable de u, u es una funcin derivable de v, y v es
una funcin derivable de x, entoncesdx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy=
16. V F La funcin y = 2 sen x + 3 cos x satisface la ecuacin y + y = 0.
17. V F Para la funcin y = 2x2 + sen 2x, se tiene que y = 4 4 sen 2x.
18. V F El mximo absoluto de una funcin que es continua en un intervalo
cerrado puede ocurrir en desvalores diferentes en el intervalo.
19. V F Si f es una funcin continua en un intervalo cerrado, entonces tiene un
mnimo absoluto en el intervalo.20. V F Si x = c es un punto crtico de la funcin f, entonces tambin es un
nmero crtico de la funcin g(x) = f (x k),donde k es una constante.
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21. V F El teorema del valor medio puede aplicarse ax
xf1
)( = en el intervalo
[-1, 1].
22. V F Si f(x) = 0 para todo x en el dominio de f, entonces f es una funcin
constante.
23. V F Si la grfica de una funcin polinmica tiene tres intersecciones con elejes, entonces debe tener al menos dos puntos en los cuales su recta
tangente es horizontal.
24. V F La suma de dos funciones crecientes es creciente.
25. V F Existe un mximo o un mnimo relativo en cada punto crtico.
26. V F Todo polinomio de grado n tiene (n 1) puntos crticos.
27. V F Si f (2) = 0, entonces la grfica de f debe tener un punto de inflexin en
x = 2.
28. V F La grfica de todo polinomio cbico tiene precisamente un punto de
inflexin.
29. V F Sean f y g son funciones derivables, con f 0 y g 0. si f y g son
cncavas hacia arriba en el intervalo (a, b), entonces f + g es tambin
cncava hacia arriba en (a, b).
30. V F Si (c, f(c )) es un punto de inflexin de la grfica de f, entonces
f (c ) = 0 o f no existe en c.
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PRUEBA DE ENSAYO
1. Explique la diferencia entre mximo absoluto y mximo relativo. (1 punto)
Rpta:
El mximo relativo en una funcin f es el punto donde la variable que evalastoma el valor ms alto en un determinado intervalo, mientras que el mximoabsoluto es el punto donde la variable que evalas toma el valor ms altoindependientemente del intervalo.
Ejemplo:
En la fig. se muestra la grfica de una funcin en donde el valor mximo
absoluto ocurre en b. En e la funcin tiene un valor mximo relativo
2. Usar sus propias palabras para describir el procedimiento que se sigue para
determinar los intervalos donde una funcin es creciente o decreciente. (1
punto)
Rpta:Para determinar los intervalos donde la funcin es creciente y decreciente se
procede de la siguiente manera:
1. Localizar los nmeros crticos de la funcin f (x) en (a, b).
2. Se halla la derivada de la funcin: f'(x)
3. Se hallan los #s crticos de la funcin, esto es los valores dex para los cuales
f '(x) = 0.
4. Determinar los intervalos de prueba limitados por los puntos crticos.
5. Determinar el signo def(x) en un valorx en cada uno de los intervalos de
prueba
6. De acuerdo al signo obtenido, decidir sifes creciente o decreciente. Es decir
sif '(x) >0 ( la funcin es creciente ) y sif '(x)
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3. Explicar el criterio de la primera derivada. (1 punto)
Rpta:
Es el mtodo del clculo matemtico para determinar determinar los mnimos
relativos y mximos relativos que pueden existir en unafuncinmediante el usode laprimera derivada, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo
abierto sealado que contiene alpunto crtico c.
Teorema valor mximo y mnimo
"Sea c un punto crtico de una funcin f que es continua en un intervalo
abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente
en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."
1. Sif '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mnimorelativo en (c,f(c)).
2. Sif '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un mximo
relativo en (c,f(c)).
3. Sif '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c,
entonces f(c) no es ni un mnimo ni un mximo relativo. El criterio no decide.
4. Explicar el criterio de la segunda derivada. (1 punto)
Rpta:
La segunda derivada indica como varia la primera derivada, es muy til para
tener nocin de como varia una funcin y graficarla. La derivada segunda igual a
cero indica que hay un punto de inflexin, significa que la concavidad de la
curva cambia, si era cncava hacia arriba se vuelve concava hacia abajo y
viceversa.
Derivada segunda mayor a cero significa que la curva es cncava hacia arriba
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, y si es menor a cero significa que es cncava hacia abajo.
5. Una fbrica de chocolates le ha hecho un pedido a la empresa Envases
metlicos S.A. El pedido requiere cajas metlicas abiertas para envasar
chocolates. Los diseadores de Envases metlicos especifican que cada caja
debe hacerse a partir de una hoja cuadrada de metal de 60 centmetros de
lado; en ele proceso de manufactura se pide que se corten cuadrados
idnticos en cada esquina y luego se doblan las salientes resultantes.
Explique como usar funciones para matematizar este problema y determine
las dimensiones de la caja ms grande que puede fabricarse con estas
condiciones. (2,5 puntos).
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6. Las aristas de un cubo se expanden a un ritmo de 5 centmetros por segundo.
A qu ritmo cambia el rea de su superficie cuando sus aristas tienen 4,5
centmetros?.
(1,5 puntos)
7. Determina los extremos absolutos de la funcin f(x) = x3
12x en elintervalo [-1, 1].
(1,5 puntos)
8. Determina los intervalos de concavidad de la grfica de34 8)( xxxf = .
(1,5 puntos)
9. Obtenga los intervalos donde la funcin2
2
1
1)(
x
xxf
+= es creciente o
decreciente y los extremos relativos (si existen) de la misma.
(1,5 puntos)
10. Determina (si existen) los extremos relativos de3/53/2 25)( xxxf = .
(1,5 puntos)