SOLUCIONARIO EvDist2_Mat1

7/30/2019 SOLUCIONARIO EvDist2_Mat1

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MATEMTICA I

SEGUNDA EVALUACIN A DISTANCIA

PRUEBA OBJETIVA

Encierre en un crculo la letra V si es verdadero o F si es falso, en cada una de las

siguientes afirmaciones. (Cada respuesta correcta vale 0,2 de punto)

1. V F Si )(cos xsenxeyx

+=

, entonces xsenedx

dy x= 2 .

2. V F Si )1(ln = xxy , entonces xxdx

dyln= .

3. V F Si f es derivable, entoncesx

xfxf

dx

d

2

)()( = .

4. V F 122

+=+ xxxdxd .

5. V F 45cos

1

yydx

dy

= , si5yxysen += .

6. V F El valor mximo de la funcin ,cos)( xsenxxf += en el intervalo

[2

,2

] es 2 .

7. V F La funcin f(x) = x3 27x es decreciente en el intervalo (-3, 3).

8. V F3/53/2 25)( xxxf = tiene un mnimo relativo en x = 0 y un mximo

relativo en x = 1.

9. V F2

2

1

1)(

x

xxf

+= es creciente en el intervalo (-, -1) y tiene un extremo

relativo en x = -1.

10. V F Si f es continua en el intervalo [a, b], f tiene mximo y mnimo absoluto.

11. V F El valor mximo absoluto de f(x) = x4ln x en (0, e] es e4 y el valor

mnimo absoluto ese4

1 .

12. V F La grfica de34 8)( xxxf = es cncava hacia abajo en (4, +).

13. V F )1

,1

(2ee

es un punto de inflexin de la grfica de xxxf2ln)( = .

14. V F Si f(x) = sen2 (2x), entonces f(x) = 2(sen2x)(cos2x).

15. V F Si y es una funcin derivable de u, u es una funcin derivable de v, y v es

una funcin derivable de x, entoncesdx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy=

16. V F La funcin y = 2 sen x + 3 cos x satisface la ecuacin y + y = 0.

17. V F Para la funcin y = 2x2 + sen 2x, se tiene que y = 4 4 sen 2x.

18. V F El mximo absoluto de una funcin que es continua en un intervalo

cerrado puede ocurrir en desvalores diferentes en el intervalo.

19. V F Si f es una funcin continua en un intervalo cerrado, entonces tiene un

mnimo absoluto en el intervalo.20. V F Si x = c es un punto crtico de la funcin f, entonces tambin es un

nmero crtico de la funcin g(x) = f (x k),donde k es una constante.


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21. V F El teorema del valor medio puede aplicarse ax

xf1

)( = en el intervalo

[-1, 1].

22. V F Si f(x) = 0 para todo x en el dominio de f, entonces f es una funcin

constante.

23. V F Si la grfica de una funcin polinmica tiene tres intersecciones con elejes, entonces debe tener al menos dos puntos en los cuales su recta

tangente es horizontal.

24. V F La suma de dos funciones crecientes es creciente.

25. V F Existe un mximo o un mnimo relativo en cada punto crtico.

26. V F Todo polinomio de grado n tiene (n 1) puntos crticos.

27. V F Si f (2) = 0, entonces la grfica de f debe tener un punto de inflexin en

x = 2.

28. V F La grfica de todo polinomio cbico tiene precisamente un punto de

inflexin.

29. V F Sean f y g son funciones derivables, con f 0 y g 0. si f y g son

cncavas hacia arriba en el intervalo (a, b), entonces f + g es tambin

cncava hacia arriba en (a, b).

30. V F Si (c, f(c )) es un punto de inflexin de la grfica de f, entonces

f (c ) = 0 o f no existe en c.


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PRUEBA DE ENSAYO

1. Explique la diferencia entre mximo absoluto y mximo relativo. (1 punto)

Rpta:

El mximo relativo en una funcin f es el punto donde la variable que evalastoma el valor ms alto en un determinado intervalo, mientras que el mximoabsoluto es el punto donde la variable que evalas toma el valor ms altoindependientemente del intervalo.

Ejemplo:

En la fig. se muestra la grfica de una funcin en donde el valor mximo

absoluto ocurre en b. En e la funcin tiene un valor mximo relativo

2. Usar sus propias palabras para describir el procedimiento que se sigue para

determinar los intervalos donde una funcin es creciente o decreciente. (1

punto)

Rpta:Para determinar los intervalos donde la funcin es creciente y decreciente se

procede de la siguiente manera:

1. Localizar los nmeros crticos de la funcin f (x) en (a, b).

2. Se halla la derivada de la funcin: f'(x)

3. Se hallan los #s crticos de la funcin, esto es los valores dex para los cuales

f '(x) = 0.

4. Determinar los intervalos de prueba limitados por los puntos crticos.

5. Determinar el signo def(x) en un valorx en cada uno de los intervalos de

prueba

6. De acuerdo al signo obtenido, decidir sifes creciente o decreciente. Es decir

sif '(x) >0 ( la funcin es creciente ) y sif '(x)


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3. Explicar el criterio de la primera derivada. (1 punto)

Rpta:

Es el mtodo del clculo matemtico para determinar determinar los mnimos

relativos y mximos relativos que pueden existir en unafuncinmediante el usode laprimera derivada, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo

abierto sealado que contiene alpunto crtico c.

Teorema valor mximo y mnimo

"Sea c un punto crtico de una funcin f que es continua en un intervalo

abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente

en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."

1. Sif '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mnimorelativo en (c,f(c)).

2. Sif '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un mximo

relativo en (c,f(c)).

3. Sif '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c,

entonces f(c) no es ni un mnimo ni un mximo relativo. El criterio no decide.

4. Explicar el criterio de la segunda derivada. (1 punto)

Rpta:

La segunda derivada indica como varia la primera derivada, es muy til para

tener nocin de como varia una funcin y graficarla. La derivada segunda igual a

cero indica que hay un punto de inflexin, significa que la concavidad de la

curva cambia, si era cncava hacia arriba se vuelve concava hacia abajo y

viceversa.

Derivada segunda mayor a cero significa que la curva es cncava hacia arriba
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, y si es menor a cero significa que es cncava hacia abajo.

5. Una fbrica de chocolates le ha hecho un pedido a la empresa Envases

metlicos S.A. El pedido requiere cajas metlicas abiertas para envasar

chocolates. Los diseadores de Envases metlicos especifican que cada caja

debe hacerse a partir de una hoja cuadrada de metal de 60 centmetros de

lado; en ele proceso de manufactura se pide que se corten cuadrados

idnticos en cada esquina y luego se doblan las salientes resultantes.

Explique como usar funciones para matematizar este problema y determine

las dimensiones de la caja ms grande que puede fabricarse con estas

condiciones. (2,5 puntos).


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6. Las aristas de un cubo se expanden a un ritmo de 5 centmetros por segundo.

A qu ritmo cambia el rea de su superficie cuando sus aristas tienen 4,5

centmetros?.

(1,5 puntos)

7. Determina los extremos absolutos de la funcin f(x) = x3

12x en elintervalo [-1, 1].

(1,5 puntos)

8. Determina los intervalos de concavidad de la grfica de34 8)( xxxf = .

(1,5 puntos)

9. Obtenga los intervalos donde la funcin2

2

1

1)(

x

xxf

+= es creciente o

decreciente y los extremos relativos (si existen) de la misma.

(1,5 puntos)

10. Determina (si existen) los extremos relativos de3/53/2 25)( xxxf = .

(1,5 puntos)

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