Post on 18-May-2015
1
MATRICES I
Lic. Héctor Ortiz Becerra
2
Zapatos Carteras Correas
Mano de obra: 5 3 2
Material 6 2 1
Introducción En una fábrica se producen zapatos, carteras y correas, siendo los costos de mano de obra y material los que se indican en la siguiente tabla:
COSTOS DE FABRICACIÓN (en $)
3
MATRICES
Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas y encerrados entre corchetes o paréntesis.
Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas
4
1
2
0
5
3
AEjemplo: Es una matriz de 3 filas y 2 columnas
ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz se representa como: m x n, donde “m” es el número de filas y “n” el número de columnas.
Para el ejemplo anterior A es una matriz de 3 x 2
4
REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n
nxmmnmm
n
n
a...aa.
.
.
.a...aa
a...aa
A
21
22221
11211 Donde:
aij : es el elemento o entrada
general ubicado en la fila “i” , columna j
REPRESENTACIÓN ABREVIADA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n
A = [ aij ]m x n
Donde:
aij : es el elemento o entrada general
i = 1, 2, 3, ….., m
j = 1, 2, 3, ….., n
5
Matriz fila o Vector fila
Es una matriz que tiene sólo una fila
Ejemplo: B = [ 3 -2 5 6 1 ]1 x 5
Matriz columna o Vector columna
Es una matriz que tiene sólo una columna
Ejemplo:
131
0
2
x
C
6
Construcción de una Matriz
Construir una matriz de 2x3 con la siguiente información:
a21 = -6
a12 = 4
a11 = 0
a23 = 1
a13 = -2
a22 = 5
A
Fila 1
Fila 2
Col. 1 Col. 2 Col. 3
-6
40
1
-2
5
Solución:
7
Construcción de una Matriz
Construir la siguiente matriz:
A = [ aij ]2x3 tal que:
jiSi,ji
jiSi,jiaij
2
2
A
a11 =
a12 =
a13 =
a21 =
a22 =
a23 =
Solución:
Col. 1 Col. 2 Col. 3
Fila 1
Fila 2
1
3/2
2
3/2
2
5/2
1 3/2 2
3/2 2 5/2
8
IGUALDAD DE MATRICES
Definición.- Las matrices A=[aij] y B=[bij] son iguales si y sólo si tienen
el mismo orden, además aij = bij para cada i y cada j (esto es,
entradas correspondientes iguales)
54
31
52
1
y
x 23 yx
2340
31
52
x
A
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Definición.- La transpuesta de una matriz A de orden m x n se denota AT, es la matriz de orden n x m obtenida al cambiar filas por columnas
32435
012
x
TA
PROPIEDAD: (AT)T = A
Ejemplo:
Ejemplo:
9
MATRICES ESPECIALES
Matriz Nula o Matriz Cero.- Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. Se denota por O.
430000
0000
0000
x
O
Ejemplo:
Matriz Cuadrada.- Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas,
Es una matriz nula de orden 3x4
Ejemplo:
672
014
523
A Es una matriz cuadrada de orden 3
Diagonal principal
10
MATRICES ESPECIALES
Matriz Diagonal.- Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero.
Ejemplo:
500
010
002
A Matriz diagonal de orden 3
1000
0100
0010
0001
4IMatriz identidad de orden 4
Matriz Identidad.- Es una matriz diagonal en donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Se representa por In siendo “n” el orden de la matriz.
Ejemplo:
Matriz Escalar.- Es una matriz diagonal en donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
400
040
004
A Matriz escalar de orden 3
11
Matriz Triangular superior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular superior si todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i > j
Ejemplo:
300
150
941
A
Matriz Triangular inferior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular inferior si todos los elementos que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i < j
Ejemplo:
7863
0129
0057
0003
B
MATRICES ESPECIALES
12
Matriz Simétrica.- Una matriz cuadrada A es llamada simétrica si es igual a su transpuesta ( A = AT ).
Ejemplo:
635
374
542
A
Matriz Antisimétrica.- Una matriz cuadrada A es llamada antisimétrica si
cumple: ( A = AT )
Ejemplo:
0864
8025
6207
4570
A
MATRICES ESPECIALES
Observación: En este tipo de matriz , los elementos ubicados simétricamente respecto a la diagonal principal, son iguales
Observación: En este tipo de matriz , los elementos de la diagonal principal son siempre ceros y los elementos ubicados simétricamente respecto a esta diagonal principal, son de signos contrarios, pero de igual valor absoluto.
13
OPERACIONES CON MATRICES
Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos: Deluxe y Super. Cada uno está disponible en dos colores, rojo y azul. Suponga que las ventas de enero y febrero están representadas por las matrices de ventas:
53
21E
Deluxe Super
Rojo
Azul
24
13F
Deluxe Super
Rojo
Azul
Si queremos las ventas totales para cada modelo y color durante los dos meses, ¿Qué operación debemos hacer y cómo?
Resultado:
77
34V
Deluxe Super
Rojo
Azul
14
SUMA O RESTA DE MATRICES
Definición.- Si A=[aij] y B=[bij] son matrices de orden m x n, entonces
al sumar o restar estas matrices se obtiene una matriz de orden m x n, sumando o restando los correspondientes elementos de A y B, es decir:
A B =[aij bij]mxn Ejemplos:
2x32x3 12
52
87
810
50
32
2x3712
02
55
89
31
92
43
15 No se pueden sumar ya que las matrices son de diferente orden
2x22x2 39
75
14
32
2x2413
107
15
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Definición.- Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (también llamado escalar), entonces kA es una matriz de orden m x n que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k, es decir:
kA =[ kaij ]mxn
Ejemplo:
704
1532
1408
2106
16
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
1. k(A + B) = kA + kB
2. (k1 + k2)A = k1A + k2A
3. k1(k2A) = (k1k2)A
4. 0A = O
5. kO = O
PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA
1. (A + B)T = AT + BT
2. (kA)T = kAT