Resolución de Problemas Método Simplex

Primer Semestre 2007

EII 405 – Clase 5

Conjunto convexo

Conjunto no convexo

Cuando el problema se transforma en un modelo matemático con 2 (ó 3) variables de decisión, entonces es posible resolver gráficamente el problema.

Si la región de soluciones factibles del problema es un conjunto convexo, existe a lo menos un óptimo global y se encuentra en una esquina.

Un conjunto es convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de puntos del conjunto se encuentra completamente dentro de él.

Método Gráfico

Es un procedimiento sistemático y eficiente para encontrar y probar soluciones situadas en los puntos extremos de la región de soluciones factibles en un problema de programación lineal

Características principales:

Algoritmo eficiente y rápido para encontrar el óptimo

Determina la solución óptima sin evaluar todos los puntos extremos factibles

Es capaz de detectar si existen múltiples soluciones, si la solución no está acotada y si existe incompatibilidad de restricciones

Método Simplex

Para resolver por este método se utilizará el siguiente modelo de programación lineal

Max Z = C1 X1 + C2 X2 +...+ Cn XnMax Z = C1 X1 + C2 X2 +...+ Cn Xn

a11 X1 +...+ a1i Xi +...+ a1n Xn b1

a21 X1 +...+ a2i Xi +...+ a2n Xn bi

. . . . . . . . .am1X1 +...+ amiXi +...+ amnXn bm

a11 X1 +...+ a1i Xi +...+ a1n Xn b1

a21 X1 +...+ a2i Xi +...+ a2n Xn bi

. . . . . . . . .am1X1 +...+ amiXi +...+ amnXn bm

Xi 0 i = 1, 2,..., nXi 0 i = 1, 2,..., n

S.a

Método Simplex

El método Simplex requiere que las restricciones sean ecuaciones.

Para convertir cada desigualdad del tipo en una igualdad se debe agregar una nueva variable positiva llamada variable de holgura (hi).

A las variables hi se les denomina de holgura porque representan la cantidad no utilizada del recurso i, es decir, es la diferencia entre la cantidad disponible del recurso i (bi) y la cantidad utilizada

hi = bi - aij xjhi = bi - aij xj

Método Simplex

De esta manera, al incorporar las variables de holgura, el modelo queda de la siguiente forma:

Max Z = C1X1 + C2X2 +...+ CnXn

a11 X1 +...+ a1i Xi +...+ a1n Xn + h1 = b1

a21 X1 +...+ a2i Xi +...+ a2n Xn + h2 = bi

. . . . . . . . .am1X1 +...+ amiXi +...+ amnXn + hm = bm

Xi, hi 0 i = 1, 2,..., n

S.a

Método Simplex

Max Z = 200X1 + 240X2

S.a12X1 + 6X2 120 4X1 + 8X2 64 X1, X2 0

Analicemos el siguiente ejemplo:

Transformando el modelo para poder aplicar el método simplex tenemos:

Max Z = 200X1 + 240X2

S.a12X1 + 6X2 + h1 = 120 4X1 + 8X2 + h2 = 64X1, X2, h1, h2 0

Max Z = 200X1 + 240X2

S.a12X1 + 6X2 + h1 = 120 4X1 + 8X2 + h2 = 64X1, X2, h1, h2 0

Método Simplex

Procedimiento:

• Consiste en avanzar hacia el óptimo a través de los puntos extremos, en el sentido en que la F.O aumenta.

• Para ello, se utiliza una solución básica factible, se evalúa si es óptima, y si no lo es, se saca una variable de la base y se introduce otra, de manera que aumente el valor de la función objetivo

Método Simplex

Para trabajar con este método se utiliza un cuadro resumen denominado “Tableau”

VB CB XB X1 X2 ... Xn h1 h2 ... hm

B1 CB1 XB1 y11 y12 ... y1n y11 y12 ... y1m

B2 CB2 XB2 y21 y22 ... y2n y21 y22 ... y2m

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Bm CBm XBm ym1 ym2 ... ymn ym1 ym2 ... ymm

Z z1-c1 z2-c2 ... zn-cn z1-c1 z2-c2 ... zm-cm

c1 c2 ... cn c1 c2 ... cm

Método Simplex

VB: Indica las variables que forman la base.CB: Indica los coeficientes en la F.O. de cada variable básica (ci).XB: Representa el vector resultado del sistema de ecuaciones, asociado

a dichas variables básicas.Z: Es el valor de la F.O. para la solución encontrada, (Z = CBi·XBi)

xj : Son las variables de decisión.hj : Son las variables de holgura.yij: Son los coeficientes que permiten expresar a la variable xj (o

hj) como una combinación lineal de las variables básicas Bi. (inicialmente corresponden a los aij de las restricciones)

cj: Es el coeficiente de la variable j en la función objetivo.zj - cj: Es el costo reducido (o marginal) de que la variable j entre a la

base. zj = CBi·Yij

Método Simplex

VB CB XB X1 X2 h1 h2

Retomando el ejemplo, para construir el tableau inicial se debe elegir una solución factible, para esto se comienza con las variables de holgura en la base (VB)

0 120 12 6 1 0h1

h2 0 64 4 8 0 1

0 -200 -240 0 0

200 240 0 0

Max Z = 200X1 + 240X2

S.a12X1 + 6X2 + h1 = 120 4X1 + 8X2 + h2 = 64 X1, X2, h1, h2 0

Max Z = 200X1 + 240X2

S.a12X1 + 6X2 + h1 = 120 4X1 + 8X2 + h2 = 64 X1, X2, h1, h2 0

Las variables básicas deben estar en forma

canónica

Las variables básicas deben estar en forma

canónica

Método Simplex

VB CB XB X1 X2 h1 h2

h1 0 120 12 6 1 0

h2 0 64 4 8 0 1

0 -200 -240 0 0

200 240 0 0

Se determina si la solución es óptima, analizando los coeficientes zj - cj de las variables no básicas. Si todos los coeficientes son positivos (o cero) se ha llegado al óptimo, en caso contrario se debe continuar.

Método Simplex

Se selecciona como variable básica entrante aquella que incrementa más rápidamente la F.O. (coeficiente zj - cj más negativo). Se elige el más negativo para llegar más rápido al óptimo, pero en general basta con elegir cualquier zj - cj negativo.

VB CB XB X1 X2 h1 h2

h1 0 120 12 6 1 0

h2 0 64 4 8 0 1

0 -200 -240 0 0

200 240 0 0

Método SimplexMétodo Simplex

Ahora se debe determinar la variable que debe salir de la base, para eso se elige aquella que llegue más rápido a cero al incrementar la variable entrante, es decir, la que tenga el XBi / yij mínimo, con yij > 0

VB CB XB X1 X2 h1 h2

h1 0 120 12 6 1 0

h2 0 64 4 8 0 1

0 -200 -240 0 0

200 240 0 0

120/6 = 20

64/8 = 8

Método SimplexMétodo Simplex

Si no existe ningún yij > 0 en la variable entrante, entonces se escoge para entrar otra variable con zj – cj negativo que si tenga al menos un yij > 0. Si no existe ninguna con estas características, entonces se dice que el problema no tiene solución pues no está acotado.

Ejemplo: VB CB XB X1 X2 X3 X4

X1 10 10 1 0 0 -1/2

X2 0 15 0 1 -3 0

0 0 0 -5 -12

10 0 5 7

Solución no acotada

Método SimplexMétodo Simplex

Ahora se tiene una nueva base en donde la variable entrante ocupa la posición de la variable saliente. Entonces será necesario transformar el sistema a una forma canónica. Luego se determina si se ha llegado al óptimo, de no ser así se continua iterando.

VB CB XB X1 X2 h1 h2

h1 0 120 12 6 1 0

h2 0 64 4 8 0 1

0 -200 -240 0 0

200 240 0 0

72 9 0 1 -6/8

1920 -80 0 0 30

200 240 0 0

8 1/2 1 0 1/8

0h1

X2 240

VB CB XB X1 X2 h1 h2

72/9 = 8

8 / 0,5 = 16

F1 – F2 * 6/8120 – 64 * 6/8 = 7212 – 4 * 6/8 = 96 – 8 * 6/8 = 01 – 0 * 6/8 = 10 – 1 * 6/8 = -6/8

F1 – F2 * 6/8120 – 64 * 6/8 = 7212 – 4 * 6/8 = 96 – 8 * 6/8 = 01 – 0 * 6/8 = 10 – 1 * 6/8 = -6/8

F2 * 1/864 * 1/8 = 8 4 * 1/8 = 1/28 * 1/8 = 10 * 1/8 = 01 * 1/8 = 1/8

F2 * 1/864 * 1/8 = 8 4 * 1/8 = 1/28 * 1/8 = 10 * 1/8 = 01 * 1/8 = 1/8

Método SimplexMétodo Simplex

F1 * 1/972 * 1/9 = 8 9 * 1/9 = 10 * 1/9 = 01 * 1/9 = 1-6/8 * 1/9 = -1/12

F1 * 1/972 * 1/9 = 8 9 * 1/9 = 10 * 1/9 = 01 * 1/9 = 1-6/8 * 1/9 = -1/12

F2 – F1 * 1/28 – 8 * 1/2 = 4 1/2 – 1 * 1/2 = 01 – 0 * 1/2 = 11 – 19 * 1/2 = -1/181/8 + 1/12*1/2 = 1/6

F2 – F1 * 1/28 – 8 * 1/2 = 4 1/2 – 1 * 1/2 = 01 – 0 * 1/2 = 11 – 19 * 1/2 = -1/181/8 + 1/12*1/2 = 1/6

VB CB XB X1 X2 h1 h2

h1 0 72 9 0 1 -6/8

X2 240 8 1/2 1 0 1/8

1920 -80 0 0 30

200 240 0 0

8 1 0 1/9 -1/12

4 0 1 -1/18 1/6

2560 0 0 80/9 70/3

200 240 0 0

VB CB XB X1 X2 h1 h2

X1 200

X2 240

Solución óptimaZ = 2560X1 = 8X2 = 4

Solución óptimaZ = 2560X1 = 8X2 = 4

Método SimplexMétodo Simplex

Método Simplex

Un taller tiene 3 tipos de máquinas A, B y C y fabrica 2 tipos de productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden, primero a la máquina A, luego a la B y finalmente a la C.

Máquina Producto 1 Producto 2 Horas Sem.A 2 2 16B 1 2 12C 4 2 28

Ganancia 1 1,5

¿Qué cantidad de cada producto debe producirse por semana para obtener la máxima ganancia?¿cuántas horas semanales sobran en cada máquina?

La tabla muestra:1) Las horas requeridas en c/máquina por unidad de producto.2) Las horas totales disponibles para c/máquina por semana.3) La ganancia por unidad vendida de cada producto

Método Simplex

Max Z = X1 + 1,5X2

S a:

2X1 + 2X2 16 Horas disponibles en máquina A

X1 + 2X2 12 Horas disponibles en máquina B

4X1 + 2X2 28 Horas disponibles en máquina C

Xj 0 y entero j = 1 y 2 No negatividad

F.O.:

Max Z = X1 + 3/2 X2

S.a2X1 +2X2 + h1 = 16X1 + 2X2 + h2 = 124X1 + 2X2 + h3 = 28X1, X2, h1, h2, h3 0

Max Z = X1 + 3/2 X2

S.a2X1 +2X2 + h1 = 16X1 + 2X2 + h2 = 124X1 + 2X2 + h3 = 28X1, X2, h1, h2, h3 0

Método Simplex

16 2 2 1 0 00

12 1 2 0 1 00

28 4 2 0 0 10

0 -1 -3/2 0 0 0

VB CB XB X1 X2 h1 h2 h3

h1

h2

h3

1 3/2 0 0 0

8

6

14

Método Simplex

4 1 0 1 -1 00

6 1/2 1 0 1/2 03/2

16 3 0 0 -1 10

9 -1/4 0 0 3/4 0

VB CB XB X1 X2 h1 h2 h3

h1

X2

h3

1 3/2 0 0 0

F2 / 2F2 / 2

F1 - F2 * 2F1 - F2 * 2

F3 - F2 * 2F3 - F2 * 2

4

12

16/3

4 1 0 1 -1 01

4 0 1 -1/2 1 03/2

4 0 0 -3 2 10

10 0 0 1/4 1/2 0

VB CB XB X1 X2 h1 h2 h3

X1

X2

h3

1 3/2 0 0 0

F1F1

F2 – F1 / 2F2 – F1 / 2

F3 – F1 * 3F3 – F1 * 3

Solución óptimaZ = 10X1 = 4X2 = 4h3 = 4

Solución óptimaZ = 10X1 = 4X2 = 4h3 = 4

Método Simplex