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Programacion MATLAB:Ecuaciones, polinomios, regresion e

interpolacion.

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: j.a.otero@itesm.mxweb: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Topicos

1 Raıces de ecuaciones y polinomiosRaıces de la ecuacion algebraica y no linealRaıces de polinomiosRaıces de la ecuacion de segundo grado

2 Ajuste de curvas: regresion con MATLAB

3 Interpolacion con MATLAB

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Topicos

1 Raıces de ecuaciones y polinomiosRaıces de la ecuacion algebraica y no linealRaıces de polinomiosRaıces de la ecuacion de segundo grado

2 Ajuste de curvas: regresion con MATLAB

3 Interpolacion con MATLAB

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

MATLABMATLAB es capaz de localizar raıces en ecuacionesalgebraicas y trascendentes,MATLAB es excelente para la manipulacion y localizacionde raıces en los polinomios,MATLAB es capaz de ajustar curvas mediante polinomios.

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

MATLAB

Funcion Descripcionfzero Raız de una sola funcionroots Encuentra raıces de polinomiospoly Construye polinomios con raıces especıficaspolyval Evalua un polinomiopolyvalm Evalua un polinomio con argumento matricialresidue Expansion de la fraccion-parcial (residuos)polyder Diferenciacion polinomialconv Multiplicacion de polinomiosdeconv Division de polinomios

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de la ecuacion algebraica y no lineal

Funcion fzero

x = fzero(f, x0)

f : funcion anonima,x0 : intervalo,x : raız.

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de la ecuacion algebraica y no lineal

Ejemplo: Solucion de una ecuacion algebraicaUtilice la funcion fzero de MATLAB para encontrar las raıcesde f(x) = x10 − 1.

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de la ecuacion algebraica y no lineal

Solucion para la raız positiva

>> x0 = [0 1 . 3 ] ;

>> x = fzero (@( x ) xˆ10−1, x0 )

x =

1

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de la ecuacion algebraica y no lineal

Solucion para la raız negativa

>> x0 = [−1.3 0 ] ;

>> x = fzero (@( x ) xˆ10−1, x0 )

x =

−1

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de la ecuacion algebraica y no lineal

Ejemplo: Solucion de una ecuacion no linealUtilice la funcion fzero de MATLAB para encontrar las raıcesde f(x) = x e−x − 0.2.

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de la ecuacion algebraica y no lineal

Solucion

clear ; clc ;fp lo t (@( x ) x .∗exp(−x ) −0.2 , [0 8 ] ) , grid on ;x1 = fzero (@( x ) x∗exp(−x ) −0.2 , [0 2 ] )x2 = fzero (@( x ) x∗exp(−x ) −0.2 , [2 7 ] )

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de la ecuacion algebraica y no lineal

Solucion

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de la ecuacion algebraica y no lineal

Solucion

x1 =

0.2592

x2 =

2.5426

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de polinomios

Funcion roots

x = roots(p)

x vector columna con las raıces del polinomio,p vector fila con los coeficientes del polinomio,fn(x) = anx

n + an−1xn−1 + ...+ a1x+ a0 = 0,

p = [an an−1 ... a1 a0].

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de polinomios

Ejemplo: PolinomiosAnalicemos como se emplea MATLAB para manipular ydeterminar las raıces de polinomios. Use la siguiente ecuacion:

f5(x) = x5 − 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 − 3.875x+ 1.25

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de polinomios

>> a = [1 −3.5 2.75 2.125 −3.875 1 .25 ]a =

1.0000 −3.5000 2.7500 2.1250 −3.8750 1.2500

>> polyval ( a , 1 )ans =

−0.2500

>> polyder ( a )ans =

5.0000 −14.0000 8.2500 4.2500 −3.8750

>> roots ( a )ans =

2.0000−1.0000

1.0000 + 0.5000 i1.0000 − 0.5000 i0.5000

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de la ecuacion de segundo grado

Ecuacion

f (x) = a x2 + b x+ c = 0

Esta ecuacion tiene solucion exacta.

Solucion

x1 =−b+

√b2 − 4ac

2a

x2 =−b−

√b2 − 4ac

2a

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Raıces de la ecuacion de segundo grado

Solucion de la ecuacion con MATLAB

>> syms a b c x;

>> solve(a ∗ xˆ2 + b ∗ x+ c)

ans =

−(b+ (b2 − 4 ∗ a ∗ c)ˆ(1/2))/(2 ∗ a)−(b− (b2 − 4 ∗ a ∗ c)ˆ(1/2))/(2 ∗ a)

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de la ecuacion de segundo grado

Solucion de la ecuacion con MATLAB

>> symsx;

>> a = 1; b = −3; c = 2;

>> solve(a ∗ xˆ2 + b ∗ x+ c)

ans =

1

2

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Raıces de la ecuacion de segundo grado

Function en MATLAB

function [x] = fun(a,b, c)

x(1) = (−b+ sqrt(bˆ2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;x(2) = (−b− sqrt(bˆ2− 4 ∗ a ∗ c))/2/a;

end

M-file en MATLAB

a = input(′Deme el valor de a =′);

b = input(′Deme el valor de b =′);

c = input(′Deme el valor de c =′);

x = fun(a, b, c);

R = [’Las raices son: x1=’,num2str(x(1)),’ y x2=’,num2str(x(2))];

disp(R)

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Raıces de la ecuacion de segundo grado

Solucion de la ecuacion con MATLAB

Deme el valor de a = 1

Deme el valor de b = −3Deme el valor de c = 2

Las raices son: x1 = 2 y x2 = 1

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Topicos

1 Raıces de ecuaciones y polinomiosRaıces de la ecuacion algebraica y no linealRaıces de polinomiosRaıces de la ecuacion de segundo grado

2 Ajuste de curvas: regresion con MATLAB

3 Interpolacion con MATLAB

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Funcion MATLAB polyfit

clear ; clc ;x =[1 2 3 4 5 6 7 ] ;y= [ 0 . 5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5 . 5 ] ;n=6 %2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . . .p= p o l y f i t ( x , y , n )xp= l inspace (min ( x ) ,max( x ) ,100) ;yp=polyval ( p , xp ) ;plot ( x , y , ’ o ’ , xp , yp )grid onxlabel ( ’ x ’ )ylabel ( ’ y ’ )

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Ejemplo: n = 1

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Ejemplo: n = 2

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Ejemplo: n = 3

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Ejemplo: n = 4

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Ejemplo: n = 5

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Ejemplo: n = 6

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Topicos

1 Raıces de ecuaciones y polinomiosRaıces de la ecuacion algebraica y no linealRaıces de polinomiosRaıces de la ecuacion de segundo grado

2 Ajuste de curvas: regresion con MATLAB

3 Interpolacion con MATLAB

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Funcion MATLAB polyfit

clear ; clc ;x =[1 4 6 ] ;y= [0 1.386294 1.791759] ;n=2p= p o l y f i t ( x , y , n )xp= l inspace (min ( x ) ,max( x ) ,100) ;yp=polyval ( p , xp ) ;yp2=log ( xp ) ;plot ( x , y , ’ o ’ , xp , yp , xp , yp2 , ’ : ’ )grid onxlabel ( ’ x ’ )ylabel ( ’ y ’ )

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Ejemplo: n = 2

x0 = 1 f(x0) = 0x1 = 4 f(x1) = 1.386294x2 = 6 f(x2) = 1.791759

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Ejemplo: n = 3

x0 = 1 f(x0) = 0x1 = 4 f(x1) = 1.386294x2 = 5 f(x2) = 1.609438x3 = 6 f(x3) = 1.791759

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Funcion MATLAB interp1

clear ; clc ;x =[1 4 6 ] ;y= [0 1.386294 1.791759] ;xx=2y i = interp1 ( x , y , xx )

Sa l ida

y i = 0.4621

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Funcion MATLAB spline

clear ; clc ;x =[1 4 6 ] ;y= [0 1.386294 1.791759] ;xx=2y i =spline ( x , y , xx )

Sa l ida

y i = 0.5658

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Raıces de ecuaciones y polinomios Ajuste de curvas: regresion con MATLAB Interpolacion con MATLAB

Funcion MATLAB lineal y spline

x = 0: pi / 4 : 2∗ pi ;v = sin ( x ) ;xq = 0: pi /16 :2∗ pi ;vq1 = interp1 ( x , v , xq ) ;f igure ( 1 ) ; plot ( x , v , ’ o ’ , xq , vq1 , ’ : . ’ ) ;x l im ( [ 0 2∗pi ] ) ;t i t l e ( ’ ( De fau l t ) L inear I n t e r p o l a t i o n ’ ) ;

%vq2 = interp1 ( x , v , xq , ’ s p l i n e ’ ) ;f igure ( 2 ) ; plot ( x , v , ’ o ’ , xq , vq2 , ’ : . ’ ) ;x l im ( [ 0 2∗pi ] ) ;t i t l e ( ’ Sp l ine I n t e r p o l a t i o n ’ ) ;

%vq3 = spline ( x , v , xq ) ;f igure ( 3 ) ; plot ( x , v , ’ o ’ , xq , vq3 , ’ : . ’ ) ;x l im ( [ 0 2∗pi ] ) ;t i t l e ( ’ Sp l ine I n t e r p o l a t i o n ’ ) ;