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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso – Campus de Sinop - Departamento de Engenharia Civil - Notas de Aula CÁLCULO NUMÉRICO
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Método Interativo de Gauss-Seidel
Seja Sistema �� � � dado :
O método interativo de Gauss-Seidel consiste em:
a) Partindo-se de uma aproximação inicial
���� � �����, �����, … , � ����; b) Calcule-se a sequência de
aproximações ���, ����, … , � ���... utilizando-
se equações.
Continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios abaixo seja satisfeito
�Á������� � ����� � ������â !"#1 % " % �&' ( �,) número máximo de interações
25-03-11
Equações Algébricas
Seja uma equação algébrica de grau n�n + 1�:
,��� � # � - #� � 1�� . -⋯#1� - #0
Onde os coeficientes ai são números reais e # 1 0
Teorema fundamental da Álgebra
Uma equação algébrica de grau n tem exatamente raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo cm sua multiplicidade.
Teorema- Se os coeficientes da equação algébrica (1) são reais complexas desta equação conjugados em pares, isto é se:
�1 � 2 - 3" . Raiz de (1) de multiplicidade m, então o número �2 � 2 - 3" , também é uma raiz desta equação e tem a mesma multiplicidade m.
COROLÁRIO-Uma equação algébrica de grau ímpar com coeficientes reais tem, no mínimo, uma raiz real.
Método de Briott-Ruffini
Sejam os polinômios:
,��� � # � - #� � 1�� . -⋯#1� - #0
5��� � �� � 1�� . -⋯�2� - �1
Dividindo P(X) pelo binômino (x-c), obtém-se a igualdade.
,��� � �� � !�. 5��� - 7
Onde Q(x) é o polinômio quociente de grau n-1 e R é uma constate (resto)
O resto da divisão de P(x) por (x-c) é o valor numérico de P(c):
,�!� � �! � !�. 5�!� - � � �
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Se R=0, então, c é uma raiz real de P(x)=0
Ex1: Determine todas as raízes do polinômio
,��� � �8 � 5�: � 7�� - 29� � 30
1 -5 -7 29 30 -1 1 -6 -1 30 0 -2 1 -8 15 0
Limites das raízes reais
Sejam # ( 0 , #0 1 0 e >�0 % > % � 1� o maior o maior índice dos coeficiente negativo do polinômio P(x);
Então, para o limite superior das raízes positivas da equação (1) pode-se tomar o número:
?@A � 1 - B CD EFG
Onde B é o máximo dos mádulos dos coeficientes do polinômio.
Assim, se Ԑ é a maior das raízes positiva então Ԑ % ?.
Se os coeficientes de P(x) forem todos não negativos então P(x)=0.
Não terá raízes positiva
Os demais limites podem ser obtidos, recorrendo-se à artifícios, tais que:
?". � �?IDJK�
Polinômio auxiliar P(x)=P(x)=0
Limite Inferior Positivo
?". � 1?ILM@�
Polinômio recíproco ,��� � � . , �K� � 0
Limite Superior negativo
?". � � 1?IDJKLMN�
Polinômio Auxiliar Recíproco ,��� �� , �� K� � 0
Ex1.: Determine os limites das raízes reias do polinômio:
,��� � �8 � 5�: � 7�� - 29� � 30
n=4; k=3; an=1; B=7
?@A � 1 - BOPFQ � 8
,#&����� � �8 - 5�: � 7�� - 29� � 30
n=4; k=2; an=1; B=29
?@ASTU � 1 - B�VPFW � 6,38?"�� �6,38
,��!�1/�� � 30�8 - 29�: � 7�� � 5� - 1
n=4; k=2; an=30; B=29
?@LMNA � 1 - B O:�PFW � 1,48?"-� ,8[ � 0,676
,#��!��1/�� � 30�8 � 29�: � 7�� - 5� - 1
n=4; k=3; an=30; B=29
?@AS\]^ � 1 - _2930PFQ � 1,97?I�� � 11,97� �0,508
Exercícios :
a)�` - 3�8 � 11�: � 27�� - 10� - 24 � 0
b) �2�` - 12�8 � 20�: - 22� � 12 � 0
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c)�a - �` � 25�8 � 5�: - 104�� - 4� � 80 �0
d)�O � 8�` - 52�8 - 19�: � 206�� � 12� -208 � 0
Ls+ Li- Li+ Ls- a) 6,196 10 0,485 8 b) 12 -2,2 0,353 -0,50 c) 6 -26 0,5 -0,5 d) 15.35 - 0,722 -0,50 1/04/2011
Grau de Exatidão da Raiz.
Depois de isolar a raiz no intervalo [a,b], passa-se a calculá-la através e métodos numéricos.
Estes métodos devem fornecer uma sequência {xi} de aproximação, cujo limite é a raiz exata ᶓ.
Teorema: Seja ᶓ uma raiz isolada exata e xn uma raiz aproximada da equação b��� � 0, com ᶓ e xn pertencentes ao intervalo [a,b] e |b′���| + e ( 0f#�## % � % �
Onde:
e � eí |b′�� �|# % � % �
|� � ᶓ| % |b�� �|e
O cálculo de m é muitas vezes trabalhoso e difícil de ser feito. Por esta razão, a tolerância Ԑ ´é , muitas vezes, avaliada por um dos três critérios :
|b�� �| % i�!�"�é�"�1� |� � � � 1| % i�!�"�é�"�2� |� � � � 1||� | % i�!�"�é�"�3�
Em cada aproximação � da raiz exata Ԑ usa-se um dos critérios e compara-se o resultado com a tolerância Ԑ pré-fixada.
Obs.: Se a raiz é da ordem da unidade, devemos usar o critério 2 (erro absoluto) caso contrário, usa-se o critério 3 (teste relativo do erro). Há casos em que a condição do critério 2 é satisfeita sem que o mesmo ocorra no critério q
Método da Bisseção
Seja b��� uma função contínua no intervalo [a,b] e b�#� � b��� � 0.
Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se x0, havendo pois, dois subintervalos, [a,x0] e [x0,b], a ser considerados.
Se b��0� � 0, então Ԑ=x0; caso contrário, a raiz estará no subintervalo onde a função tem sinais opostos nos pontos extremos, ou seja, se b�#�. b��0� � 0, então Ԑ ∈ �a, x0�; se nãob�#�. b��0� ( 0 então Ԑ ∈ �x0, b�. O novo intervalo [a,b] que contém Ԑ é divido ao meio e obtém-se o ponto x1. O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata Ԑ, com tolerância Ԑ desejada.
Ex1 Calcule a raiz da equação b��� � �� �I� 2 � 1 com Ԑ % 10.�; Isolando-se a raiz, tem-se que Ԑ ∈ �1, 2�
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Na HP 50g nº A B X F(x) ∆x n Na Bn Xn F(xn) Ԑ 0 1 2 1,5 0,253 - 1 1 1,5 1,25 -0,386 0,25 2 1,25 1,5 1,375 -0,090 0,125 3 1,375 1,5 1,438 -0,075 0,063 4 1,375 1,438 1,407 0,007 0,031 5 1,407 1,438 1423 0,036 0,016
6 1,407 1,423 1,415 0,014 0,008 Método de Cordas (Secante)
Seja b��� uma função contínua que tenha derivada segunda com sinal constante no intervalo [a,b], sendo que b’�#�. b��� � 0 e que existe somente um número Ԑ ∈ �a, b� tal que b�Ԑ� � 0
No método das cordas ao invés de se dividir o intervalo, [a,b] ao meio, ele é dividido em
partes proporcionais à razão – q�D�q�r�, ou seja :
s1� � # � � b�#��b�#� - b��� Isto conduz a um valor aproximado da raiz ,
�1 � # - s1
�1 � # � b�#�b��� � b�#� . �� � #� Ao se aplicar este procedimento ao novo intervalo que contém Ԑ�ta, x1uoutx1, bu�, obtém-se uma nova aproximação x2 da raiz.
O método das cordas equivale a substituir a curva x � b��� por uma corda que passa através dos pontos �t#, b�#�u�yt�, b���u. Quatro situações são possíveis :
b"��� ( 0{|} b�#� � 0�b��� ( 0~#I��b�#� ( 0�b��� � 0~#I���b�#� � 0�b��� ( 0~#I����b�#� ( 0�b��� � 0~#I�����
�
Como exemplo faremos a interpretação do caso I, para os demais o procedimento é análogo.
Caso I :
Pela figura, vê-se que :
b���– b��0�� � �0 � 0 � b��0��1 � �0 �1 � �0�b��0� � �� � �b��0� � b���
�1 � �0– � b��0�b��0� � b���� . ��0 � �� Por indução
� - 1 � � � � b�� �b�� � � b���� . �� � �� n=1,2,3,4 ...
Observando a figura e a equação do caso I conclui-se que :
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a) O ponto fixado(a ou b) é aquele no qual o sinal da função b��� coincide com o sinal da sua derivada b”���. b) a aproximação sucessiva xn se faz do lado da raiz Ԑ, onde o sinal da função b���é o oposto ao sinal de sua derivada segunda b”���. Com base no exposto, tem-se a equação geral o cálculo de raiz de equeação pelo método de cordas.
� - 1 � � � � b�� �b�� � � b�!�� . �� � !� n=0,1,2,3...
Sendo c o ponto externo do intervalo [a,b] onde a função apresenta o mesmo sinal de f”(x), ou seja,
b�!�. b”�!� ( 0
Ex2: Calcule a raiz da equação b��� � �K �I" ��� � 2 com Ԑ % 10. Esta equação tem uma raiz em [1;1,2].
b′��� � �K � !�I�
b"��� � �K - I" �
f(1) -0,123189 f(1,2) 0,388078 f”(1) 3,559753 f(1,2) 4,252156
Na HP 50g I X(i-1) F(x(i-1) N Xn f(n) Erro 0 1 -0,123189 1 1,04819 -0,014038 0,04819 2 1,05349 -0,001513 0,0053 3 1,054059 -0,000162 0,000569 4 1,05412 -0,000071 0,000061 5 1,054126 -0,000002 0,000006 Exercícios: Bisseção Ԑ < 10^-2 ou K>10
a) b��� � � - ���; ԐЄ�0,1; 1�
b) b��� � 3� � !�I�; ԐЄ�0; f"/2� c) b��� � � - 2!��; ԐЄ��f"; 0�Cordas:
a) b��� � 2�� - I" � � 10; ԐЄ�f"/2; f"� b)b��� � �² � 10� � � 5; ԐЄ�0,4; 1� c) b��� � �³ � ��K - 3; ԐЄ�0; 1� d) b��� � I� � � � �; ԐЄ�1,5; 3/4f"�Critérios de convergência: Ԑ % 10.:�&> ( 10
a) ���� � � - ���; ԐЄ��, �; �� nº A B X F(x) ∆x N Na Bn Xn F(xn) Ԑ
0 0,1 1 .55 0,2903 -
1 0,1 .55 .325 -0,163 .225
2 0,325 .55 .4375 0,078 .1125
3 0,325 .4375 .38125 -0,037 .05625
4 0,38125 .409375 .409375 0,021 .28125
5 0,38125 .409375 .3953125 -0,007 .0140625
6 0,3953125 .409375 .40234375 0,0069 .00703125
b) ���� � �� � ����; ԐЄ��; ��/�� nº A B X F(x) ∆x N Na Bn Xn F(xn) Ԑ
0 0 1 .5 0,622
1 0 0,5 .25 -0,218 .25
2 0,25 0,5 .375 ,194 .125
3 0,25 .375 .3125 ,0140 .0625
4 0,3125 .375 .34375 ,089 .03125
5 0,3125 .34375 .328125 0377 .015625
6 0,3125 .328125 .3203125 0,1189 .0078125
c) ���� � � - ����; ԐЄ����; �� nº A B X F(x) ∆x N Na Bn Xn F(xn) Ԑ
0
1
2
3
4
5
6
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09-04-2011
Método de Newton
Seja b��� uma função contínua n intervalo [a,b] e Ԑ o seu único zero neste intervalo: as derivadas b’��� �b’��� 1 0��b"��� devem também ser contínuas. Encontra-se uma aproximação � ara a raiz Ԑ é feita uma expansão em série de Taylor para b��� � 0
b��� � b�� � - b’�� ��� � � � b�� - 1� � 0 � b�� � - b’�� ��� - 1 � � �
� b�� �b′�� � � � - 1 � �
� - 1 � � � b�� �b′�� � n=0,1,2,3 ...
O método de Newton é equivalente a substituir um pequeno arco de curva x � b��� por uma reta tangente, traçada a partir de um ponto de curva.
Como no método das cordas, quatro situações são possíveis:
b"��� ( 0 �b���� ( 0�!#I�b ��� � 0��!#I�� b"��� � 0 �b���� ( 0���!#I�b ��� � 0��!#I� �
A equação do Método de Newton será deduzida a partir do caso I, embora todo as os casos forneçam a mesma equação.
A fim de se obter uma melhor aproximação, a1 da raiz Ԑ, traça-se, a partir do pnto B0[x0,f(x0], uma reta tangente à curva y=f(x), que intercepta o eixo do x no ponto x1. Do ponto b1[x1,f(x1)], traça-se outra reta tangente à curva que corta o eixo dos x no ponto x2, sendo este ponto uma melhor aproximação da raiz. O processo se repete até que se encontre Ԑ=xn com a tolerância Ԑ requerida.
Geometricamente:
�# 2 � b��0��0 � �1 � b’��0� b��0�/�b’��0� � ��0 � �1��1 � �0 � b���/�b’��0�tan 3 � b��1��1 � �2 � b’��1� b��1�/�b’��1� � ��1 � �2�
�2 � �1– b��1�b′��1� Escolha di x0
Pela figura vê-se que o traçado a tangente a partir do ponto �t�0, b��0�u pode-se encontrar um ponto �’1∄t#, �u e o método de Newton pode não convergir.
Por outro lado escolhendo-se � � �00 processo convergirá.
É condição suficiente para a convergência do método de Newton que: b’��� e “b��� sejam não nulas e preservem o sinal em �#, �� e �0 seja tal que b��0�. b”��0� ( 0
A equação de Newton fica então :
� - 1 � � � b�� �b’�� �; � 0,1,2…Onde:
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b��0�. b”��0� ( 0�!�"�é�"���!� ���ê !"#� Ex1 Ache a raiz de b��� � 2�³ - � � � 5 com Ԑ % 10.O ,sabendo que Ԑ ∈ t1,2u
b���� � 6�� - 1�b”��� � 12� � 1��
f(1)-3 f(2)=-11,69314718 f”(1)=11 f”(2)=23,75
N Xn F(xn) F’(xn) Ԑ 1 2 3 4 5
a)b��� � 2� � I" � - 4; � ∈ t�3,�2u b) b��� � �K � �# �; � ∈ t1, 1,4u c) b��� � �2 � 2� - �N¢@K; � ∈ t0, 0,8u 30-04-2011
Integração Numérica Trapézios
Seja b��� uma função positiva no intervalo [a,b] temos :
∆� � r.D
���#f � y - �2 . s
�" � �¤¥� - ¤¥�/2. ∆�
� �¦�" ¥§
� � ¤0 - ¤12 . ∆� - ¤1 - ¤22 . ∆� - ¤2 - ¤32 . ∆� …- ¤ � 1 - ¤ 2 . ∆�
� � ∆� ¨¤0 - ¤ 2 - ¤1 - ¤2 -⋯¤) � 1©Ex1
Obter o valor da integral abaixo, com n=5
� � ª 1/�� �� � � 2 � 0,693
∆¤ � 2 � 15 � 0,2� � 0,695� � 0,2 ¨1 - 0,52 - 0,833 - 0,714 - 0,625 - 0,556©
n Xn Yn 0 1 1 1 1,2 0,833 2 1,4 0,714 3 1,6 0,625 4 1,8 0,556 5 2 0,5 ∆x=2-1/10=0,1
N Xn Yn 0 1 11 1,1 0,9092 1,2 0,8033 1,3 0,7694 1,4 0,7145 1,5 0,6676 1,6 0.6257 1,7 0,5888 1,8 0,5569 1,9 0,52610 2 0,5
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� � 0,1 ¨1 - 0,52 - I�e#�x1: x9�©� � 0,694
Método de Simpson
Consiste em fazer um ajustamento na curva da função usando parábolas.
� � ¬s3 �¤0 - 4¤1 - ¤2� - ¬s3 �¤2 - 4¤3 - ¤4�- ¬s3 �¤4 - 4¤5 - ¤6� -…- ¬s3 �¤ � 2 - 4¤ � 1 - ¤ �
FÓRMULA GERAL DO MÉTODO DE SIMPSON
� � ¬∆�3 tx� - x - 4�¤1 - ¤3 -⋯- ¤ � 1�- 2�x2 - x4 -⋯- x � 2�u
OBSERVAÇÃO
Na regra de Simpson n deverá ser PAR !
s � ∆�� � ¬0,13 t1 - 0,5
- 4�0,909 - 0,769 - 0,667 - 0,588- 0,526�- 2�0,833 - 0,714 - 0,625- 0,556�u� � 0,693
Calcule o valor das integrais todas com n=4
a)� � ® �2� - 3�� ��
b)� � ® N¢DK��K�� ��
c)� � ® 8�KW� ��
d)� � ® ¯¢°K�KWK�:8� ��
e)� � ® �²/�� � 1�².� ��
f)� � ® ��K���
g)� � ® ln�� - 1�� ��
06-05-11
Equações Diferenciais Ordinárias
Problema de valor Inicial (PVI)
Método de Eüller
Seja o ,�� � � x´� b��, x�;x��0� � x0 � � , n dado (1)
Desejam-se aproximações x1, x2, . . . x para as soluções exatas x�1�, x��2�, . . . ¤� �. Vai-se, primeiramente, com auxílio da figura, procurarx1
Como se desconhece o valor x��1�, toma-se x1 como aproximação para x��1�. Para isso toca-se a tangente T à curva x��� no ponto. ��0�, x��0�0, suja equação é :
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x��� � x��0� � �� � �0�x’��0� (2)
Fazendo em (2) X=X1 e lembrando que x��0� � x0, �1 � �0 � s, x’��0� � b��0, x��0�� e x1 � x��1�. Tem-se:
x1 � x0 - sb��0, x��0�(3)
O erro cometido na aproximação de x��1� por x1 é �1 � x1 � x��1� Ou seja, a diferença entre a solução numérica e a solução exata.
Ex:
Achar as aproximações para a solução PVI
�x’ � � � x - 2;¤�0� � 2 � na malha de [0,1] com h =
0,1
Semelhante ao método de Newton na sua fórmula
²# �2 � x1 � x0�1 � �0 � x’No entanto, com uma peculiaridade. Precisamos encontrar neste método o Y1 e não o X1 como no método de Newton.
Logo ,
¤ � x0 - x’��1 � �0�s � ��1 � �0�
x1 � x0 - sb��0, x0� x2 � x1 - sb’��1, x1�x - 1 � x - sb�� , x �MÉTODO DE EÜLLER MELHORADO
O problema é o mesmo
� x´� b��, x�;x��0� � x0 � �
Da interpolação geométrica temos :
e1 � b��0, x0�x1³³³³ � x0 - s.e1
e2 � b��0 - s, x1³³³³�x1 � x0 - ¬e1 -e22 . s
e1 � b�� , x �x - 1³³³³³³³³³³ � x0 - s.e1
e2 � b�� - s, x - 1³³³³³³³³³�x - 1 � x - ¬e1 -e22 . s
Ex2 Achar as aproximação para a solução PVI
�x’ � � � x - 2;¤�0� � 2 � na malha de [0,1] com h =
0,2
Exercícios calcular pelos 2 métodos
a) x´� x � ��K� x�0� � 1; t0,1us � 0,2
b) x´� K x�0� � 0; t1,2u!�es � 0,1
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c) x’ � @M �K�.´MU
x�0� � 1; t0,1u!�es � 5
d) x’ � x � �K - 1
x�0� � 2; t0,1u!�es � 5
e) x’ � � � 2x - 1
x�0� � 2; t0,1u!�es � 5