Interpolación

MÉTODO DE LAGRANGE Numérico II

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INTERPOLACIÓN

El problema matemático de la interpolación es el siguiente:

Dada una lista de puntos (𝒙𝟎, 𝒚𝟎), …, (𝒙𝒏, 𝒚𝒏) se busca una función 𝒈 𝒙 que pasea través del conjunto de puntos.

(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)

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𝒈(𝒙)

INTERPOLACIÓN

EJEMPLO: En la siguiente tabla se muestran datos del número de titulados, en lalicenciatura en matemáticas aplicadas, de 2011 a 2016.

Año Titulados

2011 9

2012 10

2013 12

2014 8

2015 9

2016 9

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INTERPOLACIÓN

Para obtener una estimación del número de titulados que habría en 2010 o en el año2017 se debe obtener una función 𝒈(𝒙) que corresponda a los datos disponibles.

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𝒈(𝒙)

x g(x)

2010

2011 9

2012 10

2013 12

2014 8

2015 9

2016 9

2017

g(2010)

g(2017)

INTERPOLACIÓN

Los valores (𝒙𝒊, 𝒚𝒊) pueden corresponder a:

Datos obtenidos por muestreo o experimentación

Valores de una función conocida pero de evaluación difícil o lenta

Valores de una función desconocida

En la práctica se tiene una tabla de datos (𝒙𝒊, 𝒚𝒊), 𝒊 = 𝟎, 𝟏, … , 𝒏. 𝒙 𝒇(𝒙)

𝒙𝟎 𝒚𝟎

𝒙𝟏 𝒚𝟏

𝒙𝟐 𝒚𝟐

. . .

𝒙𝒏 𝒚𝒏

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INTERPOLACIÓN

DEFINICIÓN

Una función de interpolación 𝒈 es aquella que pasa exactamente por los puntos conocidos [2],

𝒈 𝒙𝒊 = 𝒚𝒊 = 𝒇 𝒙𝒊 , ∀𝒊 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏

La función aproximada debe ser sencilla y fácil de calcular; por supuesto, existen diversos métodos para encontrar dicha función.

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INTERPOLACIÓN POLINOMIAL

En el caso de la interpolación polinomial se busca una función polinomial 𝒑, esdecir, un polinomio que pase a través de los puntos dados.

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𝒑(𝒙)

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL

DEFINICIÓN

La función 𝒚 = 𝒑 𝒙 interpola los 𝒏 + 𝟏 puntos (𝒙𝟎, 𝒚𝟎), …, (𝒙𝒏, 𝒚𝒏)

si 𝒑 𝒙𝒊 = 𝒚𝒊 , ∀𝒊 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … , 𝒏, con 𝒙𝒊 ≠ 𝒙𝒋, 𝒊 ≠ 𝒋 y 𝒙𝒊 < 𝒙𝒊+𝟏

(ordenados en las coordenadas 𝒙 y además diferentes) [1].

A cada 𝒙𝒊 se le dice nodo de interpolación y a cada 𝒚𝒊 valor interpolado [5].

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INTERPOLACIÓN POLINOMIAL

OBSERVACIÓN.

La interpolación polinomial es el proceso inverso de la evaluación polinomial. En laevaluación, dado un polinomio 𝒑(𝒙) se obtiene un conjunto de puntos {(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)}.Mientras que en la interpolación, dado un conjunto de puntos {(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)} se obtiene unpolinomio 𝒑 𝒙 .

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𝒑(𝒙) {(𝒙𝒊, 𝒚𝒊)}

MÉTODO DE LAGRANGE

Polinomio de interpolación de grado 1

Dados 𝟐 puntos (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) y (𝒙𝟏, 𝒚𝟏), el polinomio 𝒑(𝒙) de grado menor o igual a 1que pasa por los dos puntos, es de la forma:

𝒑 𝑥 =𝑥−𝒙𝟏

𝒙𝟎−𝒙𝟏𝒚𝟎 +

𝑥−𝒙𝟎

𝒙𝟏−𝒙𝟎𝒚𝟏

Cuando de evalúan 𝒙𝟎 y 𝒙𝟏:

𝒑 𝒙𝟎 =𝒙𝟎−𝒙𝟏

𝒙𝟎−𝒙𝟏𝒚𝟎 +

𝒙𝟎−𝒙𝟎

𝒙𝟏−𝒙𝟎𝒚𝟏= 𝒚𝟎

𝒑 𝒙𝟏 =𝒙𝟏−𝒙𝟏

𝒙𝟎−𝒙𝟏𝒚𝟎 +

𝒙𝟏−𝒙𝟎

𝒙𝟏−𝒙𝟎𝒚𝟏 = 𝒚𝟏

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MÉTODO DE LAGRANGE

EJEMPLO: Encontrar el polinomio interpolante de grado 1, que pasa por los puntos (2011,9), (2013,12).

SOLUCIÓN: En este caso se tiene que

𝒑 𝑥 =(𝑥−2013)(2011-2013)

9 +(𝑥−2011)

(2013-2011)12

= −4.5(𝑥−2013) + 6(𝑥−2011)

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= 1.5𝑥 − 3007.5

MÉTODO DE LAGRANGE

Polinomio de interpolación de grado 2

Dados 3 puntos (𝒙𝟎, 𝒚𝟎), (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) y (𝒙𝟐, 𝒚𝟐), el polinomio 𝒑(𝒙) de grado menor o igual a 𝟐que pasa por los tres puntos, es de la forma:

𝒑 𝑥 =𝑥−𝒙𝟏 𝑥−𝒙𝟐

𝒙𝟎−𝒙𝟏 𝒙𝟎−𝒙𝟐𝒚𝟎 +

𝑥−𝒙𝟎 𝑥−𝒙𝟐

𝒙𝟏−𝒙𝟎 𝒙𝟏−𝒙𝟐𝒚𝟏 +

𝑥−𝒙𝟎 𝑥−𝒙𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟎 𝒙𝟐−𝒙𝟏𝒚𝟐

Cuando de evalúan 𝒙𝟎, 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐:

𝒑 𝒙𝟎 = 𝒚𝟎

𝒑 𝒙𝟏 = 𝒚𝟏

𝒑 𝒙𝟐 = 𝒚𝟐

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MÉTODO DE LAGRANGE

EJEMPLO: Encontrar el polinomio interpolante de grado menor o igual a 2, que pasa por los puntos (2011,9), (2012, 10), (2013,12).

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MÉTODO DE LAGRANGE

SOLUCIÓN: 𝒑 𝒙 = 9 +

= 0.5𝒙𝟐 − 2010.5𝒙 + 2021064

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(x-2012)(x-2013)

(2011-2012)(2011-2013)10 +

(x-2011)(x-2013)

(2012-2011)(2012-2013)12

(x-2011)(x-2012)

(2013-2011)(2013-2012)

MÉTODO DE LAGRANGE

Polinomio de interpolación de grado 𝒏

En general, dados 𝒏 + 𝟏 puntos (𝒙𝟎, 𝒚𝟎), (𝒙𝟏, 𝒚𝟏), …, (𝒙𝒏, 𝒚𝒏). Para cada 𝒌 entre

𝟎 y 𝒏, se construye el polinomio 𝑳𝒏,𝒌 𝒙 [5] como

𝑳𝒏,𝒌 𝑥 =𝑥−𝒙𝟎 𝑥−𝒙𝟏 … 𝑥−𝒙𝒌−𝟏 𝑥−𝒙𝒌+𝟏 …(𝑥−𝒙𝒏)

𝒙𝒌−𝒙𝟎 … 𝒙𝒌−𝒙𝒌−𝟏 𝒙𝒌−𝒙𝒌+𝟏 … 𝒙𝒌−𝒙𝒏

𝑳𝒏,𝒌 𝑥 =ෑ𝑖=0,𝑖≠𝑘

𝑛 𝑥 − 𝒙𝒊𝒙𝒌 − 𝒙𝒊

donde el numerador no incluye 𝑥 − 𝒙𝒌 y el denominador no incluye 𝒙𝒌 − 𝑥 [2].

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MÉTODO DE LAGRANGE

Las funciones 𝑳𝒏,𝒌 𝒙 son polinomios de orden 𝒏. Así, si multiplicamos

𝑳𝒏,𝟎 , 𝑳𝒏,𝟏 , 𝑳𝒏,𝟐 , …, 𝑳𝒏,𝒏

por

𝒚𝟎, 𝒚𝟏, …, 𝒚𝒏,

respectivamente y las sumamos, el resultado será un polinomio de orden a lo más 𝒏[2].

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MÉTODO DE LAGRANGE

Los polinomios de Lagrange [1] 𝑳𝒏,𝟎 , 𝑳𝒏,𝟏 , 𝑳𝒏,𝟐 , …, 𝑳𝒏,𝒏 cumplen

𝑳𝒏,𝒌 𝒙𝒊 = ቊ𝟎, 𝒊 ≠ 𝒌𝟏, 𝒊 = 𝒌

Esta propiedad garantiza 𝒑 𝒙𝒊 = 𝒚𝒊 .

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MÉTODO DE LAGRANGE

DEFINICIÓN

El polinomio de lagrange 𝒑(𝒙) de grado ≤ 𝒏 que pasa por los 𝒏 + 𝟏 puntos

(𝒙𝟎, 𝒚𝟎), (𝒙𝟏, 𝒚𝟏), …, (𝒙𝒏, 𝒚𝒏)

con 𝒙𝒊 ≠ 𝒙𝒋 si 𝒊 ≠ 𝒋, es de la forma [4][5]

𝒑 𝒙 = 𝑳𝒏,𝟎 (𝒙) 𝒚𝟎 + 𝑳𝒏,𝟏 (𝒙) 𝒚𝟏+ …+ 𝑳𝒏,𝒏 (𝒙) 𝒚𝒏

𝒑 𝒙 = σ𝒌𝒏=𝟎 𝑳𝒏,𝒌 (𝒙) 𝒚k

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MÉTODO DE LAGRANGE

El polinomio interpolador de Lagrange se escribe de forma compacta como:

𝒑 𝑥 =

𝒌=𝟎

𝒏

𝒚𝒌 ෑ𝑖=0,𝑖≠𝑘

𝑛 𝑥 − 𝒙𝒊𝒙𝒌 − 𝒙𝒊

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MÉTODO DE LAGRANGE

EJEMPLO: Construir el polinomio interpolador utilizando el método de Lagrangeconsiderando los puntos (1,3), (2, 4), (3,2) y (5,1) [6].

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MÉTODO DE LAGRANGE

SOLUCIÓN: En este caso 𝒏 = 𝟑 entonces se tienen 𝒏 + 𝟏 = 𝟒 puntos.

𝒑 𝒙 = 𝑳𝟑,𝟎 (𝒙) 𝒚𝟎 + 𝑳𝟑,𝟏 (𝒙) 𝒚𝟏+ 𝑳𝟑,𝟐 (𝒙) 𝒚𝟐 + 𝑳𝟑,𝟑 𝒙

= 𝑳𝟑,𝟎 (𝒙) 3 + 𝑳𝟑,𝟏 (𝒙) 4 + 𝑳𝟑,𝟐 (𝒙) 2 + 𝑳𝟑,𝟐 𝒙 1

Y los polinomios de Lagrange son:

𝑳𝟑,𝟎 𝒙 =𝑥−𝟐 𝑥−𝟑 (𝒙−𝟓)

𝟏−𝟐 𝟏−𝟑 𝟏−𝟓= −

𝟏

𝟖(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟓)

𝑳𝟑,𝟏 𝒙 =𝑥−𝟏 𝑥−𝟑 (𝒙−𝟓)

𝟐−𝟏 𝟐−𝟑 𝟐−𝟓=

𝟏

𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟓)

𝑳𝟑,𝟐 𝒙 =𝑥−𝟏 𝑥−𝟐 (𝒙−𝟓)

𝟑−𝟏 𝟑−𝟐 𝟑−𝟓= −

𝟏

𝟒(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟓)

𝑳𝟑,𝟑 𝒙 =𝑥−𝟏 𝑥−𝟐 (𝒙−𝟑)

𝟓−𝟏 𝟓−𝟐 𝟓−𝟑=

𝟏

𝟐𝟒(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟑)

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y3

MÉTODO DE LAGRANGE

SOLUCIÓN: Se tiene entonces

𝒑𝟑 𝒙 = −𝟑

𝟖(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟓) +

𝟒

𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟑) (𝒙 − 𝟓)

−𝟏

𝟐(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟓) +

𝟏

𝟐𝟒(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟐) (𝒙 − 𝟑)

Simplificando

𝒑(𝒙) =𝟏

𝟐𝒙𝟑 −

𝟗

𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟒

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MÉTODO DE LAGRANGE

SOLUCIÓN: Si se requiere el polinomio interpolador en sólo un punto, por ejemplo

𝑥 = 𝟒, simplemente se considera

𝒑(𝟒) =𝟏

𝟐(𝟒𝟑) −

𝟗

𝟐(𝟒𝟐) + 𝟏𝟏(𝟒) − 𝟒

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MÉTODO DE LAGRANGE

OBSERVACIÓN.

No se requiere que los nodos estén igualmente espaciados.

El grado de 𝒑 es ≤ 𝒏 pues podría pasar, por ejemplo, que tres puntos estén sobre una recta y así el polinomio tendría grado cero o grado uno.

El polinomio interpolante es único, es decir, solo hay un polinomio que pasa por estos 𝒏 +𝟏 puntos.

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BIBLIOGRAFÍA

1. Mora Escobar H. M., Introducción a C y a métodos numéricos, UniversidadNacional de Colombia, Bogotá (2004).

2. Nakamura S., Métodos numéricos aplicados con software, Prentice Hall, México(1992).

3. Chinea C. S., Interpolación y polinomios de Lagrange.

4. Burden R. L. & Faires J. D., Análisis numérico, Séptima Edición (2002).

5. Mora W., Introducción a los métodos numéricos, Revista digital matemática, CostaRica (2016).

6. Gutierrez J. A., Olmos M. A. & Casillas J. M., Análisis Numérico, McGrawHill(2010).

MOYOTL-HERNÁNDEZ E., FCFM, BUAP 2017 25