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Matrices
Universidad Nacional de Educación
Álgebra Lineal
Ciclo 2008 - 2
UNE
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• Introducción.
• Definición de matriz.
• Tipos de matrices.
• Igualdad de matrices.
• Operaciones con matrices.
• Propiedades de las matrices.
Matrices
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Introducción
¿Por qué deben interesar las matrices?
1. Permiten resolver rápidamente sistemas de ecuaciones lineales.
2. Son una manera ordenada que utiliza la matemática para expresar las rotaciones en las aplicaciones aeroespaciales y en los gráficos de computador para el CAD.
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3. Permiten modelar sistemas de redes, de flujo y de transporte. Destaca su aplicación en el análisis de circuitos.
4. Sirven como portadoras de información para almacenar tablas de datos, valores experimentales, imágenes digitalizadas, señales cifradas, etc.
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Matriz
Una matriz de orden es un arreglo rectangular de números colocados en líneas horizontales (filas) y líneas verticales (columnas).
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
A nm
mn
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Notación:
: Elemento de la fila i y columna j.
nmij AaA )(
ija
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Tipos de Matrices
Matriz Nula o Cero:Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se denota por .0
000
0000
Ejemplo:
es una matriz cero de orden .320
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Tipos de Matrices
nMatriz fila:Es una matriz con una sola fila ycolumnas.Ejemplo:
2741 F
es una matriz fila de cuatro columnas.F
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Tipos de Matrices
mMatriz columna:Es una matriz con filas y una sola columna.Ejemplo:
1
6
2
C
es una matriz columna de tres filas.C
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Tipos de Matrices
Matriz cuadrada:
Es una matriz en la cual el número de
filas es igual al número de columnas.
En caso que dicho número sea se dice
que la matriz es de orden .
nn
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Ejemplo:
270
469
172
M
es una matriz cuadrada de orden . Una matriz de orden , tiene un sólo elemento.
31
M
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Tipos de Matrices
DMatriz diagonal:
Se dice que la matriz cuadrada es
diagonal, si cumple con las siguientes
condiciones:
0ijd ji • , si .
iid• Los elementos no son todos nulos.
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es una matriz diagonal de orden . 4D
Ejemplo:
1000
0000
000
0002
x
y
D
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Tipos de Matrices
SMatriz triangular superior:
Se dice que la matriz cuadrada es
triangular superior, si cumple con las
siguientes condiciones:
0ijsji • Si , entonces .
ijsji • Si , entonces es cualquiera.
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es una matriz triangular superior de orden . 4S
Ejemplo:
5000
3000
51140
8932
S
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Tipos de Matrices
TMatriz triangular inferior:
Se dice que la matriz cuadrada es
triangular inferior, si cumple con las
siguientes condiciones:
0ijtji • Si , entonces .
ijtji • Si , entonces es cualquiera.
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es una matriz triangular inferior de orden . 4T
Ejemplo:
2570
01412
0083
0002
T
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Tipos de Matrices
Matriz identidad:
Es una matriz diagonal con todos los
elementos en ella iguales a . En caso
que sea de orden , se denota por . nI
1
n
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es una matriz identidad de orden . 33I
Ejemplo:
100
010
001
3I
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Tipos de Matrices
Matriz simétrica:
Es una matriz cuadrada en
la cual para todo par de índices se
cumple:
ji,
jiij aa
)( ijaA
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es una matriz simétrica de orden . 3A
Ejemplo:
1
03
32
az
a
z
A
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Tipos de Matrices
Matriz antisimétrica:
Es una matriz cuadrada en
la cual para todo par de índices se
cumple:
ji,
jiij bb
)( ijbB
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es una matriz antisimétrica de orden . 3B
Ejemplo:
04
401
10
a
a
B
En toda matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal son .0
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Igualdad de Matrices
ijij ba
Sean y dos
matrices del mismo orden. Se dice que
es igual a y se escribe , si
para todo par de índices se tiene:
)( ijaA )( ijbB
A B BA
ji,
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Ejemplo:
52
1
y
xA
54
31B
Sean:
Si entonces: e .BA 3x 2y
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Operaciones con Matrices
1. Suma de matrices:
Sean y dos matrices
del mismo orden. Se define una nueva
matriz, la suma de y , que se denota
por , como la matriz
A BBA
)( ijaA )( ijbB
)( ijij baBA
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Operaciones con Matrices
Propiedades de la suma:
Sean , y tres matrices del
mismo orden, entonces:
1. .
2. , donde la matriz tiene
el mismo orden que la matriz .
3. .
A B C
ABBA AA 0
)()( CBACBA
0A
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Ejemplo:
Un agricultor que posee tres fincas,
muestra en el siguiente cuadro las
pérdidas o ganancias de sus
productos, medidas en toneladas, en
los dos últimos años:
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Producto Trigo Arroz Frijol Maíz Café
Año 2003
Finca 1 -0,5 10 3 7 2Finca 2 -3 0,6 0 12 -1Finca 3 4 -2 -1 15 13
Año 2004
Finca 1 3 2 -4 3 5Finca 2 1,6 1 -2 0 4Finca 3 8 -3 4 7 10
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Si queremos calcular la pérdida o ganancia neta a lo largo de los dos últimos años, ¿qué operaciones debemos realizar y cómo?
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Operaciones con Matrices
2. Producto de un escalar por una matriz:
Sean una matriz y un
escalar. Se define una nueva matriz, el
producto de por , que se denota
por , como la matriz .
AA
)( ijaA
)( ijaA
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Operaciones con Matrices
Propiedades del producto escalar:
Sean y dos matrices del mismo
orden, y dos escalares,
entonces:
1. .
2. .
3. .
A B
BABA )(AAA )(
AA )()(
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Operaciones con Matrices
4. .
5. , donde el de la izquierda
es el escalar cero y el de la
derecha es la matriz nula, que tiene
el mismo orden que la matriz .
AA1
00 A 0
A
0
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Operaciones con Matrices
3. Transposición de una matriz:
Sea una matriz de orden
. Se define una nueva matriz, la
transpuesta de , que se denota por
, como la matriz , la cual
tiene orden .
AtA
)( ijaAnm
)( jit aA
mn
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Operaciones con Matrices
Propiedades de la transposición:
Sean y dos matrices del mismo
orden, un escalar, entonces:
1. .
2. .
3. .
A B
AA tt )(ttt BABA )(
tt AA )(
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Ejemplo:
Sea:
303
352
431
A
334
053
321entonces:
tA
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Propiedades de las Matrices
Matriz simétrica:
es una matriz simétrica, sí y solo síA
AAt
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Ejemplo:
Sea:
245
413
532
A
245
413
532
Como , entonces es una matriz simétrica.
AAt A
luego:
tA
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Propiedades de las Matrices
Matriz antisimétrica:
es una matriz antisimétrica, sí y
solo sí
A
AAt
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Ejemplo:
Como , entonces es una matriz antisimétrica.
AAt A
luego:
tA
Sea:
075
701
510
A
075
701
510
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Operaciones con Matrices
4. Producto de una matriz fila por una matriz columna:
Sean una matriz fila y
una matriz columna. Se
define una nueva matriz, el producto
de por , de orden , que se denota
por , como la matriz
A BAB
niaA 1)(
1)( nibB
n
iiibaAB
1
1
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Ejemplo:
luego:
Sean:
5211 A
7
0
4
3
B
34AB
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Operaciones con Matrices
5. Producto de matrices:
Sean y dos
matrices. Se define una nueva matriz,
el producto de por , de orden ,
que se denota por , como la matriz
A BAB
pmikaA )( npkjbB )(
p
kjkki baAB
1
.
nm
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Ejemplo:
luego:
Sean:
32213
021
A
132
0
1
B
127
1
AB
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Operaciones con Matrices
Observaciones:
1. Para que el producto se pueda realizar, se requiere que el número de columnas de sea igual al número de filas de .
2. La matriz producto , tiene el mismo número de filas que la matriz
y el mismo número de columnas que la matriz :
AB
AB
AB
AB
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3. Existen matrices y para las
cuales el producto existe y, sin
embargo, el producto no existe.BAABA B
nmnppm CBA
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Ejemplo:
1332 BA3213 AB
luego, existe:
Sean:
pero no existe:
32213
021
A
132
0
1
B
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Operaciones con Matrices
4. Existen matrices y para las
cuales los productos y existen,
pero no son iguales. Por ello, se dice
que el producto de matrices no es
conmutativo.
BAAB
A B
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luego, existen los productos y :
Sean:
pero no son iguales.
41
31A
02
43B
45
49AB
62
77BA
Ejemplo:
AB BA
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Operaciones con Matrices
5. Sean una matriz cuadrada de
orden e la matriz identidad.
Entonces, su producto es
conmutativo:
A
nI
AAIAI nn
n
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Ejemplo:
Sean:
luego:
dc
baA
10
012I
AAI 2 AAI 2
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Operaciones con Matrices
6. Sean y dos matrices tales que
. Esto no quiere decir
que , que o que ambos,
.
A B
0AB
0A 0B0BA
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Ejemplo:
Sean:
luego:
sin embargo, ni ni son .
01
02A
31
00B
0AB
A B 0
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Operaciones con Matrices
Propiedades del producto de matrices:
Sean , y matrices tales que las
operaciones siguientes están
definidas, entonces:
1. , .
A B C
AAI AIA
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Ejemplo:
Sean:
312A
100
010
001
3I
3123 AI
luego:
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Ejemplo:
Sean:
5
4A
10
012I
5
42AI
luego:
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Operaciones con Matrices
2. Asociatividad:
.)()( BCACAB
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Ejemplo:
Sean:
101
520A
637
906
411
B
4
0
1
C
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luego:
34
1)( CAB
34
1)(BCA
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Operaciones con Matrices
ACABCBA )(
BCACCBA )(
3. Distributividad:
,
.
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Ejemplo:
Sean:
101
520A
190
510B
1
3
2
C
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luego:
27
19)( CBA
27
19ACAB
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ttt ABAB )(
Operaciones con Matrices
4. .
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Ejemplo:
Sean:
12A
52
84B
luego:
21
10)( tAB
21
10ttAB