Matrices 2005 8 2da Clase

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Matrices

Universidad Nacional de Educación

Álgebra Lineal

Ciclo 2008 - 2

UNE


• Introducción.

• Definición de matriz.

• Tipos de matrices.

• Igualdad de matrices.

• Operaciones con matrices.

• Propiedades de las matrices.

Matrices


Introducción

¿Por qué deben interesar las matrices?

1. Permiten resolver rápidamente sistemas de ecuaciones lineales.

2. Son una manera ordenada que utiliza la matemática para expresar las rotaciones en las aplicaciones aeroespaciales y en los gráficos de computador para el CAD.


3. Permiten modelar sistemas de redes, de flujo y de transporte. Destaca su aplicación en el análisis de circuitos.

4. Sirven como portadoras de información para almacenar tablas de datos, valores experimentales, imágenes digitalizadas, señales cifradas, etc.


Matriz

Una matriz de orden es un arreglo rectangular de números colocados en líneas horizontales (filas) y líneas verticales (columnas).

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

A nm

mn


Notación:

: Elemento de la fila i y columna j.

nmij AaA )(

ija


Tipos de Matrices

Matriz Nula o Cero:Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se denota por .0

000

0000

Ejemplo:

es una matriz cero de orden .320


Tipos de Matrices

nMatriz fila:Es una matriz con una sola fila ycolumnas.Ejemplo:

2741 F

es una matriz fila de cuatro columnas.F


Tipos de Matrices

mMatriz columna:Es una matriz con filas y una sola columna.Ejemplo:

1

6

2

C

es una matriz columna de tres filas.C

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Tipos de Matrices

Matriz cuadrada:

Es una matriz en la cual el número de

filas es igual al número de columnas.

En caso que dicho número sea se dice

que la matriz es de orden .

nn

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Ejemplo:

270

469

172

M

es una matriz cuadrada de orden . Una matriz de orden , tiene un sólo elemento.

31

M

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Tipos de Matrices

DMatriz diagonal:

Se dice que la matriz cuadrada es

diagonal, si cumple con las siguientes

condiciones:

0ijd ji • , si .

iid• Los elementos no son todos nulos.

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es una matriz diagonal de orden . 4D

Ejemplo:

1000

0000

000

0002

x

y

D

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Tipos de Matrices

SMatriz triangular superior:


triangular superior, si cumple con las

siguientes condiciones:

0ijsji • Si , entonces .

ijsji • Si , entonces es cualquiera.

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es una matriz triangular superior de orden . 4S

Ejemplo:

5000

3000

51140

8932

S

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Tipos de Matrices

TMatriz triangular inferior:


triangular inferior, si cumple con las

siguientes condiciones:

0ijtji • Si , entonces .

ijtji • Si , entonces es cualquiera.

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es una matriz triangular inferior de orden . 4T

Ejemplo:

2570

01412

0083

0002

T

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Tipos de Matrices

Matriz identidad:

Es una matriz diagonal con todos los

elementos en ella iguales a . En caso

que sea de orden , se denota por . nI

1

n

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es una matriz identidad de orden . 33I

Ejemplo:

100

010

001

3I

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Tipos de Matrices

Matriz simétrica:

Es una matriz cuadrada en

la cual para todo par de índices se

cumple:

ji,

jiij aa

)( ijaA

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es una matriz simétrica de orden . 3A

Ejemplo:

1

03

32

az

a

z

A

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Tipos de Matrices

Matriz antisimétrica:

Es una matriz cuadrada en

la cual para todo par de índices se

cumple:

ji,

jiij bb

)( ijbB

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es una matriz antisimétrica de orden . 3B

Ejemplo:

04

401

10

a

a

B

En toda matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal son .0

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Igualdad de Matrices

ijij ba

Sean y dos

matrices del mismo orden. Se dice que

es igual a y se escribe , si

para todo par de índices se tiene:

)( ijaA )( ijbB

A B BA

ji,

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Ejemplo:

52

1

y

xA

54

31B

Sean:

Si entonces: e .BA 3x 2y

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Operaciones con Matrices

1. Suma de matrices:

Sean y dos matrices

del mismo orden. Se define una nueva

matriz, la suma de y , que se denota

por , como la matriz

A BBA

)( ijaA )( ijbB

)( ijij baBA

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Propiedades de la suma:

Sean , y tres matrices del

mismo orden, entonces:

1. .

2. , donde la matriz tiene

el mismo orden que la matriz .

3. .

A B C

ABBA AA 0

)()( CBACBA

0A

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Ejemplo:

Un agricultor que posee tres fincas,

muestra en el siguiente cuadro las

pérdidas o ganancias de sus

productos, medidas en toneladas, en

los dos últimos años:

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Producto Trigo Arroz Frijol Maíz Café

Año 2003

Finca 1 -0,5 10 3 7 2Finca 2 -3 0,6 0 12 -1Finca 3 4 -2 -1 15 13

Año 2004

Finca 1 3 2 -4 3 5Finca 2 1,6 1 -2 0 4Finca 3 8 -3 4 7 10

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Si queremos calcular la pérdida o ganancia neta a lo largo de los dos últimos años, ¿qué operaciones debemos realizar y cómo?

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2. Producto de un escalar por una matriz:

Sean una matriz y un

escalar. Se define una nueva matriz, el

producto de por , que se denota

por , como la matriz .

AA

)( ijaA

)( ijaA

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Propiedades del producto escalar:

Sean y dos matrices del mismo

orden, y dos escalares,

entonces:

1. .

2. .

3. .

A B

BABA )(AAA )(

AA )()(

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4. .

5. , donde el de la izquierda

es el escalar cero y el de la

derecha es la matriz nula, que tiene

el mismo orden que la matriz .

AA1

00 A 0

A

0

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3. Transposición de una matriz:

Sea una matriz de orden

. Se define una nueva matriz, la

transpuesta de , que se denota por

, como la matriz , la cual

tiene orden .

AtA

)( ijaAnm

)( jit aA

mn

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Propiedades de la transposición:

Sean y dos matrices del mismo

orden, un escalar, entonces:

1. .

2. .

3. .

A B

AA tt )(ttt BABA )(

tt AA )(

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Ejemplo:

Sea:

303

352

431

A

334

053

321entonces:

tA

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Propiedades de las Matrices

Matriz simétrica:

es una matriz simétrica, sí y solo síA

AAt

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Ejemplo:

Sea:

245

413

532

A

245

413

532

Como , entonces es una matriz simétrica.

AAt A

luego:

tA

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Propiedades de las Matrices

Matriz antisimétrica:

es una matriz antisimétrica, sí y

solo sí

A

AAt

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Ejemplo:

Como , entonces es una matriz antisimétrica.

AAt A

luego:

tA

Sea:

075

701

510

A

075

701

510

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4. Producto de una matriz fila por una matriz columna:

Sean una matriz fila y

una matriz columna. Se

define una nueva matriz, el producto

de por , de orden , que se denota

por , como la matriz

A BAB

niaA 1)(

1)( nibB

n

iiibaAB

1

1

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Ejemplo:

luego:

Sean:

5211 A

7

0

4

3

B

34AB

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5. Producto de matrices:

Sean y dos

matrices. Se define una nueva matriz,

el producto de por , de orden ,

que se denota por , como la matriz

A BAB

pmikaA )( npkjbB )(

p

kjkki baAB

1

.

nm

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Ejemplo:

luego:

Sean:

32213

021

A

132

0

1

B

127

1

AB

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Observaciones:

1. Para que el producto se pueda realizar, se requiere que el número de columnas de sea igual al número de filas de .

2. La matriz producto , tiene el mismo número de filas que la matriz

y el mismo número de columnas que la matriz :

AB

AB

AB

AB

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3. Existen matrices y para las

cuales el producto existe y, sin

embargo, el producto no existe.BAABA B

nmnppm CBA

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Ejemplo:

1332 BA3213 AB

luego, existe:

Sean:

pero no existe:

32213

021

A

132

0

1

B

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4. Existen matrices y para las

cuales los productos y existen,

pero no son iguales. Por ello, se dice

que el producto de matrices no es

conmutativo.

BAAB

A B

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luego, existen los productos y :

Sean:

pero no son iguales.

41

31A

02

43B

45

49AB

62

77BA

Ejemplo:

AB BA

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5. Sean una matriz cuadrada de

orden e la matriz identidad.

Entonces, su producto es

conmutativo:

A

nI

AAIAI nn

n

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Ejemplo:

Sean:

luego:

dc

baA

10

012I

AAI 2 AAI 2

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6. Sean y dos matrices tales que

. Esto no quiere decir

que , que o que ambos,

.

A B

0AB

0A 0B0BA

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Ejemplo:

Sean:

luego:

sin embargo, ni ni son .

01

02A

31

00B

0AB

A B 0

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Propiedades del producto de matrices:

Sean , y matrices tales que las

operaciones siguientes están

definidas, entonces:

1. , .

A B C

AAI AIA

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Ejemplo:

Sean:

312A

100

010

001

3I

3123 AI

luego:

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Ejemplo:

Sean:

5

4A

10

012I

5

42AI

luego:

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2. Asociatividad:

.)()( BCACAB

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Ejemplo:

Sean:

101

520A

637

906

411

B

4

0

1

C

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luego:

34

1)( CAB

34

1)(BCA

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ACABCBA )(

BCACCBA )(

3. Distributividad:

,

.

04/12/23 juanca20.es.tl 61

Ejemplo:

Sean:

101

520A

190

510B

1

3

2

C

04/12/23 juanca20.es.tl 62

luego:

27

19)( CBA

27

19ACAB

04/12/23 juanca20.es.tl 63

ttt ABAB )(


4. .

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Ejemplo:

Sean:

12A

52

84B

luego:

21

10)( tAB

21

10ttAB

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