Post on 04-Oct-2018
MATEMATICASBASICAS
MATEMATICAS BASICAS
Autora: Jeanneth Galeano Penaloza
Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas
Sede Bogota
2 de abril de 2013
1 / 1
MATEMATICASBASICAS
Parte I
Introduccion a la geometrıa elemental
2 / 1
MATEMATICASBASICAS
Nociones basicas
Las nociones de punto, lınea y plano no seran definidas, pero...
b
punto lınea plano
3 / 1
MATEMATICASBASICAS
Nociones basicas
La presentacion tradicional de la geometrıa euclidiana se haceen un formato axiomatico. Un sistema de axiomas es aquel que,a partir de un cierto numero de postulados que se presumenverdaderos (conocidos como axiomas) y a traves deoperaciones logicas, genera nuevos postulados cuyo valor deverdad es tambien positivo.
4 / 1
MATEMATICASBASICAS
Cinco postulados de Euclides
1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una rectaque los une.
5 / 1
MATEMATICASBASICAS
Cinco postulados de Euclides
1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una rectaque los une.
2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continuaen cualquier sentido.
5 / 1
MATEMATICASBASICAS
Cinco postulados de Euclides
1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una rectaque los une.
2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continuaen cualquier sentido.
3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquierpunto y de cualquier radio.
5 / 1
MATEMATICASBASICAS
Cinco postulados de Euclides
1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una rectaque los une.
2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continuaen cualquier sentido.
3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquierpunto y de cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son iguales.
5 / 1
MATEMATICASBASICAS
Cinco postulados de Euclides
1 Dados dos puntos se puede trazar una y solo una rectaque los une.
2 Cualquier segmento puede prolongarse de forma continuaen cualquier sentido.
3 Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquierpunto y de cualquier radio.
4 Todos los angulos rectos son iguales.
5 Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela.
5 / 1
MATEMATICASBASICAS
Nociones basicas
Una lınea, un segmento y un rayo...
6 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos
Definicion
Un angulo es la union de dos rayos que tienen un puntoextremo comun. Cada uno de los rayos se llama lado delangulo, y el punto comun se conoce como vertice.
Para medir angulos se emplea una herramienta llamadatransportador.
7 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos
Podemos clasificar los angulo segun su medida: agudo si midemenos de 90◦, recto si mide 90◦, obtuso si mide mas de 90◦,pero menos de 180◦ y llano si mide 180◦.
8 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos
Encuentre las medidas de los angulos de la siguiente figura,sabiendo que ∠ABC es un angulo recto.
9 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos
Se dice que dos angulos son complementarios si la sumade sus medidas es 90◦.
10 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos
Se dice que dos angulos son complementarios si la sumade sus medidas es 90◦.
Se dice que dos angulos son suplementarios si la sumade sus medidas es 180◦.
10 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos
Ejercicio
El suplemento de un angulo mide 10◦ mas que el triple de sucomplemento. Calcule la medida del angulo.
11 / 1
MATEMATICASBASICAS
Rectas paralelas
Las rectas paralelas son aquellas que estan en el mismo planoy no se intersecan. Una recta que interseca dos rectas paralelasse denomina transversal.
12 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos entre paralelas
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal seforman ocho angulos, como se muestra en la figura.
13 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos entre paralelas
∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y soncongruentes, es decir, tienen la misma medida, esto senota ∠5 ∼= ∠4.
14 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos entre paralelas
∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y soncongruentes, es decir, tienen la misma medida, esto senota ∠5 ∼= ∠4.
∠1 y ∠8 se llaman angulos alternos externos y∠1 ∼= ∠8.
14 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos entre paralelas
∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y soncongruentes, es decir, tienen la misma medida, esto senota ∠5 ∼= ∠4.
∠1 y ∠8 se llaman angulos alternos externos y∠1 ∼= ∠8.
∠6 y ∠2 se llaman angulos correspondientes y ∠6 ∼= ∠2.
14 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos entre paralelas
∠5 y ∠4 se llaman angulos alternos internos y soncongruentes, es decir, tienen la misma medida, esto senota ∠5 ∼= ∠4.
∠1 y ∠8 se llaman angulos alternos externos y∠1 ∼= ∠8.
∠6 y ∠2 se llaman angulos correspondientes y ∠6 ∼= ∠2.
∠7 y ∠6 se llaman opuestos por el vertice, ∠7 ∼= ∠6.
14 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos entre paralelas
Ejercicio
Encuentre otros pares de angulos
alternos internos
alternos externos
correspondientes
opuestos por el vertice
15 / 1
MATEMATICASBASICAS
Angulos entre paralelas
Ejercicio
En la figura m||n. Encuentre el valor de los angulos que seindican.
(3x+2)o
(5x-40)o
16 / 1
MATEMATICASBASICAS
Triangulos
Dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.Podemos clasificar los triangulos por la medida de sus lados:equilatero es el que tiene todos sus lados congruentes,isosceles tiene dos lados congruentes y escaleno no tienelados congruentes.
17 / 1
MATEMATICASBASICAS
Triangulos
Tambien se pueden clasificar por la medida de sus angulos:acutangulo tiene todos sus angulos agudos, rectangulo tieneun angulo de 90◦, obtusangulo tiene un angulo obtuso.
18 / 1
MATEMATICASBASICAS
Triangulos
La suma de los angulos internos de un triangulo es 180◦.
19 / 1
MATEMATICASBASICAS
Triangulos
Ejercicio
Calcule la medida de cada angulo del triangulo de la figura.
20 / 1
MATEMATICASBASICAS
Triangulos
Definicion
En el triangulo que se aprecia en la figura, los angulos 1, 2 y 3se llaman angulos interiores, mientras que los senalados conlos numeros 4, 5 y 6 se llaman angulos exteriores deltriangulo.
21 / 1
MATEMATICASBASICAS
Triangulos
La medida de un angulo exterior de un triangulo, es igual a lasuma de las medidas de los dos angulos interiores opuestos.
22 / 1
MATEMATICASBASICAS
Triangulos
Ejercicio
Calcule las medidas de los angulos interiores A,B y C deltriangulo de la figura, y la medida del angulo exterior BCD.
23 / 1
MATEMATICASBASICAS
Circunferencia
Definicion
Una circunferencia es un conjunto de puntos en un plano, cadauno de los cuales esta a la mismo distancia de un punto fijo.
24 / 1
MATEMATICASBASICAS
Circunferencia
Teorema
Cualquier angulo inscrito en un semicırculo debe ser recto.
25 / 1
MATEMATICASBASICAS
Circunferencia
Demostracion
26 / 1
MATEMATICASBASICAS
Circunferencia
Ejercicio
Con el uso de los puntos, segmentos y lıneas de la figura, hagauna lista de: centro, radios, diametros, cuerdas, secantes,tangentes.
27 / 1
MATEMATICASBASICAS
Polıgonos
Un polıgono es una curva simple cerrada constituida solo porsegmentos de recta. Los segmentos se llaman lados y lospuntos en los que se tocan se llaman vertices.Los polıgonos con todos sus angulos y lados congruentes sonpolıgonos regulares.
28 / 1
MATEMATICASBASICAS
Polıgonos
Clasificacion de los polıgonos de acuerdo con el numero delados.
Numero de lados Nombre
3 Triangulo4 Cuadrilatero5 Pentagono6 Hexagono7 Heptagono8 Octagono9 Nonagono10 Decagono
29 / 1
MATEMATICASBASICAS
Cuadrilateros
Trapecio
Es un cuadrilaterocon un par de ladosparalelos
30 / 1
MATEMATICASBASICAS
Cuadrilateros
Paralelogramo
Es un cuadrilaterocon dos pares delados paralelos
31 / 1
MATEMATICASBASICAS
Cuadrilateros
Rectangulo
Es un paralelogramo con unangulo recto, por lo tantocuatro angulos rectos
32 / 1
MATEMATICASBASICAS
Cuadrilateros
Cuadrado
Es un rectangulo cuyoslados tienen la mismalongitud
33 / 1
MATEMATICASBASICAS
Cuadrilateros
Rombo
Es un paralelogramocuyos lados tienen lamisma longitud
34 / 1
MATEMATICASBASICAS
Perımetro
Definicion
El perımetro de un polıgono es la suma de las medidas de suslados.
35 / 1
MATEMATICASBASICAS
Perımetro
Ejemplo
Un terreno tiene forma de rectangulo. Si su largo es de 50 piesy ancho de 26 pies, ¿que cantidad de cerca se necesita paraencerrar por completo el lote?
36 / 1
MATEMATICASBASICAS
Perımetro
Ejemplo
La longitud de una etiqueta de forma rectangular es 1centımetro mas que el doble del ancho. El perımetro es de 110centımetros. Calcule el largo y el ancho.
37 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
Definicion
El area de una figura plana es la medida de la superficiecubierta por la figura.
38 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
Area de un rectangulo
El area de un rectangulode largo b y ancho h
esta dado por la formula
A = bh
39 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
Area de un cuadrado
El area A de un cuadrado cuyolado tiene longitud a es
A = a2
40 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
Paralelogramo
El area de un paralelo-gramo con altura h ybase b es
A = bh
41 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
Area de un trapecio
El area de un trapeciocon bases paralelas By b y altura h es
A =1
2h(B + b)
42 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
Area de un triangulo
El area A de un triangulocon altura h y base b es
A =bh
2
43 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
Ejercicio
La siguiente figuramuestra el plano del pisode un edificio,constituido por variosrectangulos. Si cadalongitud esta en metros,¿cuantos metroscuadrados derecubrimiento serequerirıan para cubrir elpiso del edificio?
44 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
Ejercicio
Calcule el area delparalelogramo de lafigura.
45 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
Ejercicio
Calcule el area deltrapecio de la figura,donde h = 6, b = 3 yB = 9.
46 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
La region limitada por lacircunferencia C deradio r se llama cırculode radio r.La circunferencia operımetro de un cırculode radio r esta dada porla formula
C = 2πr.
El area de un cırculo deradio r esta dada por
A = πr2.
47 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
Ejercicio
(a) Un cırculo tiene un diametro de 12.6 centımetros. Calculesu circunferencia.
(b) El radio de un cırculo es de 1.7 metros. Calcule sucircunferencia.
48 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area
Ejercicio
En un negocio de entrega de pizzas a domicilio. El precio de unpizza de 8 pulgadas de diametro de pepperoni es de $6,99,mientras que el de una de 16 pulgadas de diametro es de$13,98. Un cliente que requiere varias pizzas para una reunion¿que tipo de pizzas deberıa comprar para tener el mejor precio?
49 / 1
MATEMATICASBASICAS
Perımetro y Area
Ejercicio
La siguiente figura tiene perımetro P = 38. Encuentre el valorde x y el area de la figura.
50 / 1
MATEMATICASBASICAS
Perımetro y Area
Ejercicio
La siguiente figura tiene area A = 30. Encuentre el valor de x.
51 / 1
MATEMATICASBASICAS
Perımetro y Area
Ejercicio
Encuentre el area y el perımetro de la parte sombreada.
52 / 1
MATEMATICASBASICAS
Perımetro y Area
Ejercicio
A partir del cırculo con centro O y el rectangulo ABCO
obtenga el diametro del cırculo, sabiendo que AC = 13pulgadas y AD = 3 pulgadas.
53 / 1
MATEMATICASBASICAS
Triangulo rectangulo
Definicion
En un triangulo rectangulo, los lados que forman el angulorecto se llaman catetos y el otro lado hipotenusa.
54 / 1
MATEMATICASBASICAS
Teorema de Pitagoras
Teorema
Si los dos catetos de untriangulo rectangulotienen longitudes a y b,y la hipotenusa tienelongitud c, entonces
a2 + b2 = c2.
55 / 1
MATEMATICASBASICAS
Teorema de Pitagoras
Demostracion
Pensando en areas:
(a+ b)2 = 4
(
ab
2
)
+ c2
a2 + b2 = c2
56 / 1
MATEMATICASBASICAS
Teorema de Pitagoras
Ejercicio
Una terna pitagorica es una terna de numeros a, b, c quecumplen que a2 + b2 = c2. Si se demuestra que (x, x+ 1, y)es una terna pitagorica entonces tambien lo es
(3x+ 2y + 1, 3x+ 2y + 2, 4x+ 3y + 2).
Utilice esta idea para encontrar tres ternas pitagoricas.Comience con 3, 4, 5.
57 / 1
MATEMATICASBASICAS
Teorema de Pitagoras
Teorema
La hipotenusa de un triangulo rectangulo mide 1 centımetromas que el doble del cateto mas corto, y el cateto mas largomide 9 centımetros menos que el triple del cateto mas corto.Determine las longitudes de los tres lados del triangulo.
58 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area y perımetro
Dada la figura, encuentre el perımetro y el area.
4
5
8
59 / 1
MATEMATICASBASICAS
Area y perımetro
Si la proporcion entre AD y DC es de 1 a 3, AC mide 16 cm yDB mide 3 cm, encuentre el area y el perımetro de lostriangulos △ADB, △BDC y △ABC.
A
B
CD
60 / 1
MATEMATICASBASICAS
Triangulos congruentes
Dos triangulos son congruentes si tienen la misma forma y elmismo tamano, esto es, si tienen lados y angulos congruentes.
61 / 1
MATEMATICASBASICAS
Criterios de congruencia
LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un trianguloson congruentes respectivamente a los tres ladosde otro triangulo, entonces los triangulos soncongruentes.
62 / 1
MATEMATICASBASICAS
Criterios de congruencia
LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un trianguloson congruentes respectivamente a los tres ladosde otro triangulo, entonces los triangulos soncongruentes.
LAL Lado-angulo-lado Si dos lados de un triangulo yel angulo comprendido entre ellos soncongruentes respectivamente a dos lados y elangulo comprendido de un segundo triangulo,entonces los triangulos son congruentes.
62 / 1
MATEMATICASBASICAS
Criterios de congruencia
LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un trianguloson congruentes respectivamente a los tres ladosde otro triangulo, entonces los triangulos soncongruentes.
LAL Lado-angulo-lado Si dos lados de un triangulo yel angulo comprendido entre ellos soncongruentes respectivamente a dos lados y elangulo comprendido de un segundo triangulo,entonces los triangulos son congruentes.
ALA Angulo-lado-angulo Si dos angulos y el ladocomun de un triangulo son congruentesrespectivamente con dos angulos y el lado comunde un segundo triangulo, entonces los triangulosson congruentes.
62 / 1
MATEMATICASBASICAS
Triangulos semejantes
Dos triangulos son semejantes si tienen la misma forma perono necesariamente el mismo tamano.
63 / 1
MATEMATICASBASICAS
Criterios de semejanza
AA Angulo-angulo Si dos angulos de un trianguloson congruentes con dos angulos de otrotriangulo, entonces los triangulos son semejantes.
64 / 1
MATEMATICASBASICAS
Criterios de semejanza
AA Angulo-angulo Si dos angulos de un trianguloson congruentes con dos angulos de otrotriangulo, entonces los triangulos son semejantes.
LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un trianguloson proporcionales a los tres lados de otrotriangulo, entonces los dos triangulos sonsemejantes.
64 / 1
MATEMATICASBASICAS
Criterios de semejanza
AA Angulo-angulo Si dos angulos de un trianguloson congruentes con dos angulos de otrotriangulo, entonces los triangulos son semejantes.
LLL Lado-lado-lado Si los tres lados de un trianguloson proporcionales a los tres lados de otrotriangulo, entonces los dos triangulos sonsemejantes.
LAL Lado-angulo-lado Si un angulo de un trianguloes congruente con un angulo de otro triangulo, ysi los lados correspondientes que incluyen elangulo son proporcionales, entonces los triangulosson semejantes.
64 / 1
MATEMATICASBASICAS
Semejanza de triangulos
Encuentre el valor de x.
A
6
C
B
x
4
3
E
65 / 1
MATEMATICASBASICAS
Semejanza de triangulos
Como el △BDE es rectangulo y ∠D es recto, podemos utilizarel teorema de Pitagoras, es decir,
BE2 = BD2 +DE2
Por consiguiente tenemos:
BE2 = 42 + 32 = 25
BE =√25 = 5
Los triangulos △ABC y △DBE son semejantes gracias a que:∠A ∼= ∠D, ambos son rectos; ∠ABC ∼= ∠DBE ya que sonopuestos por el vertice; por tanto, por el criterio AA seconcluye que △ABC △DBE.
66 / 1
MATEMATICASBASICAS
Semejanza de triangulos
Utilizando este hecho podemos afirmar que
AC
DE=
BC
BE
De donde se tiene:6
3=
x
5,
es decir, x = 10.
67 / 1
MATEMATICASBASICAS
Volumen
Volumen de un
paralelepıpedo
El volumen de una cajade largo l, ancho a yaltura h es
V = lah
y el area de su superficiees
S = 2la+ 2ah + 2lh
68 / 1
MATEMATICASBASICAS
Volumen
Volumen de un cubo
El volumen de un cubode lado a es
V = a3
y su area superficial es
S = 6a2
69 / 1
MATEMATICASBASICAS
Volumen
Volumen de un cilindro
El volumen de uncilindro circular recto dealtura h y radio de subase r es
V = πr2h
y el area de su superficiees
S = 2πrh+ 2πr2
70 / 1
MATEMATICASBASICAS
Volumen
Volumen de una esfera
El volumen de unaesfera de radio r es
V =4
3πr3
y el area de su superficiees
S = 4πr2
71 / 1
MATEMATICASBASICAS
Volumen
Volumen de un cono
El volumen de un conocircular recto con alturah y radio de la base r es
V =1
3πr2h
y el area de su superficiees
S = πr√
r2 + h2 + πr2
72 / 1
MATEMATICASBASICAS
Volumen
Volumen de una
piramide
Si B representa el areade la base de unapiramide y h la altura,entonces el volumenesta dado por
V =1
3Bh
73 / 1