Post on 17-Jan-2016
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CONTENIDO ANALITICO
GEOMETRIA ANALITICA A 1
Elementos de geometría analítica A 1
La Recta A 1
La Circunferencia A 5
La Parábola A 7
La Elipse A 9
La Hipérbola A 11
Gráfica de inecuaciones A 16
FUNCIONES A 18
Función real de variable real A 18
Gráfica de funciones A 21
Función constante A 22
Función lineal A 22
Función cuadrática A 23
Función cúbica A 25
Función polinomial general A 26
Función potencial A 27
Función raíz cuadrada A 28
Función escalón unitario A 28
Función signo A 28
Función máximo entero A 29
Función potencial general A 31
Trazado de gráfica especiales A 32
Funciones crecientes y decrecientes A 35
Funciones periódicas A 35
Funciones par e impar A 35
Función inyectiva A 36
Función sobreyectiva A 37
Función biyectiva A 38
Funciones trigonométricas A 39
Igualdad de funciones A 41
Unión de funciones A 42
Adición de funciones A 43
Sustracción de funciones A 44
Multiplicación - división de funciones A 45
Composición de funciones A 46
Función inversa A 48
INTRODUCCION AL ANALISIS DEL CALCULO 1
Noción de variación 1
Integral indefinida 2
Interpretación geométrica de la derivada 3
Análisis de extremos 3
Integral definida 4
Suma de Riemann 5
Crecimiento y decrecimiento de una función 6
Límite y derivada (lectura) 7
NUMEROS COMPLEJOS 9
Módulo de un número complejo 9
Operaciones con números complejos 9
Forma polar de un número complejo 10
Raíz n-ésima de un número complejo 12
TEORIA DEL LIMITE 95
Teorema fundamental del límite 17
Tabla de límites notables 21
Límites laterales 22
Límites infinitos 24
Límites al infinito 26
Teorema del sandwich 27
Límites trigonométricos 28
El número e 29
Asíntotas de una curva 31
Continuidad y discontinuidad 34
DERIVADAS 39
El problema de la recta tangente 39
Definición de derivada 40
Recta tangente y recta normal a una curva 41
Tabla de derivadas notables 45
Derivada de funciones compuestas 46
Derivación implícita 49
Derivada de potencias 50
Derivada de funciones trigonométricas inversas 51
Derivada de ecuaciones paramétricas 55
Derivadas de orden superior 55
Regla de L´Hopital 58
Polinomio de Taylor 62
Extremos de una función 68
Concavidad y puntos de inflexión 76
INTEGRALES 79
La integral indefinida 79
Integración por partes 89
Integración de funciones trigonométricas 91
Sustitución trigonométrica 95
Integración por fracciones parciales 97
La integral definida 98
Área en polares y ecuaciones paramétricas 101
Longitud de arco de una curva 101
Trabajo mecánico 104
SUPERFICIES 107
Superficie esférica 107
Coordenadas esféricas 107
Superficie cilíndrica 108
Coordenadas cilíndricas 110
Superficies cuadráticas 110
Parametrización de curvas 112
FUNCIONES VECTORIALES 119
Funciones vectoriales de variable real 119
Límite de una función vectorial 121
Continuidad de una función vectorial 122
Derivada de una función vectorial 122
Recta tangente y plano normal 123
Integración de funciones vectoriales 127
Primer teorema fundamental del calculo 128
Segundo teorema fundamental del calculo 128
Longitud de arco de una curva 131
Vectores unitarios: tangente, normal y binormal 134
Planos fundamentales formados por un triedro móvil 135
Curvatura y torsión 138
Fórmulas de Frenet - Serret 143
Componentes normal y tangencial de la aceleración 146
FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 147
Gráfica de una función (R2→R) 149
Operaciones con funciones 150
Curvas de nivel 151
Superficies de nivel 151
Límite de una función de varias variables 152
Continuidad de funciones de varias variables 156
Derivadas parciales 158
Ecuación de la recta y plano tangente 159
Derivada direccional 165
Gradiente de una función 167
Cálculo de la derivada direccional usando gradiente 170
El diferencial total 173
Derivación implícita 177
Aplicación de las derivadas parciales 178
Matriz Hessiana 180
Criterio para calcular extremos relativos 182
Valores máximos y mínimos absolutos (Rn→R) 187
INTEGRALES MULTIPLES 189
Integrales dobles 189
Interpretación como masa y volumen 189
Cálculo de la integral doble 189
Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas 190
Aplicaciones de la integral doble 192
Integrales triples 194
Interpretación como masa y volumen 194
Cálculo de la integral triple 194
Aplicaciones de la integral triple 195
INTEGRALES VECTORIALES 205
Integral de línea de 1er genero 205
Integral de línea de 2do genero 207
Fórmula de GREEN 210
Integral de superficie de 1er genero 214
Integral de superficie de 2do genero 216
Teorema de la Divergencia (ORTROGRASKII - GAUSS) 220
Teorema del Rotacional (STOCKES) 223
ECUACIONES DIFERENCIALES 237
Nociones de ecuaciones diferenciales 237
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) 239
EDO con variables separables 239
EDO homogéneas 240
EDO reducibles a homogéneas 241
EDO lineal de 1er orden 243
Ecuación de Bernoulli 244
EDO exactas 246
EDO no exactas (factor integrante) 247
EDO lineales con coeficientes constantes y homogéneas 251
EDO lineales con coeficientes constantes y homogéneas (2do orden) 252
EDO lineales con coeficientes constantes y homogéneas (orden n) 255
Movimiento armónico simple (MAS) 258
Movimiento amortiguado 259
EDO lineales con coeficientes constantes no homogéneas 261
EDO no homogéneas 2do orden (Wronskiano) 262
EDO no homogéneas 2do orden (Formula especial) 264
Resonancia 266
Sistemas de ecuaciones diferenciales 270
Solución matricial de sistemas de ecuaciones diferenciales 274
CONTENIDO RAPIDO
GEOMETRIA ANALITICA A 1
FUNCIONES A 18
INTRODUCCION AL ANALISIS DEL CALCULO 1
NUMEROS COMPLEJOS 9
TEORIA DEL LIMITE 95
DERIVADAS 39
INTEGRALES 79
SUPERFICIES 107
FUNCIONES VECTORIALES 119
FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES 147
INTEGRALES MULTIPLES 189
INTEGRALES VECTORIALES 205
ECUACIONES DIFERENCIALES 237
INTRODUCCION Este texto ha sido creado como un texto introductorio a un curso compacto de CÁLCULO y que contiene características dignas de resaltar que lo puede diferenciar de otros. Bajo conocimientos previos que traiga un estudiante, sobre matemática elemental como algebra y trigonometría; este estará capacitado para entender los distintos temas de matemáticas avanzadas bajo un enfoque estrictamente analítico. El material contiene una teoría resumida, muy completa y una variedad de problemas resueltos en donde la complejidad va gradualmente en aumento, con los que reforzará aún más los conocimientos requeridos; se recomienda que usted resuelva estos problemas para obtener más práctica y pueda así verificar sus respuestas. El texto contiene temas específicos de Cálculo I, II, III y IV donde se detalla primeramente los conceptos básicos de geometría analítica, funciones y números complejos, temas que usted ya debería de haber llevado; luego se da un breve concepto de nociones básicas de análisis de cálculo para así empezar con la teoría del límite, que es la base del cálculo diferencial, seguidamente nos enfocamos en el análisis de derivadas e integrales, fuentes de mucho poder en cursos primerizos de ingeniería. A continuación se estudiaran las distintas gráficas de superficies necesarias para poder empezar con el análisis de funciones vectoriales y funciones reales de varias variables, con dichos conceptos podremos estudiar Integrales múltiples e Integrales vectoriales para luego terminar nuestro estudio en las Ecuaciones diferenciales, que enfoca un arte en el desarrollo científico y en la mecánica más avanzada. La importancia del estudio del cálculo radica en que es el punto de entrada al fascinante mundo de la ciencia e ingeniería, usted necesitará esta herramienta para cursos posteriores en su carrera. Una cosa importante de resaltar es que los matemáticos e ingenieros experimentados son aquellos que dedican gran parte de su tiempo al estudio de sus diversas materias, en ese sentido es recomendable que usted dedique también parte de su tiempo al estudio de las matemáticas superiores porque como dijimos es el punto de partida. Como autor de este material tengo que precaver que usted tenga los conocimientos solidos de matemática básica preuniversitaria como de álgebra, geometría y trigonometría, ya que sin estos campos la obra presentada no será de su gusto, por ello le incito a que repase antes de empezar con el texto. Sin más que decir espero que este pequeño aporte cumpla con el objetivo que usted tiene con el curso y con su carrera y contribuyan en su formación profesional y humana.
JESÚS CORREA AYALA