Post on 13-Feb-2018
11.2 Límites, álgebra y
continuidad
MATE 3013
PROPIEDADES DE LIMITES :
Si y entonces
tenemos que:
L.1 a) b) 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂𝒙 = 𝒂
limxaf (x) L lim
xag(x) M
limxac c
Límites, álgebra y continuidad
El límite de una constante es la
constante.
El límite de la función
identidad en un valor es el
mismo valor.
Si 𝑓 𝑥 = 5, entonces 𝑓 𝑥
es una función constante.
Su gráfica está dada a la
izquierda.
Usemos la técnica de la
pared para determinar el
De la misma manera
𝑙𝑖𝑚𝑥→45
×
Límites, álgebra y continuidad
𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐5 = 𝑐, para cualquier valor real c.
= 5
Si 𝑓 𝑥 = 𝑥, entonces 𝑓 𝑥
es la función identidad. Su
gráfica está dada a la
izquierda.
Usemos la técnica de la
pared para determinar el
De la misma manera
𝑙𝑖𝑚𝑥→4𝑥
×
Límites, álgebra y continuidad
𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐𝑥 = 𝑐, para cualquier valor real c.
=4
PROPIEDADES DE LIMITES (cont.):
L.2 El límite de una potencia es el límite elevado a la
potencia, y el límite de una raiz es la raiz del límite.
Esto es, que para cualquier entero positivo n,
1.
2.
asumiendo que L ≥ 0 cuando n es par.
lim ( ) lim ( ) ,n
n n
x a x af x f x L
limxa
f (x)n limxaf (x)n Ln ,
Límites, álgebra y continuidad
Ejemplo 1: Justifica el límites:
𝑙𝑖𝑚𝑥→
1
2
(𝑥3) =1
8
Por L1: 𝑙𝑖𝑚𝑥→
1
2
x =1
2
Y por L2.1: 𝑙𝑖𝑚𝑥→
1
2
(𝑥3)
=(𝑙𝑖𝑚𝑥→
1
2
(𝑥)) 3
= 1
2
3
= 1
8
Límites, álgebra y continuidad
PROPIEDADES DE LIMITES (cont.):
L.3 El límite de una suma o diferencia es la suma o la
diferencia de los límites.
L.4 El límite de un producto es el producto de los
límites.
limxa
f (x) g(x) limxaf (x) lim
xag(x) L M .
Límites, álgebra y continuidad
Ejemplo 2: Justificar el límites:
Límites, álgebra y continuidad
Por la propiedad de suma y
resta de límites
Por la propiedad de potencias
de límites y por el límite de
una constante
PROPIEDADES DE LIMITES (cont.):
L.5 El límite de un cociente es el cociente de los
límites.
L.6 El límite de una constante por una función es la
constante multiplicada por el límite.
lim ( )( )lim , 0.
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x LM
g x g x M
Límites, álgebra y continuidad
Ejemplo 4: Use las propiedades de límites para
determinar
Por la propiedad L4,
limx4
x2 3x 7
limx4x 4.
Límites, álgebra y continuidad
Ejemplo 4 (conclusión):
Por la propiedad L6,
Por la propiedad L1,
Finalmente, por la propiedad L3, tenemos
4 4
lim 3 3 lim 3 4 12.x x
x x
limx47 7.
limx4
x2 3x 7 16 12 7 11.
Límites, álgebra y continuidad
TEOREMA SOBRE LIMITES DE
FUNCIONES RACIONAL
Para cualquier función racional F, si a está en el
dominio de F,
limxaF(x) F(a).
Límites, álgebra y continuidad
Ejemplo 2: Determinar
Aplicando el teorema sobre límites de funciones
racionales y la propiedad sobre límites sabemos que
podemos sustituir para determinar el límite.
limx0
x2 3x 2 02 3 0 2 2
limx0
x2 3x 2
Límites, álgebra y continuidad
Límites, álgebra y continuidad
Repaso Rápido 1
Determine cada límite. Anote la propiedad de límite que aplica a cada
cado.
a.)
b.)
c.)
3 2
1lim2 3 6x
x x
2
4
2 5 1lim
3 2x
x x
x
2
2lim 1 3x
x
Límites, álgebra y continuidad
Solución del Repaso Rápido
a.)
Sabemos que
1.) lim𝑥→1
2𝑥3 = 2(lim𝑥→1
𝑥)3= 2(13) = 2 Propiedad de límites L6
2.) lim𝑥→1
3𝑥2 = 3 (lim𝑥→1
𝑥)2= 3 1 = 3 Propiedad de límites L6
3.) Propiedad de límites L1
4.) Combinando los pasos 1 - 3 obtenemos
Propiedad de límites L3
1lim 1.x
x
1lim6 6x
3 2
1lim2 3 6 2 3 6 1x
x x
3 2
1lim2 3 6x
x x
Límites, álgebra y continuidad
Solución del Repaso Rápido:
b.)
Sabemos que Entonces,
1.) lim𝑥→4
2𝑥2 = 2 (lim𝑥→4
𝑥)2= 32 Propiedad de límites L4 and L6
2.) lim𝑥→4
5𝑥 = 5 (lim𝑥→4
𝑥) = 20 Propiedad de límites L6
3.) Propiedad de límites L1
4.) Combine los pasos 1-3: Propiedad de límites L3
5.) lim𝑥→4
3𝑥 = 3 (lim𝑥→4
𝑥) = 12 Propiedad de límites L6
6.) Propiedad de límites L1
7.) Combine los pasos 5-6: Propiedad de límites L3
8.) Combine los pasos 4 y 7: Propiedad de límites L5
4lim 4.x
x
4lim1 1x
2
4lim2 5 1 32 20 1 51x
x x
4lim2 2x
4lim3 2 12 2 10x
x
2
4
2 5 1 51lim 5.1
3 2 10x
x x
x
2
4
2 5 1lim
3 2x
x x
x
Límites, álgebra y continuidad
2
2lim 1 3x
x
Solución del Repaso Rápido: c.)
Sabemos que
1.) Propiedad de límites L1
2.) lim𝑥→2
3𝑥2 = 3 (lim𝑥→2
𝑥)2= 12 Propiedad de límites L4 y L6
3.) Combine pasos 1 y 1: Propiedad de límites L3
4.) Use el paso 3.
lim𝑥→2
1 + 3𝑥2 = lim𝑥→2
(1 + 3𝑥2) = 13 Propiedad de límites L2
2lim 2.x
x
2lim1 1x
2
2lim1 3 1 12 13x
x
Example 3: Determinar
El Teorema de Límites de Funciones Racionales
no aplica por que –3 no está en el dominio de
Sin embargo, si simplificamos, el resultado sí se puede
evaluar en x = –3.
.3
92
x
x
limx3
x2 9
x 3
Límites, álgebra y continuidad
Ejemplo 3 (conclusión):
limx3
x2 9
x 3 limx3
x 3 x 3 x 3
limx3
x 3
3 3
6
Límites, álgebra y continuidad
6
3 3
3lim 3x
x
DEFINICION:
Una función f es contínua en x = a si:
1) existe, (existe un valor de y que corresponde a x=a.)
2) existe, (El límite a medida que existe.)
3) (El límite es igual al valor de y que
corresponde a a .)
Una función es contínua sobre un intervalo si es
continua en cada punto en el intervalo.
f (a)
limxaf (x)
limxaf (x) f (a).
x a
Límites, álgebra y continuidad
Ejemplo 4: ¿ Es f contínua en x = 3? Justifique.
1)
2) Por el Teorema sobre los límites de funciones
racionales
3) Como f es contínua en x = 3.
f (x) x2 5
f (3) 32 5 9 5 4
limx3x2 5 32 5 9 5 4
limx3f (x) f (3)
Límites, álgebra y continuidad
Ejemplo 5: ¿Es g una función contínua en x = –2?
Justifique.
1)
2) Estudiamos el límite por la izquierda para determinar
si el límite en x = 2 existe.
limx2
g(x) 1
2 2 3 1 3 2
g(2) 2 1 3
g(x)
1
2x 3, for x 2
x 1, for x 2
Límites, álgebra y continuidad
Ejemplo 5 (conclusión):
Y por la izquierda:
3)
Como , concluímos que el
no existe.
Por lo tanto, g NO es continua at x = –2.
limx2
g(x) 2 1 3
limx2
g(x) limx2
g(x) limx2
g(x)
Límites, álgebra y continuidad
Límites, álgebra y continuidad
Práctica corta
Sea Será continua en ? Why or why not?
1.)
2.) Para determinar el límit, observamos los límites por la derecha y por la izquierda.
Por la izquierda:
Por la derecha:
Como , concluímos que no existe.
Por lo tanto, NO es contínua en
3 5, for 2 ( )
2 1, for 2
x xg x
x x
g 2x
(2) 2(2) 1 4 1 5g
2lim ( ) 3(2) 5 6 5 1x
g x
2lim ( ) 2(2) 1 4 1 5x
g x
2 2lim ( ) lim ( )x x
g x g x
2
lim ( )x
g x
g 2.x
Límites, álgebra y continuidad
Práctica corta
Sea ¿Es una función continuous en Justifique.
será contínua si, . Hallemos el .
Por lo tanto, el . Sin embargo, lo que implica que .
.
En conclusión NO es contínua en .
2 9, for 3
( ) 3
7, for 3
xx
h x x
x
h 3?x
( )h x 3
lim 3x
h x h
3
limx
h x
2
3 3
9lim lim
3x x
xh x
x
3
( 3)( 3)lim
3x
x x
x
3lim 3x
x
6
3
lim 6x
h x
3 7h
h x 3x