Límites, álgebra y 11.2 continuidad · PDF fileEl Teorema de Límites de...

11.2 Límites, álgebra y

continuidad

MATE 3013

PROPIEDADES DE LIMITES :

Si y entonces

tenemos que:

L.1 a) b) 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂𝒙 = 𝒂

limxaf (x) L lim

xag(x) M

limxac c

Límites, álgebra y continuidad

El límite de una constante es la

constante.

El límite de la función

identidad en un valor es el

mismo valor.

Si 𝑓 𝑥 = 5, entonces 𝑓 𝑥

es una función constante.

Su gráfica está dada a la

izquierda.

Usemos la técnica de la

pared para determinar el

De la misma manera

𝑙𝑖𝑚𝑥→45

×


𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐5 = 𝑐, para cualquier valor real c.

= 5

Si 𝑓 𝑥 = 𝑥, entonces 𝑓 𝑥

es la función identidad. Su

gráfica está dada a la

izquierda.

Usemos la técnica de la

pared para determinar el

De la misma manera

𝑙𝑖𝑚𝑥→4𝑥

×


𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑐𝑥 = 𝑐, para cualquier valor real c.

=4

PROPIEDADES DE LIMITES (cont.):

L.2 El límite de una potencia es el límite elevado a la

potencia, y el límite de una raiz es la raiz del límite.

Esto es, que para cualquier entero positivo n,

1.

2.

asumiendo que L ≥ 0 cuando n es par.

lim ( ) lim ( ) ,n

n n

x a x af x f x L

limxa

f (x)n limxaf (x)n Ln ,


Ejemplo 1: Justifica el límites:

𝑙𝑖𝑚𝑥→

1

2

(𝑥3) =1

8

Por L1: 𝑙𝑖𝑚𝑥→

1

2

x =1

2

Y por L2.1: 𝑙𝑖𝑚𝑥→

1

2

(𝑥3)

=(𝑙𝑖𝑚𝑥→

1

2

(𝑥)) 3

= 1

2

3

= 1

8



L.3 El límite de una suma o diferencia es la suma o la

diferencia de los límites.

L.4 El límite de un producto es el producto de los

límites.

limxa

f (x) g(x) limxaf (x) lim

xag(x) L M .


Ejemplo 2: Justificar el límites:


Por la propiedad de suma y

resta de límites

Por la propiedad de potencias

de límites y por el límite de

una constante


L.5 El límite de un cociente es el cociente de los

límites.

L.6 El límite de una constante por una función es la

constante multiplicada por el límite.

lim ( )( )lim , 0.

( ) lim ( )

x a

x a

x a

f xf x LM

g x g x M


Ejemplo 4: Use las propiedades de límites para

determinar

Por la propiedad L4,

limx4

x2 3x 7

limx4x 4.


Ejemplo 4 (conclusión):



Finalmente, por la propiedad L3, tenemos

4 4

lim 3 3 lim 3 4 12.x x

x x

limx47 7.

limx4

x2 3x 7 16 12 7 11.


TEOREMA SOBRE LIMITES DE

FUNCIONES RACIONAL

Para cualquier función racional F, si a está en el

dominio de F,

limxaF(x) F(a).


Ejemplo 2: Determinar

Aplicando el teorema sobre límites de funciones

racionales y la propiedad sobre límites sabemos que

podemos sustituir para determinar el límite.

limx0

x2 3x 2 02 3 0 2 2

limx0

x2 3x 2



Repaso Rápido 1

Determine cada límite. Anote la propiedad de límite que aplica a cada

cado.

a.)

b.)

c.)

3 2

1lim2 3 6x

x x

2

4

2 5 1lim

3 2x

x x

x

2

2lim 1 3x

x


Solución del Repaso Rápido

a.)

Sabemos que

1.) lim𝑥→1

2𝑥3 = 2(lim𝑥→1

𝑥)3= 2(13) = 2 Propiedad de límites L6

2.) lim𝑥→1

3𝑥2 = 3 (lim𝑥→1

𝑥)2= 3 1 = 3 Propiedad de límites L6

3.) Propiedad de límites L1

4.) Combinando los pasos 1 - 3 obtenemos

Propiedad de límites L3

1lim 1.x

x

1lim6 6x

3 2

1lim2 3 6 2 3 6 1x

x x

3 2

1lim2 3 6x

x x


Solución del Repaso Rápido:

b.)

Sabemos que Entonces,

1.) lim𝑥→4

2𝑥2 = 2 (lim𝑥→4

𝑥)2= 32 Propiedad de límites L4 and L6

2.) lim𝑥→4

5𝑥 = 5 (lim𝑥→4

𝑥) = 20 Propiedad de límites L6


4.) Combine los pasos 1-3: Propiedad de límites L3

5.) lim𝑥→4

3𝑥 = 3 (lim𝑥→4

𝑥) = 12 Propiedad de límites L6


7.) Combine los pasos 5-6: Propiedad de límites L3

8.) Combine los pasos 4 y 7: Propiedad de límites L5

4lim 4.x

x

4lim1 1x

2

4lim2 5 1 32 20 1 51x

x x

4lim2 2x

4lim3 2 12 2 10x

x

2

4

2 5 1 51lim 5.1

3 2 10x

x x

x

2

4

2 5 1lim

3 2x

x x

x


2

2lim 1 3x

x

Solución del Repaso Rápido: c.)

Sabemos que


2.) lim𝑥→2

3𝑥2 = 3 (lim𝑥→2

𝑥)2= 12 Propiedad de límites L4 y L6

3.) Combine pasos 1 y 1: Propiedad de límites L3

4.) Use el paso 3.

lim𝑥→2

1 + 3𝑥2 = lim𝑥→2

(1 + 3𝑥2) = 13 Propiedad de límites L2

2lim 2.x

x

2lim1 1x

2

2lim1 3 1 12 13x

x

Example 3: Determinar

El Teorema de Límites de Funciones Racionales

no aplica por que –3 no está en el dominio de

Sin embargo, si simplificamos, el resultado sí se puede

evaluar en x = –3.

.3

92

x

x

limx3

x2 9

x 3



limx3

x2 9

x 3 limx3

x 3 x 3 x 3

limx3

x 3

3 3

6


6

3 3

3lim 3x

x

DEFINICION:

Una función f es contínua en x = a si:

1) existe, (existe un valor de y que corresponde a x=a.)

2) existe, (El límite a medida que existe.)

3) (El límite es igual al valor de y que

corresponde a a .)

Una función es contínua sobre un intervalo si es

continua en cada punto en el intervalo.

f (a)

limxaf (x)

limxaf (x) f (a).

x a


Ejemplo 4: ¿ Es f contínua en x = 3? Justifique.

1)

2) Por el Teorema sobre los límites de funciones

racionales

3) Como f es contínua en x = 3.

f (x) x2 5

f (3) 32 5 9 5 4

limx3x2 5 32 5 9 5 4

limx3f (x) f (3)


Ejemplo 5: ¿Es g una función contínua en x = –2?

Justifique.

1)

2) Estudiamos el límite por la izquierda para determinar

si el límite en x = 2 existe.

limx2

g(x) 1

2 2 3 1 3 2

g(2) 2 1 3

g(x)

1

2x 3, for x 2

x 1, for x 2



Y por la izquierda:

3)

Como , concluímos que el

no existe.

Por lo tanto, g NO es continua at x = –2.

limx2

g(x) 2 1 3

limx2

g(x) limx2

g(x) limx2

g(x)



Práctica corta

Sea Será continua en ? Why or why not?

1.)

2.) Para determinar el límit, observamos los límites por la derecha y por la izquierda.

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como , concluímos que no existe.

Por lo tanto, NO es contínua en

3 5, for 2 ( )

2 1, for 2

x xg x

x x

g 2x

(2) 2(2) 1 4 1 5g

2lim ( ) 3(2) 5 6 5 1x

g x

2lim ( ) 2(2) 1 4 1 5x

g x

2 2lim ( ) lim ( )x x

g x g x

2

lim ( )x

g x

g 2.x


Práctica corta

Sea ¿Es una función continuous en Justifique.

será contínua si, . Hallemos el .

Por lo tanto, el . Sin embargo, lo que implica que .

.

En conclusión NO es contínua en .

2 9, for 3

( ) 3

7, for 3

xx

h x x

x

h 3?x

( )h x 3

lim 3x

h x h

3

limx

h x

2

3 3

9lim lim

3x x

xh x

x

3

( 3)( 3)lim

3x

x x

x

3lim 3x

x

6

3

lim 6x

h x

3 7h

h x 3x

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