Post on 12-Jan-2015
JUNIO 04/05: P-1
Zninzeeew
senyee
iyeeee
shzw
zzz
xxxxzz
,10
2cos
222
zshxf log)(
2
7arg
2
3,0/
wwCwD
0cos2
)Re( yee
wxx
Znnyy
x
;2
)12(0cos
0
Re(w)
Im(w)
2
3
zshxf log)( a) Determinar la región del plano complejo en la que la función es analítica. Considérese la determinación del logaritmo correspondiente al ángulo
determinación 2
3
Znnynsenysenyee
wxx
;2)12(002
)Im(
0,0 senyx0
;2)12(
x
Znnyn
0,0cos, senyyRxRx
Znny
;2
)14(
Znnynynxinz
f
;2
)14(2)12(,0
:que talesyixz puntos de conjunto elen excepto C,en analítica es
i
i
i2
0
22:4
2
2
1
82)(
zC
zz
zzf
Re(z)2 4
)(4 traslaciónzZ
Re(Z)2 4 6 8
26 Z
22 z
82)(
z
zzf
b) Determinar la imagen de la región , al considerar la función
16
1
16
316
1)
16
3(0112)(32
03212)(26
0)(0)(
1
22222
22
2222
w
vuuvu
XYXZ
acvbuvuddcYbXYXa
Zw
Re(w)3/16 1/4
16
1
16
3w
8
1
8
3
)homotecia(2
W
wW
Re(W)3/8 1/2
8
1
8
3
)180º de giro(
Z
WeWZ i
Re(Z)-3/8-1/2
8
1
8
1
)(2
1
w
traslaciónZw
Re(Z)1/41/8
)3(
1)(
2
zzzf
c) Dada la función f(z), obtener la serie de Laurent en torno a cada uno de sus puntos singulares. A la vista del desarrollo, clasificar las singularidades.
Puntos singularesz0 = 0z0 = 3
0 1
00
0 0)(
)()(n n
nnn
n Rzzzz
bzzazf
1
112
00
)1(1
1
)1(
1
;)1(1
1 ;
1
1
:1 Para
n
nn
n
nn
n
n
nwww
ww
ww
w
z0 = 0
2
2
02
01
0
31
31
33
1
3
11)(
3
1
33
1
31
31
3
1
:3013
0 Si
zz
z
zzzf
zz
zz
zz
nn
n
n
nn
n
n
Polo doble
03
z0 = 3
0
21
32
1
11
2222
33
1)3)(2()1(
3
11
3
1)(
3
3)1(
3
1
33
1
1
3
11
:33013
30 Si
n
nn
nn
zzn
zzzf
zn
zz
zz
Polo simple
03
d) Obtener la solución de la integral
donde , orientado en sentido positivo.
C
dziziziz
22
)(312
)(
6
4: izC
Re(z)i4f analítica dentro y sobre C, excepto en el punto singular aislado z0=i
2
2
0
6231
a en torno f deLaurent de Desarrollo
izizizzf
iz
2),Res( 0 izf
iizfidzzfC
4),Res(2)( 0
e) Obtener la solución de la integral
donde , orientado en sentido positivo. Considérese que n es un entero positivo y
C
n
dzzz
z2)cos(21
2: zC
0
)Res(f,)Res(f,2
en contenidas ,21
cos1coscos
0)cos(21 :f de adesSingularid
)cos(21)(
21
2121
2
2
2
zziI
Czzzz
isenz
zz
zz
zzf
n
i
i
ez
ez
2
1
2
2: zC
iez 1
iez 2
ii
in
i
i
n
ee
e
ezez
z
zf
)zRes(f,)( 1
ii
in
i
i
n
ee
e
ezez
z
zf
)zRes(f,)( 2
0 , ; )(
22 nsen
nseni
ee
eeiI
ii
inin
SEPTIEMBRE 02/03: P-1
1. Calcular la integral
Donde C es el arco de circunferencia , orientado positivamente.
C
dzzzz 2
))arg(0( ,1 zz
3
8
3
1
1
1
0
3
0 0
322
ii
iiii
C
i
ee
deeideiedzzzz
ezz
2. Haciendo uso de la teoría de residuos, calcular la integral
donde C es la circunferencia , orientada positivamente.2z
C
dzz
senz
1
1
1
0y 1 :2en singulares Puntos zzz
)1(1
1
1Res
1sen
zsen
zz
z=1 : polo simple :
z=0 :
...1
...!5
1
!3
11
...1
!5
11
!3
11...1
1
1
11
1
1)(
33
22
532
z
c
z
c
z
zzzzz
zsen
zzsen
zzf
01121
1
1
sensenidzz
senzC
)1(...!5
1
!3
11Res
0sen
z
Luego es:
Y entonces:
3. Calcular la integral ,donde C es la
circunferencia orientada positivamente, utilizando el concepto de residuo en el infinito.
C
dzzz
z4332
17
32
3z
iI
zf
zzzz
zz
z
z
zz
zzz
fz
zf
ziI
z
z
2
111
Res 3121
11
3121
1
31
21
1111
11Res2
204332
4332
18
194
3
3
2
17
22
20
4. Obtener el número de raíces de la ecuacióndonde , en el círculo
02 zaez10 ea 1z
raíces 2
1en )( que ceros de número mismo el tiene0z
:Rouché de Teorema elPor
1 si )()(
1)(
1)(
:1En
)(
)(
22
2
2
z zzfae
zzgzf
aeaeeaaezg
zzf
z
aezg
zzf
z
xzz
z
11 x1 ea
5. Hallar el residuo logarítmico de la función
respecto a la circunferencia
z
zzf
2cos1
1)(
2
z
z
pNNdzzf
zf
i 0)(
)(
2
1
Ceros de f(z): 01 2ziz
iz
2
12 ceros simples
Polos de f(z):
3;2;1;0;1;2;3
:nciacircunfere la a Interiores
; 12cos
02cos1
7654321
zzzzzzz
kkzz
z
k
042cos1
02cos1
02cos1
:que ya ,)2cos(1
de dobles cerosser por f de dobles polosson Todos
2
k
k
z
z
k
z
z
z
z
12272)(
)(
2
1
:Entonces
z
dzzf
zf
i
JUNIO 02/03: P-1
1. Estudiar la derivabilidad de la funcióny en caso afirmativo hallar la derivada.
21)( z
zzf
2222
222
)(yx
yi
yx
yxxzf
u iv
02
02
222
222
yxyx
v
y
u
yxxy
v
x
u
se cumplen las ECR sólo en x=0, y=0
C
zderivable no f(z)
0y 0, xpara definidasestán no y)y v(x, y)u(x, Pero
2. Demostrar la expresión
y calcular todos los valores posibles de .
iz
iz
izarctg
1
1log
2
1)(
3arctg
iz
iz
izarctgw
iz
iziw
iz
ize
eeizeeeei
ee
w
wsenwtgz
iw
iwiwiwiwiwiw
iwiw
1
1log
2
1)(
1
1log2
1
1
)cos(
)()(
2
)(
32
3
21ln
2
1
2
3
2
1log
2
1
4
322log
2
1
31
31log
2
13
k
kkii
i
i
i
ii
i
iarctg
3. Calcular
donde C es la circunferencia con sentido positivo.
C
z
dziz
e32
3z
i
C
zi
iz
Cn
n
C
z
ieIi
Idz
iz
e
ie
ezfezfiz
siendo
dzzz
zf
i
nzf
dziz
eI
23
2
200
10
0)(
3
22
!2
)()(;2
:
, )(
2
!
2
dzzz 22
z
1
e4. Calcular ,donde γ es el contorno
indicado en la figura.-1
01
ezz
ef
fffidzzz
z
z
z
doblepoloz
simplespolosz
z
z
2
1
11,Res
1,Res0,Res21,Res21
e
11
20
11
:simples cerrados contornos de Número
0
1
:aislados singulares Puntos
1
2
22
z
)1(222
22
12
1
e
11
21
10,Res
211,Res
22
z
0
22
2
0
2
1
2
chie
eidz
zz
z
zze
z
ef
e
zz
ef
z
z
z
z
z
z
5. Calcular utilizando la teoría de residuos.
0 22 41
)log(dx
xx
x
i
i
iii
iizf
ii
i
iii
iizf
ii
i
iii
iizf
iziziziz
z
zz
zzf
122
2log
43
2log2),(Res
24
9
62
3
)3()2(
log),(Res
2462
3)(2
log),(Res
22
log
41
log)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
6
2log),(ResRe
2
1
122
32log
)4()()3(
2log2),(Res
4
1
2
2
k
kzzfI
i
i
iii
iizf
SEPTIEMBRE 01/02: P-2
1. Obtener los puntos del plano complejo donde la función
es diferenciable. Calcular su derivada.)Re()( zzzf
yix
yxyxxyixxx
yix
xiyxxxyyixx
z
zzzzzz
z
zfzzf
lím
lím
límlím
z
z
zz
2
ReRe
2
0
0
00
0)0(
0ReRe00
:0z Si
000
f
zz
zz
z
fzflímlímlím
zzz
21
21
000
0
2
00
ImIm
ReRe
:0
22
2
:0
:0z Si
xxy
yxi
z
zfzzf
yiz
iyxiyxx
x
xiyxxx
z
zfzzf
ixz
límlímlím
lím
límlím
yyz
x
xz
z=0
0z puntos losen blediferencia es no f(z)
2. Obtener los puntos del plano complejo donde la función es analítica. Considerar la determinación principal.21
1)(
zzf
020)Im(
1010)Re(
211
)(y 0
que tales1 puntos los en todos analítica es )(
1
2222
222
2
)1(2
12
12
2
xyw
yxyxw
xyiyxzw
wArg-πw
zwzf
ezzLog
0
0
y
x
1 ó 110
102
2
xxxy
imposibleyx
Im(z)
Re(z)-1 1
(Re(z)<-1) y (Re(z)>1) Im(z)=0
Zonas de no analiticidad – plano zZonas de no analiticidad – plano w
Re(w)
Im(w)
Re(w)<0Im(w)=0
3. Calcular la integral
donde el contorno C es la circunferencia orientada de forma positiva.
dzz
zLogz
i C
1
1
2
1 2
2z
0020)Im(
110)Re(
:principalión determinac la estudia Se
1
11)Im(;
1
11)Re(
1
11
1
1
1
1
1
1
:logaritmofunción laen Problemas
2
2222
2
22
2
1
yyw
yxxw
yx
xyxyw
yx
yxxw
yx
iyxiyx
iyx
iyxw
z
z
z
z
0
11
y
x
2
2: zC
-1 1
Segmento donde f(z) no es analítica
zLogzLogz
z
zLog
zz
zLogzzz
fz
zF
zz
fz
dzz
zLogz
iI
C
111
1
11
11
111111)(
0;11
Res1
1
2
1
:infinito elen residuo de
concepto el aplicamosanalítica) es C de (fuera
C de dentro singulares puntos de infinito conjuntoun
4
4
2
22
22
...!3
2
!21
2)0(1
2)(
1)0(1
1)(
1)0(1
1)(
;0)0(
1 )(
:0en 1 dey 1 de serieen sdesarrollo los Obtengamos
32
3
2
0
zzzzLog
gz
zg
gz
zg
gz
zg
g
zLogzg
zzLogzLog
...!3
2
!21
2)0(1
2)(
1)0(1
1)(
1)0(1
1)(
;0)0(
1 )(
32
3
2
zzzzLog
hz
zh
hz
zh
hz
zh
h
zLogzh
3
2
3
2
!3
40);(Res
...!342
...!3
2
!2...
!3
2
!2
1)(
3
3232
4
IzzF
zz
zzz
zzz
zzF
4. Calcular la siguiente integral definida utilizando la teoría de residuos:
2
0 cos2
1d
3
2
32
11),(Res
),(Res22
de dentro está sólo
simples polos ,1
14
1)(
32;32 :rdenominado elen Ceros
14
2
1121
2
12
1
2cos
)20(1:
211
11
2121
2
21
2
Izz
zf
zfii
ICz
zzzzzzzz
zf
zz
zz
dz
iz
dz
zz
iI
izddz
zzee
ezzC
CC
ii
i
5. Hallar el residuo de una función compuesta en el punto donde se verifican las siguientes condiciones:
zf az
B. es residuosu y )(
punto elen orden primer de poloun tieneffunción La
0)(y en analítica es )(
a
aazz
(2) ...!2
...!2!1
:Taylor de desarrolloen analítica
2
aza
aazaz
aza
aza
az
az
Ba
af
Expresamos la segunda condición
(1)
az
zzf
:(1)en (3)y (2) doReemplazan
(3) ...!1
:Taylor de desarrollo(1))(por en analítica
azaa
az
az
B
a
Bazzf
aza
aaz
azaaB
az
zzf
;)(Res
...!2
...
JUNIO 01/02: P-3
1. Hallar el residuo logarítmico de la función compleja
respecto del contornochzzf )(
8z
8
0
2
8
0
6)(
)(
2
1
63,2,1,0
:a ientescorrespond ceros los encuentran se 8En
;2
121202
)1log(2100
:8en )( de ceros los Calculamos
0enterafunción una es )(
)(
)(
2
1
z
k
zzz
p
z
p
dzzf
zf
i
Nk
z
kki
zkiz
zeeechz
zzf
Nchzzf
NNdzzf
zf
i
2. Determinar el número de ceros con sus multiplicidades que tiene el polinomio complejo en el disco anular
1283 3569 zzzz21 z
ceros 36-9 tienese 21en Por tanto,
7123
88
:1z disco elEn
561128
15363
:2z disco elEn
359
6
356
9
z
zzz
z
zzz
z2zen ceros 9
1zen ceros 6
Rouché de Teorema