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ARREGLOS OROTGONALES
Ing. Vctor R. Ledesma Hernndez
Arreglos ortogonales
Son diseos propuestos por Taguchi que, como
su nombre lo indica, tienen la propiedad de
ortogonalidad, misma que tambin poseen los
diseos factoriales clsicos. Estos arreglos son
diseos factoriales completos, fraccionados o
mixtos, dependiendo del nmero de factores a
estudiar en un caso particular.
Los arreglos ortogonales son herramientas que
permiten al ingeniero evaluar qu tan robustos
son los diseos del proceso y del producto con
respecto a los factores de ruido.
El anlisis del arreglo ortogonal de Taguchi es usado para
producir los mejores parmetros para el diseo ptimo del
proceso, con el mnimo nmero de experimentos
(pruebas). Los resultados obtenidos para los arreglos
ortogonales son analizados para obtener los siguientes
objetivos:
A) Estimar la contribucin de los factores individuales que
influyen en la calidad en la etapa del diseo del producto.
B) Ganar la mejor condicin para un proceso o un
producto, as que las caractersticas en una buena calidad
puedan ser sostenidas.
Se dice que una matriz de diseo es
ortogonal si sus columnas son linealmente
independientes, lo cual se tiene si la
multiplicacin de dos columnas
cualesquiera es igual a cero.
VENTAJA
La ventaja del los arreglos ortogonales es que pueden
ser aplicados al diseo experimental involucrando un gran
nmero de factores.
DESVENTAJAS
es que puede ser nicamente aplicado en la etapa inicial
del diseo del sistema del producto o proceso. Un arreglo
ortogonal permite asegurar que el efecto de "B" en "A1" es
el mismo efecto de "B" en "A2". As se podr estar seguro
de que se est haciendo comparaciones entre efectos de
niveles de un factor.
QUE REPRESENTA La(b)c DONDE:
L = Indica que es un arreglo ortogonal
a = Nmero de corridas experimentales
b = Nmero de niveles para cada factor
c = Nmero de columnas o factores de un
arreglo ortogonal.
Arreglo L4 (fraccin 23 1)
Arreglo L9 (34 2)
Arreglo L8 (fraccin 27 4)
El arreglo ortogonal L8 (AO_L8) tiene ocho corridas
experimentales, y con l se pue den estudiar desde dos hasta siete
factores en dos niveles cada uno.
Arreglo L12 (Plackett-Burman
para k = 11)
Arreglo L18 (2 37 5)
Arreglo L16 (215 11)
El subndice en la notacin Li indica el nmero de
combinaciones de niveles que conforman el
arreglo. Los arreglos L9 y L18 permiten estudiar
factores con tres niveles (1, 2, 3).
Taguchi acomoda las columnas de los arreglos
ortogonales en un orden diferente al orden de
Yates. La primera columna de cada arreglo
ortogonal es aquella donde los niveles aparecen
lo ms agrupados posible, de manera que el
factor correspondiente se cambia de nivel un
nmero mnimo de veces si el arreglo se corre en
este orden.
Taguchi recomienda asignar a la primera columna
aquel factor que sea ms difcil de manipular
durante el experimento; es decir, el factor al que
sea difcil cambiarle su nivel de una prueba a
otra.
Taguchi no enfatiza la necesidad de correr el
experimento en orden aleatorio como se
recomienda en diseo clsico, sino ms bien
presupone las complicaciones prcticas que se
han sealado, y estructura el orden de las
columnas conforme a esas dificultades.
Diseo con arreglo interno y externo
(diseo de parmetros)
La condicin fundamental para que un diseo
experimental sea de tipo robusto es que exista al menos
un factor de ruido para el cual se busca hacer que el
proceso o producto sea insensible a su efecto, sin
pretender controlar dicho factor de ruido.
ste seguir actuando como siempre el proceso despus
del experimento, pero se busca que su efecto sea menor.
Un diseo experimental propuesto por Taguchi para
determinar condiciones de operacin robustas a uno o
varios factores de ruido es el diseo con arreglo interno y
externo.
Razn seal/ruido
Para el anlisis del diseo con arreglo
interno y externo, Taguchi propone un
estadstico de desempeo, al cual le llama
cociente o razn seal/ruido (signal to noise
ratio), que se calcula en cada combinacin
de los facto res controlables y se analiza
como cualquier variable de res puesta. La
combinacin ms robusta de los niveles de
los factores controlables es aquella que
maximiza el estadstico razn seal/ruido.
diseo con arreglo interno (L8) y
arreglo externo (L9).
Optimizacin en dos pasos
Razones seal/ruido para los
diferentes tipos de variables de
respuesta.
Una de las caractersticas importantes en el proceso de produccin de un pigmento es su color. El problema que se tena en este
proceso era el exceso de variacin del color del pigmento. Un grupo
de mejora decide utilizar diseo robusto para tratar de hacer el
proceso menos sensible al efecto de factores de ruido difciles de
controlar durante la produccin. Se identificaron seis factores de
control y tres de ruido con dos niveles cada uno: (1, 2), los cuales
se muestran en la tabla.
Se decide utilizar un arreglo ortogonal L8 para los factores
de control y un L4 para los factores de ruido, con lo que el
diseo resultante tiene 32 corridas (pruebas) a nivel
proceso.
Los mtodos de Taguchi son tcnicas estadsticas para
realizar experimentos que pueden determinar las mejores
combinaciones de variables de productos y procesos para
fabricar o desarrollar un producto. El mtodo del Dr.
Taguchi para el diseo de experimentos utiliza tcnicas
que implican bajos costos y que son aplicables a los
problemas y requerimientos de la industria moderna
(Taguchi, 2009).
El propsito que se tiene en el diseo del producto es
encontrar aquella combinacin de factores que nos
proporcione un desempeo ms estable y costo de
desarrollo ms bajo. Taguchi (1992) valora la ventaja
fundamental de los arreglos ortogonales es que pueden
ser aplicados al diseo experimental involucrando un gran
nmero de factores.
Experimentos a dos niveles 2k
Para un arreglo a dos niveles, el nmero de
columnas (efectos o factores) que se
pueden analizar, es igual al nmero de
renglones ms uno.
En un proceso de formacin de paneles una caracterstica no
deseada es la emisin de formaldehdo en el producto final. Se desea
que esta emisin sea lo mnima posible. Actualmente se estima en
0.45 ppm. (partes por milln).
Se cree que cinco factores pueden estar afectando la emisin, estos
son: tipo de resina, concentracin de la solucin, tiempo de ciclo
de prensado, humedad y presin.
Si se desea analizar el efecto de estos factores, es necesario
variarlos, esto es probarlos bajo diferentes valores cada uno. A cada
uno de estos valores se les llama nivel. Se requieren de al menos dos
niveles o valores distintos para cada factor. A uno de ellos
arbitrariamente le llamamos nivel bajo o nivel 1, al otro nivel alto o nivel 2.
Factor Nivel I Nivel 2
A Tipo de resina Tipo I Tipo II
B Concentracin 5% 10%
C Tiempo de ciclo de prensado 10 seg 15 seg
D Humedad 3% 5%
E Presin 800 psi. 900 psi.
Descripcin
En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5
efectos o factores a dos niveles cada uno, por lo tanto, se
usar un arreglo ortogonal L8. Esto implica que se
ejecutarn 8 pruebas o condiciones experimentales. Por
otra parte se disponen de 7 columnas, a cada columna se le
puede asignar o asociar un factor. Si en particular,
asignamos los factores en orden a las primeras cinco
Columnas, dejando libres las ltimas dos columnas, el
arreglo queda:
No. A B C D E e 1 e 2 Resina Concen. Tiempo Humedad Presin Yi
1 1 1 1 1 1 1 1 Tipo I 5% 10 seg. 3% 800 psi. 0.49
2 1 1 1 2 2 2 2 Tipo I 5% 10 seg. 5% 900 psi. 0.42
3 1 2 2 1 1 2 2 Tipo I 10% 15 seg. 3% 800 psi. 0.38
4 1 2 2 2 2 1 1 Tipo I 10% 15 seg. 5% 900 psi. 0.30
5 2 1 2 1 2 1 2 Tipo II 5% 15 seg. 3% 900 psi. 0.21 6 2 1 2 2 1 2 1 Tipo II 5% 15 seg. 5% 800 psi. 0.24
7 2 2 1 1 2 2 1 Tipo II 10% 10 seg. 3% 900 psi. 0.32
8 2 2 1 2 1 1 2 Tipo II 10% 10 seg. 5% 800 psi. 0.28
Anlisis de varianza
1) como primer paso, se obtienen los totales de la variable
de respuesta o lecturas, para cada uno de los niveles de
los factores.
A1= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a
su nivel 1
= 0.49+0.42+0.38+0.30=1.59
A2= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a
su nivel 2
= 0.21+0.24+0.32+0.28= 1.05
2) Suma de cuadrados
D1= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 1
= 0.49+0.38+0.21+0.32= 1.40
D2= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 2
= 0.42+0.30+0.24+0.28= 1.24
Factor A B C D E e e
Nivel 1 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35
Nivel 2 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29
2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64
Suma de cuadrados
Suma de los cuadrados del factor x= SS X= (Total nivel 2
Total nivel 1)2/ n
Donde n representa el nmero total de lecturas que se tomaron.
SSA= (A2 A1) 2/ 8= (1.59-1.05) 2/ 8=0.03645 con 1 g .1
SSB= (B2 B1) 2/ 8= (1.28-1.36) 2/ 8= 0.00080 con 1 g.1
SSC= (C2 C1) 2/ 8= (1.13-1.51) 2/ 8= 0.01805 con 1 g.1
SSD= (D2 D1) 2/ 8= (1.24-1.40) 2/ 8= 0.00320 con 1 g.1
SSE= (E2 E1) 2/ 8= (1.25-1.39) 2/ 8= 0.00245 con 1 g.1
SSe= 0.00080 con 1 g.1
SSe= 0.00045 con 1 g.1
La suma de cuadrados de las columnas donde no se
asign factor (SSe) se toman como estimaciones del error
y se suman.
SSe= 0.00080+0.00045= 0.00125 con 2 g.1
3) ANOVA
Efecto SS G.l. V Fexp
A 0.03645 1 0.03645 58.32
B 0.00080 1 0.00080 1.28
C 0.01805 1 0.01805 28.88
D 0.00320 1 0.00320 5.12
E 0.00245 1 0.00245 3.92
Error 0.00125 2 0.000625
Total 0.0622 7
4) Conclusiones
Todos aquellos factores, que tienen un valor de Fexp.
mayor que 2 se considera que afectan la variable de
respuesta.
En este ejemplo resultan significantes los factores A, C, D
y E, tipo de resina, tiempo de ciclo, humedad y presin
respectivamente.
Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron
significantes, se consideren como error aleatorio, a fin de
obtener una mejor estimacin (con mayor nmero de
grados de libertad).
SSe= SSB + SSe= 0.00080+0.00125= 0.00205
Con 1 + 2 = 3 grados de libertad y (Ve)= (SSe)/3=
0.00205/3= 0.00068
Tiempo Minitab
Stat > DOE > Taguchi > Analyze Taguchi Design
Response data in Y
Analysis. Fit linear model for Signal to Noise Ratios
Means
Graphs: Signal to Noise Ratios Means
Terms: A B C D E F
Analysis graphs: Residuals for plots Standardized
Residual Plots Individual plots Normal plot
Options: Smaller is better
Storage: Signal to Noise Ratios Means
OK
Fijacin de niveles
Decidir a que nivel habr de fijar cada factor significante, y
qu podremos esperar. Para tomar esta decisin, es de
mucha ayuda obtener los promedios de las lecturas que
se tomaron a cada nivel para cada uno de los factores
significantes.
promedios
Los promedios de la emisin de formaldehdo para cada
nivel se obtienen dividiendo c/u de los totales entre 4,
(c/total es la suma de cuatro lecturas).
A1= A1/4= 1.59/4= 0.3975
A2= A2/4= 1.05/4= 0.2625
Factor Nivel 1 Nivel 2
A A1= 0.3975 A2= 0.2625
B B1= 0.3400 B2= 0.3200
C C1= 0.3775 C2= 0.2825
D D1= 0.3500 D2= 0.3100
E E1= 0.3475 E2= 0.3125
promedio general (Y) es:
Y= (0.49+0.42+0.38+0.30+0.21+0.24+0.32+0.28)/8=T/n=
2.64/8= 0.33
Los factores A, C, D y E que afectan emisin de
formaldehdo debern fijarse al nivel que minimicen la
emisin, esto es, al nivel que se obtenga el promedio
menor, en este ejemplo; A2, C2, D2 y E2; resina tipo II, 15
segundos como tiempo de prensado, 5% de humedad y
900 psi.
Factores no significantes
Asignar nivel en base a otro criterio de interes.
Cul ser el nivel esperado de emisin bajo las
nuevas emisiones propuestas Y est. (estimada)?
Para cada efecto significante se calcula una resta, (efecto
de cada factor respecto al promedio general) para este
caso el efecto es:
Efecto A = (promedio bajo la condicin propuesta del
factor promedio general)
EF A = A2 Y= 0.2625-0.3300= -0.0675 (A se fij a su nivel 2)
EF C = C2 Y= 0.2825-0.3300= -0.0475
EF D = D2 Y= 0.3100-0.3300=-0.0200
EF E = E2 Y= 0.3125-0.3300= -0.0175
Y est. se calcula sumando al promedio general Y todos
los efectos de los factores significantes.
Yest= Y + EF A + EF C +EF D +EF E= 0.3300-0.0675-
0.0475-0.0200-0.0175=0.1775
Anlisis utilizando grficas
Pasos
1) Primero se obtienen los promedios en cada nivel, para
cada uno de los factores, incluyendo las columnas
vacas.
Obtener los totales para cada nivel y dividir entre el
nmero de lecturas con el que se obtuvo cada total.
Los totales a cada nivel son:
* Uno de los promedios es mayor y el otro menor
que el promedio global. Esto siempre debe de
ocurrir.
Factor A B C D E e e
Nivel 1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475 0.3200 0.3325
Nivel 2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125 0.3400 0.3225
Promedio global Y= T/n= 2.64/8 = 0.33
2) Calcule la diferencia entre los promedios de niveles para
cada factor, y ordnelos de mayor a menor en valor
absoluto.
por ejemplo para el factor A
A1 A2 = 0.3975 0.2625= 0.1350;
Factor A B C D E e e
Diferencia 0.1350 0.0200 0.0950 0.0400 0.0350 0.0200 0.0100
Ordenando de mayor a menor valor absoluto (ignorando el signo), tenemos:
Factor A C D E B e e
Diferencia 0.1350 0.0950 0.0400 0.0350 0.0200 0.0200 0.0100
observar que el orden en que quedaron los datos
anteriores, es tambin el orden de mayor a menor Fexp.
que se obtiene con la ANOVA.
ANOVA N A B C D E e1 e2 Yi
1 1 1 1 1 1 1 1 0.49
2 1 1 1 2 2 2 2 0.42
3 1 2 2 1 1 2 2 0.38
4 1 2 2 2 2 1 1 0.30
5 2 1 2 1 2 1 2 0.21
6 2 1 2 2 1 2 1 0.24
7 2 2 1 1 2 2 1 0.32
8 2 2 1 2 1 1 2 0.28
T1 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35 Tot
T2 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29 2.64
SS 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 0.00080 0.00045 Ve
gl 1 1 1 1 1 2
V 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 .00062 F
58.32 1.28 28.88 5.12 3.92
Sg si no si si si
P1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475 Y
P2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125 0.33
Ni 2 - 2 2 2
Ef -0.0675 -0.0475 -0.0200 -0.0175
Yest. = Y + Ef A2 + Ef C2 + Ef D2 + Ef E2
T1 = Total de lecturas al nivel 1
T2 = Total de lecturas al nivel 2
n = Nmero total de lecturas
SS = (T2 - T1 )2 /n
gl = Grados de libertad (columnas)
V = SS/gl
F = V/Ve
Sg = Efecto significante?
P1 = Promedio nivel 1
P2 = Promedio nivel 2
Ni = Nivel seleccionado
Ef = Efecto de la variable
Y = Promedio de todos los datos
Yest. = Valor estimado de la variable a las condiciones propuestas
Grafica
.40 .35 .33 .30 .25
A1 A2 C1 C2 D1 D2 E1 E2 B1 B2 e1 e2 e1 e2
Mediante esta grfica, se puede evaluar el efecto de cada factor. Entre
mayor sea la lnea de cada factor, o bien, entre ms vertical se encuentre,
mayor ser el efecto de este factor.
Se observan un grupo de lneas inclinadas, seguida de un grupo de lneas
que sbitamente se acuestan o se hacen horizontales. Es de esperar que las lneas que presentan columnas vacas o error aleatorio, quedan
prcticamente horizontales.
Conclusiones
Observe que las conclusiones a que se llegamos en este ejemplo son
similares a las de la ANOVA, esto es, factores significantes A, C, D y e,
igualmente los niveles recomendados se pueden identificar
rpidamente, si deseamos reducir la variable de respuesta, se toma el
nivel ms bajo, en este caso A2, C2, D2 y E2, es decir, los puntos por
debajo de la lnea promedio global.
En conclusin, el mtodo grfico puede ser utilizado para fines de
exposicin o presentacin y el ANOVA para fines de tomar una
decisin ms objetiva.
Prediccin con Minitab
Stat > DOE > Taguchi > Predict Taguchi Results
Predict Mean Signal to Noise Ratio
Terms: A C D E
Levels: Seleccionar Coded Units Select levels from a list: A = 2, C = 2, D = 2, E = 2
OK
En 1951 en la Ina Tile Company se tena el problema de que el horno
quemaba de forma dispareja debido a una variacin de la temperatura en
diferentes partes de ste, lo cual causaba defectos en las lozas que se
fabricaban. Una posibilidad de solucin (imposible en ese momento) era
cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema.
Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al
funcionamiento disparejo del horno. Esto ltimo fue lo que se decidi hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba en siete factores de la formulacin
de la loza:
Note que uno de los niveles de prueba para cada uno de
los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese
momento. Se tom una muestra de 100 lozas en cada uno
de los ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas
defectuosas. Los resultados obtenidos se muestran en la
siguiente tabla:
a) Por qu este experimento es un diseo robusto?
b) Analice con detalle los datos: efectos principales y
efectos activos.
c) Obtenga la mejor formulacin de las lozas. Asigne el
nivel ms econmico a los factores que no tienen efecto
sobre el porcentaje de defectuosos.
d) Cul es la proporcin de loza defectuosa esperada en
el tratamiento elegido?
e) Estime la diferencia entre la proporcin de loza
esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento
nuevo sugerido por el estudio.
Ejercicio
Nivel
Factor Caracterstica bajo Alto
A Cantidad de piedra caliza 5% 1%
B Granulometra de aditivos Gruesa Fina
C Cantidad de aglomerante 43% 53%
D Tipo de aglomerante Actual Nuevo
E Lote de carga en materia prima 1300 1200
F Cantidad de trituracin 0% 4%
Experimento A B C D E F G No defectos en 100 cajas
1 - - - - - - - 16
2 - - - + + + + 17
3 - + + - - + + 12
4 - + + + + - - 6
5 + - + - + - + 6
6 + - + + - + - 68
7 + + - - + + - 12
8 + + - + - - + 26
Experimento No defectos en 100 cajas
1 16
2 17
3 12
4 6
5 6
6 68
7 12
8 26
Arreglos ortogonales para factores con
interacciones
Cuando el efecto de un factor depende del nivel de
otro factor, se dice que existe una interaccin entre
los factores.
Ejemplo: es el caso de 2 medicamentos que al
suministrarse en forma independiente, provocan
mejora en las condiciones del paciente. Por otro
lado, cuando los dos medicamentos son
suministrados al mismo tiempo y la condicin del
paciente empeora, se dice que los dos
medicamentos interactan.
Grficamente
Qu sucede cuando se desea incluir
interacciones en un arreglo ortogonal?,
a) Los arreglos ortogonales a utilizar para los casos con
interacciones, son exactamente los mismos que se
usan para el caso sin interacciones.
b) al asignar dos factores, A y B por ejemplo, a ciertas
columnas, automticamente la interaccin de esos dos
factores AxB se reflejar en otra columna del arreglo.
Por lo tanto, esta tercera columna ya no podr ser
utilizada por algn otro factor o interaccin a menos
que se pueda suponer la interaccin AxB como
inexistente.
c) una interaccin significante que se desee probar, tomar una
columna y en consecuencia un grado de libertad. Por lo tanto, si
deseamos analizar el efecto de 6 factores y 4 de las interacciones
entre ellos, requerimos por lo menos de 10 grados de libertad, esto es
de 10 columnas, o sea un arreglo L 16 y no un arreglo L8, que sera
suficiente sin interacciones.
d) se deber tener cuidado especial, en la manera como se asignan los
factores a las columnas, para que sus interacciones no se confundan
con otros factores principales u otras interacciones que tambin
deseamos probar.
Fue decidido conducir un arreglo ortogonal
L8 con 4 replicas para cada corrida
experimental. La matriz de diseo no
codificada y los resultados son mostrados:
En general, para un arreglo a dos niveles,
el nmero de columnas (efectos o factores)
que se pueden analizar, es igual al nmero
de renglones menos 1.
Grficas lineales
1. Como primer paso, seleccionamos un arreglo ortogonal
tentativo. Esto depende del nmero de efectos totales a
analizar.
4 factores + 3 interacciones = 7 efectos o columnas
2) Despus de seleccionar un arreglo ortogonal tentativo, un L8 en
este caso, el siguiente paso es desarrollar la grfica lineal que
deseamos, de acuerdo con las reglas mencionadas anteriormente:
a) Un efecto individual se representa con un punto.
b) Una interaccin se representa mediante una lnea que une los dos
efectos individuales.
A. B.
C. D.
Escoger las interacciones que interesan,
mediante lneas. Para este caso tenemos
(grfica de la izquierda):
3. Utilizando la segunda grfica, podremos asignar el
factor A a la columna 1, el factor B a la columna 2, la
interaccin AxB a la columna 3, el factor D a la
columna 4, la interaccin AxD a la columna 5, el factor
C a la columna 7 y la interaccin AxC a la columna 6.
Se desea analizar un nuevo tipo de carburador. La variable
de respuesta de inters es el porcentaje de hidrocarburos
no quemados que arroja el motor. Cuatro diferentes
factores y tres interacciones parecen afectar esta variable:
Efecto Descripcin Niveles
I
II
A Tensin del diafragma Baja Alta
B Entrada para aire Estrecha Abierta
C Apertura para
combustible
Pequea Grande
D Flujo de gasolina Lento Rpido
AxC Interaccin
AxB Interaccin
BxC
Interaccin