ARREGLOS OROTGONALES

Ing. Vctor R. Ledesma Hernndez

Arreglos ortogonales

Son diseos propuestos por Taguchi que, como

su nombre lo indica, tienen la propiedad de

ortogonalidad, misma que tambin poseen los

diseos factoriales clsicos. Estos arreglos son

diseos factoriales completos, fraccionados o

mixtos, dependiendo del nmero de factores a

estudiar en un caso particular.

Los arreglos ortogonales son herramientas que

permiten al ingeniero evaluar qu tan robustos

son los diseos del proceso y del producto con

respecto a los factores de ruido.

El anlisis del arreglo ortogonal de Taguchi es usado para

producir los mejores parmetros para el diseo ptimo del

proceso, con el mnimo nmero de experimentos

(pruebas). Los resultados obtenidos para los arreglos

ortogonales son analizados para obtener los siguientes

objetivos:

A) Estimar la contribucin de los factores individuales que

influyen en la calidad en la etapa del diseo del producto.

B) Ganar la mejor condicin para un proceso o un

producto, as que las caractersticas en una buena calidad

puedan ser sostenidas.

Se dice que una matriz de diseo es

ortogonal si sus columnas son linealmente

independientes, lo cual se tiene si la

multiplicacin de dos columnas

cualesquiera es igual a cero.

VENTAJA

La ventaja del los arreglos ortogonales es que pueden

ser aplicados al diseo experimental involucrando un gran

nmero de factores.

DESVENTAJAS

es que puede ser nicamente aplicado en la etapa inicial

del diseo del sistema del producto o proceso. Un arreglo

ortogonal permite asegurar que el efecto de "B" en "A1" es

el mismo efecto de "B" en "A2". As se podr estar seguro

de que se est haciendo comparaciones entre efectos de

niveles de un factor.

QUE REPRESENTA La(b)c DONDE:

L = Indica que es un arreglo ortogonal

a = Nmero de corridas experimentales

b = Nmero de niveles para cada factor

c = Nmero de columnas o factores de un

arreglo ortogonal.

Arreglo L4 (fraccin 23 1)

Arreglo L9 (34 2)

Arreglo L8 (fraccin 27 4)

El arreglo ortogonal L8 (AO_L8) tiene ocho corridas

experimentales, y con l se pue den estudiar desde dos hasta siete

factores en dos niveles cada uno.

Arreglo L12 (Plackett-Burman

para k = 11)

Arreglo L18 (2 37 5)

Arreglo L16 (215 11)

El subndice en la notacin Li indica el nmero de

combinaciones de niveles que conforman el

arreglo. Los arreglos L9 y L18 permiten estudiar

factores con tres niveles (1, 2, 3).

Taguchi acomoda las columnas de los arreglos

ortogonales en un orden diferente al orden de

Yates. La primera columna de cada arreglo

ortogonal es aquella donde los niveles aparecen

lo ms agrupados posible, de manera que el

factor correspondiente se cambia de nivel un

nmero mnimo de veces si el arreglo se corre en

este orden.

Taguchi recomienda asignar a la primera columna

aquel factor que sea ms difcil de manipular

durante el experimento; es decir, el factor al que

sea difcil cambiarle su nivel de una prueba a

otra.

Taguchi no enfatiza la necesidad de correr el

experimento en orden aleatorio como se

recomienda en diseo clsico, sino ms bien

presupone las complicaciones prcticas que se

han sealado, y estructura el orden de las

columnas conforme a esas dificultades.

Diseo con arreglo interno y externo

(diseo de parmetros)

La condicin fundamental para que un diseo

experimental sea de tipo robusto es que exista al menos

un factor de ruido para el cual se busca hacer que el

proceso o producto sea insensible a su efecto, sin

pretender controlar dicho factor de ruido.

ste seguir actuando como siempre el proceso despus

del experimento, pero se busca que su efecto sea menor.

Un diseo experimental propuesto por Taguchi para

determinar condiciones de operacin robustas a uno o

varios factores de ruido es el diseo con arreglo interno y

externo.

Razn seal/ruido

Para el anlisis del diseo con arreglo

interno y externo, Taguchi propone un

estadstico de desempeo, al cual le llama

cociente o razn seal/ruido (signal to noise

ratio), que se calcula en cada combinacin

de los facto res controlables y se analiza

como cualquier variable de res puesta. La

combinacin ms robusta de los niveles de

los factores controlables es aquella que

maximiza el estadstico razn seal/ruido.

diseo con arreglo interno (L8) y

arreglo externo (L9).

Optimizacin en dos pasos

Razones seal/ruido para los

diferentes tipos de variables de

respuesta.

Una de las caractersticas importantes en el proceso de produccin de un pigmento es su color. El problema que se tena en este

proceso era el exceso de variacin del color del pigmento. Un grupo

de mejora decide utilizar diseo robusto para tratar de hacer el

proceso menos sensible al efecto de factores de ruido difciles de

controlar durante la produccin. Se identificaron seis factores de

control y tres de ruido con dos niveles cada uno: (1, 2), los cuales

se muestran en la tabla.

Se decide utilizar un arreglo ortogonal L8 para los factores

de control y un L4 para los factores de ruido, con lo que el

diseo resultante tiene 32 corridas (pruebas) a nivel

proceso.

Los mtodos de Taguchi son tcnicas estadsticas para

realizar experimentos que pueden determinar las mejores

combinaciones de variables de productos y procesos para

fabricar o desarrollar un producto. El mtodo del Dr.

Taguchi para el diseo de experimentos utiliza tcnicas

que implican bajos costos y que son aplicables a los

problemas y requerimientos de la industria moderna

(Taguchi, 2009).

El propsito que se tiene en el diseo del producto es

encontrar aquella combinacin de factores que nos

proporcione un desempeo ms estable y costo de

desarrollo ms bajo. Taguchi (1992) valora la ventaja

fundamental de los arreglos ortogonales es que pueden

ser aplicados al diseo experimental involucrando un gran

nmero de factores.

Experimentos a dos niveles 2k

Para un arreglo a dos niveles, el nmero de

columnas (efectos o factores) que se

pueden analizar, es igual al nmero de

renglones ms uno.

En un proceso de formacin de paneles una caracterstica no

deseada es la emisin de formaldehdo en el producto final. Se desea

que esta emisin sea lo mnima posible. Actualmente se estima en

0.45 ppm. (partes por milln).

Se cree que cinco factores pueden estar afectando la emisin, estos

son: tipo de resina, concentracin de la solucin, tiempo de ciclo

de prensado, humedad y presin.

Si se desea analizar el efecto de estos factores, es necesario

variarlos, esto es probarlos bajo diferentes valores cada uno. A cada

uno de estos valores se les llama nivel. Se requieren de al menos dos

niveles o valores distintos para cada factor. A uno de ellos

arbitrariamente le llamamos nivel bajo o nivel 1, al otro nivel alto o nivel 2.

Factor Nivel I Nivel 2

A Tipo de resina Tipo I Tipo II

B Concentracin 5% 10%

C Tiempo de ciclo de prensado 10 seg 15 seg

D Humedad 3% 5%

E Presin 800 psi. 900 psi.

Descripcin

En este caso estamos interesados en analizar el efecto de 5

efectos o factores a dos niveles cada uno, por lo tanto, se

usar un arreglo ortogonal L8. Esto implica que se

ejecutarn 8 pruebas o condiciones experimentales. Por

otra parte se disponen de 7 columnas, a cada columna se le

puede asignar o asociar un factor. Si en particular,

asignamos los factores en orden a las primeras cinco

Columnas, dejando libres las ltimas dos columnas, el

arreglo queda:

No. A B C D E e 1 e 2 Resina Concen. Tiempo Humedad Presin Yi

1 1 1 1 1 1 1 1 Tipo I 5% 10 seg. 3% 800 psi. 0.49

2 1 1 1 2 2 2 2 Tipo I 5% 10 seg. 5% 900 psi. 0.42

3 1 2 2 1 1 2 2 Tipo I 10% 15 seg. 3% 800 psi. 0.38

4 1 2 2 2 2 1 1 Tipo I 10% 15 seg. 5% 900 psi. 0.30

5 2 1 2 1 2 1 2 Tipo II 5% 15 seg. 3% 900 psi. 0.21 6 2 1 2 2 1 2 1 Tipo II 5% 15 seg. 5% 800 psi. 0.24

7 2 2 1 1 2 2 1 Tipo II 10% 10 seg. 3% 900 psi. 0.32

8 2 2 1 2 1 1 2 Tipo II 10% 10 seg. 5% 800 psi. 0.28

Anlisis de varianza

1) como primer paso, se obtienen los totales de la variable

de respuesta o lecturas, para cada uno de los niveles de

los factores.

A1= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a

su nivel 1

= 0.49+0.42+0.38+0.30=1.59

A2= total de las lecturas que se tomaron con el factor A a

su nivel 2

= 0.21+0.24+0.32+0.28= 1.05

2) Suma de cuadrados

D1= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 1

= 0.49+0.38+0.21+0.32= 1.40

D2= Total de las lecturas que se tomaron con el factor D a su nivel 2

= 0.42+0.30+0.24+0.28= 1.24

Factor A B C D E e e

Nivel 1 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35

Nivel 2 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29

2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64 2.64

Suma de cuadrados

Suma de los cuadrados del factor x= SS X= (Total nivel 2

Total nivel 1)2/ n

Donde n representa el nmero total de lecturas que se tomaron.

SSA= (A2 A1) 2/ 8= (1.59-1.05) 2/ 8=0.03645 con 1 g .1

SSB= (B2 B1) 2/ 8= (1.28-1.36) 2/ 8= 0.00080 con 1 g.1

SSC= (C2 C1) 2/ 8= (1.13-1.51) 2/ 8= 0.01805 con 1 g.1

SSD= (D2 D1) 2/ 8= (1.24-1.40) 2/ 8= 0.00320 con 1 g.1

SSE= (E2 E1) 2/ 8= (1.25-1.39) 2/ 8= 0.00245 con 1 g.1

SSe= 0.00080 con 1 g.1

SSe= 0.00045 con 1 g.1

La suma de cuadrados de las columnas donde no se

asign factor (SSe) se toman como estimaciones del error

y se suman.

SSe= 0.00080+0.00045= 0.00125 con 2 g.1

3) ANOVA

Efecto SS G.l. V Fexp

A 0.03645 1 0.03645 58.32

B 0.00080 1 0.00080 1.28

C 0.01805 1 0.01805 28.88

D 0.00320 1 0.00320 5.12

E 0.00245 1 0.00245 3.92

Error 0.00125 2 0.000625

Total 0.0622 7

4) Conclusiones

Todos aquellos factores, que tienen un valor de Fexp.

mayor que 2 se considera que afectan la variable de

respuesta.

En este ejemplo resultan significantes los factores A, C, D

y E, tipo de resina, tiempo de ciclo, humedad y presin

respectivamente.

Se acostumbra que aquellos efectos que no resultaron

significantes, se consideren como error aleatorio, a fin de

obtener una mejor estimacin (con mayor nmero de

grados de libertad).

SSe= SSB + SSe= 0.00080+0.00125= 0.00205

Con 1 + 2 = 3 grados de libertad y (Ve)= (SSe)/3=

0.00205/3= 0.00068

Tiempo Minitab

Stat > DOE > Taguchi > Analyze Taguchi Design

Response data in Y

Analysis. Fit linear model for Signal to Noise Ratios

Means

Graphs: Signal to Noise Ratios Means

Terms: A B C D E F

Analysis graphs: Residuals for plots Standardized

Residual Plots Individual plots Normal plot

Options: Smaller is better

Storage: Signal to Noise Ratios Means

OK

Fijacin de niveles

Decidir a que nivel habr de fijar cada factor significante, y

qu podremos esperar. Para tomar esta decisin, es de

mucha ayuda obtener los promedios de las lecturas que

se tomaron a cada nivel para cada uno de los factores

significantes.

promedios

Los promedios de la emisin de formaldehdo para cada

nivel se obtienen dividiendo c/u de los totales entre 4,

(c/total es la suma de cuatro lecturas).

A1= A1/4= 1.59/4= 0.3975

A2= A2/4= 1.05/4= 0.2625

Factor Nivel 1 Nivel 2

A A1= 0.3975 A2= 0.2625

B B1= 0.3400 B2= 0.3200

C C1= 0.3775 C2= 0.2825

D D1= 0.3500 D2= 0.3100

E E1= 0.3475 E2= 0.3125

promedio general (Y) es:

Y= (0.49+0.42+0.38+0.30+0.21+0.24+0.32+0.28)/8=T/n=

2.64/8= 0.33

Los factores A, C, D y E que afectan emisin de

formaldehdo debern fijarse al nivel que minimicen la

emisin, esto es, al nivel que se obtenga el promedio

menor, en este ejemplo; A2, C2, D2 y E2; resina tipo II, 15

segundos como tiempo de prensado, 5% de humedad y

900 psi.

Factores no significantes

Asignar nivel en base a otro criterio de interes.

Cul ser el nivel esperado de emisin bajo las

nuevas emisiones propuestas Y est. (estimada)?

Para cada efecto significante se calcula una resta, (efecto

de cada factor respecto al promedio general) para este

caso el efecto es:

Efecto A = (promedio bajo la condicin propuesta del

factor promedio general)

EF A = A2 Y= 0.2625-0.3300= -0.0675 (A se fij a su nivel 2)

EF C = C2 Y= 0.2825-0.3300= -0.0475

EF D = D2 Y= 0.3100-0.3300=-0.0200

EF E = E2 Y= 0.3125-0.3300= -0.0175

Y est. se calcula sumando al promedio general Y todos

los efectos de los factores significantes.

Yest= Y + EF A + EF C +EF D +EF E= 0.3300-0.0675-

0.0475-0.0200-0.0175=0.1775

Anlisis utilizando grficas

Pasos

1) Primero se obtienen los promedios en cada nivel, para

cada uno de los factores, incluyendo las columnas

vacas.

Obtener los totales para cada nivel y dividir entre el

nmero de lecturas con el que se obtuvo cada total.

Los totales a cada nivel son:

* Uno de los promedios es mayor y el otro menor

que el promedio global. Esto siempre debe de

ocurrir.

Factor A B C D E e e

Nivel 1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475 0.3200 0.3325

Nivel 2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125 0.3400 0.3225

Promedio global Y= T/n= 2.64/8 = 0.33

2) Calcule la diferencia entre los promedios de niveles para

cada factor, y ordnelos de mayor a menor en valor

absoluto.

por ejemplo para el factor A

A1 A2 = 0.3975 0.2625= 0.1350;

Factor A B C D E e e

Diferencia 0.1350 0.0200 0.0950 0.0400 0.0350 0.0200 0.0100

Ordenando de mayor a menor valor absoluto (ignorando el signo), tenemos:

Factor A C D E B e e

Diferencia 0.1350 0.0950 0.0400 0.0350 0.0200 0.0200 0.0100

observar que el orden en que quedaron los datos

anteriores, es tambin el orden de mayor a menor Fexp.

que se obtiene con la ANOVA.

ANOVA N A B C D E e1 e2 Yi

1 1 1 1 1 1 1 1 0.49

2 1 1 1 2 2 2 2 0.42

3 1 2 2 1 1 2 2 0.38

4 1 2 2 2 2 1 1 0.30

5 2 1 2 1 2 1 2 0.21

6 2 1 2 2 1 2 1 0.24

7 2 2 1 1 2 2 1 0.32

8 2 2 1 2 1 1 2 0.28

T1 1.59 1.36 1.51 1.40 1.39 1.28 1.35 Tot

T2 1.05 1.28 1.13 1.24 1.25 1.36 1.29 2.64

SS 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 0.00080 0.00045 Ve

gl 1 1 1 1 1 2

V 0.03645 0.00080 0.01805 0.00320 0.00245 .00062 F

58.32 1.28 28.88 5.12 3.92

Sg si no si si si

P1 0.3975 0.3400 0.3775 0.3500 0.3475 Y

P2 0.2625 0.3200 0.2825 0.3100 0.3125 0.33

Ni 2 - 2 2 2

Ef -0.0675 -0.0475 -0.0200 -0.0175

Yest. = Y + Ef A2 + Ef C2 + Ef D2 + Ef E2

T1 = Total de lecturas al nivel 1

T2 = Total de lecturas al nivel 2

n = Nmero total de lecturas

SS = (T2 - T1 )2 /n

gl = Grados de libertad (columnas)

V = SS/gl

F = V/Ve

Sg = Efecto significante?

P1 = Promedio nivel 1

P2 = Promedio nivel 2

Ni = Nivel seleccionado

Ef = Efecto de la variable

Y = Promedio de todos los datos

Yest. = Valor estimado de la variable a las condiciones propuestas

Grafica

.40 .35 .33 .30 .25

A1 A2 C1 C2 D1 D2 E1 E2 B1 B2 e1 e2 e1 e2

Mediante esta grfica, se puede evaluar el efecto de cada factor. Entre

mayor sea la lnea de cada factor, o bien, entre ms vertical se encuentre,

mayor ser el efecto de este factor.

Se observan un grupo de lneas inclinadas, seguida de un grupo de lneas

que sbitamente se acuestan o se hacen horizontales. Es de esperar que las lneas que presentan columnas vacas o error aleatorio, quedan

prcticamente horizontales.

Conclusiones

Observe que las conclusiones a que se llegamos en este ejemplo son

similares a las de la ANOVA, esto es, factores significantes A, C, D y e,

igualmente los niveles recomendados se pueden identificar

rpidamente, si deseamos reducir la variable de respuesta, se toma el

nivel ms bajo, en este caso A2, C2, D2 y E2, es decir, los puntos por

debajo de la lnea promedio global.

En conclusin, el mtodo grfico puede ser utilizado para fines de

exposicin o presentacin y el ANOVA para fines de tomar una

decisin ms objetiva.

Prediccin con Minitab

Stat > DOE > Taguchi > Predict Taguchi Results

Predict Mean Signal to Noise Ratio

Terms: A C D E

Levels: Seleccionar Coded Units Select levels from a list: A = 2, C = 2, D = 2, E = 2

OK

En 1951 en la Ina Tile Company se tena el problema de que el horno

quemaba de forma dispareja debido a una variacin de la temperatura en

diferentes partes de ste, lo cual causaba defectos en las lozas que se

fabricaban. Una posibilidad de solucin (imposible en ese momento) era

cambiar el horno por otro que no tuviera ese problema.

Otra posibilidad era reformular las lozas de manera que fueran robustas al

funcionamiento disparejo del horno. Esto ltimo fue lo que se decidi hacer, utilizando los siguientes niveles de prueba en siete factores de la formulacin

de la loza:

Note que uno de los niveles de prueba para cada uno de

los factores corresponde al nivel que se utilizaba hasta ese

momento. Se tom una muestra de 100 lozas en cada uno

de los ocho tratamientos y se obtuvo el porcentaje de lozas

defectuosas. Los resultados obtenidos se muestran en la

siguiente tabla:

a) Por qu este experimento es un diseo robusto?

b) Analice con detalle los datos: efectos principales y

efectos activos.

c) Obtenga la mejor formulacin de las lozas. Asigne el

nivel ms econmico a los factores que no tienen efecto

sobre el porcentaje de defectuosos.

d) Cul es la proporcin de loza defectuosa esperada en

el tratamiento elegido?

e) Estime la diferencia entre la proporcin de loza

esperada en el tratamiento anterior (actual) y el tratamiento

nuevo sugerido por el estudio.

Ejercicio

Nivel

Factor Caracterstica bajo Alto

A Cantidad de piedra caliza 5% 1%

B Granulometra de aditivos Gruesa Fina

C Cantidad de aglomerante 43% 53%

D Tipo de aglomerante Actual Nuevo

E Lote de carga en materia prima 1300 1200

F Cantidad de trituracin 0% 4%

Experimento A B C D E F G No defectos en 100 cajas

1 - - - - - - - 16

2 - - - + + + + 17

3 - + + - - + + 12

4 - + + + + - - 6

5 + - + - + - + 6

6 + - + + - + - 68

7 + + - - + + - 12

8 + + - + - - + 26

Experimento No defectos en 100 cajas

1 16

2 17

3 12

4 6

5 6

6 68

7 12

8 26

Arreglos ortogonales para factores con

interacciones

Cuando el efecto de un factor depende del nivel de

otro factor, se dice que existe una interaccin entre

los factores.

Ejemplo: es el caso de 2 medicamentos que al

suministrarse en forma independiente, provocan

mejora en las condiciones del paciente. Por otro

lado, cuando los dos medicamentos son

suministrados al mismo tiempo y la condicin del

paciente empeora, se dice que los dos

medicamentos interactan.

Grficamente

Qu sucede cuando se desea incluir

interacciones en un arreglo ortogonal?,

a) Los arreglos ortogonales a utilizar para los casos con

interacciones, son exactamente los mismos que se

usan para el caso sin interacciones.

b) al asignar dos factores, A y B por ejemplo, a ciertas

columnas, automticamente la interaccin de esos dos

factores AxB se reflejar en otra columna del arreglo.

Por lo tanto, esta tercera columna ya no podr ser

utilizada por algn otro factor o interaccin a menos

que se pueda suponer la interaccin AxB como

inexistente.

c) una interaccin significante que se desee probar, tomar una

columna y en consecuencia un grado de libertad. Por lo tanto, si

deseamos analizar el efecto de 6 factores y 4 de las interacciones

entre ellos, requerimos por lo menos de 10 grados de libertad, esto es

de 10 columnas, o sea un arreglo L 16 y no un arreglo L8, que sera

suficiente sin interacciones.

d) se deber tener cuidado especial, en la manera como se asignan los

factores a las columnas, para que sus interacciones no se confundan

con otros factores principales u otras interacciones que tambin

deseamos probar.

Fue decidido conducir un arreglo ortogonal

L8 con 4 replicas para cada corrida

experimental. La matriz de diseo no

codificada y los resultados son mostrados:

En general, para un arreglo a dos niveles,

el nmero de columnas (efectos o factores)

que se pueden analizar, es igual al nmero

de renglones menos 1.

Grficas lineales

1. Como primer paso, seleccionamos un arreglo ortogonal

tentativo. Esto depende del nmero de efectos totales a

analizar.

4 factores + 3 interacciones = 7 efectos o columnas

2) Despus de seleccionar un arreglo ortogonal tentativo, un L8 en

este caso, el siguiente paso es desarrollar la grfica lineal que

deseamos, de acuerdo con las reglas mencionadas anteriormente:

a) Un efecto individual se representa con un punto.

b) Una interaccin se representa mediante una lnea que une los dos

efectos individuales.

A. B.

C. D.

Escoger las interacciones que interesan,

mediante lneas. Para este caso tenemos

(grfica de la izquierda):

3. Utilizando la segunda grfica, podremos asignar el

factor A a la columna 1, el factor B a la columna 2, la

interaccin AxB a la columna 3, el factor D a la

columna 4, la interaccin AxD a la columna 5, el factor

C a la columna 7 y la interaccin AxC a la columna 6.

Se desea analizar un nuevo tipo de carburador. La variable

de respuesta de inters es el porcentaje de hidrocarburos

no quemados que arroja el motor. Cuatro diferentes

factores y tres interacciones parecen afectar esta variable:

Efecto Descripcin Niveles

I

II

A Tensin del diafragma Baja Alta

B Entrada para aire Estrecha Abierta

C Apertura para

combustible

Pequea Grande

D Flujo de gasolina Lento Rpido

AxC Interaccin

AxB Interaccin

BxC

Interaccin