Post on 29-Jun-2015
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Definición
ininii bxaxaxa ...2211
Una ecuación lineal con n incógnitas x1, x2, …, xn es una ecuación de la forma
mnmnmm
nn
nn
bxa...xaxa
..........................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones lineales
con n incógnitas de la forma siguiente:
Siendo ai1, ai2, …, ain números reales, que se denominan coeficientes
Solución de un sistema de ecuaciones lineales
ininii bxaxaxa ...2211
El conjunto de números reales c1, c2, …, cn es una solución de la
ecuación
mnmnmm
nn
nn
bxa...xaxa
..........................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
Si al sustituir en ella cada xi por ci i = 1,2,…, n la igualdad resultante es una identidad
El conjunto de números reales c1, c2, …, cn es una solución del sistema S
Si c1, c2, …, cn es
solución de cada ecuación de S
Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, si tienen el mismo
conjunto de soluciones
Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales
Determinados
Con solución única
Incompatibles
Si no tienen solución
Compatibles
Si tienen solución Indeterminados
Con infinitas soluciones
Representación matricial y vectorial
puede escribirse en forma matricial como sigue:
mnmnmm
nn
nn
bxa...xaxa
..........................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
mnmnmm
n
n
b
...
b
b
x
...
x
x
.
a...aa
............
a...aa
a...aa
2
1
2
1
21
22221
11211
O abreviadamente A . X = B , siendo :
mnmm
n
n
a...aa
............
a...aa
a...aa
21
22221
11211
A=
nx
...
x
x
2
1
X =
mb
...
b
b
2
1
y B =
El sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente:
se denomina matriz ampliada u orlada de S.
Si llamamos a1 , a2, …, an a los vectores columna de A :
La matriz A se llama matriz de coeficientes de S
mmnmm
n
n
ba...aa
...............
ba...aa
ba...aa
21
222221
111211
y la matriz A:B =
aj =
mj
j
j
a
...
a
a
2
1
si j = 1, 2,…, n, S puede escribirse como :
x1 . a1 + x2 . a2 +…..+ xn. an = B que es la expresión vectorial de S.
Teorema de Rouché - Fröbenius
El sistema de ecuaciones lineales S tiene solución el rango de la
matriz de coeficientes es igual al de la matriz ampliada
(rango A = rango A : B)
Discusión de un sistema general:
Consideremos el sistema general :
Puede ocurrir:
mnmnmm
n
n
b
...
b
b
x
...
x
x
.
a...aa
............
a...aa
a...aa
2
1
2
1
21
22221
11211
Rango A = rango A:B = n = nº de incógnitas S compatible determinado.
Rango A = rango A:B = r < nº de incógnitas S es compatible indeterminado.
Rango A rango A:B S es incompatible.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES
CON TRES INCÓGNITAS
1
2
Cada ecuación lineal con tres incógnitas, representa a un plano en el espacio
1
2
1 = 2
Si el sistema es compatible indeterminado, con
rango A = rango A:B = 2
los dos planos son secantes.
Si el sistema es compatible indeterminado y
rango A = rango A:B = 1
los dos planos son coincidentes.
Si el sistema es incompatible, los dos planos son paralelos.
S sistema compatible determinado los tres planos tienen un único punto P común. Si x = x0, y = y0, z = z0 es la solución del sistema (x0, y0, z0) son las coordenadas del punto P común.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UN SISTEMA DE 3 ECUACIONES LINEALES CON 3 INCÓGNITAS
S sistema compatible indeterminado y
rango A = rango A:B = 2 los tres planos pasan por una misma recta r
S sistema compatible indeterminado
rango A = rango A:B = 1 los tres planos
coinciden .
S sistema incompatible con
rango A =2 , rango A:B =3
ningún subsistema de dos ecuaciones incompatible planos
secantes dos a dos
S sistema incompatible con
rango A =2 , rango A:B =3
y exactamente un subsistema de dos ecuaciones incompatible dos
planos secantes y el tercero paralelo a uno de los anteriores
S sistema incompatible con rango A =1 , rango A:B =2
y los tres subsistemas de dos ecuaciones incompatibles los tres planos son paralelos