Integracion Numerica Con Matlab

Tema 6

Rosa Echevarría Líbano. Dpto. Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico. Universidad de Sevilla

Asignatura:Programación Científica

1er. cursoLicenciatura en Física

Introducción a

MATLABTema 6 : Integración numérica

Integración numérica: cálculo con MATLAB

Cálculo de integrales definidas:

es el área de la región limitada

por la curva

el eje X y las rectas

MATLAB dispone de la función quad para calcular integrales definidas:

>> quad(fun,a,b)>> quad(fun,a,b)>> quad(fun,a,b)>> quad(fun,a,b)

fun fun fun fun es la funcion a integrar y puede ser especificada de dos formas:

• mediante un objeto inline: quad(fun,a,b)quad(fun,a,b)quad(fun,a,b)quad(fun,a,b)

• mediante una M-función: quad(@fun,a,b)quad(@fun,a,b)quad(@fun,a,b)quad(@fun,a,b)

EJEMPLO (función inline): calcular

>> f=inline('sin(4*log(x))')>> f=inline('sin(4*log(x))')>> f=inline('sin(4*log(x))')>> f=inline('sin(4*log(x))')>> quad(f,0.2,3)>> quad(f,0.2,3)>> quad(f,0.2,3)>> quad(f,0.2,3)ans =ans =ans =ans =

0.10130.10130.10130.1013

>> f=inline('x.*sin(4*log(x))')>> f=inline('x.*sin(4*log(x))')>> f=inline('x.*sin(4*log(x))')>> f=inline('x.*sin(4*log(x))')>> quad(f,0.2,3)>> quad(f,0.2,3)>> quad(f,0.2,3)>> quad(f,0.2,3)ans =ans =ans =ans =

----0.28370.28370.28370.2837

ATENCIÓN: LA EXPRESIÓN DE LA FUNCIÓN DEBE ESCRIBIRSE EN FORMA VECTORIZADA

(de forma que si el argumento es un vector, devuelva un vector)

EJEMPLO (M-función): calcular

function [y]=mifun(x)function [y]=mifun(x)function [y]=mifun(x)function [y]=mifun(x)y=sin(4*log(x));y=sin(4*log(x));y=sin(4*log(x));y=sin(4*log(x));

mifun.mmifun.mmifun.mmifun.mLa función a integrar se calcula mediante una M-función:

crear el fichero mifun.m

EJEMPLO (M-función): calcular

>> quad(@mifun,0.2,3)>> quad(@mifun,0.2,3)>> quad(@mifun,0.2,3)>> quad(@mifun,0.2,3)ans =ans =ans =ans =

0.10130.10130.10130.1013

Ejercicio: calcular la integral definida siguiente, usando una M-función

>> quad(@mifun,0.2,3)>> quad(@mifun,0.2,3)>> quad(@mifun,0.2,3)>> quad(@mifun,0.2,3)ans =ans =ans =ans =

----0.28370.28370.28370.2837

function [y]=mifun(x)function [y]=mifun(x)function [y]=mifun(x)function [y]=mifun(x)y=x.*sin(4*log(x));y=x.*sin(4*log(x));y=x.*sin(4*log(x));y=x.*sin(4*log(x));

mifun.mmifun.mmifun.mmifun.m

PASO DE ARGUMENTOS OPCIONALES:

Supongamos que se desea calcular el valor de una integral que depende de un parámetro:

>> k=3.3425;>> k=3.3425;>> k=3.3425;>> k=3.3425;>> quad(@func,a,b,[],[],k)>> quad(@func,a,b,[],[],k)>> quad(@func,a,b,[],[],k)>> quad(@func,a,b,[],[],k)

function [y]=func(x,k)function [y]=func(x,k)function [y]=func(x,k)function [y]=func(x,k)y=k*x.*sin(4*log(x));y=k*x.*sin(4*log(x));y=k*x.*sin(4*log(x));y=k*x.*sin(4*log(x));

func.mfunc.mfunc.mfunc.m

Integración numérica: Ejercicio

Ejercicio: para un gas que se expande en un cilindro, la presión es función del volumen: p=p(v).

El trabajo realizado por el gas cuando se expande de un volumen v1 a otro v2 viene dado por

Cuando no existe pérdida de calor

Se sabe de un gas que, ocupando un volumen 100, tiene una presión 160. Calcular el trabajo realizado cuando pasa de un volumen 100 a un volumen 800.

Se trata de calcular

Para ello escribimos en primer lugar una M-función que devuelva el valor del integrando, es decir, de la presión en función de k y de v

function [p]=presion(v,k)function [p]=presion(v,k)function [p]=presion(v,k)function [p]=presion(v,k)p=k*v.^(p=k*v.^(p=k*v.^(p=k*v.^(----1.4);1.4);1.4);1.4);

presion.mpresion.mpresion.mpresion.m

Ahora, para calcular, por ejemplo,

para el valor de pondríamos

>> k=9954;>> k=9954;>> k=9954;>> k=9954;>> quad(@presion,200,500,[],[],k)>> quad(@presion,200,500,[],[],k)>> quad(@presion,200,500,[],[],k)>> quad(@presion,200,500,[],[],k)ans =ans =ans =ans =

447.5038447.5038447.5038447.5038

Escribir una M-función (trabajo.m) que lea del teclado los valores

• p1 : presión inicial

• v1 : volumen inicial

• v2 : volumen final

y que:

• Calcule el valor del parámetro k

• Dibuje la gráfica de la presión en relación al volumen

• Calcule el trabajo realizado

Integración numérica: programación

function trabajofunction trabajofunction trabajofunction trabajo%%%%p1=input('>> Valor de la presion inicial ? ');p1=input('>> Valor de la presion inicial ? ');p1=input('>> Valor de la presion inicial ? ');p1=input('>> Valor de la presion inicial ? ');v1=input('>> Valor del volumen inicial ? ');v1=input('>> Valor del volumen inicial ? ');v1=input('>> Valor del volumen inicial ? ');v1=input('>> Valor del volumen inicial ? ');v2=input('>> Valor del volumen final ? ');v2=input('>> Valor del volumen final ? ');v2=input('>> Valor del volumen final ? ');v2=input('>> Valor del volumen final ? ');%%%%k=p1*v1^1.4; v=linspace(v1,v2); p=presion(v,k);k=p1*v1^1.4; v=linspace(v1,v2); p=presion(v,k);k=p1*v1^1.4; v=linspace(v1,v2); p=presion(v,k);k=p1*v1^1.4; v=linspace(v1,v2); p=presion(v,k);plot(v,p) ; xlabel('Volumen'); ylabel('Presion');plot(v,p) ; xlabel('Volumen'); ylabel('Presion');plot(v,p) ; xlabel('Volumen'); ylabel('Presion');plot(v,p) ; xlabel('Volumen'); ylabel('Presion');shg;shg;shg;shg;trab=quad(@presion,v1,v2,[],[],k);trab=quad(@presion,v1,v2,[],[],k);trab=quad(@presion,v1,v2,[],[],k);trab=quad(@presion,v1,v2,[],[],k);texto=[' Trabajo realizado : ',num2str(trab,'%15.5f')];texto=[' Trabajo realizado : ',num2str(trab,'%15.5f')];texto=[' Trabajo realizado : ',num2str(trab,'%15.5f')];texto=[' Trabajo realizado : ',num2str(trab,'%15.5f')];pmax=max(p); pmin=min(p); pmax=max(p); pmin=min(p); pmax=max(p); pmin=min(p); pmax=max(p); pmin=min(p); pt=pmaxpt=pmaxpt=pmaxpt=pmax----(pmax(pmax(pmax(pmax----pmin)/10; vt=v1+(v2pmin)/10; vt=v1+(v2pmin)/10; vt=v1+(v2pmin)/10; vt=v1+(v2----v1)/4;v1)/4;v1)/4;v1)/4;text(vt,pt,texto);text(vt,pt,texto);text(vt,pt,texto);text(vt,pt,texto);%%%%------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------function [p]=presion(v,k)function [p]=presion(v,k)function [p]=presion(v,k)function [p]=presion(v,k)p=k*v.^(p=k*v.^(p=k*v.^(p=k*v.^(----1.4);1.4);1.4);1.4);

trabajo.mtrabajo.mtrabajo.mtrabajo.m

INTEGRALES DOBLES:

La integral doble

es el volumen de la región (3D) limitada por la superficie , el plano XY y los planos verticales

También se escribe:

INTEGRALES DOBLES

se puede calcular como una integral reiterada:

se calcula primero la integral más interior, integrando con respecto de la variable y, considerando constante la x, y luego se integra el resultado con respecto a x

MATLAB dispone de la función dblquad para calcular integrales dobles:

>> dblquad(fun,a,b,c,d)>> dblquad(fun,a,b,c,d)>> dblquad(fun,a,b,c,d)>> dblquad(fun,a,b,c,d)

igual que antes, fun puede ser:

• un objeto inline: dblquad(fun,a,b,c,d)dblquad(fun,a,b,c,d)dblquad(fun,a,b,c,d)dblquad(fun,a,b,c,d)

• una M-función : dblquaddblquaddblquaddblquad(@fun,a,b,c,d)(@fun,a,b,c,d)(@fun,a,b,c,d)(@fun,a,b,c,d)

La función funfunfunfun debe admitir un vector como argumento x (y devolver un vector de su misma dimensión)

EJEMPLO: calcular

>> f=inline('1./(1+x.^2+y.^2)','x','y')>> f=inline('1./(1+x.^2+y.^2)','x','y')>> f=inline('1./(1+x.^2+y.^2)','x','y')>> f=inline('1./(1+x.^2+y.^2)','x','y')>> >> >> >> ezmesh(f,[ezmesh(f,[ezmesh(f,[ezmesh(f,[----1,1,0,1])1,1,0,1])1,1,0,1])1,1,0,1])>> f=inline('1./(1+x.^2+y.^2)','x','y')>> f=inline('1./(1+x.^2+y.^2)','x','y')>> f=inline('1./(1+x.^2+y.^2)','x','y')>> f=inline('1./(1+x.^2+y.^2)','x','y')>> dblquad(f,>> dblquad(f,>> dblquad(f,>> dblquad(f,----1,1,0,1)1,1,0,1)1,1,0,1)1,1,0,1)ans =ans =ans =ans =

1.27901.27901.27901.2790

MATLAB dispone de la función triplequad para calcular integrales dobles:

>> triplequad(fun,a,b,c,d,e,f)>> triplequad(fun,a,b,c,d,e,f)>> triplequad(fun,a,b,c,d,e,f)>> triplequad(fun,a,b,c,d,e,f)

Integracion Numerica Con Matlab

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