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Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Integral deRiemann.

Tecnicas deintegracion

HEDIMA

Introduccion

Primitiva deuna funcion

Integralesinmediatas

Metodos deintegracion

I. Por cambiode variable

II. Por partes

Funcionesracionales

Funcionestrigonometri-cas

Funcionesirracionales

Herramientas digitales de

auto-aprendizaje para Matematicas

HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica

Departamento de Matematicas

Universidad de Extremadura

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Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Bloque: Analisis Matematico

Tema: Integral de Riemann. Tecnicas deintegracion

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Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Indice

Introduccion

Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades

Integrales inmediatas

Metodos de integracion

Metodo de integracion por partes

Integracion de funciones racionales

Integracion de funciones trigonometricas

Integracion de funciones irracionales

Bibliografıa

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Funcionesracionales

Introduccion

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II. Por partes

Funcionesracionales

El calculo integral formaliza conceptos bastantes sencillos e intuitivos: el dearea de una region, volumen de un cuerpo, y longitud de curvas entre otrasaplicaciones.

Los orıgenes del calculo deareas se pueden encontraren el metodo de exhauciondesarrollado por los griegoshace mas de 2000 anos.

Sin embargo fueron Newton y Leibnitz quienes le dieron el enfoque rigurosoactual.

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Funcionesracionales

Primitiva de una funcion.Definiciones y propiedades

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Funcionesracionales

Definicion

Dadas dos funciones f y F , decimos que F es una primitiva de la funcion fen un conjunto de valores D si:

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ D.

Ejemplo

Si f(x) = 2x, entonces

F (x) = x2 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2)′ = 2x = f(x).

Del mismo modo, F (x) = x2 + 7 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2 + 7)′ = 2x = f(x).

Se deduce facilmente que

Observacion

Si F es una primitiva de f en D, entonces F (x) + C es primitiva de f(x) enD, siendo C cualquier numero real.

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Funcionesracionales

Definicion

Al conjunto de todas las primitivas de f se le llama integral indefinida de f y

se denota por

∫f(x)dx. De la observacion anterior se deduce que si F (x) es

una primitiva de f(x), entonces∫f(x)dx = F (x) + C, ∀C ∈ R.

Propiedades (de la integral indefinida)

Sea f : I ⊂ R→ R. Se tiene que

1 Si k ∈ R, entonces

∫k f(x)dx = k

∫f(x)dx.

∫(f(x)± g(x)) dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx.

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Funcionesracionales

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Funcionesracionales

Definicion

Se llaman integrales inmediatas a aquellas que se deducen directamente delas reglas de derivacion.

En la tabla de la pagina siguiente se muestran algunas integralesinmediatas.

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Funcionesracionales

Algunas integrales inmediatas

∫k dx = kx ∀k ∈ R

(n 6= −1)∫xn dx = xn+1

∫f(x)nf ′(x) dx = f(x)n+1

n+1∫1xdx = ln |x|

∫ f ′(x)f(x)

dx = ln |f(x)|∫ex dx = ex

∫ef(x)f ′(x) dx = ef(x)∫

ax dx = ax

∫af(x)f ′(x) dx = af(x)

ln a∫sen(x) dx = − cos(x)

∫sen(f(x))f ′(x) dx = − cos(f(x))∫

cos(x) dx = sen(x)∫cos(f(x))f ′(x) dx = sen(f(x))∫

1sen2(x)

dx = − cotg(x)∫ f ′(x)

sen2(f(x))dx = − cotg(f(x))∫

1cos2(x)

dx = tg(x)∫ f ′(x)

cos2(f(x))dx = tg(f(x))∫

dx = arctg(x)∫ f ′(x)

1+(f(x))2dx = arctg f(x)∫

1√1−x2

dx = arcsen(x)∫ f ′(x)√

1−(f(x))2dx = arcsen f(x)

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II. Por partes

Funcionesracionales

Metodos de integracion

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Funcionesracionales

Integracion por sustitucion ocambio de variable

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II. Por partes

Funcionesracionales

Metodos de integracion: sustitucion o cambio de variable

Consiste en hacer un cambio de variable que transforme la integral en otra que

sepamos calcular. Una vez resuelta, hay que deshacer el cambio.

Teorema

Sea x = φ(t) una funcion derivable respecto de t (entonces dx = φ′(t)dt).

Podremos calcular

∫f(x)dx ası:∫

f(x)dx =

∫f(φ(t))φ′(t)dt

Encontraremos solucion siempre que sepamos calcular la ultima primitiva de la

igualdad anterior.

Ejemplo

∫cos(2x)dx =

{t = 2x;x = t/2

dt = 2dx

∫cos(t)

2sen(t)+C =

2sen(2x)+C

∫ecosxsen(x) dx =

{t = cosxdt = −sen(x) dx

}= −

∫etdt = −et+C = −ecos(x)+C

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Funcionesracionales

Integracion por partes

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II. Por partes

Funcionesracionales

Metodos de integracion: integracion por partes

Integracion por partes

Sea u(x) y v(x) dos funciones derivables. Dado que

(u(x) · v(x))′ = u(x) · v′(x) + u′(x) · v(x)

se deduce que

u(x) · v′(x) = (u(x) · v(x))′ − u′(x) · v(x)

y por tanto, si se puede integrar respecto de x:∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x)dx

Ejemplo

∫xn lnx dx =

{u(x) = lnx ⇒ du(x) = 1

dv(x) = xndx ⇒ v(x) = xn+1

n+ 1lnx−

n+ 1dx =

(lnx−

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Funcionesracionales

Metodos de integracion: integracion por partes

Ejemplo

∫arctg(x)dx =

{u = arctg(x)⇒ du = dx

dv = dx⇒ v = x

= x arctg(x)−∫

1 + x2dx = x arctg(x)−

2ln |x2 + 1|+ C.

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Funcionesracionales

Integracion de funcionesracionales

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II. Por partes

Funcionesracionales

Son integrales de la forma∫f(x)dx =

∫p(x)

q(x)dx,

donde p(x) y q(x) son polinomios.

Si grado(p) < grado(q), aplicaremos el metodo de descomposiciondescrito a continuacion.

En otro caso, debemos efectuar la division de polinomios:

f(x) =p(x)

q(x)= c(x) +

donde c(x) y r(x) son respectivamente el polinomio cociente y elpolinomio resto de la division.

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Funcionesracionales

Ejemplo

Calculemos∫

x−1dx. Dividiendo se obtiene que x2 = (x+ 1)(x− 1) + 1,

por tanto:∫x2

x− 1dx =

∫ [(x+ 1) +

x− 1

]dx =∫

(x+ 1) dx+

x− 1dx = x2/2 + x+ ln(|x− 1|+ C)

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II. Por partes

Funcionesracionales

Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))

Caso 1. grado(q) = n con todas las raıces reales y simples:

q(x) = a0(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)

Se realizara una descomposicion en fracciones simples como sigue:

a0(x− x1)+

x− x2+ . . .+

Anx− xn

, Ai ∈ R, i = 1 . . . n.

A continuacion se integraran los sumandos de la descomposicion obtenida:∫p(x)

q(x)dx =

a0(x− x1)dx+

x− x2dx+ . . .+

x− xndx =

a0ln |x− x1|+A2 ln |x− x2|+ . . .+An ln |x− xn|+ C.

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Funcionesracionales

Ejemplo

Calcula∫

2x−3x2−3x+2

Puesto que x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2), se tiene que

2x− 3

x2 − 3x+ 2=

x− 1+

x− 2⇒ 2x− 3

x2 − 3x+ 2=A1(x− 2) +A2(x− 1)

(x− 2)(x− 1))

2x− 3 = A1(x− 2) +A2(x− 1)⇒{

2 = A1 +A2

−3 = −2A1 −A2⇒{A1 = 1A2 = 1

Por tanto

∫2x− 3

x2 − 3x+ 2dx =

x− 1dx +

x− 2dx = ln |x−1|+ln |x−2|+C

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Funcionesracionales

Ejemplo

Calcula∫

2x−3x2−3x+2

Puesto que x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2), se tiene que

2x− 3

x2 − 3x+ 2=

x− 1+

x− 2⇒ 2x− 3

x2 − 3x+ 2=A1(x− 2) +A2(x− 1)

(x− 2)(x− 1))

2x− 3 = A1(x− 2) +A2(x− 1)⇒{

2 = A1 +A2

−3 = −2A1 −A2⇒{A1 = 1A2 = 1

Por tanto

∫2x− 3

x2 − 3x+ 2dx =

x− 1dx +

x− 2dx = ln |x−1|+ln |x−2|+C

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II. Por partes

Funcionesracionales

Ejemplo∫2x− 3

2x3 − x2 − xdx =

{Teniendo en cuenta:2x3 − x2 − x = x(x− 1)(2x+ 1)

∫ (A

x− 1+

= 3 ln |x| − 13ln |x− 1| − 8

3ln |2x+ 1|+ C,

donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:

2x−32x3−x2−x = A

x+ Bx−1

+ C2x+1

=A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)

x(x−1)(2x+1)=

=x2(2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A

2x3−x2−x ,

para lo que se debe cumplir que: 0 = 2A+ 2B + C2 = −A+B − C−3 = −A

A = 3B = −1

3C = −16

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II. Por partes

Funcionesracionales

Ejemplo∫2x− 3

2x3 − x2 − xdx =

{Teniendo en cuenta:2x3 − x2 − x = x(x− 1)(2x+ 1)

∫ (A

x− 1+

= 3 ln |x| − 13ln |x− 1| − 8

3ln |2x+ 1|+ C,

donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:

2x−32x3−x2−x = A

x+ Bx−1

+ C2x+1

=A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)

x(x−1)(2x+1)=

=x2(2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A

2x3−x2−x ,

para lo que se debe cumplir que: 0 = 2A+ 2B + C2 = −A+B − C−3 = −A

A = 3B = −1

3C = −16

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II. Por partes

Funcionesracionales

Caso 2. grado(q) = k con alguna raız real de multiplicidad k:

q(x) = a0(x− x0)k

Descomposicion en fracciones simples:

a0(x− x0)+

(x− x0)2+

(x− x0)3+ . . .+

Ak(x− x0)k

Integracion de los sumandos obtenidos:∫p(x)

q(x)dx =∫

a0(x− x0)dx+

(x− x0)2dx+

(x− x0)3dx+ . . .+

(x− x0)kdx

a0ln |x−x0|+A2

(x− x0)−1

−1 +A3(x− x0)−2

−2 +. . .+Ak(x− x0)−k+1

−k + 1+C.

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Funcionesracionales

Ejemplo

Calcula∫

3x+5x3−x2−x+1

Puesto que x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2, se tiene que:

3x+5x3−x2−x+1

= A1x+1

+ A2(x−1)

+ A3(x−1)2

3x+5x3−x2−x+1

=A1(x−1)2+A2(x−1)(x+1)+A3(x+1)

(x+1)(x−1)2

y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores tambien soniguales, los numeradores tambien lo seran:

3x+ 5 = A1(x− 1)2 +A2(x− 1)(x+ 1) +A3(x+ 1)

de donde0 = A1 +A2

3 = −2A1 +A3

5 = A1 −A2 +A3

⇒A1 = 1/2A2 = −1/2A3 = 4

Por tanto∫3x+ 5

x3 − x2 − x+ 1dx =

∫1/2

x+ 1dx +

∫ −1/2(x− 1)

(x− 1)2dx =

1/2 ln |x+ 1| − 1/2 ln |x− 1| −4

(x− 1)

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II. Por partes

Funcionesracionales

Ejemplo

Calcula∫

3x+5x3−x2−x+1

Puesto que x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2, se tiene que:

3x+5x3−x2−x+1

= A1x+1

+ A2(x−1)

+ A3(x−1)2

3x+5x3−x2−x+1

=A1(x−1)2+A2(x−1)(x+1)+A3(x+1)

(x+1)(x−1)2

y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores tambien soniguales, los numeradores tambien lo seran:

3x+ 5 = A1(x− 1)2 +A2(x− 1)(x+ 1) +A3(x+ 1)

de donde0 = A1 +A2

3 = −2A1 +A3

5 = A1 −A2 +A3

⇒A1 = 1/2A2 = −1/2A3 = 4

Por tanto∫3x+ 5

x3 − x2 − x+ 1dx =

∫1/2

x+ 1dx +

∫ −1/2(x− 1)

(x− 1)2dx =

1/2 ln |x+ 1| − 1/2 ln |x− 1| −4

(x− 1)

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Funcionesracionales

Ejemplo

∫2x− 3

x3 − 3x2 + 3x− 1dx =

{Teniendo en cuenta:x3 − 3x2 + 3x− 1 = (x− 1)3

∫ (A

x− 1+

(x− 1)2+

(x− 1)3

∫ (0

x− 1+

(x− 1)2+

−1(x− 1)3

)dx = −2

(x− 1)+

(x− 1)2+ C

donde :

2x−3x3−3x2+3x−1

= Ax−1

+ B(x−1)2

+ C(x−1)3

=Ax2+x(−2A+B)+(A−B+C)

(x−1)3

lo que implica que A = 0, B = 2 y C = −1.

Observacion

Hay otras muchas combinaciones, como mezcla de raıces reales y complejas(simples y/o multiples). Aquı solo se tratara el caso anterior, y el caso en quela raız compleja es de multiplicidad 1.

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Funcionesracionales

Caso 3. q(x) tiene alguna raız compleja simple.

q(x) = k(x− x1)α1 . . . (x− xp)αp [(x− b1)2 + c21] . . . [(x− bk)2 + c2k]

con k, xi, aj , cj ∈ R y αi ∈ N. Siempre es posible descomponer la fraccion deesta forma:

∫p(x)

q(x)dx =

∫ (A1

x− x1+ · · ·+ Aα1

(x− x1)α1+ . . .

· · ·+A1p

x− xp+ · · ·+ A

(x− xp)αp+

+M1x+N1

[(x− b1)2 + c21]+ · · ·+ Mkx+Nk

[(x− bk)2 + c2k]

siendo Mj , Nj ∈ R

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Funcionesracionales

Ejemplo∫1

x3+1dx

Puesto que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1), se tiene que:

= A1x+1

+ A2x+A3x2−x+1

2−x+1)+(A2x+A3)(x+1)

(x+1)(x2−x+1)⇒

⇒ 1 = A1(x2 − x+ 1) + (A2x+A3)(x+ 1)

Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores

0 = A1 +A2

0 = −A1 +A2 +A3

1 = A1 +A3

⇒A1 = 1/3A2 = −1/3A3 = 2/3

Por tanto ∫1

x3+1dx =

∫ 1/3x+1

dx+∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1|+

∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−4

x2−x+1dx =

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II. Por partes

Funcionesracionales

Ejemplo∫1

x3+1dx

Puesto que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1), se tiene que:

= A1x+1

+ A2x+A3x2−x+1

2−x+1)+(A2x+A3)(x+1)

(x+1)(x2−x+1)⇒

⇒ 1 = A1(x2 − x+ 1) + (A2x+A3)(x+ 1)

Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores

0 = A1 +A2

0 = −A1 +A2 +A3

1 = A1 +A3

⇒A1 = 1/3A2 = −1/3A3 = 2/3

Por tanto ∫1

x3+1dx =

∫ 1/3x+1

dx+∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1|+

∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−4

x2−x+1dx =

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Funcionesracionales

Ejemplo (continuacion)∫

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−1+1−4x2−x+1

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−1

x2−x+1+ 1/6

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

(x−1/2)2+3/4dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

∫ 3·4/34/3[(x−1/2)2+3/4]

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

2x−1√3

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1

6·√3

∫ 4·2/√3(

2x−1√3

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1√

∫ 2/√3(

2x−1√3

= 13ln |x+ 1| − ln |x2−x+1|

6+ 1√

3arctg

(2x−1√

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II. Por partes

Funcionesracionales

Caso 3.q(x) tiene alguna raız compleja multiple

Por ejemplo,∫

2x3−2x2+16x(x2+4)2

Para resolver integrales como la del ejemplo se puede emplear el metodo deHermite (no lo veremos en este curso), que permite calcular primitivas decocientes de polinomios rebajando el grado de los polinomios implicados ensucesivos pasos.

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Funcionesracionales

Integracion de funciones

trigonometricas

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Funcionesracionales

Integrales racionales-trigonometricas:

∫f(sen(x), cos(x))dx

Se convierten en integrales racionales mediante la sustitucion trigonometrica

t = tan(x

2) , como sigue:

∫f(sen(x), cos(x))dx =

{t = tan(x

2) dx = 2dt

sen(x) = 2t1+t2

cos(x) = 1−t21+t2

1 + t2,1− t2

1 + t2

1 + t2dt,

que es la integral de una funcion racional.

Ejemplo ∫dx

sen(x)dx =

{t = tan(x

2) dx = 2dt

sen(x) = 2t1+t2

cos(x) = 1−t21+t2

tdt = ln |t|+ C = ln

∣∣∣tan(x2)∣∣∣+ C.

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Funcionesracionales

Observaciones

Existen varios tipos de integrales trigonometricas que se pueden racionalizarcon cambios mas sencillos. Son los siguientes:

∫f(sen(x), cos(x))dx, donde

f(−sen(x), cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).

Cambio t = cos(x) .

f(sen(x),−cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).

Cambio t = sen(x) .

f(−sen(x),−cos(x)) = f(sen(x), cos(x)).

Cambio t = tan(x) .

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Funcionesracionales

Ejemplo ∫dx

sen(x)dx =

{t = cos(x) dx = −dt√

1−t2

sen(x) =√1− t2 cos(x) = t

= −∫

1− t2 dt =1

∣∣∣∣ t− 1

∣∣∣∣+ C =1

∣∣∣∣cos(x)− 1

cos(x) + 1

∣∣∣∣+ C.

Ejemplo

∫cos3(x) dx =

t = sen(x) dx = dt√

1−t2

cos(x) =√1− t2 sen(x) = t

∫1− t2dt = t− t3

3+ C = sen(x)− sen3(x)

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II. Por partes

Funcionesracionales

Integracion de funciones

irracionales

Bloque:Analisis

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II. Por partes

Funcionesracionales

Integrales del tipo

∫f(x,

√x2 ± a2)dx,

∫f(x,

√a2 − x2)dx

con a ∈ R, se convierten en integrales trigonometricas mediante los cambios

1 f(x,√a2 − x2)dx: cambio x = a sen(t) .

2 f(x,√x2 − a2)dx: cambio x =

sen(t).

3 f(x,√x2 + a2)dx: cambio x = a tan(t) .

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II. Por partes

Funcionesracionales

Ejemplo ∫ √a2 − x2dx =

{x = a sen(t)dx = a cos(t)dt

∫cos2(t)dt

que aplicando la igualdad 1 + cos(2t) = 2cos2(t) se transforma en

a2∫cos2(t) dt =

4sen(2t) + C =

42sen(t) cos(t) + C =

42 sen(t)

√1− sen2(t) + C =

2arc sen

√a2 − x2 + C.

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Ejemplo

∫ √x2 + a2dx =

{x = a tan(t)dx = adt

cos2(t)

cos3(t)dt =

{y = sen(t) dt = dy√

1−y2

cos(t) =√

1− y2 sen(t) = y

(1− y2)2 dt =

∫ (1

(1− y)2 +1

(1− y) +1

(1 + y)2+

(1 + y)

1−y2 + ln∣∣∣ y+1y−1

∣∣∣)+ C =

{Deshaciendo los cambios:

y = sen t = tan(t)√1−tan2(t)

= x√x2−a2

√x2 + a2 + a2

∣∣∣∣ x+√x2+a2x−√x2+a2

∣∣∣∣+ C

Bloque:Analisis

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HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Ejemplo

∫ √x2 + a2dx =

{x = a tan(t)dx = adt

cos2(t)

cos3(t)dt =

{y = sen(t) dt = dy√

1−y2

cos(t) =√

1− y2 sen(t) = y

(1− y2)2 dt =

∫ (1

(1− y)2 +1

(1− y) +1

(1 + y)2+

(1 + y)

1−y2 + ln∣∣∣ y+1y−1

∣∣∣)+ C =

{Deshaciendo los cambios:

y = sen t = tan(t)√1−tan2(t)

= x√x2−a2

√x2 + a2 + a2

∣∣∣∣ x+√x2+a2x−√x2+a2

∣∣∣∣+ C

Bloque:Analisis

Matematico

HEDIMA

Introduccion

II. Por partes

Funcionesracionales

Integrales del tipo

√ax+ b

Se convierten en integrales racionales mediante el cambio

√ax+ b

Ejemplo

1 + 3√x+ 1

Cambio:t = 3√x+ 1

dx = 3t2dt

∫t2dt

1 + t=

∫(t− 1)dt+ 3

1 + t=

2t(t− 2) + 3 ln(t+ 1) + C =

23√x+ 1( 3

√x+ 1− 2) + 3 ln( 3

√x+ 1 + 1) + C

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para...

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