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Bloque:Analisis

Matematico

Tema:Integral deRiemann.

Tecnicas deintegracion

HEDIMA

Introduccion

Primitiva deuna funcion

Integralesinmediatas

Metodos deintegracion

I. Por cambiode variable

II. Por partes

Funcionesracionales

Funcionestrigonometri-cas

Funcionesirracionales

Herramientas digitales de

auto-aprendizaje para Matematicas

HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica

Departamento de Matematicas

Universidad de Extremadura

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II. Por partes

Funcionesracionales



Bloque: Analisis Matematico

Tema: Integral de Riemann. Tecnicas deintegracion

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II. Por partes

Funcionesracionales



Indice

Introduccion

Primitiva de una funcion. Definiciones y propiedades

Integrales inmediatas

Metodos de integracion

Metodo de integracion por partes

Integracion de funciones racionales

Integracion de funciones trigonometricas

Integracion de funciones irracionales

Bibliografıa

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Funcionesracionales



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II. Por partes

Funcionesracionales




El calculo integral formaliza conceptos bastantes sencillos e intuitivos: el dearea de una region, volumen de un cuerpo, y longitud de curvas entre otrasaplicaciones.

Los orıgenes del calculo deareas se pueden encontraren el metodo de exhauciondesarrollado por los griegoshace mas de 2000 anos.

Sin embargo fueron Newton y Leibnitz quienes le dieron el enfoque rigurosoactual.

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Primitiva de una funcion.Definiciones y propiedades

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Funcionesracionales




Definicion

Dadas dos funciones f y F , decimos que F es una primitiva de la funcion fen un conjunto de valores D si:

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ D.

Ejemplo

Si f(x) = 2x, entonces

F (x) = x2 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2)′ = 2x = f(x).

Del mismo modo, F (x) = x2 + 7 es una primitiva de f(x) en R, porqueF ′(x) = (x2 + 7)′ = 2x = f(x).

Se deduce facilmente que

Observacion

Si F es una primitiva de f en D, entonces F (x) + C es primitiva de f(x) enD, siendo C cualquier numero real.

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Funcionesracionales




Definicion

Al conjunto de todas las primitivas de f se le llama integral indefinida de f y

se denota por

∫f(x)dx. De la observacion anterior se deduce que si F (x) es

una primitiva de f(x), entonces∫f(x)dx = F (x) + C, ∀C ∈ R.

Propiedades (de la integral indefinida)

Sea f : I ⊂ R→ R. Se tiene que

1 Si k ∈ R, entonces

∫k f(x)dx = k

∫f(x)dx.

2

∫(f(x)± g(x)) dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx.

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Definicion

Se llaman integrales inmediatas a aquellas que se deducen directamente delas reglas de derivacion.

En la tabla de la pagina siguiente se muestran algunas integralesinmediatas.

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Algunas integrales inmediatas

∫k dx = kx ∀k ∈ R

(n 6= −1)∫xn dx = xn+1

n+1

∫f(x)nf ′(x) dx = f(x)n+1

n+1∫1xdx = ln |x|

∫ f ′(x)f(x)

dx = ln |f(x)|∫ex dx = ex

∫ef(x)f ′(x) dx = ef(x)∫

ax dx = ax

ln a

∫af(x)f ′(x) dx = af(x)

ln a∫sen(x) dx = − cos(x)

∫sen(f(x))f ′(x) dx = − cos(f(x))∫

cos(x) dx = sen(x)∫cos(f(x))f ′(x) dx = sen(f(x))∫

1sen2(x)

dx = − cotg(x)∫ f ′(x)

sen2(f(x))dx = − cotg(f(x))∫

1cos2(x)

dx = tg(x)∫ f ′(x)

cos2(f(x))dx = tg(f(x))∫

11+x2

dx = arctg(x)∫ f ′(x)

1+(f(x))2dx = arctg f(x)∫

1√1−x2

dx = arcsen(x)∫ f ′(x)√

1−(f(x))2dx = arcsen f(x)

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Metodos de integracion

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Integracion por sustitucion ocambio de variable

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Metodos de integracion: sustitucion o cambio de variable

Consiste en hacer un cambio de variable que transforme la integral en otra que

sepamos calcular. Una vez resuelta, hay que deshacer el cambio.

Teorema

Sea x = φ(t) una funcion derivable respecto de t (entonces dx = φ′(t)dt).

Podremos calcular

∫f(x)dx ası:∫

f(x)dx =

∫f(φ(t))φ′(t)dt

Encontraremos solucion siempre que sepamos calcular la ultima primitiva de la

igualdad anterior.

Ejemplo

∫cos(2x)dx =

{t = 2x;x = t/2

dt = 2dx

}=

∫cos(t)

dt

2=

1

2sen(t)+C =

1

2sen(2x)+C

∫ecosxsen(x) dx =

{t = cosxdt = −sen(x) dx

}= −

∫etdt = −et+C = −ecos(x)+C

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Integracion por partes

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Metodos de integracion: integracion por partes

Integracion por partes

Sea u(x) y v(x) dos funciones derivables. Dado que

(u(x) · v(x))′ = u(x) · v′(x) + u′(x) · v(x)

se deduce que

u(x) · v′(x) = (u(x) · v(x))′ − u′(x) · v(x)

y por tanto, si se puede integrar respecto de x:∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x)dx

Ejemplo

∫xn lnx dx =

{u(x) = lnx ⇒ du(x) = 1

xdx

dv(x) = xndx ⇒ v(x) = xn+1

n+1

}=

=xn+1

n+ 1lnx−

∫xn

n+ 1dx =

xn+1

n+ 1

(lnx−

1

n+ 1

)+ C.

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Funcionesracionales



Metodos de integracion: integracion por partes

Ejemplo

∫arctg(x)dx =

{u = arctg(x)⇒ du = dx

1+x2

dv = dx⇒ v = x

}=

= x arctg(x)−∫

x

1 + x2dx = x arctg(x)−

1

2ln |x2 + 1|+ C.

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Integracion de funcionesracionales

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Funcionesracionales





Son integrales de la forma∫f(x)dx =

∫p(x)

q(x)dx,

donde p(x) y q(x) son polinomios.

Si grado(p) < grado(q), aplicaremos el metodo de descomposiciondescrito a continuacion.

En otro caso, debemos efectuar la division de polinomios:

f(x) =p(x)

q(x)= c(x) +

r(x)

q(x),

donde c(x) y r(x) son respectivamente el polinomio cociente y elpolinomio resto de la division.

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Ejemplo

Calculemos∫

x2

x−1dx. Dividiendo se obtiene que x2 = (x+ 1)(x− 1) + 1,

por tanto:∫x2

x− 1dx =

∫ [(x+ 1) +

1

x− 1

]dx =∫

(x+ 1) dx+

∫1

x− 1dx = x2/2 + x+ ln(|x− 1|+ C)

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Metodo de descomposicion (grado(p) < grado(q))

Caso 1. grado(q) = n con todas las raıces reales y simples:

q(x) = a0(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)

Se realizara una descomposicion en fracciones simples como sigue:

p(x)

q(x)=

A1

a0(x− x1)+

A2

x− x2+ . . .+

Anx− xn

, Ai ∈ R, i = 1 . . . n.

A continuacion se integraran los sumandos de la descomposicion obtenida:∫p(x)

q(x)dx =

∫A1

a0(x− x1)dx+

∫A2

x− x2dx+ . . .+

∫An

x− xndx =

=A1

a0ln |x− x1|+A2 ln |x− x2|+ . . .+An ln |x− xn|+ C.

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Ejemplo

Calcula∫

2x−3x2−3x+2

dx

Puesto que x2 − 3x+ 2 = (x− 1)(x− 2), se tiene que

2x− 3

x2 − 3x+ 2=

A1

x− 1+

A2

x− 2⇒ 2x− 3

x2 − 3x+ 2=A1(x− 2) +A2(x− 1)

(x− 2)(x− 1))

2x− 3 = A1(x− 2) +A2(x− 1)⇒{

2 = A1 +A2

−3 = −2A1 −A2⇒{A1 = 1A2 = 1

Por tanto

∫2x− 3

x2 − 3x+ 2dx =

∫1

x− 1dx +

∫1

x− 2dx = ln |x−1|+ln |x−2|+C

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Funcionesracionales




Ejemplo∫2x− 3

2x3 − x2 − xdx =

{Teniendo en cuenta:2x3 − x2 − x = x(x− 1)(2x+ 1)

}=

=

∫ (A

x+

B

x− 1+

C

2x+ 1

)=

= 3 ln |x| − 13ln |x− 1| − 8

3ln |2x+ 1|+ C,

donde los coeficientes A, B y C se han calculado resolviendo:

2x−32x3−x2−x = A

x+ Bx−1

+ C2x+1

=A(x−1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(x−1)

x(x−1)(2x+1)=

=x2(2A+2B+C)+x(−A+B−C)−A

2x3−x2−x ,

para lo que se debe cumplir que: 0 = 2A+ 2B + C2 = −A+B − C−3 = −A

⇒

A = 3B = −1

3C = −16

3

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Funcionesracionales





Caso 2. grado(q) = k con alguna raız real de multiplicidad k:

q(x) = a0(x− x0)k

Descomposicion en fracciones simples:

p(x)

q(x)=

A1

a0(x− x0)+

A2

(x− x0)2+

A3

(x− x0)3+ . . .+

Ak(x− x0)k

.

Integracion de los sumandos obtenidos:∫p(x)

q(x)dx =∫

A1

a0(x− x0)dx+

∫A2

(x− x0)2dx+

∫A3

(x− x0)3dx+ . . .+

∫Ak

(x− x0)kdx

=A1

a0ln |x−x0|+A2

(x− x0)−1

−1 +A3(x− x0)−2

−2 +. . .+Ak(x− x0)−k+1

−k + 1+C.

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Ejemplo

Calcula∫

3x+5x3−x2−x+1

dx

Puesto que x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1)(x− 1)2, se tiene que:

3x+5x3−x2−x+1

= A1x+1

+ A2(x−1)

+ A3(x−1)2

⇒

3x+5x3−x2−x+1

=A1(x−1)2+A2(x−1)(x+1)+A3(x+1)

(x+1)(x−1)2

y en consecuencia, como los denominadores de las fracciones anteriores tambien soniguales, los numeradores tambien lo seran:

3x+ 5 = A1(x− 1)2 +A2(x− 1)(x+ 1) +A3(x+ 1)

de donde0 = A1 +A2

3 = −2A1 +A3

5 = A1 −A2 +A3

⇒A1 = 1/2A2 = −1/2A3 = 4

Por tanto∫3x+ 5

x3 − x2 − x+ 1dx =

∫1/2

x+ 1dx +

∫ −1/2(x− 1)

dx +

∫3

(x− 1)2dx =

1/2 ln |x+ 1| − 1/2 ln |x− 1| −4

(x− 1)

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Ejemplo

∫2x− 3

x3 − 3x2 + 3x− 1dx =

{Teniendo en cuenta:x3 − 3x2 + 3x− 1 = (x− 1)3

}=

=

∫ (A

x− 1+

B

(x− 1)2+

C

(x− 1)3

)dx =

=

∫ (0

x− 1+

2

(x− 1)2+

−1(x− 1)3

)dx = −2

1

(x− 1)+

1/2

(x− 1)2+ C

donde :

2x−3x3−3x2+3x−1

= Ax−1

+ B(x−1)2

+ C(x−1)3

=Ax2+x(−2A+B)+(A−B+C)

(x−1)3

lo que implica que A = 0, B = 2 y C = −1.

Observacion

Hay otras muchas combinaciones, como mezcla de raıces reales y complejas(simples y/o multiples). Aquı solo se tratara el caso anterior, y el caso en quela raız compleja es de multiplicidad 1.

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Caso 3. q(x) tiene alguna raız compleja simple.

q(x) = k(x− x1)α1 . . . (x− xp)αp [(x− b1)2 + c21] . . . [(x− bk)2 + c2k]

con k, xi, aj , cj ∈ R y αi ∈ N. Siempre es posible descomponer la fraccion deesta forma:

∫p(x)

q(x)dx =

∫ (A1

1

x− x1+ · · ·+ Aα1

1

(x− x1)α1+ . . .

· · ·+A1p

x− xp+ · · ·+ A

αpp

(x− xp)αp+

+M1x+N1

[(x− b1)2 + c21]+ · · ·+ Mkx+Nk

[(x− bk)2 + c2k]

)dx

siendo Mj , Nj ∈ R

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Ejemplo∫1

x3+1dx

Puesto que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1), se tiene que:

1x3+1

= A1x+1

+ A2x+A3x2−x+1

=A1(x

2−x+1)+(A2x+A3)(x+1)

(x+1)(x2−x+1)⇒

⇒ 1 = A1(x2 − x+ 1) + (A2x+A3)(x+ 1)

Igualando los coeficientes de los polinomios anteriores

0 = A1 +A2

0 = −A1 +A2 +A3

1 = A1 +A3

⇒A1 = 1/3A2 = −1/3A3 = 2/3

Por tanto ∫1

x3+1dx =

∫ 1/3x+1

dx+∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1|+

∫ −1/3x+2/3

x2−x+1dx

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−4

x2−x+1dx =

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Ejemplo (continuacion)∫

1x3+1

dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−1+1−4x2−x+1

dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6

∫2x−1

x2−x+1+ 1/6

∫3

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

∫3

x2−x+1dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

∫3

(x−1/2)2+3/4dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

∫ 3·4/34/3[(x−1/2)2+3/4]

dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1/6

∫4(

2x−1√3

)2+1

dx

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1

6·√3

2

∫ 4·2/√3(

2x−1√3

)2+1

dx =

= 13ln |x+ 1| − 1/6 ln(x2 − x+ 1) + 1√

3

∫ 2/√3(

2x−1√3

)2+1

dx =

= 13ln |x+ 1| − ln |x2−x+1|

6+ 1√

3arctg

(2x−1√

3

)

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Funcionesracionales





Caso 3.q(x) tiene alguna raız compleja multiple

Por ejemplo,∫

2x3−2x2+16x(x2+4)2

dx

Para resolver integrales como la del ejemplo se puede emplear el metodo deHermite (no lo veremos en este curso), que permite calcular primitivas decocientes de polinomios rebajando el grado de los polinomios implicados ensucesivos pasos.

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Integracion de funciones

trigonometricas

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Integrales racionales-trigonometricas:

∫f(sen(x), cos(x))dx

Se convierten en integrales racionales mediante la sustitucion trigonometrica

t = tan(x

2) , como sigue:

∫f(sen(x), cos(x))dx =

{t = tan(x

2) dx = 2dt

1+t2

sen(x) = 2t1+t2

cos(x) = 1−t21+t2

}=

=

∫f

(2t

1 + t2,1− t2

1 + t2

)2

1 + t2dt,

que es la integral de una funcion racional.

Ejemplo ∫dx

sen(x)dx =

{t = tan(x

2) dx = 2dt

1+t2

sen(x) = 2t1+t2

cos(x) = 1−t21+t2

}=

=

∫1

tdt = ln |t|+ C = ln

∣∣∣tan(x2)∣∣∣+ C.

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Observaciones

Existen varios tipos de integrales trigonometricas que se pueden racionalizarcon cambios mas sencillos. Son los siguientes:

1

∫f(sen(x), cos(x))dx, donde

f(−sen(x), cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).

Cambio t = cos(x) .

2


f(sen(x),−cos(x)) = −f(sen(x), cos(x)).

Cambio t = sen(x) .

3


f(−sen(x),−cos(x)) = f(sen(x), cos(x)).

Cambio t = tan(x) .

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Funcionesracionales




Ejemplo ∫dx

sen(x)dx =

{t = cos(x) dx = −dt√

1−t2

sen(x) =√1− t2 cos(x) = t

}=

= −∫

1

1− t2 dt =1

2ln

∣∣∣∣ t− 1

t+ 1

∣∣∣∣+ C =1

2ln

∣∣∣∣cos(x)− 1

cos(x) + 1

∣∣∣∣+ C.

Ejemplo

∫cos3(x) dx =

t = sen(x) dx = dt√

1−t2

cos(x) =√1− t2 sen(x) = t

=

=

∫1− t2dt = t− t3

3+ C = sen(x)− sen3(x)

3+ C.

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Integracion de funciones

irracionales

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Funcionesracionales




Integrales del tipo

∫f(x,

√x2 ± a2)dx,

∫f(x,

√a2 − x2)dx

con a ∈ R, se convierten en integrales trigonometricas mediante los cambios

1 f(x,√a2 − x2)dx: cambio x = a sen(t) .

2 f(x,√x2 − a2)dx: cambio x =

a

sen(t).

3 f(x,√x2 + a2)dx: cambio x = a tan(t) .

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Funcionesracionales




Ejemplo ∫ √a2 − x2dx =

{x = a sen(t)dx = a cos(t)dt

}= a2

∫cos2(t)dt

que aplicando la igualdad 1 + cos(2t) = 2cos2(t) se transforma en

a2∫cos2(t) dt =

a2

2t+

a2

4sen(2t) + C =

a2

2t+

a2

42sen(t) cos(t) + C =

a2

2t+

a2

42 sen(t)

√1− sen2(t) + C =

a2

2arc sen

x

a+x

2

√a2 − x2 + C.

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Funcionesracionales




Ejemplo

∫ √x2 + a2dx =

{x = a tan(t)dx = adt

cos2(t)

}= a2

∫1

cos3(t)dt =

=

{y = sen(t) dt = dy√

1−y2

cos(t) =√

1− y2 sen(t) = y

}= a2

∫1

(1− y2)2 dt =

= a2

4

∫ (1

(1− y)2 +1

(1− y) +1

(1 + y)2+

1

(1 + y)

)dt =

= a2

4

(2y

1−y2 + ln∣∣∣ y+1y−1

∣∣∣)+ C =

=

{Deshaciendo los cambios:

y = sen t = tan(t)√1−tan2(t)

= x√x2−a2

}=

= x2

√x2 + a2 + a2

4ln

∣∣∣∣ x+√x2+a2x−√x2+a2

∣∣∣∣+ C

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Funcionesracionales




Integrales del tipo

∫f

(x, n

√ax+ b

cx+ d

)dx

Se convierten en integrales racionales mediante el cambio

t = n

√ax+ b

cx+ d

Ejemplo

∫dx

1 + 3√x+ 1

dx =

Cambio:t = 3√x+ 1

dx = 3t2dt

= 3

∫t2dt

1 + t=

= 3

∫(t− 1)dt+ 3

∫dt

1 + t=

3

2t(t− 2) + 3 ln(t+ 1) + C =

=3

23√x+ 1( 3

√x+ 1− 2) + 3 ln( 3

√x+ 1 + 1) + C

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