Tema 6. Funciones -...

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Tema 6. FuncionesTema 6. Funciones1. Tipos de funciones:1. Funciones Polinómicas

1.1. Lineales1.2. Parabólicas1.3. Otros grados

2. Funciones Racionales2.1. Hipérbolas

3. Funciones Radicales4. Funciones exponenciales5. Funciones logarítmicas

Aspectos a estudiar1. Dominio2. Cortes con los ejes3. Asíntotas4. Monotonía y curvatura

2. Límites, asíntotas y continuidad3. Derivadas

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1. Funciones lineales

● Son polinomios de grado 0 ó 1:● La representación gráfica siempre es una recta● Dominio: en las polinómicas, si el contexto del problema no impone ninguna

restricción, el dominio es ℝ● Corte en el eje X:● Corte en el eje Y:● Asíntotas: las funciones ● Monotonía: m es la inclinación de la recta

● Si m = 0, la función es constante● Si m > 0, la función es creciente● Si m < 0, la función es decreciente

● Curvatura: la función es recta

y=f (x )=mx+n

Dom(f )=ℝ

y=0 → x=−nm

x=0 → y=n

polinómicas no tienen



2. Funciones parabólicas

● Son polinomios de grado 2:● La representación gráfica siempre es una parábola● Dominio: en las polinómicas, si el contexto del problema no impone ninguna

restricción, el dominio es ℝ● Corte en el eje X:

● Corte en el eje Y:● Asíntotas: las funciones

● Monotonía: Vértice:

● Si a > 0, decreciente en (-∞ , v1) y creciente en (v1 , +∞)

● Si a < 0, creciente en (-∞ , v1) y decreciente en (v1 , +∞)

● Curvatura:● Si a > 0 , convexa● Si a > 0 , cóncava

y=f (x )=ax2+bx+c

Dom(f )=ℝ

y=0 → x={x1

x2

se resuelve laecuación

x=0 → y=c

polinómicas no tienen

v1=−b2a

; v2 : se sustituye v1 en la función



2. Funciones parabólicas



Ejemplos

x: altura ; y: temperatura. Expresión analítica:● Dominio: [0 , 800]● Corte en eje X: y = 0 ; x = 1800 Se sale del dominio● Corte en eje Y: x = 0 ; y = 10● Asíntotas: no tiene (polinómica)● Monotonía: decreciente (m < 0)● Tabla de valores:

y=10−1

180x

x y

0 10800 5,6



Ejemplos

t (x): horas abierta ; N (y): clientes.● Dominio: [0 , ?]● Corte en eje X: y = 0 ; x1 = 0 ; x2 = 8 . Dominio = [0 , 8]

● Corte en eje Y: x = 0 ; y = 0● Asíntotas: no tiene (polinómica)● Monotonía: Vértice: v1 = 4 ; v2 = 160

● Creciente: (0 , 4)● Decreciente: (4 , 8)

● Cóncava (a < 0)● Tabla de valores:

x y

0 08 0

4 160



3. Otras polinómicas● Polinomios de grado >2:● Dominio: en las polinómicas, si el contexto del problema no impone ninguna

restricción, el dominio es ℝ● Corte en el eje X:

● Corte en el eje Y:● Asíntotas: las funciones polinómicas no tienen.

● Tendencias:

● Monotonía:

●

●

● Curvatura:

● ●

Dom(f )=ℝ

y=0 → x : se resuelve laecuación . Factor común ,bicuadrada , Ruffini , ...

x=0 → y=c (término independiente)

f ' (x)=0 . Se resuelve la ecuación y se calculan los intervalos de monotonía y los extremos (máximos y mínimos)

f ' (x)>0 → f creciente

f ' (x )<0 → f decreciente

f ' ' (x )=0 . Se resuelve la ecuación y se calculan los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión

f ' ' (x )>0 → f convexa

f ' ' (x )<0 → f cóncava

limx→+∞

f (x ) , limx→−∞

f (x )



Ejemplos● Dominio: ℝ● Corte en eje X: y = 0 ; x1 = 0 ; x2 = +3,46 ; x3 = -3,46

● Corte en eje Y: x = 0 ; y = 0● Asíntotas: no tiene (polinómica). ● Monotonía:

f (x)=x3−12 x

f ' (x )=3 x2−12 ; f '=0 → x=±2

-2 2f'

+ +-

-2 2f

● Creciente: (-∞ , -2) , (2 , +∞)● Decreciente: (-2 , 2)● Máximo: (-2 , 16)● Mínimo: (2 , -16)

● Curvatura:

limx→+∞

f (x)=+∞ ; limx→−∞

f (x)=−∞

f ' ' (x )=6 x f ' '=0 → x=0

0f’'

- +

f0

● Cónvava: (-∞ , 0)● Convexa: (0 , +∞)● Punto de inflexión: (0 , 0)



4. Funciones hiperbólicas

● Son fracciones entre dos lineales ● La gráfica siempre es una hipérbola● Dominio:

f (x )=ax+bcx+d

; c≠0

cx+d=0 → x=−dc

→ Dom=ℝ−{−dc

}

● Corte en X: y=0 → ax+b=0 → x=−ba

● Corte en Y: x=0 → y=bd

● Asíntotas: Siempre tienen dos● Vertical: lim

x→−dc

f (x)=±∞ → Asíntota vertical en x=−dc

● Horizontal: limx→±∞

f (x)=ac

→ Asíntota horizontal en y=ac

● Se puede hacer una tabla de valores si se considera conveniente● Monotonía: Siempre creciente, o bien, siempre decreciente● Curvatura: Siempre cóncava hasta la asíntota vertical y convexa

a partir de ella, o bien al revés



Ejemplos

● Dominio:

f (x)=x−3

2 x−1

● Creciente: (-∞ , 1/2) , (1/2 , +∞)● Máximos o mínimos no tiene

● Corte en X:

limx→+∞

f (x )=12

; limx→−∞

f (x )=12

● Convexa: (-∞ , 1/2)● Cóncava: (1/2 , +∞)● Punto de inflexión: no tiene

2 x−1=0 → x=12

→ Dom(f )=ℝ−{12

}

y=0 → x−3=0 → x=3● Corte en Y: x=0 → y=3● Asíntota Horizontal: Asínt Hor en y=1

2

limx→

12

−f (x)=+∞ ; lim

x→12

+f (x )=−∞● Asíntota Vertical: Asínt Ver en x=

12

● Con esto ya podemos hacer la gráfica:



Ejemplos

● Se trata de una hipérbola: T (x)=4 x+12x

● Dominio: x es el número de intentos, por tanto: DomT (x)=(0,+∞)

● Corte en X: y=0 → x=−3 → Nohay punto de corte● Corte en Y: x=0 → No hay punto de corte

limx→+∞

f (x )=4● Asíntota Horizontal: Asínt Hor en y=4

limx→0+

f (x )=+∞● Asíntota Vertical: Asínt Ver en x=0

x y

1 1610 5,2

● Tabla de valores ● Decreciente: (0 , +∞)● Máximos o mínimos no tiene● Convexa: (0 , +∞)● Punto de inflexión: no tiene



Ejemplo 1:

5. Otras racionales● Son fracciones entre dos polinomios

f (x )=x

x2−4

x2−4=0 → x=±2 → Dom=ℝ−{±2}● Corte en X: y=0 → x=0● Corte en Y: x=0 → y=0● Asíntotas Hor.:

limx→−2

f (x )=(−20 )=±∞ → Asíntota vertical en x=−2

limx→±∞

f (x)=0 → Asíntota horizontal en y=0

● Monotonía:

● Dominio:

● Asíntotas Ver.:

limx→2

f (x )=( 20 )=±∞ → Asíntota vertical en x=2

f ' (x )=−x2−4

(x2−4)

2; f '=0 → x=∄

-2 2f'

- --

-2 2f

● Decreciente: (-∞ , -2) , (2 , +∞) , (-2 , 2)

● Máximo o mínimos: No tiene



● Curvatura:f ' ' (x )=

2 x3+24 x

(x2−4)

3; f ' '=0 → x=0

-2 2f’'

- ++

-2 2f

0

0

-● Cónvava: (-∞ , -2) , (0 , 2)● Convexa: (-2 , 0) , (2 , +∞)● Punto de inflexión: (0 , 0)



Ejemplo 2: f (x )= 2 x2

x2+4

x2+4=0 → x=∄ → Dom=ℝ● Corte en X: y=0 → x=0● Corte en Y: x=0 → y=0● Asíntotas Hor.:

No tiene

limx→±∞

f (x)=2 → Asíntota horizontal en y=2

● Monotonía:

● Dominio:


f ' (x )=16 x

(x2+4)

2 ; f '=0 → x=0

0f'

- +

f

● Decreciente: (-∞ , 0)● Creciente: (0 , +∞ )● Mínimo: (0 , 0)

0

f ' ' (x )=−48 x2

+64

(x2+4)

3 ; f ' '=0 → x=±√ 43

-√4/3f’'

- -+

f

● Cónvava: (-∞ , -√4/3) , (√4/3 , + ∞)● Convexa: (-√4/3 , √4/3)● Puntos de inflexión: (-1,15 ; 0,5) y

(1,15 ; 0,5 )

● Curvatura:

√4/3

-√4/3 √4/3



6. Funciones radicales

Ejemplo:

● Aparecen raíces. Lo principal es estudiar bien el dominio

f (x )=√4−x

4−x=0 → x=4 → Dom=(−∞ ,4 ]

● Corte en X: y=0 → x=4● Corte en Y: x=0 → y=2● Asíntotas Hor.:

limx→4

f (x )=0 → Punto cerrado (4 ,0)

limx→−∞

f (x)=+∞ → Rama infinita

● Monotonía:

● Dominio:


f ' (x )=−1

2√4−x; f '=0 → x=∄

f'

f

● Decreciente: (-∞ , 4)● Mínimo: (4 , 0)

4

+ -

4

-

4



● Curvatura: f ' ' (x )=

−14 (4−x)√4−x

; f ' '=0 → x=∄

f'’

f

4

-

4

● Cóncava: (-∞ , 4)● Puntos inflexión: No tiene



7. Funciones exponenciales

Ejemplo:

● Base constante, exponente variable.

f (x )=2x−3

● Corte en X: y=0 → x=log2 0 → x=∄

● Corte en Y: x=0 → y=18

● Asíntotas Hor.:

No tiene

limx→+∞


● Monotonía:

● Dominio: Si no hay problemas en el exponente Dom = ℝ


f ' (x )=2x−3 · ln 2 ; f '=0 → x=∄

f'

f

● Creciente: ℝ● Máximos o mínimos: No hay

+

f (x)=ax

Dom(f )=ℝ

limx→−∞

f (x)=0 → Asínt Hor y=0



● Curvatura: f ' ' (x )=2x−3 ·( ln 2)2 ; f ' '=0 → x=∄

f’'

f

● Convexa: ℝ● Punto inflexión: No hay

+



8. Funciones logarítmicas

Ejemplo:

● f (x )=log5(x−1)

● Corte en X: y=0 → x−1=50=1 → x=2● Corte en Y: x=0 → ∄

● Asíntotas Hor.: limx→+∞


● Monotonía:

● Dominio:


f ' (x )=1

(x−1)· ln 5; f '=0 → x=∄

f'

f

● Creciente: (1 , +∞)● Máximos o mínimos: No hay

+

f (x)=loga x

limx→−∞

f (x)= ∄

x−1=0 → x=1 → Dom=(1 ,+∞)1

- +

limx→1+

f (x )=−∞ → As . Vert . x=1

1

1



● Curvatura: f ' ' (x )=−1

( x−1)2· ln5

; f ' '=0 → x=∄

f’'

f

● Cóncava: (1 , +∞)● Puntos inflexión: No hay

-

1

1



9. Derivadas9. Derivadasf (x)=k f ' (x )=0

f (x )=x f ' (x )=1

f (x)=xn f ' (x )=nxn−1

f (x )=un f ' (x )=nun−1 ·u '

f (x)=kx f ' (x )=k

f (x )=k·u f ' (x )=k·u '

f (x)=ex f ' (x )=ex

f (x )=eu f ' (x )=eu ·u '

f (x)=√x (=x12 ) f ' (x )=

12√x

f (x )=√u f ' (x )=u '

2√u

f (x)=ax f ' (x )=ax · ln a

f (x )=au f ' (x )=au · u ' · lna

Ejemplos

f (x )=3 x f ' (x )=3

f (x )=3( x−3) f ' (x )=3

f (x )=x4 f ' (x )=4 x3

f (x )=(5−x )3

f ' (x )=3(5−x)2 ·(−1)=−3(5−x)2

f (x )=√x3+2 x f ' (x )=3 x2+2

2√x3+2 x

f (x)=ex2−1 f ' (x )=ex2

−1 ·2 x

f (x )=32−x2

f ' (x )=32−x2

·(−2 x)· ln 3



Ejemplosf (x )=ln x f ' (x )=

1x

f (x )=lnu f ' (x )=u 'u

f (x )=u·v f ' (x )=u ' · v + u · v '

f (x )=uv

f ' (x )=u ' · v − u · v '

v2

f (x )=ln (4 x+x3) f ' (x )=4+3 x2

4 x+x3

f (x )=(x−x2)· ex

f ' (x )=(1−2 x)· ex+(x−x2)· ex=

=(1−x−x2)· ex

f (x )=x−1x−5

f ' (x )=1 ·(x−5) − (x−1) ·1

(x−5)2 =

=−4

( x−5)2

f (x )=1v

f ' (x )=−v '

v2 f (x )=1

x2f ' (x )=

−2 x

x4 =−2

x3

f (x )=logau f ' (x )=u '

u·ln af (x )=log3(−3 x) f ' (x )=

−3−3 x·ln3

=

=1

x·ln3


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