Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

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IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN 7. Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes, el signo y la simetría de las siguientes funciones: a) 2 2 ) ( 2 3 + - - = x x x x f Función polinómica = ) ( f Dom Puntos de corte con el eje OX = + - - = 0 2 2 2 3 y x x x y (Utilizamos el método de igualación) 0 2 2 2 3 = + - - x x x 2 1 2 1 - - 2 1 1 - - 0 2 1 1 - - = - = = - - = = - = - - - = + - - 2 o 1 0 2 1 0 1 0 ) 2 ( ) 1 ( 0 2 2 2 2 2 3 x x x x x x x x x x x x Luego, los puntos de corte con el eje OX son ) 0 , 1 (- ) 0 , 1 ( y ) 0 , 2 ( Puntos de corte con el eje OY = + - - = 0 2 2 2 3 x x x x y (Utilizamos el método de sustitución) 2 2 0 0 2 0 2 3 = + - - = y 2 = y Luego, el punto de corte con el eje OY es ) 2 , 0 ( Signo de la función = ) ( f Dom 2 ò 1 1 0 2 2 0 ) ( 2 3 = = - = = + - - = x x x x x x x f ) 2 )( 1 )( 1 ( 2 2 2 3 - - + = + - - x x x x x x Por tanto, ) 2 , 1 ( ) 1 , ( si 0 ) ( - -∞ < x x f ) , 2 ( ) 1 , 1 ( si 0 ) ( - > x x f Simetría de la función SIGNO DE f(x) - - 1

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7. Halla el dominio, los puntos de corte con los ejes, el signo y la simetría de las siguientes funciones:

a) 22)( 23 +−−= xxxxf

� Función polinómica ℜ=→ )( fDom

� Puntos de corte con el eje OX

=+−−=

0

22 23

y

xxxy (Utilizamos el método de igualación) 022 23 =+−−⇒ xxx

2 1 2 1 +−−

2 1 1 −−+

0 2 1 1 −−

=−=⇒=−−

=⇒=−⇔=−−⋅−⇔=+−−

2 o 102

101

0)2()1(0222

223

xxxx

xx

xxxxxx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− )0,1( y )0,2(

� Puntos de corte con el eje OY

=+−−=

0

22 23

x

xxxy(Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 220020 23 =+−⋅−=y ⇒ 2=y

Luego, el punto de corte con el eje OY es )2,0(

� Signo de la función

• ℜ=)( fDom

• 2 ò 1 10220)( 23 ==−=⇔=+−−⇔= xxxxxxxf

)2)(1)(1(22 23 −−+=+−− xxxxxx

Por tanto,

)2,1()1,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf

),2()1,1( si 0)( +∞∪−∈> xxf

� Simetría de la función

SIGNO DE f(x) − + − +

1

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conocidas simetríashay No

)(

)(

222)()(2)()( 2323 ⇒

−≠++−−=+−−−−−=−

xf

xf

xxxxxxxf

b) 44)( 24 ++= xxxf

� Función polinómica ℜ=→ )( fDom

� Puntos de corte con el eje OX

=++=

0

44 24

y

xxy (Utilizamos el método de igualación) 044 24 =++⇒ xx

044 variablede cambio el Hacemos

044 bicuadradaEcuación 22

24

=++⇒=•=++•

tttx

xx

realsolución existe no2 variablede cambio el Deshacemos

2

2

2

04

2

16164 grado 2º deecuación la Resolvemos

2 ⇒−=⇒•

−=−=

=±−=−±−=•

x

t

tt

Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.

� Puntos de corte con el eje OY

=++=

0

44 24

x

xxy (Utilizamos el método de sustitución) ⇒ 44040 24 =+⋅+=y ⇒ 4=y

Luego, el punto de corte con el eje OY es )4,0( .

� Signo de la función

• ℜ=)( fDom

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• realsolución tieneno 0440)( 24 ⇔=++⇔= xxxf

Por tanto,

ℜ∈∀> xxf 0)(

� Simetría de la función

⇒=+=+−+−=− )(444)(4)()( 2424 xfxxxxxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)

c) 23

)(2

2

+−=

xx

xxf

� Función racional }2,1{}023/{)( 2 −ℜ==+−−ℜ=→ xxxfDom

� Puntos de corte con el eje OX

=+−

=

0232

2

yxx

xy

(Utilizamos el método de igualación) 00023

22

2

=⇒=⇒=+−

⇒ xxxx

x

Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,0(

� Puntos de corte con el eje OY

SIGNO DE f(x) +

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2 1 0

=+−

=

0232

2

xxx

xy

(Utilizamos el método de sustitución) 002030

02

2

=⇒=+⋅−

=⇒ yy

Luego, el punto de corte con el eje OY es )0,0(

� Signo de la función

• }2,1{)( −ℜ=fDom

• 0023

0)(2

2

=⇔=+−

⇔= xxx

xxf

Por tanto,

),2()1,0()0,( si 0)( +∞∪∪−∞∈> xxf

� Simetría de la función

conocidas simetríashay No

)(

)(

232)(3)(

)()(

2

2

2

2

−≠

++=

+−−−−=−

xf

xf

xx

x

xx

xxf

d) 1

1)(

2

4

−+=

x

xxf

� Función racional }1,1{}01/{)( 2 −−ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

SIGNO DE f(x) + + − +

)2,1( si 0)( ∈< xxf

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1 -1

� Puntos de corte con el eje OX

=−+=

01

12

4

yx

xy

(Utilizamos el método de igualación) realsolución existe no0101

1 42

4

⇒=+⇒=−+

⇒ xx

x

Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.

� Puntos de corte con el eje OY

=−+=

01

12

4

xx

xy

(Utilizamos el método de sustitución) 1110

102

4

−=⇒−=−+=⇒ yy

Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0( −

� Signo de la función

• }1,1{)( −−ℜ=fDom

• realsolución hay no0 101

10)( 4

2

4

⇒=+⇔=−+⇔= x

x

xxf

Por tanto,

)1,1( si 0)( −∈< xxf ),1()1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf

� Simetría de la función

⇒=−+=

−−−=− )(

1

1

1)(

)()(

2

4

2

4

xfx

x

x

xxf )(xf es PAR (gráfica simétrica respecto al eje OY)

e) x

xxf

−=

1)(

3

� Función racional }1(}01/{)( −ℜ==−−ℜ=→ xxfDom

� Puntos de corte con el eje OX

SIGNO DE f(x) + − +

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1 0

=−

=

01

3

yx

xy

(Utilizamos el método de igualación) 0001

33

=⇒=⇒=−

⇒ xxx

x

Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,0(

� Puntos de corte con el eje OY

=−

=

01

3

xx

xy

(Utilizamos el método de sustitución) 001

03

=⇒=−

=⇒ yx

y

Luego, el punto de corte con el eje OY es )0,0(

� Signo de la función

• }1{)( −ℜ=fDom

• 00 01

0)( 33

=⇒=⇔=−

⇔= xxx

xxf

Por tanto,

),1()0,( si 0)( +∞∪−∞∈< xxf

)1,0( si 0)( ∈> xxf

� Simetría de la función

conocidas simetríashay No

)(

)(

1)(1)(

)(33

−≠

+−=

−−−=−

xf

xf

x

x

x

xxf

SIGNO DE f(x) − + −

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f) 13)( +−= xxf

� Función radical ),3[}03/{)( +∞=≥−−ℜ=→ xxfDom

� Puntos de corte con el eje OX

=+−=

0

13

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒−=−⇒=+−⇒ 13013 xx

negativo) númeroun ser puede no 3 de resultado (el realsolución tieneNo −⇒ x

Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.

� Puntos de corte con el eje OY

=+−=

0

13

x

xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom

� Signo de la función

)( 0)()( 013),3[ 03 fDomxxffDomxxxx ∈∀>⇒∈∀>+−⇒+∞∈∀≥−

� Simetría de la función

conocidas simetríashay No

)(

)(

13)( ⇒

−≠+−−=−

xf

xf

xxf

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3 -1

Observa que ),3[)( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni

respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.

Observa también que 13)( +−= xxf es la función xy = trasladada verticalmente 1 unidad hacia

arriba y 3 unidades a la derecha.

g) 12)( +−= xxf

� Función radical ),1[}01/{)( +∞−=≥+−ℜ=→ xxfDom

� Puntos de corte con el eje OX

=+−=

0

12

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx

3412)1( 22 =⇒=+⇒=+⇒ xxx

Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,3(

� Puntos de corte con el eje OY

=+−=

0

12

x

xy(Utilizamos el método de sustitución) 11102 =⇒=+−=⇒ yy

Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0(

� Signo de la función

)0,1[)( −=fDom

0)( =xf ⇒=+⇒=+−⇒ 21012 xx 3412)1( 22 =⇒=+⇒=+ xxx

Por tanto,

),3( si 0)( +∞∈< xxf )3,1[ si 0)( −∈> xxf

� Simetría de la función

SIGNO DE f(x) + −

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conocidas simetríashay No

)(

)(

12)( ⇒

−≠+−−=−

xf

xf

xxf

Observa que ),1[)( +∞−=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni

respecto al origen de coordenadas. Es decir, no puede ser par ni impar.

Observa también que 12)( +−= xxf es la función xy −= trasladada verticalmente 2 unidades

hacia arriba y 1 unidades a la izquierda.

h) x

xxf

3 2 5)(

−=

� Dominio

⇒=)(

)()(

xh

xgxf

(Valores de x en los que g y h están definidas a la vez excepto aquellos en los que h se

anula)

ℜ=−==→−= )5(Dominio5 23 2 xyDomxy

}0{−ℜ→= xy Eliminamos el 0 porque el denominador no puede anularse

}0{)( Por tanto, −ℜ=fDom

� Puntos de corte con el eje OX

=

−=

0

53 2

yx

xy (Utilizamos el método de igualación) 05050

5 23 23 2

=−⇒=−⇒=−⇒ xx

x

x

552 ±=⇒=⇒ xx

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5 0 5− 0

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(

� Puntos de corte con el eje OY

=

−=

0

53 2

xx

xy OY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom

� Signo de la función

• }0{)( −ℜ=fDom

• 50)( ±=⇔= xxf

Por tanto,

)5,0()5,( si 0)( ∪−−∞∈< xxf ),5()0,5( si 0)( +∞∪−∈> xxf

� Simetría de la función

⇒−=

−−=−

−−=− )(

55)()(

3 23 2

xfx

x

x

xxf La función es IMPAR (su gráfica es simétrica respecto

al origen de coordenadas)

i) 1

)(2

24

+−=

x

xxxf

� Dominio

SIGNO DE f(x) − + − +

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0 ∞− 1 1− ∞+

Función radical con índice par

≥+

−ℜ∈=→ 01

/)( 2

24

x

xxxfDom

01

)1)(1(0

1 :inecuación laresolver que Tenemos

2

2

2

24

≥+

+−⇔≥+−

x

xxx

x

xx

Ceros

1 o 00)1(0 2224 −±==⇔=−⇔=− xxxxxx

Polos

realsolución tieneno 101 22 ⇒−=⇔=+ xx

),1[}0{]1,()( Por tanto, +∞∪∪−−∞=fDom

� Puntos de corte con el eje OX

=+

−=

012

24

yx

xxy

01

01 2

24

2

24

=+

−⇒=

+−

⇒x

xx

x

xx1 o 00)1(0 2224 −±==⇒=−⇒=−⇒ xxxxxx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,0( )0,1(− y )0,1(

� Puntos de corte con el eje OY

=+

−=

012

24

xx

xxy

001000

2

22

=⇒=+

−=⇒ yy

Luego, el punto de corte con el eje OY es )0,0(

� Signo de la función

• ),1[}0{]1,()( +∞∪∪−−∞=fDom

• 1 o 00)( −±==⇔= xxxf

)( 0)( Por tanto, fDomxxf ∈∀≥

� Simetría de la función

SIGNO DE f(x) + +

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∞− 1 -1

⇒=+

−=+−−−−=− )(

11)(

)()()(

2

24

2

24

xfx

xx

x

xxxf La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al

eje OY)

j) 1)( 12

−= −xexf

� ℜ=)( fDom

� Puntos de corte con el eje OX

=−= −

0

112

y

ey x

(Utilizamos el método de igualación) 101 11 22

=⇒=− −− xx ee 1012 ±=⇒=−⇒ xx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,1( )0,1(−

� Puntos de corte con el eje OY

=−= −

0

112

x

ey x

(Utilizamos el método de sustitución) 11

11

11 1102

−=⇒−=−=−= −−

ey

eeey

Luego, el punto de corte con el eje OY es

−11

,0e

� Signo de la función

ℜ=)( fDom

0)( =xf 1±=⇔ x

Por tanto,

)1,1( si 0)( −∈< xxf

),1()1,( si 0)( +∞∪−−∞∈> xxf

� Simetría de la función

⇒=−=−=− −−− )(11)( 11)( 22

xfeexf xx La función es PAR (su gráfica es simétrica respecto al eje OY)

SIGNO DE f(x) + − +

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k) xxxf −=3

5)(

� ℜ=−== )()( 3 xxyDomfDom

� Puntos de corte con el eje OX

== −

0

53

y

y xx

053

=⇒ −xx xa x 0 puessolución tieneNo ∀>⇒

Por tanto no hay puntos de corte con el eje de abscisas.

� Puntos de corte con el eje OY

== −

0

53

x

y xx

1150 =⇒==⇒ yy

Luego, el punto de corte con el eje OY es )1,0(

� Signo de la función

ℜ∈∀>⇒ℜ∈∀> xxfba b 0)( 0

� Simetría de la función

conocidas simetríashay No

)(

)(

55)(33 )()( ⇒

−≠==− +−−−−

xf

xf

xf xxxx

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5 0 5− -2 2

l) )4log()( 2 −= xxf

� ),2()2,(}04/{)( 2 +∞∪−−∞=>−−ℜ= xxfDom

� Puntos de corte con el eje OX

=−=

0

)4log( 2

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx

552 ±=⇒=⇒ xx

Luego, los puntos de corte con el eje OX son )0,5(− y )0,5(

� Puntos de corte con el eje OY

=−=

0

)4log( 2

x

xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom

� Signo de la función

• ),2()2,()( +∞∪−−∞=fDom

• 0)( =xf ⇒=−⇒=−⇒ 140)4log( 22 xx 552 ±=⇒= xx

Por tanto,

)5,2()2,5( si 0)( ∪−−∈< xxf

),5()5,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf

� Simetría de la función

SIGNO DE f(x) + − − +

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7 6

OY) eje al respecto simétrica es gráfica(su PAR es )( )()4log()4)log(()( 22 xfxfxxxf ⇒=−=−−=−

m) 6log)( 2 −= xxf

� ),6(}06/{)( +∞=>−−ℜ= xxfDom

� Puntos de corte con el eje OX

=−=

0

6log2

y

xy (Utilizamos el método de igualación) ⇒=−⇒=−⇒ 1606log2 xx 7=x

Luego, el punto de corte con el eje OX es )0,7(

� Puntos de corte con el eje OY

=−=

0

6log2

x

xyOY eje elcon corte de puntohay No)(0 ⇒∉ fDom

� Signo de la función

• ),6()( +∞=fDom

• 0)( =xf 7=⇒ x

SIGNO DE f(x) − +

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Por tanto,

)7,6( si 0)( ∈< xxf

),7( si 0)( +∞∈> xxf

� Simetría de la función

),6()( +∞=fDom , por tanto, la función no puede ser simétrica ni respecto al eje OY ni respecto al

origen de coordenas. Es decir, no puede ser par ni impar.

8. Obtener toda la información posible de las siguientes funciones:

1) }2,2{)( −−ℜ=fDom

2) ),1[)0,()(Re +∞∪−∞=fc

3) }2,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=

2−=x discontinuidad asintótica o de salto infinito

2=x discontinuidad asintótica o de salto infinito

4) Puntos de corte con el eje OX: No hay

Puntos de corte con el eje OY: )1,0(

5) Signo de )(xf

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),2()2,( si 0)( +∞∪−−∞∈< xxf

)2,2( si 0)( −∈> xxf

6) Es Par (simétrica respecto al eje OY)

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: 2y 2 =−= xx

Asíntota horizontal: 0=y

9) )0,2()2,( si decrece )( −∪−−∞∈xxf

),2()2,0( si crece )( +∞∪∈xxf

10) Mínimos relativos: )1,0(

Máximos relativos: No hay

No tiene extremos absolutos

11) No está acotada.

1) ),2()2,5[)( +∞∪−=fDom

2) ℜ=)(Re fc

3) }2,0,2{dcontinuida de Dominio −−ℜ=

2−=x discontinuidad de salto finito

0=x discontinuidad eviatable

2=x discontinuidad asintótica o de salto infinito

4) Puntos de corte con el eje OX: )0,4(−

Puntos de corte con el eje OY: )3,0(

5) Signo de )(xf

),2()4,,5[ si 0)( +∞∪−−∈< xxf

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)2,4( si 0)( −∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntota vertical: 2=x

Asíntota horizontal por la derecha: 0=y

9) )0,2( si decrece )( −∈xxf

),2()2,0()2,5( si crece )( +∞∪∪−−∈xxf

10) Mínimos relativos: No hay

Máximos relativos: No hay

No tiene extremos absolutos

11) No está acotada.

1) }0{)( −ℜ=fDom

2) ),2()2,()(Re +∞∪−−∞=fc

3) }0{dcontinuida de Dominio −ℜ=

0=x discontinuidad asintótica o de salto infinito

4) Puntos de corte con el eje OX: No hay

Puntos de corte con el eje OY: No hay

5) Signo de )(xf

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)0,( si 0)( −∞∈< xxf

),0( si 0)( +∞∈> xxf

6) Es impar (simétrica respecto al origen de coordenadas)

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: 0=x

Asíntota horizontal: No hay

Asíntota oblicua: xy =

9) )1,0()0,1( si decrece )( ∪−∈xxf

),1()1,( si crece )( +∞∪−−∞∈xxf

10) Mínimos relativos: )2,1(

Máximos relativos: )2,1( −−

No tiene extremos absolutos

11) No está acotada.

1) }1{)( −ℜ=fDom

2) ℜ=)(Re fc

3) }1{dcontinuida de Dominio −ℜ=

1=x discontinuidad asintótica o de salto infinito

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4) Puntos de corte con el eje OX: )0,0(

Puntos de corte con el eje OY: )0,0(

5) Signo de )(xf

)0,( si 0)( −∞∈< xxf

),1()1,0( si 0)( +∞∪∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: 1=x

Asíntota horizontal: No tiene

Asíntota oblicua: 2+= xy

9) )3,1( si decrece )( ∈xxf

),3()1,0(),( si crece )( +∞∪∪−∞∈xxf

Mínimos relativos:

4

27,3

Máximos relativos: No hay

No tiene extremos absolutos

10) No está acotada.

1) ℜ=)( fDom

2) ]2,0[)(Re =fc

3) ℜ=dcontinuida de Dominio

4) Puntos de corte con el eje OX: )0,1(

Puntos de corte con el eje OY: )1,0(

5) Signo de )(xf

xxf 0)( ∀≥

1 si 0)( == xxf

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IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

),1()1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf

6) No es simétrica

7) No es periódica

8) Asíntotas verticales: No tiene

Asíntota horizontal: 1=y

Asíntota oblicua: No tiene

9) )1,1( si decrece )( −∈xxf

),1()1,( si crece )( +∞∪−−∞∈xxf

Mínimo relativo y absoluto: )0,1(

Máximo relativo y absoluto: )2,1(−

10)

• Acotada superiormente

Conjunto de cotas superiores: ),2[ +∞

Supremo = 2 Máximo absoluto = 2 y lo alcanza en 0=x

• Acotada inferiormente

Conjunto de cotas superiores: ]0,(−∞

Ínfimo = 0 Máximo absoluto = 0 y lo alcanza en 1=x

9. Representa gráficamente las siguientes parábolas:

a) 32)( 2 ++= xxxf

1) ∪⇒>= cóncava01a

2) Eje de simetría: 12

2

2−=⇒

−=⇒−= xx

a

bx

3) Vértice )2,1( 23213)1(2)1()1(

12

−⇒

=+−=+−⋅+−=−=

−=V

fy

x

v

v

4) Puntos de corte con los ejes

Eje OX:

=++=

0

322

y

xxy

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IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

realsolución tieneno2

12420322 ⇒

−±−=⇒=++ xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX

Eje OY: 30

322

=⇒

=++=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )3,0(

5) Tabla de valores

x 4− 3− 2− 1− 0 1 2

y 11 6 3 2 3 6 11

b) 34)( 2 +−= xxxf

1) ∪⇒>= cóncava01a

2) Eje de simetría: 22

4

2=⇒=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(

22

−⇒

−=+−=+⋅−==

=V

fy

x

v

v

4) Puntos de corte con los ejes

Eje OX:

=+−=

0

342

y

xxy

Page 23: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

==

=−±=⇒=+−1

3

2

121640342

x

xxxx ⇒PC con eje OX: )0,3( y )0,1(

Eje OY: 30

342

=⇒

=+−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )3,0(

5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2 3 4 5

y 8 3 0 1− 0 3 8

c) xxxf 5)( 2 −−=

1) ∩⇒<−= convexa01a

2) Eje de simetría 2

5

2

5

2−=⇒

−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice

−⇒

==+−=

−⋅−

−−=

−=

−=−=

4

25,

2

5

25,64

25

2

25

4

25

2

55

2

5

2

5

5,22

5

2 V

fy

x

v

v

4) Puntos de corte con los ejes

Eje OX:

=−−=

0

52

y

xxy

−==

⇔=−−⋅⇔=−−5

00)5(052

x

xxxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,0( y )0,5(−

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IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

Eje OY: 00

52

=⇒

=−−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )0,0(

5) Tabla de valores

x 6− 5− 4− 3− 2

5− 2− 1− 0 1

y 6− 0 4 6 4

25 6 4 0 6−

d) 5)( 2 += xxf

� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba.

2xy =

1) ∪⇒>= cóncava01a

2) Eje de simetría: 002

0

2=⇒==⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

Page 25: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

y 4 1 0 1 4

e) 6)( 2 +−= xxf

� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.

2xy −=

1) ∩⇒<−= convexa01a

2) Eje de simetría: 002

0

2=⇒=

−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4− 1− 0 1− 4−

Page 26: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

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f) 2)1(3)( −= xxf

� )(xf es la función 23xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.

23xy =

1) ∪⇒>= cóncava03a

2) Eje de simetría: 006

0

2=⇒==⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 12 3 0 3 12

Page 27: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

g) 96)( 2 −+−= xxxf

1) ∩⇒<−= convexa01a

2) Eje de simetría: 32

6

2=⇒

−−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,3( 091899)3(6)3()3(

32

Vfy

x

v

v⇒

=−+−=−⋅+−==

=

4) Puntos de corte con los ejes

Eje OX:

=−+−=

0

962

y

xxy

3

3

2

06

2

363660962

=

==

−±−=

−−±−=⇒=−+−

x

x

xxx ⇒ El punto de corte con el eje OX es )0,3(

Eje OY: 90

962

−=⇒

=−+−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )9,0(−

5) Tabla de valores

Page 28: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

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x 0 1 2 3 4 5 6

y 9− 4 1 0 1− 4− 9−

h) 2)3()( 2 +−= xxf

� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba y horizontalmente 3

unidades a la derecha

2xy =

1) ∪⇒>= cóncava01a

2) Eje de simetría: 002

0

2=⇒==⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4 1 0 1 4

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IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

i) 2)1()( 2 −+−= xxf

� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba.

2xy −=

1) ∩⇒<−= convexa01a

2) Eje de simetría: 002

0

2=⇒=

−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4− 1− 0 1− 4−

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10. Representa gráficamente las siguientes funciones racionales:

a) x

xf3

)( =

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0

• 0=y asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

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b) x

xf3

)( −=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

−∞=−

+∞=−

+

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0

• 0=y asíntota horizontal

=−

=−

+∞→

+

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0 1 5,1 3 6 6− 3− 5,1− 1− 5,0−

Page 32: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

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c) 23

)( −=x

xf )(xf→ es la función x

y3= trasladada verticalmente 2 unidad abajo.

� x

y3=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0

• 0=y asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

Page 33: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

d) 1

3)(

−=

xxf )(xf→ es la función

xy

3= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.

� x

y3=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0

• 0=y asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

Page 34: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

e) 42

3)( +

−=

xxf )(xf→ es la función

xy

3= trasladada horizontalmente 2 unidades a la derecha y 4

unidades hacia arriba

� x

y3=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0

• 0=y asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0

Page 35: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

1+x

f) 5

3)(

+=

xxf )(xf→ es la función

xy

3= trasladada horizontalmente 5 unidades a la izquierda.

El estudio de la función x

y3= lo hemos hecho en el apartado a)

g) ⇒++

−=⇒+−= 2

1

3)(

1

12)(

xxf

x

xxf )(xf es la función

xy

3 −=

izquierda la a unidad 1 T.H.

arriba unidades 2 T.V.

Page 36: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

2 −x

2

1

3

22

12

−−−−

x

x

La función x

y3

−= la hemos representado en el apartado b)

h) ⇒+−

=⇒−+= 1

2

6)(

2

4)(

xxf

x

xxf )(xf es la función

xy

6 =

derecha la a unidades 2 T.H.

arriba unidad 1 T.V.

6

2

4

+−+

x

x

� x

y6=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x es asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

x

x

x

x

6lim

6lim

0

0 0=y es asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−∞→

06

lim

06

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

Page 37: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

y 1− 2− 3− 6− 12− 12 6 3 2 1

11. Representa gráficamente las siguientes funciones radicales:

a) 21)(12)( −−=⇒−+−= xxfxxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1

unidad a la derecha y verticalmente 2 unidades hacia abajo

� xy =

• ),0[)( +∞=fDom

• Tabla de valores x 0 1 4 9

y 0 1 2 3

Page 38: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

b) 42)( ++−= xxf )(xf→ es la función xy −= trasladada horizontalmente 2 unidades a la izquierda

y verticalmente 4 unidades hacia arriba

� xy −=

• ),0[)( +∞=fDom

• Tabla de valores x 0 1 4 9

y 0 1− 2− 3−

c) 71)( +−= xxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y

verticalmente 7 unidades hacia arriba

Page 39: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

� xy =

• ),0[)( +∞=fDom

• Tabla de valores x 0 1 4 9

y 0 1 2 3

12. Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales:

a) x

xf

=3

1)(

• ℜ=)(xDomf

• ),0()((Re +∞== xfyc

• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +

+∞→= 0)(lim xf

x)

• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1

Page 40: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

b) x

xf−

=3

1)( )(xf→ es la simétrica de

x

y

=3

1 respecto al eje OY

� x

y

=3

1

• ℜ=

= )31

(x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc

• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +

+∞→= 0)(lim xf

x)

• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1

Page 41: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

c) 1

3

1)(

+

=x

xf )(xf→ es la función x

y

=3

1 trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda.

� x

y

=3

1

• ℜ=

= )3

1(

x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc

• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +

+∞→= 0)(lim xf

x)

• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1

Page 42: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

d) 23

1)( −

=x

xf )(xf→ es la función x

y

=3

1 trasladada verticalmente 2 unidades hacia abajo.

� x

y

=3

1

• ℜ=

= )3

1(

x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc

• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +

+∞→= 0)(lim xf

x)

• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1

Page 43: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

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e) xxf 2)( −= )(xf→ es la simétrica de xy 2= respecto al eje OX

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc

• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(

• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +

−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

Page 44: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

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f) 12)( −= xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc

• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(

• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +

−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

Page 45: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

g) 32)( 1 −= +xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la izquierda y

verticalmente 3 unidades abajo.

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc

• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(

• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +

−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

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h) 22)( 1 += −xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y

verticalmente 2 unidades arriba.

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom ),0()2(Re +∞== xyc

• No corta al eje OX Punto de corte con el eje OY )1,0(

• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +

−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

13. Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas:

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a) )3(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 3 unidad a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1(

• No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

b) xxf 2log)( −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OX

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1(

• No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

Page 48: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

c) )(log)( 2 xxf −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OY

� xy 2log=

),0()log( 2 +∞== xyDom

ℜ== )log(Re 2 xyc

Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

Page 49: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

d) 1)2(log)( 2 −−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada verticalmente 1 unidades hacia abajo

y horizontalmente 2 unidades a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1(

• No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

e) 1log)(

3

1 −= xxf )(xf→ es la función xy3

1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo

� xy3

1log=

• ),0()log(3

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re3

1 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1(

No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→

)(lim0

xfx

x 9

1

3

1 1 3 9

Page 50: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

y 2 1 0 1− 2−

f) )1(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1(

• No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

Page 51: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

g) 1)1(log)(3

1 −+= xxf )(xf→ es la función xy3

1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo y

horizontalmente 1 unidad a la izquierda

� xy3

1log=

• ),0()log(3

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re3

1 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1(

• No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→

)(lim0

xfx

x 9

1

3

1 1 3 9

y 2 1 0 1− 2−

Page 52: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

h) 2)3(log)(2

1 −+= xxf )(xf→ es la función xy2

1log= trasladada verticalmente 2 unidad hacia abajo y

3 unidades a la izquierda

� xy2

1log=

• ),0()log(2

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re2

1 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1(

• No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→

)(lim0

xfx

• Tabla de valores

x 8 4 2 1 2

1

4

1

8

1

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

Page 53: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

i) 3)1(log)( 2 +−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

y verticalmente 3 unidades hacia arriba

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1( No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

14. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:

Page 54: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

a) ]2,0()0,()(

20 1

02 1

2 13

)(2

∪−∞=⇒

≤≤+<<−−

−≤−= fDom

xsix

xsix

xsix

xf

• linealfunción 13 →−= xy

x •− 2 3− 4− y 7− 10− 11−

• linealfunción 1 →−= xy

x Ο− 2 1− Ο0 y 3 2 1

• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy

cóncava01 →>=a (0,0)Vértice→

x •0 1 •2 y 0 1 4

b) ),3()0,()(

3 1

04 32

4 5

)( 2 +∞∪−∞=⇒

><≤−+−−

−<−

= fDom

xsi

xsixx

xsi

xf

• constantefunción 4 si 5 →−<−= xy

• (parábola) cuadráticafunción 322 →+−−= xxy

convexa01 →<−=a

)4,1(

43213)1(2)1(

12

2

2Vértice2

−⇒

=++−=+−⋅−−−=

−=−

=−=→ V

y

a

bx

Page 55: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

x •− 4 3− 2− 1− Ο0 y 5− 0 3 4 3

• constantefunción 3 si 1 →>= xy

c) )(

4 1

42

20 1

0

)(2

ℜ=⇒

≥<≤−<≤−

<

= fDom

xsi

xsix

xsix

xsix

xf

• linealfunción →= xy

x Ο0 1− 2− y 0 1− 2−

• (parábola) cuadráticafunción 12 →−= xy

cóncava01 →>=a

)1,0( 1

02

0

2Vértice −⇒

−=

==−=→

ya

bx

• linealfunción →−= xy

x •2 3 Ο4 y 2− 3− 4−

• constantefunción 4 si 1 →≥= xy

x •0 1 Ο2 y 1− 0 3

Page 56: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

d) ℜ=⇒

>

≤= )(

0 1

0 1)( fDom

xsix

xsixf

• constantefunción 0 si 1 →≤= xy

• hipérbola 1 →=x

y

}0{)( −ℜ=fDom

No corta a los ejes coordenados

0=x asíntota vertical

0=y asíntota horizontal

x 5,0 1 2 4

y 2 1 5,0 25,0

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IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

e) }2{)(

1 42

12

2 2

)( 2 −−ℜ=⇒

≥+−<<−

−<

= fDom

xsix

xsix

xsi

xf

• constantefunción 2 si 2 →−<= xy

• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy

cóncava01 →>=a

)0,0( 1

02

0

2Vértice ⇒

−=

==−=→

ya

bx

• linealfunción 42 →+−= xy

x •1 2 3

y 2 0 2−

f) }0{)( 0

1

0 1)( −ℜ=⇒

<

>−= fDom

xsix

xsixxf

• linealfunción 1→−= xy

x Ο0 1 2

y 1− 0 1

• hipérbola 1 →=x

y

}0{)( −ℜ=fDom

x Ο− 2 0 Ο1 y 4− 0 1

Page 58: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

0=x asíntota vertical

+∞==

−∞==

+→

−→

+

0

1)(lim

0

1)(lim

0

0

xf

xf

x

x 0=y asíntota horizontal

=∞+

=

=∞−

=

+

+∞→

−∞→

01

)(lim

01

)(lim

xf

xf

x

x

g) }2{)(

5 1

51 2

1

1 1

)(

2

−ℜ=⇒

≥+

<<−

≤+−

= fDom

xsix

xsix

xsix

xf

• (parábola) cuadráticafunción 12 →+−= xy

convexa01 →<−=a

)1,0( 1

02

0

2Vértice ⇒

=

=−

=−=→

ya

bx

x •1 0 1− 2−

x

5,0−

1− 2− 4−

y 2− 1−

5,0−

25,0−

Page 59: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

y 0 1 0 3−

• hipérbola 2

1 →−

=x

y

}2{)( −ℜ=fDom

2=x asíntota vertical

+∞==

−∞==

+→

−→

+

0

1)(lim

0

1)(lim

2

2

xf

xf

x

x

0=y asíntota horizontal

=∞+

=

=∞−

=

+

+∞→

−∞→

01

)(lim

01

)(lim

xf

xf

x

x

• linealfunción 1→+= xy

x •5 6 7

y 6 7 8

x Ο1 5,1 5,2 3 4 Ο5

y 1− 2− 2 1 5,0 3

1

Page 60: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

h) }2{)( 0

2

1

0 1)( −−ℜ=⇒

<+

>−= fDom

xsix

xsixxf

• linealfunción 1→−= xy

x Ο0 1 2 y 1− 0 1

• hipérbola 2

1 →+

=x

y

}2{)( −−ℜ=fDom

2−=x asíntota vertical

+∞==

−∞==

+−→

−−→

+

01

)(lim

01

)(lim

2

2

xf

xf

x

x

0=y asíntota horizontal

=∞+

=

=∞−

=

+

+∞→

−∞→

01

)(lim

01

)(lim

xf

xf

x

x

x Ο0 1− 5,1− 5,2− 3− 4−

y 5,0 1 2 2− 1− 5,0

Page 61: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

i) ),5(]4,()(

5 o 4 2

40 3

0 2

)( +∞∪−∞=

>=−<<−

≤=

fDom

xxsix

xsix

xsi

xf

x

• lexponenciafunción 2 →= − xy

x •0 1− 2− 3−

y 1 2 4 8

• linealfunción 3 →−= xy

x Ο0 1 Ο4 y 3 2 1−

• linealfunción 2 →−= xy

x 4 Ο5 6 7

y 2 3 4 5

j) 34)( 2 −+−= xxxf

1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy

1) ∩⇒<−= convexa01a

2) Eje de simetría 222

4

2=⇒=

−−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(

22

Vfy

x

v

v⇒

=−+−=−⋅+−==

=

4) Puntos de corte con los ejes

Eje OX:

=−+−=

0

342

y

xxy

==

⇔−

±−=−

−±−=⇔=−+−3

1

2

24

2

121640342

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son

)0,1( y )0,3(

Page 62: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

Eje OY: 30

342

−=⇒

=−+−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )3,0( −

5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2 3 4 5

y 8− 3− 0 1 0 3− 8−

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

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IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

k)

≥−−

<−+=−−=

0 si 2

0 si 22)(

2

22

xxx

xxxxxxf

• 22 −+= xxy

1) ∪⇒>= cóncva01a

2) Eje de simetría 5,05,02

1

2−=⇒−=−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice

−−⇒

−=−=−

−+

−=

−=

−=

4

9,

2

1

25,24

92

2

1

2

1

2

1

2

1

2 V

fy

x

v

v

4) Puntos de corte con los ejes

Eje OX:

=−+=

0

22

y

xxy

−==

⇔±−=+±−=⇔=−+2

1

2

31

2

811022

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1( y

)0,2(−

Eje OY: 20

22

−=⇒

=−+=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )2,0(−

5) Tabla de valores

x 3− 2− 1− 2

1− 0 1 2

y 4 0 2− 4

9− 2− 0 4

• 22 −−= xxy

1) ∪⇒>= cóncva01a

2) Eje de simetría 5,02

1

2==⇒

−= xa

bx

3) Vértice

−⇒

−=−=−

=

=

=

4

9,

2

1

25,24

92

2

1

2

1

2

1

2

1

2 V

fy

x

v

v

4) Puntos de corte con los ejes

Page 64: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

Eje OX:

=−−=

0

22

y

xxy

−==

⇔±=+±=⇔=−−1

2

2

31

2

811022

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,1(− y

)0,2(

Eje OY: 20

22

−=⇒

=−−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )2,0(−

5) Tabla de valores

x 2− 1− 0 2

1 1 2 3

y 4 0 2− 4

9− 2− 0 4

l) 45)( 2 −−= xxxf

1º) Representamos la parábola: 452 −−= xxy

1) ∪⇒>= cóncava01a

2) Eje de simetría 5,22

5

2==⇒

−= xa

bx

3) Vértice

−⇒

−=−=−

⋅−

=

=

=

4

41,

2

5

25,104

414

2

55

2

5

2

5

5,22 V

fy

x

v

v

4) Puntos de corte con los ejes

Page 65: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

Eje OX:

=−−=

0

452

y

xxy

−≅−=

≅+=⇔±=

−+±=⇔=−−

7,02

415

7,52

415

2

415

2

162550452

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje

OX son

+0,

2

415 y

−0,

2

415

Eje OY: 40

452

−=⇒

=−−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )4,0( −

5) Tabla de valores

x 0 1 2 2

5 3 4 5

y 4− 8− 10− 4

41− 10− 8− 4−

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

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IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

m) xxf ln)( =

1º) Representamos la función logarítmica: xy ln=

• ),0()ln( +∞== xyDom

• Corta al eje OX en el punto )0,1(

• No corta al eje OY

• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0

−∞=+→

xfx

• Tabla de valores

x +0 1 e 2e

y ∞− 0 1 2

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

Page 67: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

n) 42)( −= xxf

1º) Representamos la función exponencial: 42 −= xy (que, a su vez, es la función xy 2= trasladada

verticalmente 4 unidades hacia abajo)

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc

• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(

• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +

−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

Page 68: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

o) )2ln()( −= xxf

1º) Representamos la función logarítmica: )2ln( −= xy (que, a su vez, es la función xy ln= trasladada

horizontalmente 2 unidades a la derecha) � xy ln=

Page 69: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

• ),0()ln( +∞== xyDom

• Corta al eje OX en el punto )0,1(

• No corta al eje OY

• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0

−∞=+→

xfx

• Tabla de valores

x +0 1 e 2e

y ∞− 0 1 2

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

p) 1

2)(

−=

xxf

Page 70: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

1º) Representamos la función 1

2

−=

xy , que a su vez, es la función

xy

2= trasladada horizontalmente 1

unidad a la derecha

� x

y2=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

x

x

x

x

2lim

2lim

0

0

• 0=y asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−∞→

02

lim

02

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

Page 71: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

1 −

1+x

q) 1

1)(

+−=

x

xxf

1º) Representamos la función 1

1

1

1

++−=

−−=

x

x

x

xy

⇒−+

=⇒++−= 1

1

2

1

1

xy

x

xy Es la función

xy

2 =

izquierda la a unidad 1 T.H.

abajo unidad 1 T.V.

2

1

1

+++−

x

x

� x

y2=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

x

x

x

x

2lim

2lim

0

0

• 0=y asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−∞→

02

lim

02

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

Page 72: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

r) x

xf−

=3

2)(

1º) Representamos la función 3

2

3

2

−−=

−=

xxy , que es la función

xy

2−= trasladada horizontalmente 3

unidades a la derecha

� x

y2−=

Page 73: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

−∞=−

+∞=−

+

x

x

x

x

2lim

2lim

0

0

• 0=y asíntota horizontal

=−

=−

+∞→

+

−∞→

02

lim

02

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0 1 2 4− 4− 2− 1− 5,0−

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

Page 74: Tema 8. Características de las funciones. Funciones ...

IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

15. Representa gráficamente las siguientes funciones:

Todas las funciones de este ejercicio se obtienen efectuando transformaciones a las funciones senxy = ,

xy cos= ò tgxy = .

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IES Juan García Valdemora Tema 8. Características de las funciones. Funciones elementales Departamento de Matemáticas 1º Bachillerato de CCNN

� senxy =

• ℜ== )( senxyDom

• ]1,1[)(Re −== senxyc

• Periódica de periodo π2=T

x 0 2

π π

2

3π π2

y 0 1 0 1− 0

� xy cos=

• ℜ== )cos( xyDom

• ]1,1[)cos(Re −== xyc

• Periódica de periodo π2=T

x 0 2

π π

2

3π π2

y 1 0 1− 0 1

� tgxy =

Ζ∈+−ℜ== kktgxyDom ;

2)12()(π

• ℜ== )(Re tgxyc

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• Periódica de periodo π=T

• 2

π−=x es asíntota vertical

−∞=

+∞=

+

−→

−→

tgx

tgx

x

x

2

2

lim

lim

π

π

2

π=x es asíntota vertical

−∞=

+∞=

+

tgx

tgx

x

x

2

2

lim

lim

π

π

x +

−2

π

4

π− 0 4

π

2

π

y ∞− 1− 0 1 ∞+

a) )()( π+= xsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda.

c) 4)()( −+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda y verticalmente

4 unidades hacia abajo.

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g) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OX

b)

−−=2

)(π

xsenxf senxy −=→ trasladada horizontalmente 2

π a la derecha.

senxy −= es la simétrica de senxy = respecto al eje OX

h) →−= )()( xsenxf es la simétrica de senxy = respecto al eje OY. Pero, recuerda que αα sensen −=− )( ,

por tanto, en este caso también es la simétrica de senxy = respecto al eje OX.

k) 1)( −= senxxf senxy =→ trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo.

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t) 12

)( −

+= πxsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente

2

π unidades a la izquierda y 1 unidad hacia

abajo.

d)

+=2

cos)(π

xxf xy cos=→ trasladada horizontalmente 2

π unidades a la izquierda

e)

+−=2

cos)(π

xxf es la simétrica de la función del apartado d) respecto al eje OX

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f) →+

+−=

+−= 32

cos2

cos3)(ππ

xxxf es la función del apartado e) trasladada verticalmente 3

unidades hacia arriba.

l) 2cos)( += xxf xy cos=→ trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba

u)

−−=2

cos)(π

xxf es la simétrica de la función

−=2

cosπ

xy respecto al eje OX.

−=2

cosπ

xy xy cos=→ trasladada horizontalmente 2

π unidades a derecha.

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i) →

−=2

)(π

xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 2

π a la derecha

j) →

+=4

)(π

xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 4

π a la izquierda

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m) →⋅= xsenxf 2)( Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica su

recorrido ]2,2[)(Re −=fc )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==

→⋅=]2,2[ Recorrido

2 2)(

πTxsenxf

o) →= )2( )( xsenxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una contracción horizontal (se

modifica su periodo ππ ==2

2T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==

→⋅=]1,1[ Recorrido

2)(πT

xsenxf

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r) →

⋅=2

3)(x

senxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica

su recorrido ]3,3[)(Re −=fc ) y una dilatación horizontal (se modifica su periodo ππ4

21

2 ==T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==

→⋅=]3,3[ Recorrido

4 2)(

πTxsenxf

s) 1 2)( −⋅= xsenxf

� xseny 2⋅= se obtiene a partir de xseny = por una dilatación vertical (se modifica su recorrido

( ]2,2[)2(Re −== senxyc )

� 1 2)( −⋅= xsenxf se obtiene a partir de xseny 2⋅= por una traslación vertical de 1 unidad hacia abajo

( ]1,3[)(Re −=fc )

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−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==

→−⋅=]1,3[ Recorrido

21 2)(

πTxsenxf

n) →⋅= xxf cos2

1)( se obtiene a partir de la función xy cos= por una contracción vertical (se modifica

su )2

1,

2

1)(Re

−=fc

−==

→=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅=

2

1,

2

1 Recorrido

2

cos2

1)(

πT

xxf

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p) →⋅= )3( cos2)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos= por una dilatación vertical (se modifica

su recorrido ]2,2[)(Re −=fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo 3

2 π=T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅=

]2,2[ Recorrido3

2) 3cos(2)(

πT

xxf

q) →⋅−= )2( cos2

1)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos−= por una contracción vertical (se

modifica su recorrido

−=2

1,

2

1)(Re fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo

ππ ==2

2 T )

−==

→−=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅−=

2

1,

2

1 Recorrido

) 2cos(2

1)(

πT

xxf

A su vez, xy cos−= es la simétrica de xy cos= respecto al eje OX.

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FUNCIONES ELEMENTALES