FUNDAMENTOS DE LA TCA

Jorge Luis JaramilloPIET EET UTPL marzo 2010

Fundamentos de la TCA

•Evolución histórica de los sistemas de control•Ingeniería de control•Modelos matemáticos•Dominio del tiempo•Dominio de la frecuencia•Sistemas de control automático

Uso de modelosmatemáticos

Prehistoria Historia

Reloj de agua(300 AC) Regulador centrífugo

James Watt (1788)

Análisis de estabilidad basado en ecuaciones diferenciales

J. C. Maxwell (1868)

Evolución histórica de los sistemas de control

Evolución histórica de los sistemas de control

• El reloj de Ktesibius, construido alrededor de 250 BC.

• El libro Pneumatica de Herón de Alejandría (100 d. C.)

• Incubadora con una realimentación explícita para regular la temperatura de Cornelis Drebbel (1572-1634) en 1618.

• El submarino de Drebbel en 1620.

• El regulador de presión para calderas de vapor de Denis Papin Francés (1647-1712) en 1681.

• El regulador de nivel de agua de flotador inventado por I. Polzunov (1729-1766) en 1765.

• El regulador centrífugo de James Watt, desarrollado en 1769

Prehistoria

• La fundamentación matemática de la teoría de control usando el modelo de una ecuación diferencial de J.C. Maxwell (1831-1879) en 1868.

• La teoría matemática de los reguladores de I.A. Vyshnegradskii (1876)

• Los conceptos de estabilidad de Alexander M. Lyapunov (1857-1918)

• Los sistemas de dirección en barcos con realimentación utilizando ecuaciones diferenciales de Minorsky en 1922.

• Los servomecanismos, los sistemas de posición, el seguimiento de trayectorias de Hazen.

• El análisis de dinámicas no lineales de Andronov.

Historia

Evolución histórica de los sistemas de control

• El método simple para determinar la estabilidad de lazo cerrado por medio de excitación seniodal permanente de Nyquist en 1932.

• El método de respuesta en frecuencia de Bode en la década de 1940.

• Método de respuesta en frecuencia para la realimentación de amplificadores de Black en la década de 1940

• El método del lugar de las raíces de Evans al final de la década de 40 principio de 50

Historia

Evolución histórica de los sistemas de control

El concepto de control automático se refiere a mantener el significado de una variable dentro de un rango o patrón pre-establecido.

La teoría del control automático (TCA), por su parte, reúne los elementos conceptuales y metodológicos (muchos de ellos aún en formación) que hacen posible esa tarea. Los postulados de la TCA tratan con sistemas complejos, por lo que se consideran parte de la teoría de sistemas.

La ingeniería de control automático (ICA) es un enfoque interdisciplinario para el control de sistemas y dispositivos. Combina áreas como eléctrica, electrónica, mecánica, química, ingeniería de procesos, teoría matemática entre otras.

Ingeniería de control (automático)

La ICA resuelve dos tipos de problemas relacionados al control: análisis y síntesis.

En el problema del análisis, partiendo del conocimiento de la estructura y de los parámetros de un sistema, se determina los índices de calidad y desempeño en el funcionamiento.

En el problema de la síntesis, conocidos los índices de calidad y desempeño requeridos para el funcionamiento, se determina la estructura y los parámetros del sistema.

Problemas de la ICA

Ingeniería de control (automático)

La teoría de sistemas no trata directamente con el mundo real sino con modelos del mundo real obtenidos a partir de las ciencias básicas. Por esta razón, uno de los postulados fundamentales de la ICA es el concepto de modelo.

Un modelo, es una construcción abstracta basada en un conjunto de reglas, que tiene como objetivo:

• Describir el sistema en cuestión• Determinar lo que se puede hacer con él• Determinar cómo alcanzar objetivos

Modelos matemáticos

Los fenómenos del mundo real, pueden ser modelizados por construcciones físicas, lógico – matemáticas, y, gráficas.

Los modelos para un fenómeno dado no son únicos, y, dependen de los objetivos para los cuales los construimos, por lo que un mismo sistema (fenómeno) puede admitir muchos modelos distintos.

Así por ejemplo, una resistencia eléctrica puede verse como un atenuador de corriente, como un calefactor, como un objeto decorativo, etc.

Los modelos utilizados en la ICA responden a ecuaciones matemáticas que describen las magnitudes físicas que intervienen en el sistema y sus interrelaciones. Los modelos matemáticos pueden ser estáticos (utilizan ecuaciones algebraicas) y/o dinámicos (utilizan ecuaciones diferenciales)

Modelos matemáticos

Modelo estático:

Kwv

Kv

Modelos matemáticos

Modelos de un motor de CD con excitación independiente

Modelo dinámico:

wv1

Ts

K

Kvdt

dT

Modelos matemáticos

Modelos de un motor de CD con excitación independiente

Dominio del tiempo

Dominio de la frecuencia

Los dominios en que se analiza un fenómeno

• Análisis en el dominio del tiempo•Análisis en el dominio de la frecuencia

Los dominios en que se analiza un fenómeno

Un fenómeno suele ser analizado desde dos perspectivas:

• Desde la perspectiva del régimen establecido de trabajo•Desde la perspectiva de los procesos transitorios en el cambio de régimen de trabajo.

Sistemas de Control Automático (SCA)

Un sistema de control automático es un sistema técnico conformado por un objeto (objeto controlado/plant (S)) , cuyo comportamiento se requiere controlar de acuerdo a un criterio preestablecido, y, los dispositivos que hacen posible ese control (controlador/regulador)

SCA = Plant + C

C Plant

•x es la señal de entrada o la variable reguladora•y es la señal de salida o variable regulada•u es la variable de control•z son las posibles señales de interferencia

Señales/variables en los SCA

Sistemas de Control Automático (SCA)

C Plant

z

x u y

r – señal de retroalimentación∆x – señal de error del sistema

x(t) – r(t) = ∆x(t)

C Plant

Sensor

x y

r

∆x

Sistemas de Control Automático (SCA)

Señales/variables en los SCA

Los SCA se clasifican de acuerdo a algunos criterios. En función del algoritmo de control, los SCA pueden ser de lazo abierto, de lazo cerrado, y, mixtos o combinados.

Clasificación de los SCA

Sistemas de Control Automático (SCA)

C Plant

C Plant

sensor

En función de la aplicación, los SCA pueden ser de regulación (set-point control), de control programado, y, sistemas vigilantes.

De acuerdo al tipo y naturaleza de las variables controladas, los SCA pueden ser de control lineal, de control no lineal; de control óptimo, de control robusto.

En función de la métrica de las variables, los SCA pueden ser monométricos (una única variable regulada) o polimétricos (varias variables reguladas).

Clasificación de los SCA

Sistemas de Control Automático (SCA)

Sistemas lineales

Sistemas de Control Automático (SCA)

Los SCA lineales son aquellos que contienen elementos cuya función de trabajo es una ecuación lineal.

Para este tipo de sistemas se cumplen algunos postulados:

• Se cumple el principio de sobreposición (superposición).• Se describen por ecuaciones diferenciables e integrables.• Soportan las transformadas de Laplace y de Fourer.• Se cumple las condiciones para el teorema de los significados iniciales

y finales de funciones imágenes y originales.

Sistemas no lineales

Sistemas de Control Automático (SCA)

Los SCA no lineales son aquellos que contienen elementos cuya función de trabajo no es una ecuación lineal.

Las no linealidades pueden ser substanciales (relés) y no substanciales o sujetas a linealización.

Entradas típicas de un SCA

Sistemas de Control Automático (SCA)

Los SCA utilizan señales convenidas (típicas) para alimentar su entrada.

Estas señales son el escalón unitario, la función δ, la función incremental lineal, y, la función senoidal.

Entradas típicas de un SCA

Sistemas de Control Automático (SCA)

La función escalón unitario (también llamada escalón de Heaviside), es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1 para cualquier argumento positivo:

Entradas típicas de un SCA

Sistemas de Control Automático (SCA)

La función δ (o delta de Dirac) es una distribución (función generalizada). Se describe como:

Entradas típicas de un SCA

Sistemas de Control Automático (SCA)

La función incremental lineal ( o de rampa) es la integral de la función escalón. Se define como:

Entradas típicas de un SCA

Sistemas de Control Automático (SCA)

La función senoidal (también llamada sinusoidal) es una señal analógica, puesto que existen infinitos valores entre dos puntos cualesquiera del dominio. De hecho, esta onda es la gráfica de la función matemática seno, que se define como:

Respuestas típicas de un SCA

Sistemas de Control Automático (SCA)

Las respuestas de un SCA se diferencian por la señal convencional aplicada a la entrada.

Estas respuestas suelen ser de dos tipos: respuesta temporal y respuesta al impulso.

La respuesta temporal h(t) o time response, se obtiene cuando en la entrada se aplica un escalón unitario.

La respuesta al impulso w(t) o impulse response, se obtiene cuando en la entrada se aplica una función δ.

DISCUSIÓN Y ANÁLISIS