FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA TCA

Jorge Luis JaramilloTeoría del Control Automático

PIET EET UTPL marzo 2012

Créditos

Esta presentación fue preparada estrictamente como material de apoyo a la jornada presencial del curso de Teoría del Control Automático, del programa de Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones que se imparte en el Universidad Técnica Particular de Loja.

La secuencia de contenidos corresponde al plan docente de la asignatura, y, para la elaboración se han utilizado aportes propios del docente, y, una serie de materiales y recursos disponibles gratuitamente en la web.

Contenidos

•Linealización de sistemas•Transformada y antitransformada de la Laplace•Integración de una ecuación diferencial•Convolución de dos funciones•Diagramas de bloques•Modelamiento de sistemas físicos•Ejemplo del proceso de modelamiento•Discusión y análisis

Contenidos

•Linealización de sistemas

Linealización de sistemasLa teoría desarrollada para el diseño de sistemas de control, en su mayor parte, se basa en el empleo de modelos matemáticos lineales del proceso que se desea controlar

Sin embargo, son muchos los sistemas reales que exhiben una conducta no lineal, por lo que es necesario la linealización de sistemas.

Con esta modificación, el diseño del sistema de control se aproxima al flujograma:

Flujograma tomado de documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003

Linealización de sistemas

Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a través de alguna función f(x). Se dice que la relación entre las variables y y x es lineal si la función f(x) es la ecuación de la línea recta y = mx + b . Si la ecuación no cumple con la condición anterior, entonces la ecuación es no lineal.

La linealización de una ecuación, alrededor de un punto, utiliza la serie de Taylor y el concepto de estados estacionarios.

La serie de Taylor de una función que tiene grado de derivación f (n)y en las proximidades del punto a se define como :

donde es n! es el factorial, f (n) es la enésima derivada, y, a el punto en el que se quiere calcular la serie.

Linealización de sistemas

Gráfico tomado de Documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003

Linealizar una ecuación no lineal implica “reemplazarla” por una ecuación lineal. Este reemplazo es local, es decir válido en una región próxima a un punto llamado de equilibrio.

Linealización de sistemas

Se dice que un sistema físico está en estado estacionario cuando las características del mismo no varían con el tiempo. Desde esta perspectiva, un sistema estará en estado estacionario cuando sus variables descriptivas no cambien.

Desde la perspectiva matemática, un sistema físico se encuentra en estado estacionario si las derivadas de las variables que lo describen son igual a cero.

Contenidos

•Transformada y antitransformada de la Laplace

Transformada y antitransformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función f(t), definida para todos los números reales , es la función F(s) definida por:

siempre y cuando la integral esté definida. Así por ejemplo, la transformada de f(t)=e -t será:

L e e e dt e dts

es

t t st s t s t

0

1

0

1

0

11

11

L f t F s f t e dtst

0

Transformada y antitransformada de Laplace

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y la derivación se convierten en operaciones de multiplicación y de división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en pseudo ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Transformada y antitransformada de Laplace

Tabla de transformadas básicas de Laplace

Transformada y antitransformada de Laplace

Tabla de transformadas básicas de Laplace

Transformada y antitransformada de Laplace

Sea F(s) la transformada de Laplace de una función f (t). La transformada inversa de Laplace o antitransformada de F(s), se calcula como:

Generalmente no se resuelve esta ecuación, sino que se busca la respuesta utilizando tablas y el método de las fracciones parciales. 

L F s f tj

F s e dsc j

c jst

1 1

2

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•Integración de una ecuación diferencial

Integración de ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se pueden integrar utilizando los métodos numéricos habituales, o, aplicando la transformada de Laplace.

El procedimiento para integrar ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace consiste en:

• Aplicar la transformada de Laplace a cada miembro de la ecuación diferencial, teniendo en cuenta los valores de las condiciones iniciales.

• Despejar la transformada de la solución, y(s) .

• Calcular la transformada inversa de Laplace

Contenidos

•Convolución de dos funciones

Convolución de dos funciones

En matemáticas una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g.

Se puede considerar que una convolución es un tipo muy general de promedio móvil.

La convolución de f y g se denota f * g. Se define como la integral del producto de ambas funciones después desplazada una distancia τ.

Convolución de dos funciones

Gifs tomados de wikipedia

Contenidos

•Diagramas de bloques

Diagramas de bloque

Una vez obtenido el modelo matemático de un proceso, es posible determinar una función matemática que ligue a las variables de entrada y a las de salida.

La relación entre la variable de salida y la de entrada, se denomina función de transferencia W.

La función de transferencia servirá para caracterizar el comportamiento de un sistema.

A pesar de la diversidad de sistemas existentes, estos se pueden representar a través de unos pocos sistemas típicos, cuyas funciones de transferencia se denominan eslabones dinámicos tipo.

Los eslabones dinámicos tipo son:• Eslabón ainercial• Eslabón aperiódico• Eslabón integrador• Eslabón diferenciador• Eslabón oscilador

eslabón ainercial

Diagramas de bloque

El modelo matemático de un sistema, en el cual la relación entre la salida y la entrada es un coeficiente de proporcionalidad, se denomina eslabón ainercial.

Diagramas de bloque

eslabón aperiódico

Se denomina eslabón aperiódico al modelo matemático de un sistema, en el cual la relación entre la salida y la entrada corresponde a una ecuación diferencial de primer grado.

En un eslabón integrador, la señal de salida es el resultado de integrar la señal de entrada.

Esta condición hace que un eslabón integrador no tenga régimen establecido de trabajo.

Además un eslabón integrador tiene la propiedad de recordar la señal de salida.

Diagramas de bloque

eslabón integral

Diagramas de bloque

eslabón diferencial

En un eslabón diferenciador, la señal de salida es el resultado de derivar la señal de entrada. Existen dos tipos de eslabones diferenciadores: el ideal y el real. La diferencia entre ellos radica en la “anulación teórica” de la inercia del proceso en el primero.

Diagramas de bloque

eslabón oscilante

En un eslabón oscilante, la señal de salida y la señal de entrada están relacionadas a través de una ecuación diferencial de segundo grado.

Los sistemas complejos pueden ser modelados utilizando los eslabones típicos, interconectados entre sí a través de una relación funcional.

Las formas clásicas de interconexión de eslabones típicos son:• Secuencial• Paralela• Mixta

La función de transferencia de un sistema conformado por eslabones tipo conectados en forma secuencial, es el producto de las funciones de transferencia de cada eslabón.

Funciones de transferencia de sistemas complejos

W2 WnW1

W2

Wn

W1

Funciones de transferencia de sistemas complejos

La función de transferencia de un sistema conformado por eslabones tipo conectados en forma paralela, es la suma algebraica de las funciones de transferencia de cada eslabón.

Retroalimentación

La retroalimentación (realimentación, feedback) es un proceso por el que una cierta proporción de la señal de salida de un sistema se redirige de nuevo a la entrada.

La retroalimentación puede ser positiva o negativa.

La retroalimentación positiva es un mecanismo de realimentación por el cual una variación en la salida produce un efecto dentro del sistema, que refuerza esa tasa de cambio. Por lo general esto hace que el sistema no llegue a un punto de equilibrio si no mas bien a uno de saturación. Es un estimulo constante.

Wd

Wr

+

Wd

Wr

-

Retroalimentación

La retroalimentación negativa es la más utilizada. Se dice que un sistema está retroalimentado negativamente cuando tiende a estabilizarse.

Contenidos

•Modelamiento de sistemas físicos

Modelamiento de sistemas físicos

•Introducción•Estudio detallado del sistema físico•Identificación de variables (magnitudes) para el modelo•Formulación de suposiciones•Formulación de ecuaciones de equilibrio•Obtención del modelo matemático•Calibración del modelo•Simulación•Análisis y discusión

Modelamiento de sistemas físicos

•Introducción

Introducción

Modelar un sistema físico, implica obtener un modelo matemático tal que, en él se pueda evaluar el comportamiento del sistema original en distintas circunstancias, con un margen de error aceptable.

El modelamiento de un sistema físico, independientemente de su naturaleza, se puede aproximar a una metodología de 7 pasos:

• estudio detallado del sistema y determinación de los procesos de transformación de energía.

• identificación de las variables (magnitudes) que serán consideradas en el modelo. • formulación de las suposiciones (condiciones teóricas) necesarias para reducir la

complejidad del modelo, dentro del margen de error definido como aceptable. • formulación de las ecuaciones de equilibrio (de transformación de energía).• obtención del modelo matemático• calibración del modelo• simulación (resolución) del comportamiento del sistema, en base a las ecuaciones

de equilibrio.

Como ejemplo de la aplicación de la metodología propuesta, se obtendrá el modelo matemático de un generador de CD.

Modelamiento de sistemas físicos

•Estudio detallado del sistema físico

Estudio detallado del sistema físico

Un generador eléctrico es una máquina eléctrica capaz de mantener una diferencia de potencial eléctrico entre dos de sus puntos, llamados polos, terminales o bornes.

Los generadores eléctricos son máquinas eléctricas destinadas a transformar la energía mecánica en eléctrica. Esta transformación se consigue a través de una fuerza electromotriz (fem), de acuerdo a los principios de Lenz y Faraday.

Estudio detallado del sistema físico

El generador recibe energía mecánica a través del rotor, y, entrega energía eléctrica a través de los bornes.

Constructivamente, un generador posee dos segmentos claramente definidos: la armadura y el rotor.

Funcionalmente un generador consta de dos componentes: un componente mecánico y otro eléctrico.

Modelamiento de sistemas físicos

•Identificación de variables (magnitudes) para el modelo

En los generadores eléctricos de CD habituales, la velocidad de rotación en el rotor se mantiene constante, y, se regula la intensidad del campo magnético de excitación (a través de la variación del voltaje aplicado a la bobina del estator), logrando con esto la variación del voltaje a la salida de los bornes.

Este criterio de control, permite identificar al menos tres magnitudes que intervienen en el proceso de transformación de energía mecánica en energía eléctrica: la velocidad de rotación del rotor (rad/s), el voltaje aplicado a la bobina de excitación del estator (v), y, la fuerza electromotriz generada en la salida de los bornes (V). A estas magnitudes sumaremos otras durante el proceso de matematización de las ecuaciones de equilibrio.

Identificación de variables (magnitudes) para el modelo

Identificación de variables (magnitudes) para el modelo

Plant

z

x y

x, señal de entrada o la variable reguladoray, señal de salida o variable reguladaz, posibles señales de interferencia

La teoría del control automático propone que para la modelización de un sistema físico, este pueda ser concebido como una caja negra (de la que se desconoce los procesos internos), sobre la que actúan tres tipos de variables:

• Variables de entrada, que inician el proceso de transformación de energía

• Variables de salida, que son el resultado de la transformación de energía

• Variables de interferencia, que representan a señales no previstas o que no forman parte del proceso tecnológico

Considerando el criterio de control, identificaremos con variable de entrada al voltaje aplicado en la bobina de excitación Vb(t), y, como variable de salida a la fuerza electromotriz generada en los bornes Er(t)

Con esta identificación de variables, una primera aproximación al modelo matemático del generador CD se obtiene del esquema equivalente conformado por dos circuitos: uno para el sistema de excitación, y, otro para la generación de fuerza electromotriz.

Identificación de variables (magnitudes) para el modelo

Modelamiento de sistemas físicos

•Formulación de suposiciones

Una suposición es una condición teórica que se adopta con la intención de simplificar los procesos de transformación de energía en el sistema o para minimizar la influencia de los elementos no lineales del sistema.

Así, para un generador de CD ,es importante pensar en que:

• No existe histéresis magnética en los circuitos magnéticos• La relación entre flujo magnético y fuerza de imantación es lineal• La reacción del armado del rotor esta compensada• La inducción en la bobina del rotor es nula• Los parámetros eléctricos de los embobinados son constantes en el tiempo• La carga del generador es pasiva pura• La velocidad de rotación del rotor es constante

Estas suposiciones limitan teóricamente (no eliminan) la consideración de la influencia de la no linealidad de la curva de histéresis magnética en la transformación de energía eléctrica en magnética entre el estator y el rotor, y, la consideración de los potenciales fenómenos de inductancia mutua entre el estator y el rotor.

Formulación de suposiciones

Modelamiento de sistemas físicos

•Formulación de ecuaciones de equilibrio

De acuerdo al principio básico de la conservación de la energía, la energía sólo se transforma. Una ecuación de equilibrio, es una expresión matemática que describe esa transformación.

Para el caso del generador de CD, buscaremos al menos tres ecuaciones de equilibrio, una para el circuito del sistema de excitación, otra para la generación de fuerza electromotriz, y, una última para “ligar” al circuito de excitación con la generación de fuerza electromotriz.

Empezaremos afirmando que la fuerza electromotriz generada es una función del voltaje aplicado al circuito de excitación: Er(t) = f(Vb(t)). Para efecto de simplificar la notación de las variables, eliminaremos la referencia al tiempo, con lo que Er=f(Vb).

Luego estableceremos la ruta de transformación de energía: el voltaje aplicado al circuito de excitación Vb dará lugar al flujo de una corriente eléctrica en el circuito Ib. Esta corriente al pasar por el enrollado de la bobina de excitación generará una fuerza de imantación Ib*wb que determinará un flujo magnético Φ entre el estator y el rotor. Este flujo será transformado en el rotor en fuerza electromotriz Er.

Ecuaciones de equilibrio

Ecuaciones de equilibrio

Modelamiento de sistemas físicos

•Obtención del modelo matemático

Obtención del modelo matemático

Obtener el modelo matemático implica determinar un sistema de ecuaciones de equilibrio que describa correctamente, dentro del margen de error establecido, los procesos de transformación de energía en el sistema modelizado.

En el caso del generador DC, procederemos a reemplazar todas las ecuaciones de equilibrio encontradas en la ecuación Er=f(Vb)

Obtención del modelo matemático

Modelamiento de sistemas físicos

•Calibración del modelo

Calibración del modelo

La calibración del modelo resuelve cuatro tareas:• La preparación del modelo en el aparato matemático seleccionado• El cálculo de los parámetros numéricos del modelo• La selección del método numérico de resolución• La sintonización fina del modelo en concordancia con un comportamiento

definido y conocido.

Modelamiento de sistemas físicos

•Simulación

Simulación

La fase de simulación resuelve dos tareas: • La simulación • El análisis de resultados

Contenidos

•Ejemplo del proceso de modelamiento

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

Un motor CD, constructivamente, es igual a un generador CD. La diferencia radica en que el motor CD fue diseñado para que su régimen habitual de trabajo sea la transformación de energía eléctrica aportada por los bornes, en energía mecánica rotacional obtenida del rotor.

En este sentido, se identifica como variable de entrada al voltaje aplicado a los bornes del estator Ve(t), y, como variable de salida a la velocidad de rotación en el rotor Ω(t).

Para la simplificación del modelo matemático del motor CD, se plantea las siguientes suposiciones:

• El flujo magnético es constante• El momento de inercia del rotor es constante• Los parámetros de los circuitos eléctricos son constantes• El sistema es absolutamente rígido• Se desprecia la reacción del rotor• La relación entre la velocidad de rotación del rotor y la corriente es lineal

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

El modelo matemático se aproxima por un esquema equivalente que consta de dos circuitos:

• Un circuito eléctrico en el estator

• Un circuito mecánico en el rotor

En correspondencia, se plantean dos ecuaciones de equilibrio: para el circuito eléctrico del estator, y, para el circuito mecánico del rotor.

Para utilizar el aparato matemático de los diagramas de bloque y las FT, las ecuaciones de equilibrio originales son reemplazadas por su imágenes en el dominio de la transformada de Laplace, con lo que se logra su tratamiento como ecuaciones pseudoaritméticas.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

Se realiza una reducción de ecuaciones mediante el reemplazo de equivalencias, hasta obtener una única ecuación.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

A partir de la ecuación única, se inicia la construcción del grafo de diagrama de bloques.

El modelo matemático obtenido consta de:1. Un eslabón aperiódico que representa los procesos electromagnéticos en

el estator2. Un eslabón integrador que representa los procesos mecánicos en el rotor3. Un eslabón proporcional en el circuito de retroalimentación negativa

(fuerza electromotriz contraria)

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

Los siguientes pasos requieren que se haya seleccionado el motor CD de entre los disponibles en el mercado.

La elección del motor CD se basa en buscar aquel que cumpla con los requerimientos técnicos y de explotación planteados por el proceso tecnológico en que se utilizará el motor.

Para efectos de ejemplo, se ha seleccionado un motor CD modelo 1524E006S de la firma Faulhaber. El datasheet de este motor contiene la información necesaria para calcular los parámetros numéricos del modelo.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

datos de catálogo

item parámetro valor unidad1 potencia 0.78 W2 voltaje nominal 6 V3 velocidad max 12000 rpm4 corriente nominal 0.36 A5 resistencia entre terminales 11 Ω6 inductancia del rotor 150 μH7 constante de retro-fem 0.438 mV/rpm8 constante mecánica de tiempo 27 ms

10 constante del rotor (6/5) 1.36364E-05 s

parámetros numéricos del modelo

item parámetro valor unidad1 1/Re 0.090909091 1/Ω2 Te 1.36364E-05 s3 Re/Kφ 25114.15525 Ω*rpm/V4 Tm 0.027 s5 Kφ 0.000438 V/rpm

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

En ocasiones, la información del fabricante no contiene algunos de los parámetros requeridos, razón por la cual es necesario “calcularlos”. La tabla adjunta muestra un ejemplo de aquello.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

El sistema se modelizó utilizando Simulation Toolkit de LabView.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

Para la calibración, se verificó la correspondencia con la curva teórica del arranque de un motor CD en vacío.

El método de integración óptimo resultó ser el BDF variable con un paso inicial de 1E-7 y una tolerancia relativa de 1E-6.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

Como ejercicio de simulación, se evaluó el trabajo del motor CD para el régimen de arranque en vacío y carga (luego de 1 s con una carga de 0.02 A )

ANÁLISIS Y DISCUSIÓN