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Lmites

f(x)

tie

nde

a un

pun

to

Polinmicas lim ( ) ( )x a

f x f a

=

Racionales:

Sea ( )( )( )

P xf xQ x

= , donde ( )P x y ( )Q x son polinomios

Si ( ) 0Q a lim ( ) ( )x a

f x f a

=

Si ( ) 0 y ( ) 0Q a P a= = lim ( )x a

f x ind

= , se resuelve simplificando.

Si ( ) 0 y ( ) 0Q a P a= lim ( )x a

f x ind

= , se resuelve hallando lmites laterales:

Si lim ( ) lim ( ) lim ( )x ax a x a

f x f x f x +

= =

Si lim ( ) lim ( ) lim ( )x ax a x a

f x f x f x +

=

A trozos:

Si si

( ) lim ( ) lim ( )( ) si x a x a

k x af x f x g x

g x x a =

= =

Si ( ) si

( ) lim ( ) existe si lim ( ) lim ( )( ) si x a x ax a

g x x af x f x g x h x

h x x a +

Potencias: lim ( )( )lim ( ) lim ( )x a

g xg x

x a x af x f x

=

f(x)

tie

nde

a m

s o

men

os in

fini

to

Polinmicas: Sea 1 21 2 1 0( ) ...

n nn nf x a x a x a x a x a

= + + + + +

si 0lim ( )

si 0n

xn

af x

a++ >

=

= + m: lim ( )x

f x+

= El signo depende de na , nb y de si x + x

Si n

Si lim 0, 1 1xx

a a+

= < <

Si lim xx

a+

= , 1a <

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Asntotas y continuidad

Asntotas

Asntotas horizontales: Calcular lim ( )x

f x+

y lim ( )x

f x

Asntotas verticales: Sean ix valores que ( )D x , calcular: lim ( )ix x

f x+

, lim ( )ix x

f x

Asntotas oblicuas: y mx n= + , donde ( )limx

f xmx

=

y ( )lim ( )x

n f x mx

=

Existen asntotas oblicuas en los cocientes de polinomio cuyo grado del numerador sea mayor en una unidad que el grado del denominador.

La asntota y mx n= + se obtiene tambin al dividir ( )P x entre ( )Q x

Continuidad:

Una funcin es continua en x a= si:

lim ( )x a

f x

existe lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x +

=

La funcin est definida en ese punto ( )f a lim ( ) ( )

x af x f a

=

Discontinuidad no evitable

Salto finito

Lmites laterales existen y son finitos, pero de valor diferente

Salto infinito

Lmites laterales existen, pero alguno de ellos es infinito

Discontinuidad esencial

Algn lmite no existe

Discontinuidad evitable

Lmites laterales coinciden, pero la funcin no est definida en ese punto

Lmites laterales coinciden, pero son distintos al valor de

la funcin en ese punto