Formula Slimites
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www.iescampus.com Este documento está protegido bajo una licencia Creative Commons (by-nc-sa). No se permite la atribución de su autoría ni el uso comercial, tanto de esta obra como de posibles derivadas. Límites f(x) tiende a un punto Polinómicas lim () () x a fx fa → = Racionales: Sea () () () Px fx Qx = , donde () Px y () Qx son polinomios • Si () 0 Qa ≠ → lim () () x a fx fa → = • Si () 0 y ( ) 0 Qa Pa = = → lim () x a fx ind → = , se resuelve simplificando. • Si () 0 y ( ) 0 Qa Pa = ≠ → lim () x a fx ind → = , se resuelve hallando límites laterales: − Si lim () lim () lim () x a x a x a fx fx fx − + → → → = ⇒ = ±∞ − Si lim () lim () lim () x a x a x a fx fx fx − + → → → ≠ ⇒ =∃ A trozos: • Si si () lim () lim () () si x a x a k x a fx fx gx gx x a → → = = → = ≠ • Si () si () lim () existe si lim () lim () () si x a x a x a gx x a fx fx gx hx hx x a + − → → → < = → = > Potencias: lim ( ) ( ) lim () lim () x a gx gx x a x a fx fx → → → = f(x) tiende a más o menos infinito Polinómicas: Sea 1 2 1 2 1 0 () ... n n n n fx ax a x ax ax a − − = + + + + + si 0 lim () si 0 n x n a fx a →+∞ +∞ > = −∞ < si 0 lim () si 0 n x n a fx a →−∞ −∞ > = +∞ < Inversas: Sea () fx un polinomio, lim 0 () x k fx →+∞ = Racionales Sea 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 0 ... () () () ... n n n n m m m m ax a x ax ax a Px fx Qx bx b x bx bx b − − − − + + + + + = = + + + + + • Si n>m: lim () x fx →+∞ = ±∞ El signo depende de n a , n b y de si x → +∞ ó x → −∞ • Si n<m: lim () 0 x fx →+∞ = • Si n=m: lim () n x m a fx b →+∞ = Irracionales Si aparece la indeterminación ∞−∞ , es recomendable racionalizar o multiplicar por el conjugado del numerador. Potencias Si lim , 1 x x a a →+∞ = +∞ > Si lim 0, 1 1 x x a a →+∞ = − < < Si lim x x a →+∞ =∃ , 1 a <−
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MATEMATICAS
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Lmites
f(x)
tie
nde
a un
pun
to
Polinmicas lim ( ) ( )x a
f x f a
=
Racionales:
Sea ( )( )( )
P xf xQ x
= , donde ( )P x y ( )Q x son polinomios
Si ( ) 0Q a lim ( ) ( )x a
f x f a
=
Si ( ) 0 y ( ) 0Q a P a= = lim ( )x a
f x ind
= , se resuelve simplificando.
Si ( ) 0 y ( ) 0Q a P a= lim ( )x a
f x ind
= , se resuelve hallando lmites laterales:
Si lim ( ) lim ( ) lim ( )x ax a x a
f x f x f x +
= =
Si lim ( ) lim ( ) lim ( )x ax a x a
f x f x f x +
=
A trozos:
Si si
( ) lim ( ) lim ( )( ) si x a x a
k x af x f x g x
g x x a =
= =
Si ( ) si
( ) lim ( ) existe si lim ( ) lim ( )( ) si x a x ax a
g x x af x f x g x h x
h x x a +
Potencias: lim ( )( )lim ( ) lim ( )x a
g xg x
x a x af x f x
=
f(x)
tie
nde
a m
s o
men
os in
fini
to
Polinmicas: Sea 1 21 2 1 0( ) ...
n nn nf x a x a x a x a x a
= + + + + +
si 0lim ( )
si 0n
xn
af x
a++ >
=
= + m: lim ( )x
f x+
= El signo depende de na , nb y de si x + x
Si n
Si lim 0, 1 1xx
a a+
= < <
Si lim xx
a+
= , 1a <
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Asntotas y continuidad
Asntotas
Asntotas horizontales: Calcular lim ( )x
f x+
y lim ( )x
f x
Asntotas verticales: Sean ix valores que ( )D x , calcular: lim ( )ix x
f x+
, lim ( )ix x
f x
Asntotas oblicuas: y mx n= + , donde ( )limx
f xmx
=
y ( )lim ( )x
n f x mx
=
Existen asntotas oblicuas en los cocientes de polinomio cuyo grado del numerador sea mayor en una unidad que el grado del denominador.
La asntota y mx n= + se obtiene tambin al dividir ( )P x entre ( )Q x
Continuidad:
Una funcin es continua en x a= si:
lim ( )x a
f x
existe lim ( ) lim ( )x a x a
f x f x +
=
La funcin est definida en ese punto ( )f a lim ( ) ( )
x af x f a
=
Discontinuidad no evitable
Salto finito
Lmites laterales existen y son finitos, pero de valor diferente
Salto infinito
Lmites laterales existen, pero alguno de ellos es infinito
Discontinuidad esencial
Algn lmite no existe
Discontinuidad evitable
Lmites laterales coinciden, pero la funcin no est definida en ese punto
Lmites laterales coinciden, pero son distintos al valor de
la funcin en ese punto
