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Fenómeno de RungeInterpolación Polinomial y el Fenómeno de
Runge
Hans Muller Santa Cruz
cm@fcyt.umss.edu.bo
Carreras de Matematica
Universidad Mayor de San Simon
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.1/31
Introducción
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.2/31
Introducción
En Análisis Numérico, uno de los problemas básicos
consiste en:
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.2/31
Introducción
En Análisis Numérico, uno de los problemas básicos
consiste en:
Evaluar una función f : [a, b] → R dada.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.2/31
Introducción
En Análisis Numérico, uno de los problemas básicos
consiste en:
Evaluar una función f : [a, b] → R dada.
Ahora bien, las computadoras en principio, sólo realizan
operaciones elementales:
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.2/31
Introducción
En Análisis Numérico, uno de los problemas básicos
consiste en:
Evaluar una función f : [a, b] → R dada.
Ahora bien, las computadoras en principio, sólo realizan
operaciones elementales:
La adición +, la sustracción −, la multiplicación ·, la
división / y el cambio de signo (−)
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.2/31
Introducción
En Análisis Numérico, uno de los problemas básicos
consiste en:
Evaluar una función f : [a, b] → R dada.
Ahora bien, las computadoras en principio, sólo realizan
operaciones elementales:
La adición +, la sustracción −, la multiplicación ·, la
división / y el cambio de signo (−)
Por lo que, las únicas funciones que pueden ser evaluadas,
mediante operaciones elementales son funciones
polinomiales y racionales
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.2/31
Introducción
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.3/31
Introducción
Problema que se lo resuelve, determinando
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.3/31
Introducción
Problema que se lo resuelve, determinando
una sucesión {fn}n≥1 de funciones
fn : [a, b] → R
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.3/31
Introducción
Problema que se lo resuelve, determinando
una sucesión {fn}n≥1 de funciones
fn : [a, b] → R
“fácilmente evaluables”, tales que:
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.3/31
Introducción
Problema que se lo resuelve, determinando
una sucesión {fn}n≥1 de funciones
fn : [a, b] → R
“fácilmente evaluables”, tales que:
fn → f cuando n → +∞
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.3/31
Introducción
Problema que se lo resuelve, determinando
una sucesión {fn}n≥1 de funciones
fn : [a, b] → R
“fácilmente evaluables”, tales que:
fn → f cuando n → +∞
siendo la convergencia puntual, uniforme, en medida o
una norma dada
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.3/31
Introducción
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.4/31
Introducción
En esta exposición se ilustrará con un ejemplo
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.4/31
Introducción
En esta exposición se ilustrará con un ejemplo
el fenómeno de Runge, consistente
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.4/31
Introducción
En esta exposición se ilustrará con un ejemplo
el fenómeno de Runge, consistente
en que una sucesión de polinomios puede converger a una
“buena” función en un subconjunto denso,
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.4/31
Introducción
En esta exposición se ilustrará con un ejemplo
el fenómeno de Runge, consistente
en que una sucesión de polinomios puede converger a una
“buena” función en un subconjunto denso,
pero no ser convergente
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.4/31
Historia
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.5/31
Historia
Carl Runge
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.5/31
Historia
Carl Runge
Carl Runge (30 de agosto de 1856 – 3 de enerode 1927) fue un matemático, físico y espectrosco-pista alemán. Fue codesarrollador del método deRunge-Kutta en el campo conocido actualmentecomo análisis numérico de ecuaciones diferencia-les.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.5/31
Historia
Carl Runge
Carl Runge pasó sus primeros años en La Ha-bana, donde su padre Julius Runge ejercía comocónsul danés. La familia se trasladó más adelantea Bremen. En 1880 Carl recibió su doctorado enmatemática en Berlín, donde había estudiado conKarl Weierstrass. En 1886 llegó a ser profesor enHanóver. En 1904 fue a Gotinga, por iniciativa deFelix Klein donde permaneció hasta su retiro en1925.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.6/31
Historia
Carl Runge
Sus intereses incluían la matemática, la espec-troscopía, la geodesia y la astrofísica. Además deen matemática pura, realizó una gran cantidad detrabajo experimental estudiando las líneas espec-trales de varios elementos, y estuvo muy interesa-do en la aplicación de su trabajo a la espectros-copia astronómica.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.7/31
Elementos Teóricos
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.8/31
Elementos TeóricosTeorema.- Sean g : I → R una función continua sobre un
intervalo I,
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.8/31
Elementos TeóricosTeorema.- Sean g : I → R una función continua sobre un
intervalo I, {En ⊂ I}n≥1 una familia de subconjuntos de I, tales
que
En ⊂ En+1 para todo n ≥ 1,
E =∞⋃
n=1
En es un subconjunto denso de I.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.8/31
Elementos TeóricosTeorema.- Sean g : I → R una función continua sobre un
intervalo I, {En ⊂ I}n≥1 una familia de subconjuntos de I, tales
que
En ⊂ En+1 para todo n ≥ 1,
E =∞⋃
n=1
En es un subconjunto denso de I.
{fn : I → R}n≥1 una sucesión de funciones tales que g|En=
fn|Enpara todo n ≥ 1.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.8/31
Elementos TeóricosTeorema.- Sean g : I → R una función continua sobre un
intervalo I, {En ⊂ I}n≥1 una familia de subconjuntos de I, tales
que
En ⊂ En+1 para todo n ≥ 1,
E =∞⋃
n=1
En es un subconjunto denso de I.
{fn : I → R}n≥1 una sucesión de funciones tales que g|En=
fn|Enpara todo n ≥ 1. Si fn → f puntualmente cuando n → +∞
y f es continua, entonces
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.8/31
Elementos TeóricosTeorema.- Sean g : I → R una función continua sobre un
intervalo I, {En ⊂ I}n≥1 una familia de subconjuntos de I, tales
que
En ⊂ En+1 para todo n ≥ 1,
E =∞⋃
n=1
En es un subconjunto denso de I.
{fn : I → R}n≥1 una sucesión de funciones tales que g|En=
fn|Enpara todo n ≥ 1. Si fn → f puntualmente cuando n → +∞
y f es continua, entonces f = g.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.8/31
Elementos Teóricos
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.9/31
Elementos Teóricos
Demostración.- Si mostramos que f |E = g|E , E es denso en I, f y g
son continuas, se tiene f = g en todo I.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.9/31
Elementos Teóricos
Demostración.- Si mostramos que f |E = g|E , E es denso en I, f y g
son continuas, se tiene f = g en todo I.Sea x ∈ E, existe N ∈ N tal que x ∈ EN , como la sucesión desubconjuntos {En}n≥1 es encajonada, se tiene también que x ∈ En
para n ≥ N .
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.9/31
Elementos Teóricos
Demostración.- Si mostramos que f |E = g|E , E es denso en I, f y g
son continuas, se tiene f = g en todo I.Sea x ∈ E, existe N ∈ N tal que x ∈ EN , como la sucesión desubconjuntos {En}n≥1 es encajonada, se tiene también que x ∈ En
para n ≥ N . Asimismo fn(x) = g(x) para n ≥ N , de donde
lımn→+∞
fn(x) = g(x) = f(x).
�
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.9/31
Planteamiento del Problema
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.10/31
Planteamiento del Problema
Apliquemos el Teorema a nuestro problema de aproximación de
funciones, para tal efecto:
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.10/31
Planteamiento del Problema
Apliquemos el Teorema a nuestro problema de aproximación de
funciones, para tal efecto:
Elegimos una función “buena” definida en el intervalo
I = [−1, 1], como
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.10/31
Planteamiento del Problema
Apliquemos el Teorema a nuestro problema de aproximación de
funciones, para tal efecto:
Elegimos una función “buena” definida en el intervalo
I = [−1, 1], como
g(x) =1
1 + 25x2.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.10/31
Planteamiento del Problema
Apliquemos el Teorema a nuestro problema de aproximación de
funciones, para tal efecto:
Elegimos una función “buena” definida en el intervalo
I = [−1, 1], como
g(x) =1
1 + 25x2.
g(x) es indefinidamente derivable sobre I, incluso sobre R,
es acotada, positiva y su máximo valor es 1 en x = 0.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.10/31
Gráfica de1
1 + 25x2
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.11/31
Planteamiento del Problema
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.12/31
Planteamiento del Problema
Elegimos una sucesión de En de subdvisiones encajonadas
de [−1, 1], como
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.12/31
Planteamiento del Problema
Elegimos una sucesión de En de subdvisiones encajonadas
de [−1, 1], como
En = {−1 +2i
2n|i = 0, 1, . . . , 2n} n ≥ 1
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.12/31
Planteamiento del Problema
Elegimos una sucesión de En de subdvisiones encajonadas
de [−1, 1], como
En = {−1 +2i
2n|i = 0, 1, . . . , 2n} n ≥ 1
Los En son divisiónes uniformes o equidistantes de [−1, 1]
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.12/31
Planteamiento del Problema
Elegimos una sucesión de En de subdvisiones encajonadas
de [−1, 1], como
En = {−1 +2i
2n|i = 0, 1, . . . , 2n} n ≥ 1
Los En son divisiónes uniformes o equidistantes de [−1, 1]
Asi por ejemplo:
E1 = {−1, 0, 1}, E2 = {−1,−1
2, 0,
1
2, 1},
E3 = {−1,−3
4,−
1
2,−
1
4, 0,
1
4,1
2,3
4, 1}, . . . .
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.12/31
Planteamiento del Problema
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.13/31
Planteamiento del Problema
Finalmente elegimos como sucesión de funciones, los
polinomios de interpolación pn(x), que satisfacen:
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.13/31
Planteamiento del Problema
Finalmente elegimos como sucesión de funciones, los
polinomios de interpolación pn(x), que satisfacen:
pn(xi) = g(xi), xi = −1 +2i
2n, i = 0, 1, . . . , 2n.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.13/31
Planteamiento del Problema
Finalmente elegimos como sucesión de funciones, los
polinomios de interpolación pn(x), que satisfacen:
pn(xi) = g(xi), xi = −1 +2i
2n, i = 0, 1, . . . , 2n.
Fáciles de calcular, utilizando la fórmula de Newton:
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.13/31
Planteamiento del Problema
Finalmente elegimos como sucesión de funciones, los
polinomios de interpolación pn(x), que satisfacen:
pn(xi) = g(xi), xi = −1 +2i
2n, i = 0, 1, . . . , 2n.
Fáciles de calcular, utilizando la fórmula de Newton:
pn(x) =
2n
∑
k=0
y[x0, . . . , xk]
k−1∏
i=0
(x − xi).
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.13/31
Conjetura del Problema
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.14/31
Conjetura del Problema
La función g(x) = 11+25x2 es una función continua
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.14/31
Conjetura del Problema
La función g(x) = 11+25x2 es una función continua
E =+∞⋃
n=1
En es denso en [−1, 1]
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.14/31
Conjetura del Problema
La función g(x) = 11+25x2 es una función continua
E =+∞⋃
n=1
En es denso en [−1, 1]
Los polinomios de interpolación pn(x) coínciden con g(x) en
los puntos de En
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.14/31
Conjetura del Problema
La función g(x) = 11+25x2 es una función continua
E =+∞⋃
n=1
En es denso en [−1, 1]
Los polinomios de interpolación pn(x) coínciden con g(x) en
los puntos de En
Es de esperar que la sucesión de polinomios sea
convergente y converga hacia g(x), cuando n → +∞
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.14/31
La Realidad del Problema
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.15/31
La Realidad del Problema
Veamos que sucede con el problema,
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.15/31
La Realidad del Problema
Veamos que sucede con el problema,
comencemos con n = 1
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.15/31
La Realidad del Problema
Veamos que sucede con el problema,
comencemos con n = 1
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.15/31
La Realidad del Problema
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.16/31
La Realidad del Problema
con n = 2
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.16/31
La Realidad del Problema
con n = 2
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.16/31
La Realidad del Problema
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.17/31
La Realidad del Problema
con n = 3
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.17/31
La Realidad del Problema
con n = 3
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.17/31
La Realidad del Problema
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.18/31
La Realidad del Problema
con n = 4
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.18/31
La Realidad del Problema
con n = 4
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.18/31
La Realidad del Problema
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.19/31
La Realidad del Problema
todo junto
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.19/31
La Realidad del Problema
todo junto
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.19/31
La Realidad del Problema
Haciendo un Zoom
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.20/31
La Realidad del Problema
Haciendo un Zoom
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.20/31
La Realidad del Problema
Haciendo un Zoom La sucesión de polinomios converge para|x| ≤ 0, 7.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.20/31
La Realidad del Problema
Haciendo un Zoom La sucesión de polinomios converge para|x| ≤ 0, 7.
La sucesión de polinomios diverge para|x| > 0, 8.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.20/31
Explicación del Fenómeno de Runge
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.21/31
Explicación del Fenómeno de Runge
Comenzamos indicando que
g(z) =1
1 + 25z2
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.21/31
Explicación del Fenómeno de Runge
Comenzamos indicando que
g(z) =1
1 + 25z2
es una función holomorfa, excepto para z =1
5i y z = − 1
5i
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.21/31
Explicación del Fenómeno de Runge
Comenzamos indicando que
g(z) =1
1 + 25z2
es una función holomorfa, excepto para z =1
5i y z = − 1
5i
que son polos simples.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.21/31
Explicación del Fenómeno de Runge
Comenzamos indicando que
g(z) =1
1 + 25z2
es una función holomorfa, excepto para z =1
5i y z = − 1
5i
que son polos simples.
Tomando un contorno simple en cuyo inte-rior se encuentre el intervalo [−1, 1] y lospolos de g(z) se encuentren fuera del con-torno.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.21/31
Explicación del Fenómeno de Runge
Comenzamos indicando que
g(z) =1
1 + 25z2
es una función holomorfa, excepto para z =1
5i y z = − 1
5i
que son polos simples.
Tomando un contorno simple en cuyo inte-rior se encuentre el intervalo [−1, 1] y lospolos de g(z) se encuentren fuera del con-torno.
1−1
−1
5i
1
5i
C
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.21/31
Explicación del Fenómeno de Runge
Comenzamos indicando que
g(z) =1
1 + 25z2
es una función holomorfa, excepto para z =1
5i y z = − 1
5i
que son polos simples.
Tomando un contorno simple en cuyo inte-rior se encuentre el intervalo [−1, 1] y lospolos de g(z) se encuentren fuera del con-torno.
1−1
−1
5i
1
5i
C
La fórmula integral de Cauchy da
g(x) =1
2iπ
Z
C
g(ζ)
ζ − xdζ, x ∈ [−1, 1].
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.21/31
Explicación del FenómenoPara la división En = {x
(n)i
= −1 + 2i
2n|i = 0, 1, . . . , 2n}, planteamos
λn(z) = (z − x(n)0 )(z − x
(n)1 ) · · · (z − x
(n)2n ) =
2n
∏
k=0
(z − x(n)k
).
polinomio de grado 2n + 1 en z.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.22/31
Explicación del FenómenoPara la división En = {x
(n)i
= −1 + 2i
2n|i = 0, 1, . . . , 2n}, planteamos
λn(z) = (z − x(n)0 )(z − x
(n)1 ) · · · (z − x
(n)2n ) =
2n
∏
k=0
(z − x(n)k
).
polinomio de grado 2n + 1 en z.La expresión λn(z) − λn(x) es un polinomio de grado 2n + 1 en x y(z − x) divide este polinomio, por consiguiente
Fn(x) =λn(z) − λn(x)
z − xes un polinomio de grado 2n.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.22/31
Explicación del FenómenoPara la división En = {x
(n)i
= −1 + 2i
2n|i = 0, 1, . . . , 2n}, planteamos
λn(z) = (z − x(n)0 )(z − x
(n)1 ) · · · (z − x
(n)2n ) =
2n
∏
k=0
(z − x(n)k
).
polinomio de grado 2n + 1 en z.La expresión λn(z) − λn(x) es un polinomio de grado 2n + 1 en x y(z − x) divide este polinomio, por consiguiente
Fn(x) =λn(z) − λn(x)
z − xes un polinomio de grado 2n.
Planteando qn(x) =1
2iπ
∫
C
g(z)
(z − x)·λn(z) − λn(x)
λn(z)dz es un polinomio
de grado 2n, que satisface qn(x(n)i
) = g(x(n)i
) para i = 1, 2, . . . , 2n.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.22/31
Explicación del FenómenoPor lo tanto, qn(x) = pn(x) el polinomio de interpolación.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.23/31
Explicación del FenómenoPor lo tanto, qn(x) = pn(x) el polinomio de interpolación.
El error de interpolación está dado por
g(x) − pn(x) =1
2iπ
∫
C
g(z)
(z − x)·λn(x)
λn(z)dz.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.23/31
Explicación del FenómenoPor lo tanto, qn(x) = pn(x) el polinomio de interpolación.
El error de interpolación está dado por
g(x) − pn(x) =1
2iπ
∫
C
g(z)
(z − x)·λn(x)
λn(z)dz.
Y por lo tanto,
|g(x) − pn(x)| ≤1
2π
∫
C
|g(z)|
|(z − x)|·|λn(x)|
|λn(z)||dz|.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.23/31
Explicación del FenómenoPor lo tanto, qn(x) = pn(x) el polinomio de interpolación.
El error de interpolación está dado por
g(x) − pn(x) =1
2iπ
∫
C
g(z)
(z − x)·λn(x)
λn(z)dz.
Y por lo tanto,
|g(x) − pn(x)| ≤1
2π
∫
C
|g(z)|
|(z − x)|·|λn(x)|
|λn(z)||dz|.
El error de interpolación tiende a 0, cuando n → +∞, si
lımn→+∞
|λn(x)|
|λn(z)|= 0, ∀z ∈ C.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.23/31
Explicación del Fenómeno
Planteando
G(z) = lımn→+∞
(|λn(z)|)1/2n
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.24/31
Explicación del Fenómeno
Planteando
G(z) = lımn→+∞
(|λn(z)|)1/2n
Se tiene
lımn→+∞
|λn(x)|
|λn(z)|= 0 ⇐⇒
G(x)
G(z)< 1.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.24/31
Explicación del Fenómeno
Planteando
G(z) = lımn→+∞
(|λn(z)|)1/2n
Se tiene
lımn→+∞
|λn(x)|
|λn(z)|= 0 ⇐⇒
G(x)
G(z)< 1.
Trabajando con el logaritmo, se obtiene
log(|λn(z)|) =1
2n
2n
∑
k=0
log(|z − x(n)k
|) =1
2
2n
∑
k=0
ℜ(log(z − x(n)k
))2
2n
=1
2ℜ
(
2n
∑
k=0
log(z − x(n)k
)2
2n
)
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.24/31
Explicación del Fenómeno
Pasando al límite, tenemos una suma de Riemann,
log G(z) =1
2ℜ
(∫ 1
−1log(z − x) dx
)
.
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.25/31
Explicación del Fenómeno
Pasando al límite, tenemos una suma de Riemann,
log G(z) =1
2ℜ
(∫ 1
−1log(z − x) dx
)
.
Integrando, obtenemos
log G(z) =1
2ℜ ((z + 1) log(z + 1) + (1 − z) log(z − 1)) − 1
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.25/31
Explicación del Fenómeno
Pasando al límite, tenemos una suma de Riemann,
log G(z) =1
2ℜ
(∫ 1
−1log(z − x) dx
)
.
Integrando, obtenemos
log G(z) =1
2ℜ ((z + 1) log(z + 1) + (1 − z) log(z − 1)) − 1
Elevando a la exponencial
G(z) = exp
(
1
2ℜ ((z + 1) log(z + 1) + (1 − z) log(z − 1)) − 1
)
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.25/31
Explicación del Fenómeno
Veamos las curvas de nivel de G(z).
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.26/31
Explicación del Fenómeno
Veamos las curvas de nivel de G(z).
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.26/31
Explicación del Fenómeno
La gráfica de G(x). en el intervalo [−1, 1]
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.27/31
Explicación del Fenómeno
La gráfica de G(x). en el intervalo [−1, 1]
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.27/31
Explicación del Fenómeno
La gráfica de G(iy). en el intervalo [0, 0,3]
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.28/31
Explicación del Fenómeno
La gráfica de G(iy). en el intervalo [0, 0,3]
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.28/31
Explicación del Fenómeno
Por último
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.29/31
Explicación del Fenómeno
Por último
calculamos x ∈ [0, 1] de manera que G(x) = G( i5), lo que da:
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.29/31
Explicación del Fenómeno
Por último
calculamos x ∈ [0, 1] de manera que G(x) = G( i5), lo que da:
x = 0, 7266768, G(0, 7266768) = G(i
5) = 0, 4937581
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.29/31
Explicación del Fenómeno
Por último
calculamos x ∈ [0, 1] de manera que G(x) = G( i5), lo que da:
x = 0, 7266768, G(0, 7266768) = G(i
5) = 0, 4937581
Por lo tanto convergencia para |x| < 0, 7266768, divergencia para
|x| > 0, 7266768
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.29/31
Explicación del Fenómeno
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.30/31
Finalmente
Esta presentación ha sido hecha con Prosper
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.31/31
Finalmente
Esta presentación ha sido hecha con ProsperLos gráficos con pgplot, f90 y xfig
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.31/31
Finalmente
Esta presentación ha sido hecha con ProsperLos gráficos con pgplot, f90 y xfig
Muchas Gracias
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.31/31
Finalmente
Esta presentación ha sido hecha con ProsperLos gráficos con pgplot, f90 y xfig
Muchas GraciasAlguna Pregunta
Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.31/31