Fenómeno de Runge

Fenómeno de RungeInterpolación Polinomial y el Fenómeno de

Runge

Hans Muller Santa Cruz

[email protected]

Carreras de Matematica

Universidad Mayor de San Simon

Fenomeno de Runge.17 de noviembre de 2011– p.1/31

Introducción


Introducción

En Análisis Numérico, uno de los problemas básicos

consiste en:


Introducción


consiste en:

Evaluar una función f : [a, b] → R dada.


Introducción


consiste en:


Ahora bien, las computadoras en principio, sólo realizan

operaciones elementales:


Introducción


consiste en:




La adición +, la sustracción −, la multiplicación ·, la

división / y el cambio de signo (−)


Introducción


consiste en:




La adición +, la sustracción −, la multiplicación ·, la

división / y el cambio de signo (−)

Por lo que, las únicas funciones que pueden ser evaluadas,

mediante operaciones elementales son funciones

polinomiales y racionales


Introducción


Introducción

Problema que se lo resuelve, determinando


Introducción


una sucesión {fn}n≥1 de funciones

fn : [a, b] → R


Introducción



fn : [a, b] → R

“fácilmente evaluables”, tales que:


Introducción



fn : [a, b] → R


fn → f cuando n → +∞


Introducción



fn : [a, b] → R


fn → f cuando n → +∞

siendo la convergencia puntual, uniforme, en medida o

una norma dada


Introducción


Introducción

En esta exposición se ilustrará con un ejemplo


Introducción


el fenómeno de Runge, consistente


Introducción



en que una sucesión de polinomios puede converger a una

“buena” función en un subconjunto denso,


Introducción



en que una sucesión de polinomios puede converger a una

“buena” función en un subconjunto denso,

pero no ser convergente


Historia


Historia

Carl Runge


Historia

Carl Runge

Carl Runge (30 de agosto de 1856 – 3 de enerode 1927) fue un matemático, físico y espectrosco-pista alemán. Fue codesarrollador del método deRunge-Kutta en el campo conocido actualmentecomo análisis numérico de ecuaciones diferencia-les.


Historia

Carl Runge

Carl Runge pasó sus primeros años en La Ha-bana, donde su padre Julius Runge ejercía comocónsul danés. La familia se trasladó más adelantea Bremen. En 1880 Carl recibió su doctorado enmatemática en Berlín, donde había estudiado conKarl Weierstrass. En 1886 llegó a ser profesor enHanóver. En 1904 fue a Gotinga, por iniciativa deFelix Klein donde permaneció hasta su retiro en1925.


Historia

Carl Runge

Sus intereses incluían la matemática, la espec-troscopía, la geodesia y la astrofísica. Además deen matemática pura, realizó una gran cantidad detrabajo experimental estudiando las líneas espec-trales de varios elementos, y estuvo muy interesa-do en la aplicación de su trabajo a la espectros-copia astronómica.


Elementos Teóricos


Elementos TeóricosTeorema.- Sean g : I → R una función continua sobre un

intervalo I,



intervalo I, {En ⊂ I}n≥1 una familia de subconjuntos de I, tales

que

En ⊂ En+1 para todo n ≥ 1,

E =∞⋃

n=1

En es un subconjunto denso de I.




que


E =∞⋃

n=1


{fn : I → R}n≥1 una sucesión de funciones tales que g|En=

fn|Enpara todo n ≥ 1.




que


E =∞⋃

n=1



fn|Enpara todo n ≥ 1. Si fn → f puntualmente cuando n → +∞

y f es continua, entonces




que


E =∞⋃

n=1



fn|Enpara todo n ≥ 1. Si fn → f puntualmente cuando n → +∞

y f es continua, entonces f = g.


Elementos Teóricos


Elementos Teóricos

Demostración.- Si mostramos que f |E = g|E , E es denso en I, f y g

son continuas, se tiene f = g en todo I.


Elementos Teóricos


son continuas, se tiene f = g en todo I.Sea x ∈ E, existe N ∈ N tal que x ∈ EN , como la sucesión desubconjuntos {En}n≥1 es encajonada, se tiene también que x ∈ En

para n ≥ N .


Elementos Teóricos


son continuas, se tiene f = g en todo I.Sea x ∈ E, existe N ∈ N tal que x ∈ EN , como la sucesión desubconjuntos {En}n≥1 es encajonada, se tiene también que x ∈ En

para n ≥ N . Asimismo fn(x) = g(x) para n ≥ N , de donde

lımn→+∞

fn(x) = g(x) = f(x).

�


Planteamiento del Problema



Apliquemos el Teorema a nuestro problema de aproximación de

funciones, para tal efecto:





Elegimos una función “buena” definida en el intervalo

I = [−1, 1], como






I = [−1, 1], como

g(x) =1

1 + 25x2.






I = [−1, 1], como

g(x) =1

1 + 25x2.

g(x) es indefinidamente derivable sobre I, incluso sobre R,

es acotada, positiva y su máximo valor es 1 en x = 0.


Gráfica de1

1 + 25x2



Elegimos una sucesión de En de subdvisiones encajonadas

de [−1, 1], como




de [−1, 1], como

En = {−1 +2i

2n|i = 0, 1, . . . , 2n} n ≥ 1




de [−1, 1], como

En = {−1 +2i

2n|i = 0, 1, . . . , 2n} n ≥ 1

Los En son divisiónes uniformes o equidistantes de [−1, 1]




de [−1, 1], como

En = {−1 +2i

2n|i = 0, 1, . . . , 2n} n ≥ 1

Los En son divisiónes uniformes o equidistantes de [−1, 1]

Asi por ejemplo:

E1 = {−1, 0, 1}, E2 = {−1,−1

2, 0,

1

2, 1},

E3 = {−1,−3

4,−

1

2,−

1

4, 0,

1

4,1

2,3

4, 1}, . . . .



Finalmente elegimos como sucesión de funciones, los

polinomios de interpolación pn(x), que satisfacen:





pn(xi) = g(xi), xi = −1 +2i

2n, i = 0, 1, . . . , 2n.





pn(xi) = g(xi), xi = −1 +2i

2n, i = 0, 1, . . . , 2n.

Fáciles de calcular, utilizando la fórmula de Newton:





pn(xi) = g(xi), xi = −1 +2i

2n, i = 0, 1, . . . , 2n.

Fáciles de calcular, utilizando la fórmula de Newton:

pn(x) =

2n

∑

k=0

y[x0, . . . , xk]

k−1∏

i=0

(x − xi).


Conjetura del Problema



La función g(x) = 11+25x2 es una función continua




E =+∞⋃

n=1

En es denso en [−1, 1]




E =+∞⋃

n=1


Los polinomios de interpolación pn(x) coínciden con g(x) en

los puntos de En




E =+∞⋃

n=1


Los polinomios de interpolación pn(x) coínciden con g(x) en

los puntos de En

Es de esperar que la sucesión de polinomios sea

convergente y converga hacia g(x), cuando n → +∞


La Realidad del Problema



Veamos que sucede con el problema,



Veamos que sucede con el problema,

comencemos con n = 1



con n = 2



con n = 3



con n = 4



todo junto



Haciendo un Zoom



Haciendo un Zoom La sucesión de polinomios converge para|x| ≤ 0, 7.



Haciendo un Zoom La sucesión de polinomios converge para|x| ≤ 0, 7.

La sucesión de polinomios diverge para|x| > 0, 8.


Explicación del Fenómeno de Runge



Comenzamos indicando que

g(z) =1

1 + 25z2




g(z) =1

1 + 25z2

es una función holomorfa, excepto para z =1

5i y z = − 1

5i




g(z) =1

1 + 25z2


5i y z = − 1

5i

que son polos simples.




g(z) =1

1 + 25z2


5i y z = − 1

5i


Tomando un contorno simple en cuyo inte-rior se encuentre el intervalo [−1, 1] y lospolos de g(z) se encuentren fuera del con-torno.




g(z) =1

1 + 25z2


5i y z = − 1

5i



1−1

−1

5i

1

5i

C




g(z) =1

1 + 25z2


5i y z = − 1

5i



1−1

−1

5i

1

5i

C

La fórmula integral de Cauchy da

g(x) =1

2iπ

Z

C

g(ζ)

ζ − xdζ, x ∈ [−1, 1].


Explicación del FenómenoPara la división En = {x

(n)i

= −1 + 2i

2n|i = 0, 1, . . . , 2n}, planteamos

λn(z) = (z − x(n)0 )(z − x

(n)1 ) · · · (z − x

(n)2n ) =

2n

∏

k=0

(z − x(n)k

).

polinomio de grado 2n + 1 en z.



(n)i

= −1 + 2i

2n|i = 0, 1, . . . , 2n}, planteamos

λn(z) = (z − x(n)0 )(z − x

(n)1 ) · · · (z − x

(n)2n ) =

2n

∏

k=0

(z − x(n)k

).

polinomio de grado 2n + 1 en z.La expresión λn(z) − λn(x) es un polinomio de grado 2n + 1 en x y(z − x) divide este polinomio, por consiguiente

Fn(x) =λn(z) − λn(x)

z − xes un polinomio de grado 2n.



(n)i

= −1 + 2i

2n|i = 0, 1, . . . , 2n}, planteamos

λn(z) = (z − x(n)0 )(z − x

(n)1 ) · · · (z − x

(n)2n ) =

2n

∏

k=0

(z − x(n)k

).

polinomio de grado 2n + 1 en z.La expresión λn(z) − λn(x) es un polinomio de grado 2n + 1 en x y(z − x) divide este polinomio, por consiguiente

Fn(x) =λn(z) − λn(x)

z − xes un polinomio de grado 2n.

Planteando qn(x) =1

2iπ

∫

C

g(z)

(z − x)·λn(z) − λn(x)

λn(z)dz es un polinomio

de grado 2n, que satisface qn(x(n)i

) = g(x(n)i

) para i = 1, 2, . . . , 2n.


Explicación del FenómenoPor lo tanto, qn(x) = pn(x) el polinomio de interpolación.



El error de interpolación está dado por

g(x) − pn(x) =1

2iπ

∫

C

g(z)

(z − x)·λn(x)

λn(z)dz.




g(x) − pn(x) =1

2iπ

∫

C

g(z)

(z − x)·λn(x)

λn(z)dz.

Y por lo tanto,

|g(x) − pn(x)| ≤1

2π

∫

C

|g(z)|

|(z − x)|·|λn(x)|

|λn(z)||dz|.




g(x) − pn(x) =1

2iπ

∫

C

g(z)

(z − x)·λn(x)

λn(z)dz.

Y por lo tanto,

|g(x) − pn(x)| ≤1

2π

∫

C

|g(z)|

|(z − x)|·|λn(x)|

|λn(z)||dz|.

El error de interpolación tiende a 0, cuando n → +∞, si

lımn→+∞

|λn(x)|

|λn(z)|= 0, ∀z ∈ C.


Explicación del Fenómeno

Planteando

G(z) = lımn→+∞

(|λn(z)|)1/2n



Planteando

G(z) = lımn→+∞

(|λn(z)|)1/2n

Se tiene

lımn→+∞

|λn(x)|

|λn(z)|= 0 ⇐⇒

G(x)

G(z)< 1.



Pasando al límite, tenemos una suma de Riemann,

log G(z) =1

2ℜ

(∫ 1

−1log(z − x) dx

)

.




log G(z) =1

2ℜ

(∫ 1

−1log(z − x) dx

)

.

Integrando, obtenemos

log G(z) =1

2ℜ ((z + 1) log(z + 1) + (1 − z) log(z − 1)) − 1




log G(z) =1

2ℜ

(∫ 1

−1log(z − x) dx

)

.

Integrando, obtenemos

log G(z) =1

2ℜ ((z + 1) log(z + 1) + (1 − z) log(z − 1)) − 1

Elevando a la exponencial

G(z) = exp

(

1

2ℜ ((z + 1) log(z + 1) + (1 − z) log(z − 1)) − 1

)



Veamos las curvas de nivel de G(z).



La gráfica de G(x). en el intervalo [−1, 1]



La gráfica de G(iy). en el intervalo [0, 0,3]



Por último



Por último

calculamos x ∈ [0, 1] de manera que G(x) = G( i5), lo que da:



Por último


x = 0, 7266768, G(0, 7266768) = G(i

5) = 0, 4937581



Por último


x = 0, 7266768, G(0, 7266768) = G(i

5) = 0, 4937581

Por lo tanto convergencia para |x| < 0, 7266768, divergencia para

|x| > 0, 7266768


Finalmente

Esta presentación ha sido hecha con Prosper


Finalmente

Esta presentación ha sido hecha con ProsperLos gráficos con pgplot, f90 y xfig


Finalmente


Muchas Gracias


Finalmente


Muchas GraciasAlguna Pregunta


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