Trabjo Encargado Metodo de Runge Kutta
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METODOS NUMERICOS
METODO DE RUNGE KUTA
INDICE DE CONTENIDO pág.
1 Introduccion 02
2.Objetivos 02
3. Marco Teórico 02
4. Metodo de Runge Kutta 04
4.1 Explicación del método 05
4.2 Método de Runge Kutta de 4to Orden 10
4.3 Ejemplo Ilustrativo 12
5. Problema Propuesto 13
6. Conclusiones 16
7. Recomendaciones 16
8. Bibliografía 16
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METODOS NUMERICOS
METODO DE RUNGE KUTA
METODO DE RUNGE KUTTA
1. INTRODUCCION
Probablemente uno de los procedimientos numéricos más populares, así comomás preciso, usado para obtener soluciones aproximadas para un problema de
valor inicial y’=f(x,y),y(xo)=yo es el Método de Runge Kutta de cuarto orden.
Como indica el nombre hay métodos de Runge Kutta de diferente orden, es así
que en el siguiente informe haremos una clara descripción de dicho método.
2. OBJETIVOS
Aprender a resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales
ordinarias (EDOS) mediante el método de Runge Kutta
3. MARCO TEORICO
Para resolver el problema de valores iniciales dado ,tendríamos que haber
estudiado un método para ecuaciones diferenciales de tercer grado.
Tenga en cuenta que incluso si f (x) se supone diferenciable en todas partes
(un tipo estándar de hipótesis para ED), no hay ninguna razón para este tipo de
ecuación que tiene las soluciones de valor real en absoluto. Lo que no puede
esperar a obtener es "fórmulas explícitas" de estas soluciones en cuanto a la
entrada de datos f(x) .
Esto no es sólo una expectativa razonable sobre ecuaciones diferenciales, en
general. La "fórmula" fenómeno es más o menos exclusiva de ecuaciones
lineales y ecuaciones que se puede reducir de alguna manera (por ejemplo, un
cambio de variable o algún otro truco) de las ecuaciones lineales. Incluso para
las ecuaciones lineales de la historia, se complica.
Para las ecuaciones de orden n lineales con coeficientes constantes, escribir las
soluciones "explícitas" que necesita fórmulas para las raíces de dicho
polinomio. No es tarea fácil, en realidad, incluso para las computadoras, si el
grado del polinomio es alto .
Para los coeficientes no constantes que es molesto, incluso en el caso de primer
orden. Los libros de texto dan fórmulas generales para la solución a + y 'P
(x) y = Q (x) en términos de integrales de funciones que implican P (x) y Q (x)
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METODOS NUMERICOS
METODO DE RUNGE KUTA
(por ejemplo, a través del método de utilizar un "factor de integración" ), pero
incluso si las funciones P y Q son "buenos" (por ejemplo, se utilizan fórmulas
simples para ellos) no hay garantía de que las integrales que necesita para
tomar será (fuera de los problemas de los libros de texto, de todos modos). Paralas ecuaciones lineales de segundo orden, por ejemplo, y''+ P (x) y '+ Q (x) = R
(x), libros de texto generalmente no incluyen en general . Los libros de texto por
lo general tratan de la existencia y unicidad de soluciones a estas ecuaciones a
través de los resultados generales que no se basan en fórmulas en absoluto,
sino más bien tratar el tema de la existencia abstracta. (*Podemos escribir una
fórmula para el wronskiano de dos soluciones de una ecuación, en términos de
integrales y P, Q, R, de las mismas soluciones) .
La falta de una solución general en términos de una f dada (x) no impide que una
de resolución de casos particulares. Por ejemplo (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 0 tienesolamente la solución y = 0. (La razón: si (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 0 para todos los
valores de x, entonces (y') ^ 2 =-y ^ 2 para todos los valores de x. En cuanto a la
parte derecha aparece este valor común es <= 0, y mirando a la izquierda se ve
este valor común es> = 0. Por lo tanto, de hecho, (y) ^ 2 =-y ^ 2 = 0 para todo x,
y, por tanto y = 0 para todo x)
por ejemplo (y ') ^ 2 + y ^ 2 = 1 se puede tratar como y' = sqrt (1 - y ^ 2) o y '=-
sqrt (1-y ^ 2) y estas son las ecuaciones separables para que una norma
procedimiento de solución se aplica. Que se obtiene como soluciones de las
funciones y = sen (x - c) con c arbitrario (tenga en cuenta que cos x es una de
ellas como cos x = sen (x - 3pi / 2)).
4. METODO DE RUNGE-KUTTA
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METODOS NUMERICOS
METODO DE RUNGE KUTA
El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica
de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente
desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W.
Kutta.
En esencia los métodos de Runge Kutta son generalizaciones de la formula
básica de Euler, es así que podemos decir que el método de Euler es un método
de Runge Kutta de primer orden.
La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a
paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite evaluar Yi+1 tan
pronto se conozcan los valores Yi , Yi-1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El
más simple de estos métodos, debido a Euler , es aplicable a ecuaciones de
primer orden y no requiere conocer la solución en los pivotes anteriores.
Dado el problema de valores iniciales
Se debe integrar la ecuación diferencial en el intervalo y evaluar la integral
aplicando la fórmula de integración numérica:
(4)
Entonces
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METODO DE RUNGE KUTA
De donde se obtiene la siguiente expresión aproximada llamada fórmula de
Euler
Yi+1 = Yi + h f(Xi, Yi) (5)
4.1 EXPLICACION METODO DE RUNGE-KUTTA
En la introducción se estableció que el método de Euler para resolver la
ecuación diferencial de primer orden
Y' = f(X, Y) (7)
Con la condición inicial
Y(X0) = Y0 (8)
Consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia
Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ... (9)
Para determinar la solución de la ecuación diferencial en
X = X1, X2, X3, ...
Sustituyendo la función f(X,Y) dada en (7), en (9), se tiene que
Yn+1 = Yn + h Y'n (10)
Expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un
valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al
siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo
punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.
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METODOS NUMERICOS
METODO DE RUNGE KUTA
De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la
solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la
tangente T1 para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza
una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral
en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1)en
donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler,
como se muestra en la siguiente gráfica:
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METODOS NUMERICOS
METODO DE RUNGE KUTA
Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden
de definido por la expresión
(11)
En donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para:
X = Xn+1
Y = Yn + h f(Xn, Yn)
Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede decirse
que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia
(12)
En donde
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METODOS NUMERICOS
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(13)
En el método de Euler y
(14)
En lo que
Y' = f(X, Y) (15)
en el método de Euler Mejorado.
Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común:
1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer
únicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior.
2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la
función f(X, Y).
Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos
como de Runge-Kutta. La diferencia entre ellos cosiste en la forma como se
define la función que aparece en la expresión (12).
Los métodos de Runge-Kutta (RK) son unos conjuntos de métodos iterativos
(implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones
diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.
Sea
una ecuación diferencial ordinaria, con donde es un
conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea
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METODOS NUMERICOS
METODO DE RUNGE KUTA
Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma
más general:
,
donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento Δ t n entre
los sucesivos puntos t n y t n + 1. Los coeficientes k i son términos de aproximación
intermedios, evaluados en ƒ de manera local
con aij ,bi ,c i coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de
la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser
explícitos o implícitos dependiendo de las constantes aij del esquema. Si esta
matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal
iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i ,...,s, los esquemas son explícitos.
Ejemplo
Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en t = t n y otra en t = t n + Δt n. ƒ(t ,y (t ))
en la primera etapa es:
Para estimar ƒ(t ,y ) en t = t n + Δt n se usa un esquema Euler
Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación
de manera que se obtiene la expresión:
Los coeficientes propios de este esquema son: b1 = b2 = 1 / 2;a21 = 1;c 2 = 1.
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METODOS NUMERICOS
METODO DE RUNGE KUTA
Variantes
Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-
Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de
métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).
Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos
algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error
acotado y hacer una buena elección de paso.
El método de Runge-Kutta no es sólo un único método, sino una importante
familia de métodos iterativos, tanto implícitos como explícitos, para aproximar las
soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s); estas técnicas
fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matematicos alemanes Carl
David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta.
4.2 METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN
Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente
que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.
Definamos un problema de valor inicial como:
Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente
ecuación:
Donde
Así, el siguiente valor (y n+1) es determinado por el presente valor(y n) más el
producto del tamaño del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente
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METODO DE RUNGE KUTA
es un promedio ponderado de pendientes, donde k 1 es la pendiente al principio
del intervalo, k 2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k 1 para
determinar el valor de y en el punto usando el método. k 3 es otra vez la
pendiente del punto medio, pero ahora usando k 2 para determinar el valor dey k 4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k 3.
Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en
el punto medio:
Esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto orden lo cual
significa que el error por paso es del orden de O(h5), mientras que el error total
acumulado tiene el ordenO(h4).
4 .3 EJEMPLO ILUSTRATIVO
Considere el problema de valor inicial y’=x²+y³, y(1).
a) Usar el método de Runge Kutta de cuarto orden (RK4) en el intervalo
[1,1.4] con tamaños de paso h=0.5 y h=0.05.
b) Utilice un programa de de solución numérica para graficar la solución de
problema de valor inicial en el intervalo [1,1.4].
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5. CALCULO DEL PROBLEMA PROPUESTO
La reacción química en la que dos moléculas de dicromato solido de potasio ,dos moléculas de agua y tres átomos de azufre solido se combinan para
producir tres moléculas de dióxido gaseoso de azufre, cuatro moléculas de
hidróxido de potasio y dos moléculas de óxido solido de cromo, puede
representarse simbólicamente por la ecuación estequiometria
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METODO DE RUNGE KUTA
Si originalmente se dispone de n1 moléculas de dicromato solido de potasio , n2
moléculas de agua y n3 moléculas de azufre, la siguiente ecuación diferencial
describe la cantidad x(t) de hidróxido solido de potasio después del tiempo t
Donde k es la constante de velocidad de reacción. Si k=6.22x10^-
19.n1=n2=2x10^3 y n3=3x10^3. ¿cuántas unidades de hidróxido de potasio se
formaran después de 0.2 s?
Solución
Este es un tipo de problema solamente aplicativo hemos visto que los valores
iniciales son t=0 , y como es una reacción química vemos que en el t=0 la
cantidad de sustancia reactante es 0 por lo que y(0)=0 y tenemos que el tiempo
final es o.2 segundos( ver el problema )
Luego :
a=t0=0seg
b=t=0.2seg
α=w1=0unidades de hidróxido de potasio
n=20 tomado por conveniencia
h=(t-t0)/n=0.01
Vemos la primera iteración:
- Primero hallamos los coeficientes
k1 =f1(x0)= 2.6870e+005
k2=f1(x0+h*k1/2)= 1.5311e+004
k3=f1(x0+h*k2/2) 2.3471e+005
k4=f1(x0+h*k3) = 552.8654
- Hallamos el valor para la siguiente y ó w1
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w1 =w0+h/6*(k1+2*K2+2*k3+k4) = 1.2822e+003
- Aquí presentamos todas las iteraciones con sus respectivos errores
presentados en la última columna
Error=
En un tiempo 0.00000000000 1282.157267
En un tiempo 1.000000e-002 1282.157267 147.188780
En un tiempo 2.000000e-002 1429.346046 104.893205
En un tiempo 3.000000e-002 1534.239252 80.759610
En un tiempo 4.000000e-002 1614.998862 65.255873
En un tiempo 5.000000e-002 1680.254735 54.505193
En un tiempo 6.000000e-002 1734.759928 46.639842
En un tiempo 7.000000e-002 1781.399770 40.651919
En un tiempo 8.000000e-002 1822.051689 35.951051
En un tiempo 9.000000e-002 1858.002740 32.169196
En un tiempo 1.000000e-001 1890.171936 29.065383
En un tiempo 1.100000e-001 1919.237319 26.475453
En un tiempo 1.200000e-001 1945.712772 24.283843
En un tiempo 1.300000e-001 1969.996615 22.406929
En un tiempo 1.400000e-001 1992.403544 20.782755
En un tiempo 1.500000e-001 2013.186299 19.364480
En un tiempo 1.600000e-001 2032.550779 18.116055
En un tiempo 1.700000e-001 2050.666834 17.009303
En un tiempo 1.800000e-001 2067.676137 16.021893
En un tiempo 1.900000e-001 2083.698029 15.135904
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En un tiempo 2.000000e-001 2098.833934 14.336799
- Para ilustrar el resultado decidimos presentar una grafica que relaciona el
tiempo con la cantidad de hidróxido de potasio y algunas funciones
cercanas que se pueden ajustar
Por ende tenemos como resultado que en 0.2s tenemos 2098.833934
moléculas de KOH que se pueden aproximar a 2099 moléculas
6. CONCLUSIONES
-Aprendimos la relación entre el método de Euler y el método de Runge Kutta.
-Podemos concluir que el método de Euler es el método de Runge Kutta de
primer orden.
-Concluimos que es posible aplicar más de un método a un problema dado.
7. RECOMENDACIONES
-Se recomienda tener mucho cuidado con las formulas de cada método.
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-Es recomendable usar software matemáticos para la resolución de los
problemas, ya que muchas veces el cálculo resultara muy tedioso.
8. BIBLIOGRAFIA
-Análisis Numérico – Richard L. Barden
-Métodos Numéricos –Antonio Nieves
-Ecuaciones Diferenciales – Dennis G. Zill
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