Runge Kutta Fehlberg
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Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales
• Error local O(h4) y error global O(h5)
• 4 evaluaciones funcionales por paso
• Dada las evaluaciones funcionales el tamaño de paso podría ser más grande
• Las fórmulas de orden superior (5º,6º,7º) de Runge-Kutta se pueden emplear con la ventaja de determinar un tamaño de paso h apropiado
• Una forma de determinar si los valores de Runge-Kutta son suficientemente precisos es recalcular los valores al final de cada intervalo dividiendo en dos el tamaño de paso.
• Si sólo cambia ligeramente el valor de yn+1, quiere decir que es una buena aproximación a la solución, sino el valor de hdebe dividirse otra vez, hasta que el resultado sea satisfactorio.
• El cambio de paso es una técnica muy cara computacionalmente.
• Otra opción consiste en utilizar dos métodos de Runge-Kutta de orden diferente, uno de cuarto y el otro de quinto, para cambiar de (xn, yn) a (xn+1, yn+1) .
• Este método es popular por que sólo necesita seis evaluaciones de la función (en lugar de 11).
543216
43215
3214
213
1
2
1
40
11
4104
1859
2565
35442
27
8,
2
4104
845
513
36808
216
439,
2197
7296
2197
7200
2197
1932,
13
12
32
9
32
3,
8
3
4,
4
,
kkkkkyh
xhfk
kkkkyhxhfk
kkkyhxhfk
kkyhxhfk
ky
hxhfk
yxhfk
nn
nn
nn
nn
nn
nn
54104
2197
2565
1408
216
25ˆ
5
4311
kkkkyy nn
65431155
2
50
9
56430
28561
12825
6656
135
16kkkkkyy nn
55
2
5075240
2197
4275
128
360Error 65431 kkkkk
• La base de este método es calcular dos estimaciones Runge-Kutta para el nuevo valor pero con errores de diferente orden.
• En lugar de comparar estimaciones para h y h/2 se comparan aproximaciones usando las fórmulas de Runge-Kutta de 4º y 5º orden.
• Como ambas fórmulas hacen uso de las mismas k'ssólo se tienen que hacer seis evaluaciones de f(x,y).
• El valor de h se puede incrementar o disminuir dependiendo del valor del error estimado.
• Como aproximación para el nuevo yn+1se utiliza la fórmula de 5º orden.
MétodoEstimación de la
pendiente sobre el intervalo
E. Global E. LocalEval.
Funcionales
Euler Valor inicial O(h) O(h2) 1
Euler Mejorado Promedio de la pendiente inicial y final
O(h2) O(h3) 2
Runge Kutta 4º Promedio de los cuatro valores
O(h4) O(h5) 4
Runge KuttaFehlberg
Promedio de los seis valores
O(h5) (h6) 6
• Como hemos visto, el tamaño de paso juega un papel importante en la obtención de buenas aproximaciones por métodos numéricos.
• Este tamaño de paso guarda una estrecha relación con el grado del método empleado.
• El método de Runge-Kutta-Fehlberg emplea un parámetro q para determinar el mejor tamaño de paso:
n
ii ww
hq
1
11~
•
• El cálculo de q para optimizar h, se hace para evitar las pérdidas de tiempo ocasionadas por h muy pequeños, en regiones con irregularidades en la derivada de y, y para h grandes, que puedan resultar en la omisión de regiones sensibles cercanas.
• En algunos casos el procedimiento del incremento de h se modifica para que se incorpore solamente para cuando sea necesario tener el error bajo control.
• Para el método de R-K-F con n= 4 q se elige como:
11
4
1
11~
84.0~2 iiii ww
h
ww
hq