Post on 12-May-2020
ESCUELA SUPERIOR
POLITÉCNICA DEL LITORAL
“MODELADO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN
SISTEMA DINÁMICO MEDIANTE EL USO DE
COMPONENETES ANÁLOGOS”
Autor
Roberth Tinoco
Director
Ing. Eduardo Orces
Contenidos
1. Introducción
2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema
3. Método del LGR para el análisis del Sistema de Control.
4. Método de Ubicación de Polos para el análisis del Sistema de Control.
5. LQR en el Diseño Final del Sistema de Control.
6. Conclusiones y Recomendaciones.
Problema interesante desde el punto de
vista de control.
Ilustra muchas de las dificultades
asociadas con problemas de control del
mundo real.
Introducción
Control mediante el empleo decomponentes simples análogos
Introducción
Aplicaciones análogas:
• Robótica.
• Posicionamiento satelital con respecto a la
tierra.
• Plataforma para el lanzamiento de cohetes
• Estabilidad de Grúas y edificios, etc.
Introducción
Definición: Consiste enun péndulo que giralibremente por uno de susextremos mediante unaarticulación situada sobreun carro que se muevesobre una guía rectilíneabajo la acción de una
Fuerza de Control.
Objetivo
Construir el prototipo utilizando un bajo
presupuesto
• Diseñar estructuralmente el sistema
• Elegir sensores y actuador.
• Uso de componentes análogos
Controlar el sistema
• Simular distintos controladores lineales
usando MATLAB y SIMULINK
• Implementar controlador mediante LQR
Contenidos
1. Introducción
2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema
3. Método del LGR para el análisis del Sistema de Control.
4. Método de Ubicación de Polos para el análisis del Sistema de Control.
5.LQR en el Diseño Final del Sistema de Control.
6. Conclusiones y Recomendaciones.
Modelado Dinámico del Sistema
0
1x
mg0
00x
Bo
0bx
0mI
mmM2
Modelado Dinámico del Sistema
Modelado en SIMULINK
Modelado Dinámico del Sistema
q
bmgS
q
mgmMBbS
q
mIbmMBS
Sq
m
sU
s
22
3
Donde:22 mmImMq
Modelado Dinámico del Sistema
Determinación de los Parámetros Físicos:
mM4
mMg32n
Parámetro Descripción Valor
M Masa del Carro 0.425 Kg.
m Masa del Péndulo 0.270 Kg.
l Longitud del Péndulo 0.33 m.
b Constante de amortiguamiento
debido al Carro
0.1 N/m/s.
B Constante de amortiguamiento
debida al Péndulo
0.05
N.m/rad/s.
Modelado Dinámico del Sistema
9.229 s
-----------------------------------------------
s^3 + 7.402 s^2 - 61.83 s – 9.045
Sistema a Lazo Abierto:
Modelado Dinámico del Sistema
Modelado en el Espacio de Estados:
X
X
4
3
2
1
3
1
2
1
Xy
yy
q
mI
0q
m0
q
mIb0
q
Bmg
q
m
1000q
bm0
q
mMBg
q
mmM0010
2
4
3
2
1
22
4
3
2
1
.0
0.
0100
0001
y
y
4
3
2
1
2
1
Modelado Dinámico del Sistema
Sistema a Lazo Abierto:
Modelado Dinámico del Sistema
Modelado en SIMULINK
Modelado Dinámico del Sistema
Estrategia de Control
Conjunto Carro-
Péndulo
Sensor
Amplificador mas
Actuador
Potencia
Externa
Señal Proporcional a
las Variables de
Salida
Contenidos
1. Introducción
2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema.
3. Método del LGR para el análisis del Sistema de Control.
4. Método de Ubicación de Polos para el análisis del Sistema de Control.
5. LQR en el Diseño Final del Sistema de Control.
6. Conclusiones y Recomendaciones.
Diagrama de Bloques:
CONTROLADOR
K(S)
PLANTA
G(S)
r(S) = 0
+
+
+-
(S)U(S)e(S)
Fd(S)
Diagrama de Bloques Simplificado:
PLANTA
G(S)+-
(S)U(S)Fd(S)
CONTROLADOR
K(S)
sFsGsK1
sGs d
Controlador Método del LGR
Trazo del LGR:
Cero =
0
Polos =
-12.2973
5.0828
-0.1418
Controlador Método del LGR
Especificaciones de Desempeño:
22
4
t
4
2% del criterio 44
t
s
ns
Tiempo de asentamiento:
1/ 2
e=05.0 7.0≈
Sobrepaso Máximo:
Polos Dominantes:-2 2i
Controlador Método del LGR
Ley de Control PID:
Compensador PD:
Sistema no compensado hasta el polo dominante compensado
deseado es -173.12º.
100ssGPD
s
5.0ssGPI
Compensador PI:
Cualquier compensador integral ideal cero funcionará, mientras el
cero se coloque cerca del origen
Controlador Método del LGR
Ley de Control PID:
k = 0.0951
ceros = 0 , 0
polos = 0 , -4.2118, -2.0024 +/- 2.0244i
Controlador Método del LGR
Ley de Control PID:
Controlador Método del LGR
Ley de Control PID:
RESPUESTA
A LAZO
CERRADO
SOBRESALTO TIEMPO DE
ESTABLECIMIENTO
ERROR
EN
ESTADO
ESTABLE
Kp Incrementa No altera Disminuye
Ki Incrementa Incrementa Incrementa
Kd Disminuye Disminuye No altera
Controlador Método del LGR
Ley de Control PID:
9.046 s^2
---------------------------------------------------
s^4 + 188.3 s^3 + 843.1 s^2 + 443.4 s
Kp= 100; Kd= 20; Ki=50
Controlador Método del LGR
Diagrama de Bloques:
CONTROLADOR
K(S)
PLANTA 1
G1(S)
r(S) = 0
+
+
+-
(S)
U(S)
e(S)
Fd(S)
Diagrama de Bloques Simplificado:
+-
X (S)
U(S)Fd(S)
CONTROLADOR
K(S)
Análisis de la Variable no Controlada
PLANTA 2
G2(S)
X(S)
PLANTA1
G1(S)
PLANTA2
G2(S)
sGsK1
sG
sF
sx
1
2
d
Controlador Método del LGR
Controlador Método del LGRAnálisis de la Variable no Controlada
Controlador Método del LGRAnálisis de la Variable no Controlada en SIMULINK
Contenidos
1. Introducción
2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema.
3. Método del LGR para el análisis del Sistema de Control..
4. Método de Ubicación de Polos para el análisis del Sistema de Control.
5. LQR en el Diseño Final del Sistema de Control.
6. Conclusiones y Recomendaciones.
Controlador por Ubicación de PolosControlabilidad y Observabilidad:
DCxy
BAxx
Controlabilidad: Un sistema es controlable en el tiempo to, si se puede
llevar de cualquier estado inicial X(to) a cualquier otro estado, mediante un
vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.
BAABB 1n
Condición de Controlabilidad:
Matriz de Controlabilidad no singular
Controlador por Ubicación de PolosControlabilidad y Observabilidad:
DCxy
BAxx
Observabilidad: Un sistema es observable en el tiempo to si, con el
sistema en el estado X(to), es posible determinar este estado a partir de la
observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.
Condición de Observabilidad:
Matriz de Observabilidad no singular
CACAC1n
Controlador por Ubicación de PolosDiseño por Ubicación de Polos:
DCxy
BAxx
Kx xBKAx 0xetx BKA
Los valores característicos de la matriz A-BK se denominan Polos
Reguladores
ABAABB1000K11n
IAAAA n1n1n
1n
Fórmula de Ackermann:
Donde
Controlador por Ubicación de PolosMatriz de Realimentación de Estados:
Kx
Polos:
-2+2*sqrt(3)*i,
-2-2*sqrt(3)*i,
-20,
-20
K =
[135.31 12.64 -72.20 -38.85]
x8.38x2.726.123.135
Controlador por Ubicación de PolosMatriz de Realimentación de Estados:
Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Completo:
Cxy
BAxx
El estado x se aproximará mediante el estado
x̂CyLBx̂Ax̂
x̂CCxLx̂AAxx̂x
x̂xLCAx̂x
Definiendo el error x -
0eLCAe
b
a
b
a
bbba
abaa
b
a
B
B
x
x
AA
AA
x
x
b
a
x
x
01y
ababaaaa BxAxAx
bbbbabab BxAxAx
Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Mínimo:
Ecuación de salida
Ecuación de Estado
abaabaabbbabbb LBByLAALLAA~LAA~
Lyx~~b
Ecuación del Observador de orden mínimo:
Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Mínimo:
L =
15.0940 -1.2452
78.9617 -16.6433
-1.7567 23.9477
-18.3909 145.4249
Contenidos
1. Introducción
2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema.
3. Método del LGR para el análisis del Sistema de Control.
4. Método de Ubicación de Polos para el análisis del Sistema de Control.
5. LQR en el Diseño Final del Sistema de Control.
6. Conclusiones y Recomendaciones.
Implementación Final LQRSelección del Actuador:
Implementación Final LQRSelección del Actuador:
t1Sene1
Xtx 2t
2
o
1cos
2
2
dt
xdmM
dt
dxbtF
)t(v)t(F)t(Pot
Potencia del Motor
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Tiempo (seg)
Po
ten
cia
(H
P)
MASA
AMORTIGUAMIENTO
POTENCIA
PotenciaPromedio 0.00836HP [6.23 watts]
PotenciaMáxima 0,12573HP [93.8 watts]
Implementación Final LQRModelo dinámico del Motor DC:
aa
12
a
212
0
a
2a1m erR.2
Kx
rR.2
KKx
r.2
J
R
Ke
r.2
K
r.2
JF
1a
ba
2
2
2c
m KR
dt
dKe
dt
d
n
JJ
erqR2
mIK
q
Bm
q
gmx
q
rR2
KKbmI
xa
21
22a
212
erqR2
Kmx
q
mrR2
KKb
gq
r2
JmMm
q
r2
JmMB
a
12
a
21
2o
2o
222
o mmIr2
JmMq
Donde:
Implementación Final LQRConexión dinámica Péndulo - Motor DC:
Implementación Final LQRDeterminación de los Parámetros del Motor:
a
bb
a1
i
gLM2/1
i
TK
Implementación Final LQRDeterminación de los Parámetros del Motor:
1Ke [voltios] ia [A] T [N.m] K1=T/ia
[N.m/A]
1,812 0,22 0,05978 0,27173 O,27173
3,230 0,44 0,11856 0,27173
2Ke [voltios] ia [A] [rpm] K2=e/
[V/rad/s]
6,3 0,18 370 0,16262 O,15584
12,0 0,19 700 0,16367
15,4 0,44 1080 0,14057
aRe [voltios] ia [A] [rpm] Ra=(e-K2)/ia [ ]
8,04 0,40 400 3,78 3,69
8,15 0,45 400 3,60
Implementación Final LQRCaja Reductora:
c
mopt
J
Jn
Inercia del Motor DC:
RLmmMR3/Lm4
2/gLmJ ppm
22p2
p2o
m
Implementación Final LQRRazón de Reducción Óptima:
Inercia de Carga:
2pc r)mM(J 34.1
J
Jn
c
mopt
SqrR2
KNKmgS
q
r2
JmM
mgSq
rR2
KNKmI
S
SrqR2
NKm
SE
S
2a
2122
o
32
a
212
4
2
a
1
Implementación Final LQRRazón de Reducción Óptima:
Implementación Final LQRParámetros Físicos del Sistema:
PARÁMETRO DESCRIPCIÓN VALOR
M Masa del Carro 0,435 Kg.
m Masa del Péndulo 0,270 Kg.
l Longitud media del Péndulo 0,165 m.
b Coeficiente de Fricción Viscosa del Carro 0,1 N.s/m
B Coeficiente de Fricción Viscosa del Péndulo 0,05 N.m/rad/s
K1 Constante del Par Motriz 0,27173 N.m/A
K2 Constante de la Fuerza Contra electromotriz 0,15584 V/rad/s
Ra Resistencia de Armadura del Motor 3,69
K Ganancia del Potenciómetro del Péndulo 1,637 V/rad
Kx Ganancia del Potenciómetro del Carro 4,244 V/m
d Diámetro de la Polea 0,075 m
n Reducción de la caja Reductora 1.5, 3, 7 , 10
Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :
control óptimo implica una equidad entre el desempeño y el costo
de control y busca minimizar el valor del índice de desempeño J.
dtR'Qx'x2
1J
0
El problema de minimizar J con respecto a la entrada de control u(t),
es conocido como el problema Regulador Cuadrático Lineal (LQR)
Teorema del Regulador Óptimo
P'BRK Kx -1opt
Ecuación de Riccati 0P'BPBRQP'APA 1
Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :
Driver del Motor DC
Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :
Matriz de Ganancias de Realimentación de Estados:
K = [87.7593 -31.6228 8.1430 -31.3855];
Matriz de Ganancias del Observador:
L =
7.8260 -0.5693
-0.5693 0.1786
Aplicando la igualdad de la ley de control y del estimador:
21 39.3114.8x91.4141.169
10.17x46.1482.1439.12462.13 211
96.3x18.535.2067.2742.0 212
Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :
Diagrama de Flujo de Señales del Compensador:
Implementación Final LQRCompensador Electrónico
Zona Muerta del Motor0V Si V2.1V
0V Si V8.1VV
in
inout
Conclusiones y Recomendaciones
Dispositivos físicos actúan en estado de saturación..
Limitación de ganancias que inciden en el estado de
saturación.
Reemplazo del driver analizado por un OPA-548.
Uso de aisladores y flitros para disminuir el rizado en las
señales provenientes de los sensores.
Uso de frenado dinámico por parte del motor.
Se delimita la region del actuador por inestabilizar el
sistema
La realimentación reduce el efecto de las perturbaciones y
modera los errores de modelado, no obstante ante la
presencia de perturbaciones y ruido en el sensor se debe
incluir:
• Desempeño de seguimiento.
•Reducir la sensibilidad a ruido en el sensor, ganancia
significativa en la región de baja frecuencia y mínima en la
región de alta frecuencia.
• Se debe delimitar la señal de control para futuras mejoras.
• Reducir la sensibilidad ante errores en el modelado.
• Establecer una estabilidad robusta.
Conclusiones y Recomendaciones
1. Potenciómetro
Lineal.
2. Cilindro Lineal sin
Vástago.
3. Péndulo Invertido.
4. Servopotenciómetro
rotacional.
5. Tarjeta de
Referencia
electrónica.
6. Trasductor de
Presión.
7. Válvula proporcional
5/3.
8. Unidad FLR.
9. Válvula de
Suministro.
10. Interfase electrónica.
11. PC del Ordenador.